Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

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ANALISIS COMBINATORIO EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO PREUNIVERSITARIO EN PDF













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FACTORIAL : (L ó !) El factorial de un número entero y positivo se define como el producto de todos los enteros consecutivos que empiezan con la unidad y termina con el numero dado. Ejemplo 1: 6 = 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720. 4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 EN GENERAL: n = n! = n (n-1) (n-2) (n-3)... (1) * POR CONVENCIÓN: 0 = 0! = 1 Ejemplo 2: 1. Calcular: 2. Hallar (a+b), si: PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (PRINCIPIO FUNDAMENTAL) Si un evento “A” se puede realizar de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras,. entonces los eventos A y B se pueden efectuar simultáneamente o uno seguido del otro, de: “m x n” MANERAS. * Este principio se puede generalizar para mas de 2 sucesos Ejemplo 3: “Teresita” tiene 3 blusas diferentes, 4 faldas de diferentes modelos; de cuántas maneras diferentes se puede vestir. Solución Como cada falda puede ponerse con cada una de las blusas  Maneras de vestirse será 3 x 4 = 12 PRINCIPIO DE ADICION Si un evento “A” ocurre o se puede efectuar de “m” maneras y otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces “A” ó “B”, se puede efectuar de: “m + n” MANERAS. Ejemplo 4 “Katy” desea viajar de Lima a Cajamarca; si dispone de 4 líneas aéreas y 2 líneas terrestres ¿de cuantas maneras diferentes puede realizar el viaje? Solución: Para viajar de Lima a Cajamarca, puede hacerlo por línea aérea (4 maneras) o por línea terrestre (2 maneras). Maneras de viajar: 4 + 2 = 6 VARIACIÓN (v) Es cada uno de los diversos ordenamientos que pueden formarse tomando alguno o todos, de un numero dado de objetos y teniendo en cuenta el orden en que se toman estos. n = número total de elementos r = número de elementos tomados (agrupados) Ejemplo 5: Cuántas variaciones se pueden obtener con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2. Solución * Tener presente que si interesa el orden de colocación de cada elemento, es decir que: ab  ba Entonces, las variaciones serán ab, ac, ad, ae ba, bc, bd, be ca, cb, cd, ce = 20 V da, db, dc, de ea, eb, ec, ed Matemáticamente designaremos la variación para “n” elementos tomados de r en r, por: = n (n-1) (n-2) ... (r factores) 5 x 4 = 20 o también aplicando: Ejemplo 6: En una competencia, en la que participarán 5 atletas, se entregarán medallas de oro, plata y bronce a los 3 primeros en llegar a la meta. Si llegasen, uno a continuación del otro, de cuántas maneras se puede efectuar la premiación?. Solución PERMUTACIÓN (P): Si se toma todos los elementos del conjunto para ordenarlos, la variación recibe el nombre de permutación es decir si: v = n  Ejemplo 7 ¿Cuántas permutaciones se obtienen con los elementos 1,2,3? Solución Al tomar todos los elementos para ordenarlos, tenemos: 123 132 213 231  6 permutaciones 312 321 P3 = 3! = 6 Ejemplo 8 ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 5 personas en una fila? Solución:............................... PERMUTACIÓN CIRCULAR (Pc) Cuando “n” elementos se disponen alrededor de un circulo, el número de permutaciones, si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento, será: Ejemplo 9 ¿De cuántas maneras pueden sentarse 8 personas alrededor de una mesa redonda? Solución: P7 = 7! = 5040 Ejemplo 10: ¿De cuántas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una fogata? Solución: .................................................... PERMUTACIÓN CON REPETICION Si se tiene n elementos donde hay: r1 = elementos de una primera clase r2 = elementos de una segunda clase r3 = elementos de una tercera clase rk = elementos de una k – ésima clase El numero de permutaciones diferentes que se puede formar con ellos es: Donde: r1 + r2 .... + rk < n Ejemplo 11 Cuántas palabras de 5 letras se pueden formar con las letras de la palabra MENEM. Solución En la palabra encontraremos 5 letras de las cuales se repiten las letras E y M, es decir: n = 5; r1 = 2; r2 = 2 Entonces Ejemplo 12: En cuántas formas se pueden ordenar los siguientes cubos: 2 rojos, 3 verdes y 2 azules Solución En total hay 7 cubos para ordenarlos uno a continuación de otro; pero se repiten los colores, por lo que los ordenamientos distintos serán: COMBINACIÓN (C) Es cada uno de todos los ordenamientos que pueden formarse, tomando todos los elementos o grupos de estos, no importando el orden en que se tomen estos. n = Número total de elementos r = Número de elementos tomados (agrupados) Ejemplo 13 Se desean saber cuántas combinaciones se puedan realizar con los elementos a,b,c,d,e tomados de 2 en 2. Solución Tener en cuenta que no interesa el orden de ubicación de los elemento, es decir que: ab = ba, entonces las combinaciones serán: ab ac ad ae bc bd be = 10 cd ce de Ejemplo 14 ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con un grupo de 6 personas? Solución: OBSERVACIONES 1. 2. (C. Complementarias) 3. DIFERENCIA ENTRE COMBINACIONES Y VARIACIONES Las combinaciones se diferencian por sus elementos; en tanto que las variaciones por el orden de los mismos. • Para las variaciones el orden de sus elementos si interesa, ya que no es lo mismo decir 23 que 32. • Para las combinaciones el orden no interesa. • Dos combinaciones son diferentes sólo si difieren por lo menos en un elemento: abc; abd; bcd; acd. PROBLEMAS RESUELTOS 1. Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con 5 dígitos sin que se repita uno de ellos en el número formado Resolución: Aplicando el método de las cajas:    5 4 3  Dígitos posibles de ubicar en cada caja. Nº de maneras = 5 x 4 x 3 = 60 * Aplicando análisis combinatorio: Como si nos interesa el orden: = 60 2. De cuántas maneras distintas pueden sentarse en una banca de 6 asientos 4 personas. Resolución Interesa el orden en que están sentados  maneras = 3. Un estudiante tiene que resolver 10 preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas maneras de escoger las preguntas tiene? Resolución Se tiene que escoger 10 preguntas, sin interesar el orden; entonces: Maneras = 4. De cuántas maneras 2 peruanos, 4 colombianos y 3 paraguayos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? Resolución • Las tres nacionalidades pueden ordenarse en una fila de 3! maneras. • Los dos peruanos pueden sentarse de 2! • Los cuatro colombianos de 4! • Los tres paraguayos de 3!  Hay 3! x 2! x 4! x 3! = 1728 maneras 5. De cuántas maneras pueden escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres. Resolución * De los 7 hombres se puede escoger 3 de maneras * De las 5 mujeres se puede escoger 2 de maneras  El comité puede escogerse de: x = 350 maneras 6. Un total de 120 estrechados de manos se efectuaron al final de una fiesta. Suponiendo que cada uno de los participantes es cortés con cada uno de los demás, cuál es el número de personas presentes? Resolución Del total de personas (n) se saludan de 2 en 2; sin interesar el orden, entonces: EJERCICIOS 1. Señale cuántos números mayores que 800 y menores que 900 pueden formarse con los números 2,3,5,8 y 9. Rpta.: ............ 2. De cuántas formas se puede ubicar 6 niños en una fila, si dos de ellos deben estar siempre juntos. Rpta.: ............ 3. Con 7 consonantes y 4 vocales, cuántas palabras pueden formarse que contengan cada una 3 consonantes y 2 vocales? Rpta.: ............ 4. Con las frutas: piña, manzana, papaya y naranja, cuántos jugos de diferentes sabor se podrá hacer? Rpta.: ............ 5. Se tiene una urna con cinco bolas numeradas, de cuantas maneras se puede extraer por lo menos una bola? Rpta.: ............ 6. La mama de Ruth tiene 2 manzanas y 3 peras. Cada día durante 5 dias seguidos, da a su hijo una fruta. ¿De cuántas maneras puede efectuarse esto? Rpta.: ............ 7. Con 6 colores diferentes, ¿Cuántas banderas tricolor se pueden formar? Rpta.: ............ 8. Un edificio tiene 7 oficinas. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para comunicar dos de dichas oficinas? Rpta.: ............ 9. ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes y que terminan en R se pueden obtener cambiando de lugar las letras de la palabra CANTOR? Rpta.: ............ 10. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 8 camisas diferentes entre 4 personas? Rpta.: ............ 11. De Lima a Trujillo hay 7 buses diferentes. ¿De cuántas maneras se puede ir a Trujillo y regresar en un bus diferente? Rpta.: ............ 12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una terna, siendo 8 los candidatos? Rpta.: ............ 13. Se tienen 4 libros diferentes de Geometría y 3 libros diferentes de Química. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en 7 casilleros, si los de química deben ir juntos? Rpta.: ............ 14. Tres personas llegan a un lugar donde hay 5 hoteles. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en hoteles diferentes? Rpta.: ............ 15. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden obtener con las letras de la palabra COCOROCO, sin importar si tienen o no sentido las palabras? Rpta.: ............ 16. ¿Cuántos números diferentes de 5 cifras cada una, sin que ninguna se repita, se puede formar con las cifras: 1,2,3,4,5,6,7, de tal manera que todos empiecen con 2 y acaben con 1? Rpta.: ............ 17. ¿Cuántas sumas diferentes de 3 sumandos cada una, se pueden obtener con los números: 1, 3, 5, 11, 21, 41? Rpta.: ............ 18. En una biblioteca hay 5 textos de Física, 4 de Química y 5 de Estadística. Se desea sacar 3 textos de Física, 2 de Química y 4 de Estadística. ¿Cuántas selecciones diferentes se pueden hacer? Rpta.: ............ 19. ¿En cuántas formas se pueden ordenar las siguientes fichas: 3 rojas, 2 azules y 2 blancas? Rpta.: ............ 20. Con las cifras 1; 3; 4; 6; 7 y 9. ¿Cuántos números mayores de 5000 y de 4 dígitos no repetidos podemos formar? Rpta.: ............ 21. En una oficina hay 4 escritorios que pueden ser ocupados cada uno hasta por dos personas; si hay 3 secretarias de cuántas maneras pueden sentarse? Rpta.: ............ 22. Si un conjunto tiene 4 elementos cuántos subconjuntos con más de un elemento se puede formar? Rpta.: ............ 23. Se tiene los siguientes libros: - cuatro libros de Matemática; - seis libros de Física y - tres libros de Química; todos los libros pertenecen a diferentes autores. De cuántas maneras se podrán ordenar 6 libros en un estante, si se escogen 3 de Matemáticas, 2 de Física y uno de Química? NOTA: Los libros de un mismo curso deben ir juntos. Rpta.: ............ 24. Un inspector visita 6 máquinas diferentes durante el día. A fin de impedir que los operadores sepan el momento de la visita, varía el orden. ¿De cuántas maneras puede hacer las visitas? Rpta.: ............ ANÁLISIS COMBINATORIO 1. Calcule el valor de ‘x’ en: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN X = 3 RPTA.: C 2. Calcule: A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17 RESOLUCIÓN RPTA.: C 3. Los distritos de Lima y San Isidro están unidas por seis caminos diferentes: San Isidro y Miraflores cuentan con 10 caminos diferentes, y el distrito de Miraflores con San Juan de Lurigancho por 8 caminos diferentes. De cuántas maneras diferentes una persona puede trasladarse de Lima a San Juan de Lurigancho pasando por San Isidro y Miraflores? A) 480 B) 460 C) 440 D) 420 E) 400 RESOLUCIÓN 6 10 8 L SI M SJ  6  8  10 = 480 RPTA.: A 4. ¿De cuántas maneras podrá vestirse una persona que tiene 3 pares de zapatillas, 4 buzos (2 iguales), 5 pares de medias y 6 polos (3 iguales)? A) 360 B) 300 C) 280 D) 220 E) 180 RESOLUCIÓN Zap Buzos Medias Polos 3 x 3 x 5 x 4 = 180 RPTA.: E 5. El aula de selección del centro preuniversitario consta de 12 alumnos a los cuales se les toma un examen. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 3 primeros puestos, si no hay empate? A) 3 B) 1 320 C) 120 D) 256 E) 310 RESOLUCIÓN 12 x 11 x 10 = 1 320 RPTA.: B 6. ¿Cuántas placas diferentes para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? (considerar 26 letras del alfabeto) A) 676.103 B) 936.103 C) 642.103 D) 468.103 E) 234.103 RESOLUCIÓN Letras dígitos RPTA.: D 7. Con 6 hombres y 6 mujeres, de cuantas maneras se puede formar una pareja? A) 12 B) 18 C) 26 D) 32 E) 36 RESOLUCIÓN 6 x 6 = 36 RPTA.: E 8. ¿Cuántos son los números de tres dígitos distintos? A) 899 B) 648 C) 900 D) 810 E) 720 RESOLUCIÓN 10 x 9 x 8 = 720 RPTA.: E 9. El código MORSE usa dos signos: punto y raya (. ; -) y las palabras tienen de 1 a 4 signos ¿Cuántas son las palabras del código MORSE? A) 40 B) 30 C) 36 D) 34 E) 20 RESOLUCIÓN i) 2 ii) 2 x 2 = 4 30 iii) 2 x 2 x 2 = 8 iv) 2 x 2 x 2 x 2 16 RPTA.: B 10. Si un club tiene 4 candidatos para Presidente, 3 candidatos para Secretario y 2 candidatos para Tesorero, ¿de cuántas maneras puede elegirse la mesa directiva? A) 3 B) 7 C) 12 D) 24 E) 32 RESOLUCIÓN P S T 4 x 3 x 2 = 24 RPTA.: D 11. Un examen está formado por tres grupos de preguntas. El grupo A contiene 5 preguntas; el grupo B, contiene 7 y el grupo C, contiene 9. Se va contestar una pregunta de cada grupo, ¿de cuántas maneras diferentes puede un estudiante elegir sus preguntas? A) 270 B) 315 C) 413 D) 21 E) 120 RESOLUCIÓN A B C 5 x 7 x 9 = 315 RPTA.: B 12. ¿De cuántas maneras puede elegirse un comité de cuatro personas en un club de nueve miembros? A) 86 B) 100 C) 120 D) 126 E) 130 RESOLUCIÓN RPTA.: D 13. Calcúlese el número de permutaciones que pueden formarse con las letras: p, q, r, s, t. a) tomados de 4 en 4 b) todos a la vez Dar como respuesta la suma de los resultados. A) 1 080 B) 986 C) 872 D) 760 E) 240 RESOLUCIÓN p ; q ; r ; s; t a) 5 x 4 x 3 x 2 = 120 + b) 5! = 120 240 RPTA.: E 14. Cuántos arreglos diferentes pueden formarse con las letras de la palabra ‘RAPIDEZ’ si tomamos: a) cinco a la vez b) todas a la vez Dar como respuesta la suma de los resultados. A) 7560 B) 7500 C) 7480 D) 7396 E) 7200 RESOLUCIÓN Rapidez a) 7 x 6 x 5 x 4 x 3= 2520 7 560 b) 7! = 5 040 RPTA.: A 15. Veinte corredores compiten en un RALLY para lo cual hay primer, segundo y tercer premio. ¿De cuantas maneras pueden concederse los premios? A) 3280 B) 4900 C) 5248 D) 6030 E) 6840 RESOLUCIÓN 20 x 19 x 18 = 6 840 RPTA.: E 16. Calcule el número de permutaciones que pueden formarse con las letras de la palabra ‘OSHKOSH’, tomadas todas a la vez. A) 630 B) 600 C) 586 D) 500 E) 490 RESOLUCIÓN OSHKOSH RPTA.: A 17. Cuando se lanzó una moneda ocho veces en forma consecutiva, la ‘cara’ apareció tres veces y el ‘sello’ cinco veces en el siguiente orden SCCSCSSS. ¿En cuántos otros ordenes podrían haber aparecido? A) 55 B) 56 C) 57 D) 58 E) 59 RESOLUCIÓN RPTA.: A 18. En un examen formado por diez preguntas pueden omitirse tres de ellas. ¿Cuántas selecciones de siete preguntas por contestar pueden hacerse? A) 100 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 RESOLUCIÓN RPTA.: B 19. La barra de una cafetería tiene 7 asientos en una fila. Si cuatro personas desconocidas entre sí, ocupan lugares al azar. ¿De cuántas maneras diferentes pueden quedar tres asientos desocupados? A) 31 B) 32 C) 33 D) 34 E) 35 RESOLUCIÓN RPTA.: E 20. a) ¿De cuantas maneras se puede asignar una tarea de cinco problemas si se dispone de un grupo de 12 problemas? b) ¿Cuántas veces se incluirá el problema más difícil? Dar como respuesta la suma de ambos resultados. A) 1 122 B) 1 120 C) 1 100 D) 1 900 E) 1 000 RESOLUCIÓN a) b) 1 122 RPTA.: A 21. De cuántas maneras se puede seleccionar un comité de cinco hombres y cuatro mujeres de un grupo de diez hombres y siete mujeres. A) 8 820 B) 8 640 C) 8 528 D) 8 476 E) 1 260 RESOLUCIÓN RPTA.: E 22. Se van ha seleccionar tres soldados de un grupo de 10 voluntarios para una misión peligrosa. ¿De cuántas maneras se podrá formar este equipo? A) 90 B) 100 C) 120 D) 130 E) 140 RESOLUCIÓN RPTA.: C 23. Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos 1; 2; 3; 4 y 5; a) si ninguno se repite. b) si los dígitos pueden repetirse. Dar como respuesta la suma de los resultados. A) 185 B) 180 C) 175 D) 170 E) 165 RESOLUCIÓN a) 5 x 4 x 3 = 60 185 b) 5 x 5 x 5 = 125 RPTA.: A 24. ¿Cuántos arreglos diferentes pueden hacerse con los signos de la siguiente sucesión (+; -; +; -; -; -; +; +; -)? A) 120 B) 126 C) 132 D) 140 E) 144 RESOLUCIÓN RPTA.: B 25. ¿De cuántas maneras distintas se pueden colocar alineadas 8 monedas de las cuales 5 son de 20 céntimos y 3 son de 10 céntimos? A) 40 B) 60 C) 56 D) 72 E) 81 RESOLUCIÓN RPTA.: C 26. Se tiene los siguientes libros: uno de Física, uno de Geometría, uno de Aritmética, uno de Química y uno de Algebra. ¿De cuantas maneras se podrán ordenar los libros si el de Algebra debe estar en el centro? A) 100 B) 120 C) 24 D) 12 E) 720 RESOLUCIÓN  Lugar fijo  4! = 24 RPTA.: C 27. De un grupo de 8 hombres y 7 mujeres, ¿cuántos grupos mixtos de 7 personas se pueden formar sabiendo que en cada grupo hay 4 varones? A) 2350 B) 3450 C) 2450 D) 3630 E) 1500 RESOLUCIÓN RPTA.: C 28. ¿De cuantas maneras diferentes se puede viajar de A hacia B sin retroceder? A) 2 B) 8 C) 33 C) 30 D) 3 E) 2 E) 35 RESOLUCIÓN RPTA.: B 29. Cuántos números pares de 3 cifras diferentes se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5. A) 30 B) 50 C) 24 D) 60 E) 125 RESOLUCIÓN = 24 RPTA.: C 30. ¿Cuántos numerales de 5 dígitos diferentes tienen como sus 2 últimas cifras 2 y 5 en este orden? A) 450 B) 3 600 C) 900 D) 336 E) 1 800 RESOLUCIÓN = 336 RPTA.: D 31. En un grupo de jóvenes hay 8 varones y 6 mujeres. Si se desea elegir un grupo de 5, donde haya 3 mujeres, de cuántas maneras se podrá obtener el grupo? A) 200 B) 280 C) 480 D) 760 E) 560 RESOLUCIÓN RPTA.: E 32. De un grupo de 15 personas, 5 son muchachos, 6 son muchachas y 4 son adultos. Se desea formar un comité de 5 personas. ¿De cuántas maneras se pueden agrupar, si en el comité debe haber 2 adultos, 2 muchachas y 1 muchacho? A) 450 B) 120 C) 600 D) 150 E) 900 RESOLUCIÓN C1 C2 C2 = 5  15  6 = 450 RPTA.: A 33. ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 niños en una fila, de manera que 3 niños en particular queden juntos? A) 120 B) 5040 C) 900 D) 720 E) 840 RESOLUCIÓN * * * * RPTA.: D 34. ¿Cuántos números de 3 cifras utilizan al menos una cifra par o cero en su escritura? A) 850 B) 750 C) 800 D) 625 E) 775 RESOLUCIÓN Todos = 900 - (Impares) = 125 775 RPTA.: E