Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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CÁLCULO DE DERIVADAS EJERCICIOS RESUELTOS MATEMATICAS 2 BACHILLERATO PDF

1. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) b) f (x ) (2x 1) · c) f (x ) 2x 1 sen x cos x 2x 1 3x 1 sen x 2. Calcula la primera, segunda y tercera derivadas de la funcio´n f (x ) dando las expresiones corres- 2x x 2 1 pondientes de la forma ma´s simple posible. 3. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) tg x 2 6x 5 x 3 b) f (x ) arctg ex x x e x 4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) x 2 1 x 2 1 b) f (x ) x2 e (x 1)2 5. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) x 1 1 x b) f (x ) x x3 6. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) arctg ex L e2x 1 e2x b) f (x ) L(L2(x · L3x)) 7. Deriva la funcio´n f (x ) y calcula el valor de la funcio´n derivada en x 0 y en x 1. ex e x ex e x 8. Calcula las derivadas primera, segunda y tercera de la funcio´n f (x ) sen x · sen 2x. 9. Calcula las cuatro primeras derivadas de la funcio´n f (x ) . ex x 10. Halla la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x ) para a y b constantes. 1 ax b 11. Halla la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x ) L (x 1). 12. Obte´n la expresio´n de la derivada de orden n de la funcio´n f (x ) 1 x 13. El espacio, en metros, recorrido por un mo´vil en funcio´n del tiempo, en segundos, viene dado por la expresio´n: s 0,05t 3 0,3t 2 3t a) Halla la velocidad de mo´vil en cada instante. b) Halla la velocidad cuando han transcurrido 5 segundos. c) Halla la aceleracio´n cuando han transcurrido 10 segundos. 14. Los lados de un recta´ngulo crecen a razo´n de 20 y 30 centı´metros por minuto, respectivamente. Halla la velocidad con la que crece el a´rea de dicho recta´ngulo en el momento que su lado ma´s pequen˜o mide 800 cm. SOLUCIONES 1. a) D f (x ) (3x 1) · 2 (2x 1) · 3 5 (3x 1)2 (3x 1)2 b) D f (x ) 2 2 · (2x 1) 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3 6x 3 3(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3x 1 c) f (x ) 1 cos x sen x D f (x ) sen x · ( sen x ) cos x · cos x sen2 x 1 sen2 x 2. D f (x ) (x 2 1) · 2 2x · 2x 2x 2 2 (x 2 1)2 (x 2 1)2 D2 f (x ) (x 2 1)2 ( 4x ) (2x 2 2) ·2(x 2 1) ·2x (x 2 1)4 (x 2 1) · ( 4x ) (2x 2 2) · 2 · 2x 4x 3 12x (x 2 1)3 (x 2 1)3 D3f (x ) (x 2 1)3(12x 2 12) (4x 3 12x )·3(x 2 1)2·2x (x 2 1)6 (x 2 1) · (12x 2 12) (4x 3 12x ) · 3 · 2x (x 2 1)4 12x 4 72x 2 12 (x 2 1)4 3. a) Df (x ) · 1 x 2 6x 13 x 2 6x 5 (x 3)2 cos2 x 3 b) Df (x ) · 1 2ex (1 x ) ex x 2 (ex x)2 1 x e x ex (1 x ) e2x x 2 4. a) Df (x ) 2x x 2 1 (x 2 1)2 · x 2 1 b) Df (x ) · e 2x x2 (x 1)2 (x 1)3 5. a) Df (x ) x 1 1 1 1 L 1 x x x 1 b) Df (x ) x · x 2 · (1 3 Lx ) x3 6. a) Df (x ) ex 1 e2x 1 b) Df (x ) 6 2 Lx x · Lx · L(x · L3x) 7. Df (x ) (ex e x)2 (ex e x)2 4 (ex e x)2 (ex e x)2 f (0) f ( 1) 1 4e2 4 (e2 1)2 8. Df (x ) 2 sen x cos 2x cos x sen 2x D2f (x ) 4 cos x cos 2x 5 sen x sen 2x D3f (x ) 14 sen x cos 2x 13 cos x sen 2x 9. Df (x ) ex 1 1 2 x x D2f (x ) ex 1 2 2 2 3 x x x D3f (x ) ex 1 3 6 6 2 3 4 x x x x D4f (x ) ex 1 4 12 24 24 2 3 4 5 x x x x x 10. Df (x ) a (ax b )2 D2f (x ) 2a 2 (ax b )3 D3f (x ) 6a 3 (ax b )4 Dnf (x ) ( 1)n n! · an (ax b)n 1 11. Df (x ) 1 x 1 D2f (x ) 1 (x 1)2 D3f (x ) ... 2 (x 1)3 Dnf (x ) ( 1)n 1 (n 1)! (x 1)n 12. D f(x ) 1 x 2 D2 f (x ) , 2 x 3 D3 f (x ) ... 6 x 4 Dn f (x ) ( 1)n 1 n ! xn 1 13. a) v s 0,15t 2 0,6t 3 b) v (5) 3,75 m/s c) a v 0,3t 0,6 a (10) 2,4 m/s2 14. Los lados miden, en funcio´n del tiempo: a 20t b 30t El a´rea medira´: S 600t 2 La velocidad con la que crece el a´rea es: v S 1 200t Cuando el lado pequen˜o mide: a 20t 800 t 40 Por tanto: v (40) 48 000 cm2/min 4,8 m2/min Ht H 25 cm 1. El lado de un tetraedro crece a razo´n de 5 cm cada minuto. a) ¿A que´ velocidad crece el a´rea de la base cuando el lado mide 25 cm? b) ¿A que´ velocidad crece el volumen cuando el lado mide 25 cm? 2. a) Escribe una expresio´n para el logaritmo en base x de un nu´mero N, utilizando u´nicamente logaritmos neperianos. b) Calcula la derivada de la funci´on f (x ) logx x 1 3. Calcula la derivada de las funciones: a) f (x ) x · x · x · x b) f (x ) sen (sen (sen (x ))) 4. Las funciones f y g son continuas y derivables en todo el conjunto de los nu´meros reales. Se sabe que f (3) 4, f (3) 3 y que g ( 4) 4. Calcula el valor de (g f ) (3). M B C F R A 30º 5. Un ciclista recorre, partiendo del punto A, la pista de forma circular que aparece en la figura. En el centro de la pista hay un foco luminoso F, por lo que el ciclista proyecta, en cada instante, una sombra sobre el muro AM. Calcula la velocidad de la sombra cuando el ciclista ha recorrido la doceava parte del circuito sabiendo que la velocidad a la que pedalea es constante e igual a 40 km/h. 6. Una escalera de 5 m de longitud esta´ apoyada en la pared de forma que el pie de la escalera se va desplazando aleja´ndose del muro a una razo´n de 10 cm por minuto. Calcula la velocidad a la que desciende la parte superior A de la escalera cuando el pie B esta´ a 2 m de la pared. 7. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: a) f (x ) e b) f (x ) xx x x 8. Calcula la derivada de los cinco primeros o´rdenes de la funcio´n f (x ) x · [sen (Lx ) cos (Lx )] 9. Calcula la derivada de orden n de las siguientes funciones: a) f (x ) xm , m n b) f (x ) x · Lx 10. La fo´rmula de Leibniz nos facilita una expresio´n para hallar la derivada de orden n de un producto de funciones que sean n veces derivables: Dn (f (x) · g (x )) Cn,i · Dif (x) · Dn i g (x ) n i 0 siendo Cn,i el nu´mero de combinaciones de n elementos tomados de i en i, D0f (x ) f (x) y D0g (x ) g (x ). Aplicando la fo´rmula de Leibniz, halla la derivada de orden n de la funcio´n f (x) y xn · ex y comprueba su validez calculando directamente las derivadas de orden n para los casos n 1, n 2 y n 3. SOLUCIONES 1. a) La medida de cada arista es L 5t, donde L se mide en cm y t en minutos. La altura del tria´ngulo equila´tero de la base es: H 5t 2 75t 2 5t 3 (5t )2 2 4 2 El a´rea de dicho tria´ngulo es: S 5t 3 5t · 2 25t 2 3 2 4 Cuando el lado mide 25 cm, han pasado 5 minutos. La velocidad de crecimiento del a´rea es: S (5) 270,6 cm2 por minuto. 25 · 25 · 3 4 b) La altura del tetraedro es: Ht 5t 6 3 El volumen es: V S · H 125t 3 2 t 3 12 La velocidad de crecimiento del volumen es: V (5) 1 104,8 cm2 por minuto. 2. a) Haciendo los siguientes cambios de variable: N aA x e B xC N LN A Lx B log N C x (eB)C e BC e A BC A Lx · logx N LN logx N LN Lx b) f (x ) logx L x 1 x 1 Lx f (x ) 1 1 Lx · L x 1 · 2x 2 x (Lx )2 3. a) f (x ) x 16 15 x · x · x · x x 15 16 f (x ) x x 15 15 15 1 15 1 16 16 16 16 16 16 x b) f (x ) cos (sen (sen (x )) · cos (sen (x ))) · cos x 4. Aplicando la regla de la cadena para la composicio´n de funciones derivables: (g f ) (3) g (f (3)) · f (3) g ( 4) · f (3) 4 · ( 3) 12 5. Sea R el radio del cı´rculo del circuito y el a´ngulo recorrido en radianes. La longitud del arco AB es · R 40t Por otra parte tg AC R · tg Rtg AC 40t R R AC R· · 40 1 40 R 40t cos2 cos2 R En el momento en que 30 rad: 6 v AC 53,3 km/h 40 cos2 6 6. El espacio, en metros, recorrido por el pie de la escalera es: SP(t ) 0,1t donde t se mide en minutos y Sp(t ) en metros. El espacio recorrido por el extremo que se apoya en la pared es: SE(t ) 25 0,01t 2 v (t ) s (t ) 0,02t 0,01t E 2 25 0,01t 2 25 0,01t 2 Como: SP(t ) 2 t 20 minutos S (20) 0,043 m/min 4,3 cm/min 0,2 E 21 7. a) D f (x ) e · x · [1 Lx] xx x b) D f (x ) · 1 Lx x x 2 x 8. D f (x ) 2 cos (Lx ), D2 f (x ) 2 sen (Lx ) x D3 f (x ) 2 sen (Lx ) 2 cos (Lx ) x2 D4 f (x ) 6 cos (Lx ) 2 sen (Lx ) x3 D5 f (x ) 20 cos (Lx ) x4 9. a) D f (x ) mxm 1, D2 f (x ) m(m 1) xm 2, D3 f (x ) m(m 1) (m 2) xm 3 ..., Dn f (x ) x(m n) m! (m n)! b) D f (x ) 1 Lx, D2 f (x ) , 1 x D3 f (x ) , D4 f (x ) ..., 1 2 x 2 x 3 Dn f (x ) ( 1)n 2 si n 2 (n 2)! xn 1 10. Dn (xn · ex ) Cn,i · Di (xn) · Dn i (ex ) n i 0 · n (n 1) ... (n i 1)xn i · ex n n! i 0 (n i ) ! · i ! ex xn 2 ... n! n 2(n 1)2 xn n 2xn 1 2! n 1, D (xe x) ex [x 1]; n 2, D (x 2ex) ex [x 2 2x ], D2 (x 2 e x) ex [x 2 4x 2]; n 3, D (x 3ex) ex [x 3 3x 2]; D2 (x 3ex) ex [x 3 6x 2 6x ]; D3 (x 3ex) ex [x 3 9x 2 18x 6]