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ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN ARITMÉTICA EJERCICIOS RESUELTOS DE ARITMÉTICA PREUNIVERSITARIA EN PDF



















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ADICIÓN La adición es una operación binaria, la cual es representada mediante la ayuda del símbolo + y asigna a cada pareja de elementos un tercer número como resultado de la operación. 2 y 3 + 2 + 3 Pareja de Operación Número elementos Asignado como Resultados Si utilizamos el concepto de par ordenado podemos expresar la noción anterior de la siguiente forma. 2 , 3 (+) 2 + 3 Par Ordenado Operación Resultado de adición (Considere el orden) Sin embargo es usual que la expresemos así: 2 + 3 = 5 1º elemento 2º elemento Resultado Operador elemento de la adición Definición: Dados dos números naturales a y b se llama suma de “a” y “b” y se denota (a+b) al número natural S tal que a+b=S. Se llama “adición” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a, b) su suma (a+b). Ejemplo: 1 8 + 5 = 13 Ejemplo: 2 3 + 5 + 11 = 19 Sumandos Suma Ejemplo:3 7 + 8 + 12 = 27 Sumandos Suma Al realizar la operación ADICION de dos o más sumandos se efectúa de la siguiente forma: 475 + 321 89 885 Los sumandos se colocan uno debajo del otro, haciendo coincidir las cifras de menor orden de cada sumando en una misma columna. Para hallar el resultado, se suman los valores de una misma columna de derecha a izquierda, colocando debajo de cada una, la cifra de menor orden del resultado obtenido y las cifras restantes (si hubiera) se suman a la siguiente columna. Leyes Formales 1. Clausura o Cerradura: La suma de dos o más números enteros resulta otro número a, b, c,  ZZ  a + b = C  CZ 2. Asociativa: Dadas ciertas cantidades de sumandos la suma total también resulta al hacer grupos de sumandos. a + b + c = a +(b+c)=(a+b) + c 3. Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma total a + b = b + a 4. Modulativa: Para todo número entero existirá su elemento neutro o módulo de la suma denotada por cero, talque se cumpla que a+0=a 5. Uniformidad: Si se tienen varias igualdades, estas se pueden sumar miembro a miembro resultando otra igualdad a = b c = d a + c = b + d 6. Monotonía: a = b a < b a > b c < d c < d c < d a+c<b+d a+c<b+d a+c?b+d ?No se puede anticipar el resultado puede ser >, < ó = Sumatoria: n  Límite superior de la sumatoria f(i)  función de la variable i=1  Límite inferior de la sumatoria Símbolo Sumatoria (Sigma) Propiedades. Siendo K una constante: 1) 2) 3) Propiedad Telescópica Ejemplo: 1 = 3 (15) = 45. Ejemplo: 2 Ejemplo: 3 = 4(4) + (1+2+3+4) = 16 + 10 =26 Sumas Importantes: 1. Suma de los “n” primeros números naturales 2. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números 3. Suma de los cubos de los “n” primeros números 4. Suma de los números pares 5. Suma de los números impares 6. Suma de los cuadrados de los n primeros números pares. 7. Suma de los productos de 2 números consecutivos 8. S = a + a² + a3... + an = an+1 - 9. Suma de términos en Progresión Aritmética S = t1 + t2 + t3 + .... + tn S = Donde: n = número de términos t1 = primer término tn = ultimo término Ejemplo (1) Calcular el valor de “S” S = 2 + 4 + 6 + .... + 98 Resolución Se tiene que: n = Luego S = Ejemplo (2) Hallar “A” Si A = 1 + 2 + 3 + ... + 10 Resolución Utilizando (1) Suma de los n primeros números A = Rpta. Ejemplo (3) Hallar B Si B = 1² + 2² + 3² + ... + 10² Resolución: Utilizando (2) B = B = Ejemplo 4 Hallar el valor de C Si C = 13+ 23 + 33 + ...+103 Resolución Utilizando (3) C = La Adición en otros Sistemas de Numeración Ejemplo I Halle la suma de: 4357., 1647., 4167 Resolución Los sumandos son colocados en forma vertical para efectuar la operación de acuerdo al orden que ocupa sus cifras. 3 2 1 Orden 4 1 4 3 6 1 5(7) 4(7) 6(7) + Suma ¿ ........................? Orden Procedimiento 1 5 + 4 + 6 = 15 = 2.7 + 1 queda Se lleva 2 3 + 6 + 1 + 2 = 12 = 1.7 + 5 queda Se lleva 3 4 + 1 + 4 + 1 = 10 = 1.7 + 3 queda Se lleva 1 4 3 5(7) + 1 6 4(7) 4 1 6(7) 1 3 5 1(7) Ejemplos para que practiques 1) Efectuar 25368 + 65758 + 7658 2) Dado que a +b + c = 9 Calcule el valor de: S = 3) Sabiendo que: 2143n + 3541n = -6512n Calcule a + b + c + n Suma de Numerales Condicionados Hallar la suma de todos los números pares de 3 cifras que empiezan en cifra impar. Resolución Si el número es de 3 cifras será de la forma donde a toma los valores 1,3,5,7,9 por ser cifras impares (según condición) como los números son pares entonces su cifra terminal es decir C tomará valores pares 0,2,4,6,8 y dado que no hay restricciones para la cifra central tomará todos los valores menores que 10. 1 0 0 3 1 2 5 2 4 7 . 6 . . 9 9 8 5 x 10 x 5 = 250 números Luego para calcular la suma de estos 250 números se procede del siguiente modo. En las unidades: Se divide la cantidad de números entre la cantidad de valores que toma la cifra de unidades y se multiplica por la suma de todos los valores que toma la cifra de sus unidades. En forma análoga se hace para las decenas, centenas etc y luego se aplica una suma abreviada cuyo resultado final será efectivamente la suma de todos estos 250 numerales de esta forma. U : D: C = Suma total: 1000 1125 1250 Rpta.  137250 Ejemplo de Aplicación Hallar la suma de todos los números capicúas de 3 cifras que se pueden formar con las cifras 0,1,3,7,8 y 9. Resolución: Sean los números de la forma: Obs.: a  0 0 1 1 3 3 7 7 8 8 9 9 6 . 5 = 30 números U : D: Suma : 168  U Total : 140  D 168  C Rpta.: 18368 Problemas Tipo 1. Hallar “C” en la siguiente suma a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resolución Ordenando en columna De los millares llevo “1” En las unidades 1 + 2 + a = 8 En las decenas: 4 + 5 + 7 = 16 llevo “1” En las centenas 1+ 7 + 1 + c = .5  el valor de c = 6 Rpta. 2. Hallar la suma de cifras de la siguiente adición 8 + 98 + 998 + ..... 999...98 50 cifras a) 47 b) 48 c) 49 d) 50 e) 51 Resolución Como los sumando son cercanos a potencias de 10 entonces 8 = 101 – 2 98 = 10² - 2 998 = 103 – 2 . . . . . . . . . 999...998 = 1050 – 2 S = 1111....1110–50(2) S = 1111....1010 51 cifras   cifras de S = 49 Rpta. SUSTRACCIÓN Símbolo (-) menos Parámetros M : minuendo S : Sustraendo D : Diferencia Definición. Dados dos números a y b se llama diferencia de a y b y se denota (a-b) al número natural D, si existe a – b = D Se denomina “Sustracción” a la operación que hace corresponder a ciertos pares de números naturales (a,b) su diferencia (a-b). En general se cumple que: 1) M – S = D 2) M + S + D = 2M 3) S + D = M Ejemplo 1 27 – 11 = 16 Ejemplo 2 Diferencia 34 – 18 = 18 Sustraendo Minuendo Observación • Las cantidades que intervienen en una sustracción deben de ser homogéneas. 20 mesas–6 mesas = 14 mesas • Toda sustracción puede ser expresada como una adición 12 – 5 = 7  5 + 7 = 12 • • También definen a la sustracción como la operación aritmética inversa a la adición que consiste en dada dos cantidades minuendo y sustraendo, se debe hallar una tercera que nos indique el exceso de la primera con respecto a la segunda, la cual se llamará “diferencia”. Leyes Formales 1. Clausura. En naturales es restrictiva. En enteros, la diferencia de 2 números enteros es otro número entero. 2. Ley del Inverso Aditivo. Si se tiene un número “a” existirá uno y sólo un número denominado (-a) tal que: a + (-a) = 0 3. Uniformidad. Dadas 2 igualdades estas se podrán restar miembro a miembro, dando como resultado otra igualdad. a = b c = d a-c = b-d 4. Monotonía a = b a < b c < d c = d . a-c > b-d a-c < b-d a > b a < b c < d c < d . a-c > b-d a-c ? b-d ? (El resultado no se puede anticipar pudiendo ser >, <, =) Escolio: Si se restan miembro a miembro desigualdades del mismo sentido, el resultado no puede anticiparse pudiendo ser una desigualdad o una igualdad. Alteraciones del Minuendo y el Sustraendo 1. Si el minuendo aumenta o disminuye una determinada cantidad y el sustraendo no varía, la diferencia queda aumentada o disminuida en la misma cantidad. 2. Si el sustraendo aumenta o disminuye una cantidad cualquiera y el minuendo no varía, la diferencia disminuye en el primer caso y aumenta en el segundo caso dicha cantidad. 3. Si el minuendo y el sustraendo aumentan o disminuyen a la vez una misma cantidad, la diferencia no varía. 4. Si al minuendo se le agrega otra cantidad la diferencia disminuye en la suma de dichas cantidades. Propiedades de la Sustracción 1) Si N = se cumple que - = 9 (a-b) 2) Sea N = , donde a>c Se cumple: donde: m + p = 9 n = 9 a –c = m + 1 Ejm: 341 - 672- 993- 143 276 399 198 396 594 3) Sea N = donde a > d a) Si b c : -  m +n + p + q = 18 b) Si b = c: -  m + q = 9 n = p = 9 Así: 4781 - 7552- 1847 2557 2907 4995 Problemas de Aplicación 1. Sabiendo que: además b + c = 10 Calcular el minuendo Resolución Incógnita: Toda sustracción se convierte en adición De las unidades: a + 5 = Se deduce a = 7 Se lleva 1 En las decenas: 1 + b + 7 = = 10 + c 8 + b = 10 + c  b – c = 2  b = 6 Dato: b + c = 10 c = 4 Luego minuendo: Rpta. La sustracción en otros sistemas de numeración Ejm. 1 Halle la diferencia de los siguientes números 432(5) y 143(5) Resolución Se disponen los términos de manera vertical para trabajar de acuerdo al orden. 3º 2º 1º  orden Minuendo  4 3 2(5) Sustraendo  1 4 3(5) Diferencia  ¿ ..............? Orden Procedimiento 1 Como a “2” no se le puede disminuir “3” lo que se hace es regresar del orden 2 una vez a la base (es decir 5) Luego 5 + 2 – 3 = 4 queda 2 Como se ha regresado una vez la base, quiere decir que en este orden se tiene ahora 3-1 = 2 pero a 2 no le podemos disminuir en 4, luego del orden 3 regresamos una vez la base (es decir 5) 5 + 2 – 4 = 3 queda 3 Aquí se tenía 4 veces la base, pero regresamos al orden anterior luego aquí quedo 4-1 = 3, entonces 3 – 1 = 2 queda Al final se tiene que: 4 3 2(5) - 1 4 3(5) 2 3 4(5) Practicando: Realizar las siguientes sustracciones 6438 - 5326- 7469- 3468 - 2356- 6479- ____ ____ ____ Se llega a la siguiente conclusión:  x + z = y = k -1 Aplicación: 1) Si Calcule a x b x c 2) Si Hallar a – c + m + n 3) Efectuar las siguientes sustracciones 5413 - 7241- 6113- 3145 1427 3116 6524(7) - 4132(5)- 1786(9)- 4526(7) 2314(5) 586(9) Complemento Aritmético (C.A.) Se denomina complemento aritmético de un número natural a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior, a su cifra de mayor orden. Ejemplo: Hallar el C.A. de 24 CA (24) = 10² - 24 = 76 Ejemplo: Hallar el C.A. de 327 CA(327)=1000 – 327 = 673 En general: C.A. (N) = 10k – N Siendo k el número de cifras que tiene N. Método Práctico para calcular el C.A. de los números A partir del menor orden se observa la primera cifra significativa, la cual va a disminuir a la base y las demás cifras disminuyen a la base menos 1. Ejemplo: 9 9 10 CA (7 4 8) = 252 9 9 9 10 CA (5 1 3 6)= 4864 9 9 10 CA (7 0 4 0)= 2960 8 8 9 CA (2 1 89) = 671(9) Excedencia de un número Se denomina excedencia de un número a la diferencia entre el número dado y una unidad de su orden más elevado. Ejemplo: Excedencia de 18= 18-10 = 8 Excedencia de 326 = 326 – 100 = 226 Excedencia de 4753=4753–1000= 3753 En general: Ex(N) = N – 10K-1 Siendo k el número de cifras que tiene N. 1. Si : Halle: A) 270 B) 256 C) 320 D) 245 E) 325 2. Halle : si n + x =16 y A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 19 3. Halle en base 10 el valor de “S” si sus 15 términos forman una progresión aritmética: S = 12(n) + 21(n) + 30(n) + ... + 210(n) A) 637 B) 625 C) 5481 D) 675 E) 645 4. Halle la suma de todos los números de la forma: A) 84440 B) 84480 C) 84840 D) 104480 E) 105480 5. Si: “n” sumandos Halle la siguiente suma: A) 26 615 B) 16 415 C) 161 450 D) 164 150 E) 146 150 6. Efectuar: S = 6 + 66 + 666 + 6666 + ....+ 66...66 “n” cifras A) B) C) D) E) 7. Halle: si: A) 1 B) 6 C) 8 D) 10 E) 4 8. Calcule: si se cumple que: A) 27 B) 13 C) 53 D) 4 E) 25 9. Si: Halle el valor de m. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 10. Calcule el complemento aritmético del número Dar como respuesta la suma de sus cifras. A) 10n+2 B) 15 C) 18 D) 9n-1 E) 10n-9 11. Si N y M son números de 200 y 150 cifras respectivamente, y Halle la suma de cifras del complemento aritmético de M. A) 151 B) 1 C) 50 D) 9 E) 450 12. ¿Cuál es el mayor sistema de numeración en el cual se puede escribir con tres cifras un número entero que en el sistema decimal tiene por complemento aritmético a otro numeral de 3 cifras iguales? A) 26 B) 29 C) 20 D) 19 E) 22 13. Si: es Calcule: (a+b+x+y+z) A) 28 B) 27 C) 24 D) 26 E) 32 14. ¿En que sistema de numeración “n” la suma de todos los números capicúas de 2 cifras es 330 en base “n”? A) 6 B) 4 C) 7 D) 9 E) 8 . 15. Halle la suma mínima de los siguientes números que se encuentran en P.A.: S = De como respuesta la suma de cifras de S. A) 16 B) 18 C) 20 D) 21 E) 22 16. Si: Halle el valor de (a+b+c+d). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 17. Halle la suma: A) 2 895 B) 7 536 C) 12 301 D) 10 321 E) 10 231 18. Halle: “ a+b+c” si: A) 16 B) 17 C) 15 D) 20 E) 18 19. Halle la diferencia de las cifras de un número de 2 cifras; tal que la suma del número con el que resulta de invertir sus cifras, sea igual a la suma de todos los números de 2 cifras hasta el inclusive. A) 0 B)4 C) 2 D) 1 E) 3 20. Halle la suma de los C.A. de todos los números que tienen tres cifras impares. A) 55 6615 B) 55635 C) 45 625 D) 55 525 E) 55 625 21. Se realiza una reunión de Peruanos y Bolivianos para tratar con respecto a la agricultura, son 12 en total, los peruanos son más que los bolivianos, los peruanos llegan y se dan los buenos días mutuamente; los bolivianos lo mismo, pero los peruanos no saludan a los bolivianos y lo mismo los bolivianos, si en total se efectuaron 31 saludos ¿Cuál es la diferencia entre Peruanos y Bolivianos? A) 2 B) 3 C) 1 D) 5 E) 4 22. ¿Cuántos números de la forma existe, tales que: y la suma de los cuadrados de las cifras de segundo y quinto orden es igual a la suma de los cuadrados de las demás cifras? (Las cifras a, b, c, y d forman una progresión aritmética). A) 1 B) 5 C) 6 D) 9 E) 4 23. Halle la suma de cifras de la suma de todos los números de la forma A) 15 B) 14 C) 13 D) 16 E) 17