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ÁREA DE UN TRIÁNGULO Y DE UN CUADRILÁTERO USANDO EL SENO EJERCICIOS RESUELTOS EN PDF














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1. AREA DE UN TRIANGULO a) Area en términos de dos lados y el ángulo que éstos forman: Sea: S el área del triángulo Sabemos que: S = Pero: ha = bSenC Entonces: S = SenC Análogamente: S= Sen A S= SenB b) Area en términos del semi-perímetro y los lados: Entonces: S = SenC = S = abSen Cos  S = c) Area en términos de los lados y el circunradio (R): Sabemos que: S = S = Ejemplos: • Hallar el área de un triángulo cuyos lados miden 171cm, 204cm y 195 cm. Resolución: Sabemos que: S = Entonces: p = Luego: S= S = S = (57)(5)(9)(3)(2) S = 15390 cm2 • Dos lados de un  miden 42cm y 32cm, el ángulo que forman mide 150º. Calcular el área del triángulo. Resolución: S = a bSenC S= (42)(32)Sen150º= (42)(32) S = 336cm2 • El área de un  ABC es de 90 u2 y los senos de los ángulos A, B y C son proporcionales a los números 5,7 y 8 respectivamente. Hallar el perímetro del triángulo. Resolución: Datos: S = 90 u2 SenA=5n, SenB=7n y SenC=8n Sabemos que: ...(Ley de senos) Entonces: a = 5n, b=7n y c=8n P = 10n  n = 3 Luego el perímetro es igual a 2p 2p=2(10)(3)  2p = 60u • El diámetro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC mide cm y la media geométrica de sus lados es . Calcular el área del triángulo. Resolución: La media geométrica de a,b y es: Del dato: = 2  abc = 728 El radio de la circunferencia Circunscrita mide Entonces: S = 2. CUADRILATEROS 1º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus lados y ángulos opuestos • Sea S el área del cuadrilátero y p su semiperímetro entonces:  es igual a la semisuma de dos de sus ángulos opuestos. 2º Area de un cuadrilátero convexo en términos de sus diagonales y el ángulo comprendido entre estas. • Sea: AC = d1 y BD = d2 Entonces: ...(2) 3º Area de un cuadrilátero inscriptible (cuadrilátero cíclico) S = ...(3) 4º Area de un cuadrilátero circunscriptible. Si un cuadrilátero es circunscriptible se cumple que: a+c=b+d (Teorema de Pitot) entonces el semiperímetro (p) se puede expresar como: p = a+c o p=b+d De éstas igualdades se deduce que: p-a=c, p-c=a, p-b=d y p-d=b Reemplazando en la fórmula (1) se obtiene: S = S = S = S = …(4) No olvidar que  es la suma de dos de sus ángulos o puestos. 5º Area de un cuadrilátero inscriptible y circunscriptible Si un cuadrilátero es circunscriptible ya sabemos que la semisuma de sus ángulos opuestos es igual a 90º y como a la vez es inscriptible aplicamos la fórmula (2) y obtenemos: S = Ejemplos: • Los lados de un cuadrilátero inscriptible miden 23cm, 29cm, 37cm y 41cm. calcular su área. Resolución Sea: a = 23, b=29, c=37 y d=41 entonces p = p = 65 Luego: S = S = S = S = 1008cm2 • Las diagonales de un paralelogramo son 2m y 2n y un ángulo es . Hallar el área del paralelogramo (s), en términos de m, n y . Resolución Recordar que el área del paralelogramo es: S = abSen .....(1) Aplicamos la ley de cosenos: BAD: 4n2 = a2+b2-2ab.Cos ADC: 4m2 = a2+b2-2ab.Cos(180-) Rescatando: 4n2-4m2 = -2ab.Cos-2abCos 4(n2-m2) = -4ab.Cos ab = Reemplazando en (1) S = S = (m2-n2)Tg EJERCICIOS 1. La figura muestra un triángulo ABC cuya área es 60m2, determinar el área de la región sombreada. a) 20m2 b) 15m2 c) 24m2 d) 18m2 e) 12m2 2. En el cuadrilátero ABCD, el área del triángulo AOD es 21m2. Hallar el área del cuadrilátero ABCD. a) 120m2 b) 158m2 c) 140m2 d) 115m2 e) 145m2 3. Del gráfico, si ABC es un Triángulo y AE = BC =3EB. Hallar: Sen . a) b) c) d) e) 4. ABCD es un cuadrilátero y AE = 3EB. Hallar Sen . a) b) c) d) e) 5. En la siguiente figura determinar “Tg ” a) /2 b) /6 c) /4 d) /5 e) /7 6. En el cubo mostrado. Hallar Sen  a) b) c) d) e) 1 7. ABCD es un rectángulo BA=4m, BC = 3m Hallar Tg x. a) 1,57 b) 2,52 c) 4,74 d) 2,12 e) 3,15 8. En un triángulo rectángulo (C= 90º) se traza la bisectriz de “A” que corta a BC en el punto “M”. Luego en el triángulo ACH se traza CN mediana. Hallar el área del triángulo CNM. a) 0,125b2Cos2(0,5A)Sen(0,5A) b) 0,125b2Sec2(0,5A) c) 0,125b2 Sec2(0,5A)CosA d) 0,125b2Sec2(0,5A)SenA e) 0,125b²Cos²(0,5A) 9. Hallar “x” en la figura, en función de “a” y “”. BM: mediana BH: altura a) aSen.Ctg b) aSen.Tg c) aSen.Tg2 d) aSen2.Ctg e) aSen.Ctg2 10. En la figura se tiene que A-C=, AM=MC=a, halle el área de la región triangular ABC a) a²Sen b) a²Cos c) a²Tg d) a²Ctg e) a²Sec 11. En la figura “o” es el centro de la circunferencia cuyo radio mide “r”; determine “x”. a) rCos b) rSen c) rTg d) 2rSen e) 2rCos 12. Determine el “Sen”, si ABCD es un cuadrado