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ANALISIS COMBINATORIO PROBLEMAS CON CLAVES PDF

CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION El análisis combinatorio es la parte de las Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos. FACTORIAL DE UN NÚMERO Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o "" y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. Ejemplos: * * * * * * * * * * Se observa: Entonces: De aquí, obtenemos para n = 1 Luego, definimos convencionalmente: PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO En los ejemplos siguientes, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo, que serán de gran ayuda en estos casos. 1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de "" maneras. Observaciones: * En este principio, la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. Ejemplos: 01. Una persona puede viajar de "A" a "B" de 3 formas y de "B" a "C" de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin retroceder? Resolución: 02. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? Resolución: 03. Ana tiene 3 blusas diferentes y 4 faldas también diferentes, ¿De cuántas maneras se puede vestir Ana? Resolución: 04. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la palabra JESICA? Resolución: 05. ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos: 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9, si cada dígito puede emplearse una sola vez? Resolución: 2. PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de "m + n" maneras. Observaciones: * En este principio, la ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento "A" o el evento "B"; pero no ambos a la vez. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos. Ejemplos: PERMUTACIÓN Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación, sí interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos: 1. PERMUTACIÓN LINEAL : Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elemento : A = {a , b , c , d}, los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son : ab ; ba ; bc ; cb ac ; ca ; bd ; db ad ; da ; cd ; dc Vemos que hay 12 permutaciones distintas. Se puede llegar a la misma respuesta sin tener que escribir todas las ordenaciones posibles, si aplicamos el principio de multiplicación. Del ejemplo anterior, obtenemos las siguientes conclusiones: * El número de permutaciones de 4 elementos tomados de 2 en 2 se denota como * En general: El número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "K" en "K", se calcula como: Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir, K = n), se dice que es una permutación de "n" elementos y se denota por . Ejemplos: 2. PERMUTACIÓN CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en línea cerrada. Ejemplo: * Permutar "A", "B" y "C" en forma circular. NOTA: Para determinar el número de permutaciones circulares de "n" elementos distintos, denotado por, , basta fijar la posición de uno de ellos y los "n - 1" restantes podrán ordenarse de (n - 1)! maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. Luego: Observaciones: * Para diferenciar una permutación circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario. Si se encuentran los elementos en el mismo orden, entonces ambas permutaciones serán iguales y en caso contrario, diferentes. Resolución: * Para el ejemplo anterior: Aparentemente hay 6 ordenamientos, lo cual no es cierto, por que: si hacemos girar al 1º ordenamiento en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 3º; y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 5º; de igual forma si al ordenamiento 2º lo hacemos girar en sentido antihorario obtenemos el ordenamiento 6º; y si lo hacemos girar en sentido horario obtenemos el ordenamiento 4º. De todo este análisis se deduce que los elementos A, B y C sólo se pueden ordenar de 2 maneras diferentes. Pero si fueran más elementos, sería más tedioso mostrar todos los ordenamientos posibles. Esto nos conlleva a utilizar la fórmula antes indicada. Osea: Ejemplos: 3. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos). Si se tienen "n" elementos donde hay: elementos repetidos de una 1ra. clase. elementos repetidos de una 2da. clase. elementos repetidos de una r - ésima clase. El número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue: Donde: Ejemplos: COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos. A través de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relación entre las permutaciones y las combinaciones. Dado el conjunto A = {a, b, c, d}, calcular el número de permutaciones y el número de combinaciones de los elementos de "A" tomados de 3 en 3. Del ejemplo anterior, obtenemos las siguientes conclusiones: * El número de combinaciones de 4 elementos tomados de 3 en 3 se denota por * Cada combinación tiene 6 permutaciones, es decir: En general: El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K", se calcula como: Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinación de "n" elementos y : * * * ENUNCIADO "Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí". 01. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? a) 15 b) 240 c) 60 d) 120 e) 72 02. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? a) 120 b) 60 c) 80 d) 12 e) 720 03. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul? a) 95 b) 80 c) 120 d) 61 e) 91 04. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? a) 11 b) 60 c) 12 d) 42 e) 51 ENUNCIADO "De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes". 05. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? a) 9 b) 20 c) 12 d) 40 e) 625 06. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 b) 380 c) 240 d) 399 e) 401 07. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otros sólo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir? a) 28 b) 74 c) 92 d) 48 e) 120 08. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical? a) 24 b) 120 c) 32 d) 256 e) 64 09. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos? a) 864 b) 1728 c) 688 d) 892 e) 1700 10. El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate? a) 210 b) 230 c) 240 d) 205 e) 180 11. ¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales? a) 6934 b) 6912 c) 6780 d) 6512 e) 6936 12.¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? a) 420 b) 280 c) 288 d) 840 e) 168 13. Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados? a) 120 b) 180 c) 140 d) 130 e) 117 14. Una alumna tiene para vestirse : 4 blusas; 3 pantalones, 2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir convencionalmente? a) 120 b) 60 c) 144 d) 72 e) 288 15. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera 6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en uno de los extremos? a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 72 16. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)? Además, consideremos que las personas del mismo sexo no están juntas. a) 720 b) 360 c) 240 d) 8! e) 144 17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente, vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? a) 1428 b) 1716 c) 1628 d) 1718 e) 1728 18. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos más participan en una carrera, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y éste llegue antes que Juan? a) 6720 b) 4360 c) 1532 d) 1236 e) 1538 19. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B? a) 12 b) 14 c) 16 d) 20 e) 24 20. La Municipalidad de Lima ha ordenado que las mototaxis sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 dígitos). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (Considerar 26 letras del alfabeto). a) b) c) d) e) 21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3? a) 15 b) 120 c) 20 d) 60 e) 80 22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era: a) 12 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16 23. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? a) 530 b) 350 c) 305 d) 450 e) 380 24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"? a) 81 b) 840 c) 120 d) 8 e) 64 25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas? a) 120 b) 16 c) 48 d) 144 e) 72 26. Con las frutas: Plátano, papaya, melón, piña y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? a) 13 b) 10 c) 25 d) 32 e) 31 27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo? a) 24 b) 60 c) 120 d) 240 e) 360 28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera? a) 2520 b) 12000 c) 25200 d) 10! e) 15! 29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y una muje? a) 25600 b) 30000 c) 256 d) 25 e) 625 30. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar? (La bóveda se abrirá cuando los tres discos se combinen de manera correcta). a) 1000 b) 120 c) 999 d) 810 e) 512 31. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se pueden formar?. Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada. a) 10 b) 20 c) 24 d) 40 e) 25 32. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres? a) 200 b) 20 c) 312 d) 212 e) 210 33. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio? a) 20 b) 56 c) 28 d) 14 e) 16 34. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea negativo. a) 60 b) 96 c) 128 d) 160 e) 170 35. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas, ¿de cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos? a) 160 b) 210 c) 128 d) 144 e) 105 36. En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres? a) 560 b) 390 c) 120 d) 140 e) 280 37. Hallar el número de señales que pueden formarse con cinco signos más y menos. a) 25 b) 10 c) 24 d) 32 e) 64 38. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos? a) 108 b) 64 c) 128 d) 72 e) 90 39. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos hubieron? a) 60 b) 435 c) 870 d) 120 e) 205 40. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos). ¿Cuántos partidos más se deberán programar, si llegan 3 equipos más? a) 31 b) 33 c) 9 d) 12 e) 21 41. Seis ladrones se escapan de la policía, y tienen 3 escondites para poder ocultarse. ¿De cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar? a) 729 b) 840 c) 120 d) 720 e) 512 42. Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, ¿de cuántas maneras se pueden escoger cuatro números, de tal manera que su producto sea positivo? a) 140 b) 160 c) 175 d) 180 e) 170 43. Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa? a) 30 b) 20 c) 21 d) 36 e) 24 44. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces. Determinar de cuántas maneras se obtendrá como suma 12. a) 120 b) 60 c) 30 d) 15 e) 10 45. ¿Cuántos números impares de 3 cifras, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? a) 20 b) 56 c) 28 d) 14 e) 36 46. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4? a) 630 b) 306 c) 1080 d) 108 e) 1260 47. ¿Cuántos números mayores que un millón se pueden formar con los dígitos 0; 2; 2; 3; 3; 3 y 4? a) 240 b) 380 c) 360 d) 400 e) 420 48. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas quieren estar juntas? a) 160 b) 72 c) 128 d) 144 e) 64 49. Luis tiene 10 amigos, de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación, si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos? a) 56 b) 64 c) 36 d) 44 e) 128 50. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5000 y no permitiéndose repeticiones de las cifras? a) 138 b) 340 c) 280 d) 454 e) 180 51. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas? a) 490 b) 560 c) 546 d) 480 e) 520 52. En el siguiente cuadrado de 36 casillas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical? a) 32 b) 216 c) 64 d) 432 e) 28 53. ¿Cuántas palabras se pueden hacer con 3 mayúsculas, 5 consonantes y 4 vocales, si cada una debe contener 3 consonantes y 2 vocales y comenzar con mayúscula? a) 20500 b) 21600 c) 23200 d) 21950 e) 20600 54. En la figura, se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados? a) 210 b) 1680 c) 15 d) 56 e) 70 55. Calcular "k" a partir de: a) n b) 2 c) 1 d) n + 1 e) n - 1 56. Con cuatro banderas de diferentes colores se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes se pueden mandar, si no es obligatorio usar todas las banderas? a) 64 b) 40 c) 24 d) 96 e) 16 57. ¿Cuántos números menores que 10000 pueden formarse con los ocho dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7? a) 3255 b) 4175 c) 4095 d) 4950 e) 4195 58. ¿Cuántos números enteros y desiguales mayores que 10 y menores que 100 se pueden formar con las 8 primeras cifras no repitiéndose ninguna de ellas?. (Las cifras deben ser contadas a partir del 1). a) 44 b) 56 c) 24 d) 48 e) 60 59. Hallar "x" en: a) 44 b) 42 c) 41 d) 40 e) 39 60. Se quiere construir un collar con 12 perlas: * 4 azules. * 2 blancas. * 3 rojas. * 1 verde. * 1 amarilla. * 1 marrón. Si éstas 3 últimas deben estar juntas, ¿cuántos collares se pueden confeccionar? a) 8560 b) 7560 c) 5040 d) 40320 e) 8760