VARIABLES ALEATORIAS EJERCICIOS RESUELTOS DE BACHILLERATO PDF
CONTENIDOS: • Variables aleatorias discretas: definición. Función de probabilidad. Función de distribución. Media, varianza y desviación típica. • Distribución binomial. • Introducción al concepto de variable aleatoria continua. Distribución normal. Tipificación. Manejo de tablas. A la media también se le llama esperanza matemática. Se llama varianza de una variable aleatoria X, , que toma los valores x1, x2, .....,xn, con probabilidades p1,p2,....pn, respectivamente
Distribución binomial.
Supongamos que un experimento aleatorio tiene las siguientes características:
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados, el suceso A y su contrario.
2. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores.
3. La probabilidad del suceso A es constante y, por tanto, no varía de una prueba a otra.
Todo experimento que tenga estas características, diremos que sigue el modelo de la
distribución binomial.
A la variable aleatoria X, que expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del
experimento, la llamaremos variable aleatoria binomial.
Representaremos por B(n,p) a la variable de la distribución binomial, siendo n y p los parámetros
de dicha distribución.
Ejemplo-
En cada una de las siguientes situaciones, explica si se trata de una distribución binomial. En
caso afirmativo, identifica los valores de n y p:
a) Se ha comprobado que una determinada vacuna produce reacción alérgica en dos de cada
mil individuos. Se ha vacunado a 500 personas y nos interesamos por el número de
reacciones alérgicas.
b) El 35% de una población de 2000 individuos tiene el cabello rubio. Elegimos a diez personas
al azar y estamos interesados en saber cuántas personas rubias hay.
Ejemplo-
Lanzamos un dado siete veces y vamos anotando los resultados. Calcula la probabilidad de
obtener:
a) Algún tres.
b) Más de cinco treses.Distribución de probabilidad continua.
Una distribución de probabilidad es una idealización de una distribución de frecuencias relativas.
En el caso da las variables aleatorias continuas no tiene sentido hablar de la probabilidad en un
punto, por ser siempre 0; en cambio, tiene interés conocer la probabilidad correspondiente a un
intervalo.
Las funciones f(x) asociadas a una variable aleatoria X continua que cumple las condiciones:
1. f(x)≥0 en todo el dominio de la definición.
2. El área encerrada bajo la curva de f(x) es la unidad
se llaman funciones de densidad de la variable aleatoria continua X.
La distribución normal se llama así porque durante mucho tiempo se pensó que ése era el
comportamiento normal de todos los fenómenos.
La función de densidad de una distribución normal tiene una compleja expresión. Leyendo la
gráfica de la función f(x) resulta que:
1. Campo de existencia : toda la recta real.
2. La función es simétrica respecto de la recta x=μ
3. No corta al eje X
4. La función crece hasta x=μ y decrece a partir de x=μ.
5. La función presenta dos puntos de inflexión para los valores x=μ−σ y x=μ+σ
6. El área del recinto determinado bajo la función f(x) y el eje de abscisas es igual a la unidad.
A la vista de la representación de la función de densidad de una variable aleatoria N(μ,σ), es
evidente que para cada valor de μ y de σ tendremos una función de densidad distinta.
Conviene observar que cuando la desviación típica es elevada aumente la dispersión y, en
consecuencia, la gráfica es menos estilizada y más abierta. Por el contrario, para valores de σ muy
pequeños la dispersión disminuye y, en consecuencia, la gráfica de la función es más estilizada y
concentrada en torno a la media. En cualquier caso, el área encerrada bajo cualquiera de las
curvas es igual a la unidad.
De las infinitas distribuciones N(μ,σ), tiene especial interés la distribución N(0,1); es decir, aquella
que tiene por media el valor cero y por desviación típica la unidad. Esta distribución se llama ley
normal estándar, o bien distribución normal reducida.