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COCIENTES NOTABLES Y FACTORIZACIÓN EJERCICIOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA PREUNIVERSITARIA EN PDF

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COCIENTES NOTABLES Son cocientes cuya forma general es: ; n  z+ El desarrollo de estos cocientes se pueden efectuar directamente sin aplicar los criterios generales de la división algebraica Todo cociente notable debe satisfacer los siguientes principios: 1º El resto de la división debe ser igual a cero. 2º Las bases deben ser iguales 3º Los exponentes deben ser iguales. Nota.- CoNo = Cociente Notable CASOS QUE SE PRESENTAN n : Puede ser par o impar; siempre será Co no ya que su resto es cero. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es: Ejemplo: = a3 + a2 b + ab2 + b3 Segundo caso: n : En este caso debe ser impar necesariamente; para que el resto sea cero y el cociente sea notable. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es: Ejemplo: = a4 – a3 b + a2 b2 – ab3 + b4 Tercer caso: n : Para este caso debe ser un número par necesariamente, lo cual nos da un resto cero y por consiguiente el cociente es notable. El desarrollo obtenido por la regla de Ruffini es: Ejemplo: = a3 – a2b + ab2 – b3 Cuarto caso: n : Ya sea par o impar, el resto no será cero, por consiguiente este tipo de cociente nunca será cociente notable. PROPIEDADES GENERALES DE LOS COCIENTES NOTABLES Respecto al CoNo cuya forma general es: Se satisfacen las siguientes propiedades: 1º El resto de la división debe ser igual a cero. 2º El número de términos que tiene en su desarrollo es igual al exponente del dividendo del cociente notable. 3º El desarrollo de un CoNo es un polinomio homogéneo cuyo grado es igual al exponente del dividendo del CoNo menos uno. 4º En el desarrollo de un CoNo los exponentes de la primera y segunda base varían consecuti-vamente en forma descendente y ascendente desde el mayor exponente, hasta el exponente cero. 5º Respecto a los signos de los términos del desarrollo de un CoNo, debemos considerar lo siguiente: i) = +, +, + ..... + (n: Par ó Impar) ii) = +, -, +, …....-, + (n: Impar) iii) = +, -, +, ……,+, - (n: par) En la expansión del CoNo: = an-1  an-2 b + a n-3 b2  ….  bn-1 T1 T2 T3 TK Tn Vemos que el término de lugar “k” adopta la forma matemática: TK =  (a)n – k (b) k – 1 ; 1  k  n Debemos tener en cuenta que: “a” : Primera base del CoNo “b” : Segunda base del CoNo “n” : Número de términos de CoNo “k” : Lugar que ocupa el término que queremos determinar Además: i) TK, es (+)  k, es impar ii) TK, es (-)  k, es par, pero solo para CoNo de la forma : ó iii) TK siempre es positivo para una CoNo de la forma Ejemplo#1: Dado el CoNo : hallar el T27 Solución: Dado que 27 es un número impar: TK = + (a)n- k (b) k – 1 Donde : “a” = a “b” = b “n” = 31 “k” = 27 Remplazando: T27 = (a) 31-27 (b) 27-1 T27 = a4 b26 Rpta. # 2: Dado el CoNo : hallar el G.A: del T32 Solución: Como el CoNo es de la forma , todos los términos son positivos, por consiguiente: TK = + (a) n – k (b) k – 1 Donde: “a” = a “b” = b “n” = 43 “k” = 32 Remplazando: T32 = + (a)43 – 32 (b) 32 – 1 T32 = a11 b31  G.A: = 11 + 31 = 42 Rpta. Este tipo de división será transformable a cociente notable, cuando satisfaga las siguientes condiciones 1.- El resto de la división debe ser igual a cero. 2.- Las bases deben ser iguales 3.- Los exponentes del dividendo con respecto al divisor deben ser proporcionales y pertenecer al campo de los números enteros positivos, es decir: ;  z+ 4.- Respecto a los casos que se presentan en los CoNo, deben tenerse en cuenta lo siguiente: a) Forma : = # par o impar b) Forma : = # impar c) Forma : = # par d) Forma : (no es CoNo) 5.- Un término cualquiera del desarrollo del CoNo está formulado por: TK =  (a) m – k p (b) (k-1) q ; 1 k  Ejemplo # 1: Calcular “n” en el cociente: Sabiendo que es notable. Solución: Por ser cociente notable, se cumple que: Por proporciones: (7 n – 4) (n –1) = (n – 2) (8n – 2) 7n2 – 11 n + 4 = 8 n2 – 18 n + 4 - n2 + 7n = 0 Factorizando: n = 0 n (n – 7) = 0  ó n = 7 Rpta. Ejemplo # 2: Calcular (m+n) en el cociente notables: Si su desarrollo tiene 14 términos: Solución: Por ser cociente notable, se cumple que:  m + n = 47 Rpta. Ejemplo 3: Dado el CoNo : Hallar el grado absoluto del T22. Solución: Como 22 es un número par, aplicamos la fórmula: TK = - (a) n - k (b) k – 1 Donde: “a” : Primera base = a3 “b” : Segunda base = b4 “n” : Número de términos = “k” : lugar que ocupa el término = 22 Reemplazando: T22 = -(a3) 31 – 22 (b4) 22 – 1 T22 = -a 27 b 84  G.A. 111 Rpta. Dado el CoNo : Podemos notar que: 1.- “n” representa el número de términos 2.- Si “n” es un número impar existe un término central al cual denotaremos por tc y ocupa el lugar. 3.- Si “n” es un número par existen dos términos centrales y ocupan los lugares. 4.- Si “k” es el lugar que ocupa el término del desarrollo de un CoNo y “ k’ ” su término equidistante (término contado a partir del extremo final); se cumple. a) k + k’ = n + 1 b) TK =  (a) n – k (b) k - 1 c) TK’ = tn+1 - k =  (a) k – 1 (b) n - k d) TK y TK’ son de igual signos en los CoNo de la forma : e) TK y TK’ tienen signos diferentes para CoNo de la forma: Para reconstruir un cociente notable a partir de los términos de su desarrollo, debemos tener en cuenta las siguientes reglas: 1º Ley de signos a) +, +, +, .............. +  b) +, -, + ................-,+  c) +, -, +, .............+, -  2º Ley de variables.- En el dividendo y en el divisor se escriben como bases del CoNo las bases de los términos extremos del desarrollo. 3º Variación de exponentes.-Nos determina los exponentes que deben colocarse en las bases del divisor; la variación descendente es para la primera base y la variación ascendente es para la segunda base. 4º formación del Cociente Notable.- Obtenidos los exponentes del divisor, estos se suman con los exponentes de los términos extremos del desarrollo del cociente notable y obtenemos los exponentes del dividendo, formándose el cociente notable. Ejemplo: Dado el desarrollo x145 + x140 y8 + .......+ y232 formar el CoNo Solución De acuerdo a las reglas, tenemos: 1º.- Ley de Signos: 2º.- Ley de variables: 3º.- Variación de exponentes: 4º.- Formación del CoNo: Ejercicio Nº 1.- Dado el cociente notable Determine el número de términos que tiene su desarrollo. Solución Por ser un cociente notable los exponentes deben ser proporcionales, es decir: #t = Operando, se tiene: (6n + 42) (2n – 3) = (12n + 24) (n + 1) 12 n2 – 18 n + 84 n – 126 = 12 n2 + 12 n + 24 n + 24 Simplificando: 66 n – 126 = 36 n + 24 30 n = 150 n = 5 remplazando: #t =  # t = 12 Ejercicio Nº 2.- Al efectuar el desarrollo del CoNo: Hallar el número de términos fraccionarios. Solución: Un término genérico del desarrollo de este CoNo es: TK = (a) n - k (b) k – 1  Remplazando: TK = (x3)15 – k ( x -2) k – 1 TK = x 45 – 3 k x – 2k + 2 TK = x 47 –5 k ; 1  K = 15 Los términos serán fraccionarios; Cuando: 47 – 5 k  0 - 5 k  -47 k  k  9,4 Dado que: k  15 ; entonces: K = 10, 11, 12, 13, 14, 15 el número de término fraccionarios es 6. La factorización es un proceso contrario a la multiplicación, el cual no está sujeta a reglas específicas; su operación depende de la práctica adquirida. En esencia es la transformación de un polinomio en un producto indicado de factores primos, dentro de un determinado campo numérico. Un polinomio está definido sobre un campo numérico, cuando los coeficientes de dichos polinomios pertenecen al conjunto numérico asociado a dicho campo. Hay tres campos de importancia: Racional : Q ; Real : R; Complejo : C Ejemplo: i) P (x) = 2 x2 – 7x + 3 , está definido en Q , R y C ii) Q (x) = x5 + 3 x - , está definido en R y C, pero no en Q. iii) R (x) = x3 – i x + 2 i – 3; esta definición solo en C .... (i = ) Factor ó Divisor.- Es un polinomio de grado distinto de cero que divide exactamente a otro. Factor Primo.- Es un polinomio sobre un campo numérico el cual no se puede transformar en el producto de dos polinomios sobre el mismo campo numérico. Ejemplo #1 .- P (x) = x2 – 25 No es primo en Q, ni en R; ni en C, ya que se puede expresar como P (x) = (x + 5) (x – 5). Ejemplo # 2.- Z(x) = x2 – 7 Es primo en Q, pero no en R ni en C, dado que Z (x) = (x + ) (x - ) Ejemplo # 3 .- R(x) = x2 + 16 Es primo en Q y en R pero no es primo en C, ya que R(x) = (x + 4i) (x – 4 i) Número de factores primos.- Es la cantidad de factores no repetidos que tiene el polinomio, dependiendo sobre que campo numérico se factorice. Ejemplo a) P(x) = x4 – 36  (x2 + 6) (x2 –6)  P (x) tiene 2 factores primos en Q b) P(x)=x4 – 36  (x2 + 6) (x + ) (x - )  P (x) tiene 3 factores primos en R c) P(x)=x4 – 36  (x + i ) ((x - i ) (x+ ) (x - )  P (x) tiene 4 factores primos en C I. Método del Factor Común.- El factor común está contenido en todos los términos de la expresión algebraica a factorizar, con el menor exponente; puede ser monómico o polinómico. Ejemplo # 1: Factorizar: f = 2x4 y3 + 2x4 z2 + 2x4 Solución: El factor común es: 2x4; de donde f = 2x4 (y3 + z2 + 1) Rpta. Ejemplo # 2: Factorizar: f = (a2 + b) x + (a2 + b) y + (a2 + b) z Solución: El factor común en este caso es: (a2 + b); de donde f = (a2 + b) (x + y + z) Rpta. II. Factorización por agrupación de términos Consiste en agrupar convenientemente de forma que se tenga factor comunes polinómicos. Ejemplo # 1: Factorizar f = (a x + by) 2 + (ay – bx) 2 Solución: Desarrollando por productos notables. f = a2 x2 + 2ab x y + b2 y2 + a2 y2 – - 2 ab xy + b2 x2 Simplificando: f = a2 x2 + b2 y2 + a2 y2 + b2 x2 agrupando el primero con el tercero y el segundo con el cuarto, se tiene: f = (a2 x2 + a2 y2) + (b2 y2 + b2 x2) f = a2 (x2 + y2) + b2 (x2 + y2) f = (a2 + b2) (x2 + y2) Rpta. III. Método de las Identidades A. DIFERENCIA DE CUADRADOS Para factorizar se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos y se forman un producto de la suma de las raíces, multiplicadas por la diferencia de las mismas. En general. f = a2m – b2n = (am + bn) (am – bn) am bn B. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.- Su forma general es: f = a2m  2 am bn + b 2n am bn  ambn am bn  ambn 2ambn  f = ( a m  b n ) 2 C. SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS.- En este caso recordamos los productos notables. a3m+ b3n = (am + bn) (a2m – am bn + b2n) a3m – b3n = (am – bn) (a2m + am bn + b2n) Ejemplo # 1: Factorizar f = x8 – 81 y8 Solución Extrayendo a los términos, se obtiene: f = x8 – 81 y8 x4 9y4 X2 3y2 De donde: f = (x4 + 9y4) (x2 + 3 y2) (x2 – 3y2) Ejemplo # 2.- Factorizar f = (a + b)7 + c3 (a + b)4 – c4 (a + b)3 – c7 Solución: Haciendo: (a + b) = x; se tendría: f = x7 + c3 x4 – c4 x3 – c7 factorizando de 2 en 2 f = x4 (x3 + c3) – c4 (x3 + c3) siendo el factor común : x3 + c3 f = (x3 + c3) (x4 – c4) factorizando la suma de cubos y la diferencia de cuadrados, obtenemos finalmente: f = (x + c) (x2 – xc + c2) (x2 + c2) (x + c) (x – c) Ejemplo # 3.- Factorizar: f = 3 ab (a + b) + 3(a + b)2 c + 3(a + b) c2 Solución Factorizando : 3 (a + b); se tiene f = 3 (a + b) [ ab + c (a + b) + c2] f = 3 (a + b) [ab + ac + bc + c2] factorizando en el corchete “2” a “2” f = 3 (a + b) [a (b + c) + c (b + c)] siendo: (b + c) el factor común, se tendría como factores: f = 3 (a + b) (a + c) (b + c) Rpta. Aspa Simple.- Se aplica en expresiones trinomias de la forma. f = ax2m + bxm yn + c y 2n Se descomponen en factores los extremos y la suma de los productos en aspa debe ser igual al término central. Es decir, dado: f = ax 2m + bxm yn + c y2n a1 xm c1 yn  a2 c1 a2 xm c2 yn  Los factores se toman horizontalmente  f = (a1 xm + c1 yn) (a2 xm + c2 yn) Ejemplo # 1: factorizar f = 64 a12 b3 – 68 a8 b7 + 4 a4 b11 Solución: Siendo el factor común: 4 a4 b3 Se obtiene: f = 4 a4 b3 [16 a8 – 17 a4 b4 + b8 ] Aplicando aspa simple al corchete 16 a4 -b4  a4 b4 a4 -b4  16 a4 b4 17 a4 b4 f = 4a4 b3 ( 16 a4 – b4 ) (a4 - b4 ) factorizando las diferencias de cuadrados; obtenemos: f = 4 a4 b3 (4 a2 + b2) (2 a + b) (2 a – b) (a2 + b2) (a + b) (a – b) Factorizar: 1) f = x4 + y4 + 2x y (x2 + y2) + 3x y2 Rpta. f = (x2 + xy + y2)2 2) g = x6 + 2x5 – 3x4 + 4x2 – 1 Rpta. g = (x3 + 3x2 – 1) (x3 – x2 + 1) 3) f = (a2 + b2 – c2 – d2)2 – 4 (ab + cd)2 Rpta. f = (a +b + c – d) (a + b– c + d) (a – b + c + d) (a – b– c – d) g = (x + y)3 + 3xy (1 – x – y) – 1 Rpta. g = (x2 + y2 + 1 – xy + x + y) 4) f = (z2 – y2)2 (x2 – a2) + 4 x2 y2 z2 Rpta. f = (z2 x + xy2 + az2 – ay2) (z2 x + xy2 – az2 + ay2) 5) Un factor de: a (a – 1) + a3 – 1 es: Rpta. (a – 1) ( a + 1)2 6) Descomponer en factores: x5 + x + 1 Rpta. (x2 + x + 1) ( x3 – x2 + 1) 7) Cuando se factoriza x9 – x hasta donde sea posible en polinomios y monomios con coeficientes enteros, el número de factores primos es: Rpta. 5 8) La expresión x2 – y2 – z2 + 2yz + x + y – z Rpta. (x + y –z) (x – y + z + 1) 9) Hallar la suma de los factores primos de: a (a2 + ab - 1) – b (b2 + ab – 1) Rpta. 3 a + b 10) Factorizar la expresión: x4 + 2x3 – 2x – 1, indicar la suma de los factores primos: Rpta. 2x EJERCICIOS DE CLASE 1. Hallar el menor término racional del cociente notable. A) 9 B) -1 C) 3 D) 5 E) 8 2. En el cociente notable halle el valor numérico del quinto término para x=1 A) 729 B) 126 C) 81 D) 243 E) 729 3. Halle el grado absoluto del primer término central del C.N. A) 11 B) 106 C) 63 D) 40 E) 72 4. Si… son términos consecutivos del desarrollo de un C.N. Halle el número de términos. A) 61 B) 59 C) 58 D) 60 E) 65 5. En el siguiente cociente notable . Calcule el lugar que ocupa el término que contiene a x10. A) sexto B) quinto C) octavo D) cuarto E) décimo 6. Luego de factorizar: halle la suma de los factores primos. A) B) C) D) E) 7. Luego de factorizar en , indique el número de factores primos. A) 5 B) 3 C) 4 D) 6 E) 2 8. Factorizar: indicar la suma de coeficientes de un factor primo. A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) -2 9. Factorizar: , e indicar la suma de los T.I. de los factores primos. A) a+b B) a-b C) a D) b E) ab 10. Al factorizar: Indicar la suma de sus términos de sus factores primos. A) 7x-4y+1 B) 7x-1 C) 4x-7y-1 D) 4y-1 E) 5x+2y-1 11. Factorizar: , e indicar un factor primo lineal. A) 3x +2 B) -3x1 C) -2x+1 D) x+2 E) 4x+3 12. Factorice: Indique el promedio aritmético de los T.I. de los factores primos. A) B) C) D) E) 13. Al factorizar: Calcule el número de factores algebraicos. A) 4 B) 3 C) 6 D) 7 E) 8 14. Factorice , e indicar el número de factores. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 15. Factorizar en , luego indique la cantidad de factores algebraicos. A) 2 B) 5 C) 3 D) 6 E) 7 16. Calcule la suma de coeficientes, de un factor primo del polinomio factorizado. A) 7 B) 4 C) 3 D) 5 E) 2 17. Factorice: Indique el número de factores cuadráticos. A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5 18. Señale un factor primo de: A) B) C) D) E) 2x² + 3x + 1 19. Cuántos factores lineales presenta: A) 1 B) 0 C) 2 D) 3 E) 6 20. Calcule el número de factores algebraicos en , el polinomio. A) 23 B) 8 C) 10 D) 72 E) 71