ÁREAS CUADRANGULARES Y CIRCULARES PROBLEMAS RESUELTOS DE GEOMETRÍA PREUNIVERSITARIA PDF

Las formas cuadrangulares abundan principalmente en los paisajes artificiales, en las diversas edificaciones y construcciones observamos pisos y paredes de forma cuadrada o rectangular, diques de forma trapecial, ventanas romboidales y así diversas formas de 4 lados necesariamente debemos conocer las fórmulas adecuadas para calcular el área de dichas formas, por ello te invitamos a participar en este nuevo descubrimiento geométricos.
*
*
**
UN PROBLEMA CLÁSICO : 
EL ÁREA DEL CÍRCULO 
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. 
– El problema de la duplicación del cubo o problema de Delos, de origen griego, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado. 
– El problema de la trisección del ángulo, es decir, dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales, llamó seguramente la atención por la gran discrepancia entre la sencillez de sus términos y la imposibilidad de resolverlo con los medios elementales de la geometría, regla y compás, imposibilidad tanto más llamativa cuanto que con esos medios podía dividirse un ángulo cualquiera en 2, 4, 8, ... partes iguales, y también podían trisecarse algunos ángulos muy particulares como el recto, el llano. etc 
– En cuanto al problema de la cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado. 

ÁREA DEL CUADRADO(S) 2. ÁREA DEL PARALELOGRAMO(S) 3. ÁREA DEL ROMBO (S) 4. ÁREA DEL TRAPECIO (S) TEOREMA Si se une el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio con los extremos del otro lado no paralelo, se forma un triángulo cuya área es igual a la mitad del área del trapecio. 7. ÁREA DE UN TRAPEZOIDE (S) 8. FÓRMULA TRIGONOMÉTRICA (S) 9. TEOREMA En todo cuadrilátero convexo se cumple, que al unir los puntos medios de sus lados se forma un paralelogramo; cuya área es igual a la mitad del área del cuadrilátero. S = Demostración Comparación de Áreas S1 = Sumando las 2 expresiones S1 + S3 = S1 + S3 = Analógicamente: S2 + S4 = S = L.q.q.d Observación: Igualando (1) y (2) S1 + S3 = S2 + S4 10. ÁREA DEL CUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, el área es igual al producto del semiperímetro y el radio de dicha circunferencia. S = p.r. p = S = Area (ABCD) Demostración S = Area (AIB) + Area (BIC) + Area (CID) + Area (AID) S = S = S = p.r. L.q.q.d 11. Área del Cuadrilátero Inscrito (Teorema de Bramaguptha) S = S = Area (ABCD), p = * Se deja la demostración al lector 12. Área del Cuadrilátero Bicéntrico (S) (Teorema de Leudesdorf) S = Demostración: 1) PITHOT a+c = b+d = p 2) Teorema de Bramaguptha S= S = S = L.q.q.d 13. PROPIEDADES DE LAS REGIONES CUADRANGULARES 13.1 Si en un cuadrilátero convexo se trazan las diagonales se determina cuatro triángulos parciales y cumple que los productos de las áreas de los triángulos opuestos son iguales. S1 . S3 = S2 . S4 Demostración 1) Comparación de Áreas 2) Igualando S1 . S3 = S2 . S4 L.q.q.d 13.2 En todo trapecio, las áreas de los triángulos laterales determinados al trazar las dos diagonales, son iguales. Es decir dichos triángulos son equivalentes. S1 = S2 Demostración 1) Área (ABD) = Área (ACD) = S1 + Z = Z + S2 2) Simplificando Z S1 = S2 L.q.q.d. 13.3 Si ABCD es Trapecio S1 = Area (BPC) S2 = Area (APD) S = Area (ABCD) S = Demostración 1) Propiedad 13.2 Area (APB) = Area (CPD) = X 2) Propiedad 13.1 X² = S1 . S2  X = 3) S = S1 + 2X + S2 ..... (2) 4) (1) en (2) S=( )²+ 2 + ( )² S = ( + )² ÁREA DE REGIONES CIRCULARES CIRCULO. Es la región del plano limitada por una circunferencia Teorema 1. El área de todo círculo es igual al semiproducto de la longitud de su circunferencia y el radio S: Área del Círculo C: Longitud de la circunferencia C = 2 R S = R = S =  R² D: Diámetro S =  R: Radio S = II. SECTOR CIRCULAR Es la porción del círculo limitada por dos radios Teorema 2. El área de todo sector circular de radio R y ángulo central “” es: S: Area del Sector Circular

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad