TRANSFORMACIONES LINEALES PROBLEMAS RESUELTOS PDF

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CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION gráfica de la función en el punto xo, f Xo ; y esta línea recta no es más que una traslación afín de la recta y t' Xo x. Una gran variedad de fenómenos se pueden modelar a través de soluciones de cierto tipo de ecuaciones que exhiben un comportamiento lineal, en el sentido de que la suma de dos soluciones y el producto de un escalar por una solución también son soluciones; dichos fenómenos y sus respectivos modelos son llamados, por antonomasia, lineales también. Con base en la característica de linealidad de estos fenómenos es posible, en general, determinar el comportamiento de los mismos en una forma relativamente sencilla. Así, como las funciones lineales de una variable sirven para aproximar funciones más complicadas, los modelos lineales se pueden utilizar para aproximar fenómenos más complejos. Por sí solos los fenómenos lineales son sumamente interesantes y cubren una gran variedad de importantes aplicaciones.Las funciones lineales de una variable tienen una inmediata extensión a funciones de varias variables y, más aún, a funciones entre espacios vectoriales. En esta sección estudiaremos en un contexto general este tipo de funciones que llamaremos transformaciones lineales. Xo f Xo Las funciones más sencillas (después de las constantes) de una variable con valores reales son las funciones de la forma f x kx; cuya gráfica, para un valor fijo k, es una línea recta con pendiente k que pasa por el origen. La forma simple que tienen estas funciones las hace sumamente importantes para estudiar el comportamiento de funciones más complicadas. Por ejemplo, una función que es derivable en un punto Xo se puede aproximar localmente por medio de la línea recta tangente a la y fx En las primeras secciones de este capítulo estudiaremos cierto tipo de funciones entre espacios vectoriales: las transformaciones lineales. Estas funciones son relativamente muy simples de tratar ya que exhiben un comportamiento que preserva la estructura de las operaciones de espacio vectorial. A pesar de su sencillez, las transformaciones lineales son muy importantes tanto en matemáticas como en física, ingeniería y ciencias sociales. Podríamos afirmar,grosso modo, que independientemente de la gran variedad de sus aplicaciones, mucho del éxito que tienen las funciones lineales entre espacios vectoriales radica en que con frecuencia pueden transformar un problema complejo en uno más simple. En las subsecuentes secciones trataremos el tema no menos importante, y estrechamente relacionado con las transformaciones lineales, de valores y vectores propios. Como antes, la última sección está dedicada a ejercicios resueltos y a ejercicios propuestos al lector. Transformaciones lineales, valores V vectores propios Teorema 5.1 (Espacio de transformaciones lineales) Sean Ey F un par de espacios vectoriales y sea 1 Y2 demuestran que la transformación TI T2es lineal y 3, 4 prueban que kTI es lineal también. Por ende, al adjuntar 5, el subconjunto de transformaciones lineales del espacio E en el espacio F es un subespacio vectorial del espacio de funciones de E en F. Con esto hemos probado el siguiente teorema. 5. Claramente la transformación constante cero, e : E --+ F, e x ~ \:IxE E, es lineal. De esta manera todo punto x,y de la circunferencia S (cfr. figura 5.23(a) se transforma en un punto T x,y u, v de la elipse u2 4 V 1 bosquejada en la figura 5-3(b). Por tanto, la imagen de la circunferencia S, bajo la transformación T, es la elipse T S con ecuación, en el plano u, v, u2 4 v2 1. Naturalmente, es posible utilizar el mismo plano para bosquejar S y su imagen T S (figura 5-3( e). En general, esta aplicación transforma un vector jJ en otro vector T p que sufre una dilatación, en un factor de 2, en la abscisa y que permanece invariante en la ordenada (figura 5-3( d) ..... u,v T x,y 2x,y se tiene u 2x, v y Luego, si x,y E S, Gr v2 x2 l i.e., S es la circunferencia con centro en el .'Teny radio 1. El objetivo es determinar geométricamente en qué se transforma el conjunto S bajo T; e~ 'ir. T S . Para ello podemos bosquejar el plano JR2 y una copia del mismo donde, para mejor comprens, .remos elegido la letra u en el eje de las abscisas y la letra v para el eje de las ordenadas en lugar de x y y, 1)(''tivamente, del plano original, para graficar la imagen de S bajo la transformación T, como se ilustra, la figura 5-3( a) y (b). Entonces, si es inmediato que T es una transformación lineal. Sea 'Recuerde que E; A representa el espacio columna deA (cfr. definición 3.13, pág. 146). • 1. Es evidente. dim E dim F 4. Si dim E dim F n 00, T es suprayectiva BT es inyectiva. 5. Si E tiene dimensión n y T es biyectiva, entonces n 00, T es suprayectiva si y sólo si dim T E dim F. n 00 y T es suprayectiva, entonces dim F :::;n. 2. Si dim E 3. Si dim E l. Tes suprayectiva BT E F. Teorema 5.10 Sean E y F un par de espacios vectoriales y T : E -+ F una transformación lineal. Entonces: El mismo razonamiento del ejemplo precedente válido para cualquier T E E, F donde E tiene dimensión finita y dim F dim E para mostrar que . 'f' ,uede ser inyectiva. Como mencionamos más arriba, para el caso de espac. ., vectoriales y de una transformación lineal entre ellos, hay condiciones sencillas para probar la suprayect, «idad e inyectividad. Lo cual es una contradicción; por tanto es 1. .: vsible que T sea inyectiva .... pues T es inyectiva y por ende Ker T {~}, luego dim Ker T O. Pero T ]R4 ]R3 Yentonces dim T]R4 es a lo más 3. Así dim Ker T ~ Ejemplo 5.25 ¿Es posible construir una transformación lineal T E ]R4,]R3 que sea inyectiva? Supongamos que sí. Por 5.2 del teorema 5.8 tenemos La demostración de este teorema es sencilla y se deja como ejercicio al lector. 5. Si m n, el operador lineal T es inyectivo (por tanto biyectivo) si y sólo si A es invertible. AX 6 m. Nul A, la nulidad de A, la dimensión del espacio solución del sistema 2. dim T ]Rn 3. ií E Ker T Aií 6 m. 4. dim Ker T E; A, esto es, v E T]Rn si y sólo si el sistema Aií v tiene solución. Rang A , el rango de la matriz A. Bií pertenece al espacio nulo de A; esto es, ií es solución del sistema homegéneo Sean T E ]Rn,]Rm y A la representación matricial de T relativa a las bases canánicas de ]Rny]Rm. Entonces: 2 son sendas representaciones matriciales del operador T relativas a estas bases. Sea P la matriz representaciones matriciales de un mismo operador lineal relativas a distintas bases? Para responder esta pregunta supongamos que 1 y 2 son distintas bases del mismo espacio vectorial E y T T Como acabamos de ver, en la nota 5.4, la representación matricial de un operador lineal, relativa a una base ,es la única matriz que satisface (5.9); sin embargo, si se toma otra base 1 del espacio E, también se cumple (5.8) del teorema 5.14 con 1. ¿Cómo están relacionadas entonces las Es decir, la única matriz cuadrada de orden n que satisface (5.9) para todo u E E es la representación matricial, T ,del operador T relativa a la base T A Por e11ema 5.1 se tiene entonces T - A ; esto es, T - A x 5 n \Ix E ]Rn y por tanto T u Tu Au para todo u E E. Entonces Tu Au (5.9) o Nota 5.4 Supongamos que T es un operador lineal en un espacio de dimensión finita E; con T la representación de este operador relativa a una base . Supongamos que A es una matriz cuadrada de orden n tal que Por tanto, 1. Si A es valor propio del operador lineal T, entonces existe u E E - {~} que satisface (5.20); luego, si e E JR - {O} es un escalar, T cü cT u e A~ A cii y, por tanto, cü E E - {~} es vector propio de T correspondiente a A. Así que un valor propio tiene una infinidad de vectores propios correspondientes. 2. Si A es un valor propio de T y u E E es un vector no nulo que satisface (5.20), entonces se dice que u es un vector propio (vector característico, eigenvector, autovector) del operador T correspondiente al valor propio A. Tu (5.20) Definición 5.17 (Valores propios de operadores lineales) Sean E un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) y T : E --+ E un operador lineal. l. Se dice que A E JR es un valor propio (valor característico, eigenvalor, autovalor) de T si existe un vector u E E, con u / ~, tal que De esta manera, el problema de hallar repres, v iones matriciales diagonales de operadores lineales se reduce a encontrar los vectores L.I. y los corres," ,~ientes escalares que satisfacen (5.19). El primer paso para resolver este tipo de problemas es encontrar .: 'res A y vectores correspondientes u tales que T u A". Motivados con este primer objetivo darnos la siguiente definición. donde En ese caso la representación diagonal es Teorema 5.25 Sean E un espacio vectorial de dimensión n y T : E --+ E un operador lineal. Entonces T tiene una representación matricial diagonal si y sólo si existen el, ,enE E, vectores L.I., y un correspondiente conjunto de escalares Al, ,An,tales que Esto es, para que un operador lineal T tenga una representación matricial diagonal es necesario y suficiente que existan n-vectores L.I., el, ,en,y n-escalares Al, ,Anque cumplan la igualdad (5.19). Resumimos lo hasta aquí demostrado en el siguiente teorema. para cada i 1, .n; luego se cumple la igualdad (5.19). Entonces 2. Supongamos que A, son valores propios con un mismo vector propio correspondiente U, entonces AU T u /hU,lo cual implica A - U ~, y por ende A (pues U / ~, cfr. la propiedad 9 del teorema 3.4, pág. 138). Es decir, existe un único valor propio correspondiente a un vector propio dado. 3. Si en la definición 5.17 se permitiera que U ~, entonces todo escalar A sería valor propio de T; pues ~ T ~ A~. El restringir los vectores propios a vectores no nulos es porque se quieren encontrar vectores L.I. que satisfagan (5.20), y si ~ se incluye en esta lista entonces este conjunto se convierte en linealmente dependiente. Otra razón es que se rompe la unicidad de valores propios correspondientes a un vector propio dado que se mostró en el segundo inciso. 4. Aunque los vectores propios no pueden ser nulos, los valores propios sí. Por ejemplo, si T es un operador lineal no inyectivo, entonces T u ~ O . u para todo u E Ker T ; puesto que T no es inyectivo, el núcleo contiene elementos no nulos y así A O es valor propio de T. 5. Es evidente que A es valor propio del operador T si y sólo si Ker T - Al / {~}; es decir, si el operador lineal T - Al es no inyectivo, donde 1es el operador identidad del espacio E (cfr. ejemplo Definición 5.19 (Valorespropios de matrices) Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A E lR es un valorpropio (valor característico, autovalor o eigenvalor) de A si existe u E lRn- {O n} tal que Sea A una matriz cuadrada de orden n y consideremos el operador matricial TA : lRn--+ lRn, TA U Ail. Entonces A es valor propio de TA si y sólo si existe u E lRn- O n tal que Ail AU. De esta manera, la definición 5.17 tiene como caso particular la siguiente definición. Es decir, el espacio propio de un valor propio A es el conjunto de todos los vectores propios correspondientes a A uniendo al mismo el vector neutro aditivo del espacio. se le llama el espacio propio del valor propio A. Definición 5.18 Sean E un espacio vectorial, T : E --+ E un operador lineal y A E lR un valor propio de T. Al subespacio vectorial de E Por lo que si oil j3v / ~, éste es también un vector propio correspondiente al valor propio A. Así, el conjunto de todos los vectores u tales que T u AU es un subespacio vectorial de E (este conjunto también contiene a ~, ya que T O E ~ A~) que contiene a todos los vectores propios correspondientes a A. Hacemos patente este concepto en la siguiente definición. «t u j3T v a AU j3 AV A au j3v T au j3v Sea T : E --+ E un operador lineal y sea A un valor propio de T; si U,v E E son vectores propios correspondientes a A y a,j3 E lR, entonces pues Ak / O.Luego T no tiene valores propios. ti' Ak Af O con k ±é / O. Sin embargo, la función f x ke" x no satisface el requerimiento (5.21): que al tomar exponencial en ambos lados produce Ynuevamente, dado quep- ... 1'" 1 es invertible y 11IOn, P- 11IOn y, por tanto es valor propio de B. • Puesto que u I (}n y P es una matriz invertible, se tiene que Pü I (}n; por tanto, A es valor propio de B. Sea un valor propio de By 11E ]Rn - {(} n} un vector propio correspondiente. Entonces B ru P Au A Pu • Sean A un valor propio de la matriz A, u E W - {(} n} un vector propio correspondiente, y Puna matriz cuadrada de orden n tal que A p-1BP. Entonces Teorema 5.26 Sean A,B matrices cuadradas de orden n que son similares. Entonces A y B tienen los mismos valorespropios. Es decir, el conjunto de vectores propios correspondientes al valor propio 4 son todos los vectores de la forma r 1,1 con r I Oy el espacio propio es E4 gn 1,1 . ti' I~I' rlO Luego [ -2 2 ] 3 -3 [6 -6] I2 -~ 2 ] I ~ 1-4 Resolvamos entonces este sistema: A-4h u (} 2 que equivalen a las soluciones no triviales del sistema homogéneo Au 4u Los vectores propios de A, correspondientes a este valor propio, son las soluciones no triviales del sistema ~ Ejemplo 5.46 SeaA la matriz del ejemplo precedente. Encontrar los vectores propios correspondientes al valor propio 4 y E4 (el espacio propio del valor propio 4).... Así, 4 es valor propio de A.... Ejemplo 5.45 Si A [; 7] , ã ã ã ò ͱ´«½· l±² ã ø ÷ ã Î ò ã ò ã ã ã ã ò ø ÷ ã ã øø ÷÷ ÜÛÓÑÍÌÎßÝ×ÑlÒ Î ã ø ÷ ã ø ÷ ã ø ÷ ã ø ÷ ò ã Î ã Î k Î ø ÷ ã ø ÷ ã ø ÷ ã kø ÷ ã Î ã Î k www.Matematica1.com Cfr. teorema 5.12, página 436. Cfr. teorema 5.12, página 436. y por ende es valor propio de T. • T u jJu lo cual implica T u T 11 T v jJV u jJl1 que es un valor propio de la matriz T , con un vector propio correspondiente v ]Rn- {(} n}. Sea U VI el vnen, entonces 11E E- {~} y y dado que u / ~ =} u / (} n , se tiene que A es valor propio de la matriz T . Ahora supongamos T Luego Tu T entonces T u AU. Por tanto, • Supongamos que A es un valor propio de T con u E E- {~} un vector propio correspondiente, Teorema 5.27 Sean E un espacio vectorial de dimensión finita n y T : E --+ E un operador lineal. Si T es cualquier representación matricial de T relativa a una base {el, ,en}' entonces el operador T y la matriz T tienen los mismos valores propios. ¿Cuál es entonces la relación entre los valores propios de un operador lineal y los valores propios de cualquiera de sus representaciones matriciales? Seguramente el lector ya sabe cuál es la respuesta; pero para hacerla patente la probamos en la siguiente proposición. Corolario 5.1 Si E es un espacio de dimensión finita y T : E --+ E es un operador lineal, entonces todas las representaciones matriciales de T tienen los mismos valores propios. Ya que en un espacio vectorial de dimensión finita cualquier par de representaciones matriciales de un operador lineal son similares, el teorema precedente tiene como consecuencia inmediata el siguiente corolario. Å ÃÞ Þ ã ò ò ò Å ÃÞ ÜÛÓÑÍÌÎßÝ×ÑlÒ ø ÷ ã Å ÃÞ ã Å ø ÷ÃÞ ã Å ÃÞÅ ÃÞò Å ÃÞÅ ÃÞ ã Å ÃÞ îî ã Å ÃÞ ã Î Å ÃÞ k Å ÃÞ ã ø ò ò ò ÷ Î ã õ õ îí Å ø ÷ÃÞ ã Å ÃÞÅ ÃÞ ã Å ÃÞ ã ã kÅ ÃÞ ã Å ÃÞ ø ÷ ã k îî îí www.Matematica1.com Encontrar sus valores propios y los vectores propios correspondientes ..... ~ Ejemplo 5.47 Sea son los vectores propios correspondientes a A. A-AIn X (} n (5.22) son los valores propios de A. 2. Y si A E ]R es un valor propio de A, las soluciones no triviales del sistema homogéneo det A-AIn O l. Las soluciones reales de la ecuación Teorema 5.28 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Ento..res Así, los vectores propios correspondientes a A SOL .• luciones no triviales de este sistema homogéneo. Hemos probado así el siguiente resultado. debe existir una solución no trivial, .ema homogéneo donde In es la matriz identidaa '~orr' '11 n. Ahora, si A E ]R es un valor propio de la matriz A, entonces {o} det A - AIn O A es valor propio deA {o} existe u E]Rn - {Q n} tal queAu A~ {o} el sistema homogéneo A - AIn X (} n tiene soluciones no triviales En el ejemplo 5.46 vimos cómo calcular los valores propios de una matriz cuadrada resolviendo un sistema homogéneo. Ésta es la idea general para calcular valores y vectores propios de una matriz cuadrada. Sea A una matriz cuadrada de orden n; dado que un sistema cuadrado homogéneo tiene soluciones no triviales si y sólo si la matriz de coeficientes del mismo tiene determinante cero, tenemos: T : E ---+ E es un operador lineal y E tiene dimensión finita, los valores propios de T son los valores propios de cualquier representación matricial del mismo. Por tanto, el problema de hallar los valores propios de un operador lineal definido en un espacio de dimensión finita se reduce a encontrar los valores propios de una matriz (de una representación matricial cualquiera del mismo). Esta es una enorme ventaja, pues podemos aprovechar toda la herramienta matricial que hemos desarrollado a lo largo de este libro para este fin. Por esta razón es que será suficiente restringir nuestro estudio de encontrar valores propios al caso de matrices cuadradas de orden n. ~ Ejemplo 5.63 Sea A E n una mal. =nétrica con componentes reales, entonces T,1, con T,1 u Au \fu E

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