SISTEMAS DE LOGARITMOS VULGARES O DECIMALES , NATURALES O NEPERIANOS PROBLEMAS RESUELTOS

sistema de logaritmos Se llama ‘‘Sistema de logaritmo de base b’’ al conjunto de todos los logaritmos de los números reales positivos en una base b ; por ejemplo , el conjunto formado por todos los logaritmo de base 2 de los números reales positivos es el sistema de logaritmo en la base 2. Entre la infinidad de valores que puede asumir la base y , por tanto , existen la infinidad de sistemas de logaritmos. Sólo dos de los infinitos sistemas que existen, son los de mayor aplicación matemática en diferentes campos profesionales: los logaritmos decimales y los logaritmos naturales. Se aplican por ejemplo en Economía, Estadística, Administración, Ingeniería, etc. I) sistema decimal o de briggs : Es aquel sistema de logaritmos en la cual la base es 10 . Notación : Se lee : Logaritmo de ‘‘N’’ El sistema de los logaritmos decimales es el más utilizado, sobre todo en múltiples cálculos aritméticos, y tiene como base a 10. Para el cálculo de los logaritmos en éste sistema se ha elaborado, desde hace mucho tiempo atrás, diferentes TABLAS LOGARÍTMICAS; las primeras con cuatro cifras decimales de aproximación y las últimas hasta con ocho cifras. En la actualidad, éstas tablas logarítmicas han sido desplazadas y ampliamente aventajadas por las calculadoras electrónicas y computadoras personales; donde es posible calcular el logaritmo decimal de cualquier número positivo y con una cantidad deseada de cifras decimales de aproximación. Log2 = 0,301030........... Log3 = 0,477125........... Log5 = 1–Log2=0,698969........... Log7 = 0,845098........... ejemplo : En general : teorema : Sea N > 1 ; el número de cifras en su parte entera viene dado por : ejemplo : Halle el número de cifras de N = 250 × 320 siendo : Log 2 = 0,30103 ; Log 3 = 0,47712 resolución : II)sistema hiperbólico o neperiano : Este sistema es de mucha importancia en el análisis matemático, puesto que su base (el número e) se obtiene como resultado del cálculo del límite de una función: donde el desarrollo de la función, aplicando el binomio de Newton en el caso general, es: en el límite cuando , resulta : Luego : Para el cálculo de logaritmos naturales también se han elaborado tablas logarítmicas de este sistema; pero con ciertas limitaciones, dado que no es posible emplear criterios similares a aquellos de los logaritmos decimales. Pero, conociendo el logaritmo decimal de un cierto número N, se puede calcular el logaritmo natural del mismo número. Notación: * Ln 1 =0 * eLne=x ; x>0 * Ln e =1 * * Lnen =n * * Ln42 = Ln(7×6)=Ln7 + Ln6 Dentro de éste sistema, hay que tener en cuenta dos valores «notables», que son: SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS Se denomina sistema de logaritmos neperianos, naturales o hiperbólicos, al sistema que tiene como base el número trascendente “e” definido así: n e = lim (1 + –1– ) = 2,718281… n → ∞ n o: 1 –– e = lim (1 + α) α = 2,718281… α → 0 Este sistema viene definido por las expresiones siguientes: decreciente : : … (1 + α)-n :… :(1 + α)-1 creciente : 1 : (1 + α) : (1 +α)2 :… : (1 + α)n : … . -nα … -2α . -α . 0 . α . 2α . 3α … nα… decreciente creciente donde al ser infinitamente pequeño, real y positivo; la primera progresión contiene todos los números y en la segunda están sus logaritmos. CÁLCULO DE “e”.- Por definición: 1 –– e = lim (1 + α) α α → 0 desarrollando por Binomio de Newton: 1 1 –– 1 –– - 1 e = lim [(1)α + (––)(1) α (α) + … α 1 1 (–α–)(–α– - 1) –1– - 2 + ––––––––––– (1) α (α)2 + … 2 (–1–)(–1– -1)(–1– - 2) (–1– - k + 1) α α α … α + –––––––––––––––––––––––––––––– k 1 –– - 2 (1) α (α)k + …] estableciendo el límite: e + (1) + (1) + –1– + –1– + –1– + … 2 3 4 e = 2 + –1– + –1– + –1– +… 2 3 4 e = 2,718281 … El logaritmo de un número “N” en base “e” se representa por: SISTEMA DE LOGARITMOS DECIMALES, VULGARES O DE BRIGGS Son logaritmos de base 10 definidos por las progresiones: : : … 10- n… : 10-3 : 10-2 : 10-1 : 1 : 10 : : 102 : 103 : … 10n : … :… -n :… -3 .- 2 . -1 . -0 . 1 . 2 . 3 … n … Este sistema de logaritmos es el que generalmente se emplea en el cálculo numérico por coincidir su base con la del sistema de numeración decimal. PROPIEDADES DEL SISTEMA DE LOGARITMOS VULGARES 1º Los logaritmos de los números mayores que 1 son positivos y los logaritmos de los números menores que 1 son negativos. 2º Los logaritmos de potencias de 10, son iguales al exponente de dicha potencia. 3º El logaritmo de un número comprendido entre dos potencias consecutivas de 10 son decimales; por ejemplo el logaritmo de un número comprendido entre 102 y 103 está comprendido entre 2 y 3, la parte entera se llama CARACTERISTICA y la parte decimal se llama MANTISA. Ejemplos: En las Tablas de Logaritmos: log 545 = 2,736397 (este es un número comprendido entre 102 y 103), donde la característica es 2 y la mantisa es igual a : 0,736397 4º La característica del logaritmo vulgar de un número mayor o igual que uno, es positiva e igual al número de cifras que hay en la parte entera, menos una unidad. Ejemplos: i) 5 es un número de una cifra entera, luego: log 5 tiene como característica 0. ii) 27,95 es un número que tiene 2 cifras enteras, luego: log 27,95 tiene como característica 1. iii) 457,383 es un número que tiene 3 cifras enteras, luego: log 457,383 tiene como característica 2. 5º La característica del logaritmo decimal de un número menor que la unidad es negativa, o igual al número de ceros que preceden a la primera cifra significativa, considerando incluso el cero de los enteros. Ejemplos: i) log 0,7 tiene como característica -1. ii) log 0,0041 tiene como característica -3. 6º Si se multiplica o divide un número por la unidad seguida de ceros, no altera la mantisa de su logaritmo; pero la característica aumenta o disminuye respectivamente de tantas unidades como ceros acompañan a la unidad. Ejemplo: los logaritmos de los números: 0,000453 ; 0,00453 ; 0,0453 ; 0,453 ; 4,53 tienen diferentes características pero la misma mantisa. CÁLCULO DE LA MANTISA.- El cálculo de la mantisa del logaritmo de un número se lleva a cabo mediante el uso de la Tabla de Logaritmos. TRANSFORMAR UN LOGARITMO TOTALMENTE NEGATIVO EN OTRO PARCIALMENTE NEGATIVO Y VICEVERSA 1) Para transformar un logaritmo totalmente negativo en otro parcialmente negativo, se suma “-1” a la característica, “+1” a la mantisa. Ejemplo: Se procede así: colog 75 = -log 75 = -2,875061 = -(2 + 0,8755061) = -2- 0,875061 + 1 - 1 = (-2 - 1) + (1 - 0,875061) ordenando: = -3 + 0,124939 – colog 75 = 3,124939 2) Para transformar un logaritmo parcialmente negativo en otro totalmente negativo, se suma y resta “1”. Ejemplo: Se procede así: – log 0.071 = 2,851258 = -2 + 0,851258 + 1 - 1 = (-2 + 1) - (1- 0,851258) = -1- 0,148742 = -1,148742 CÁLCULO LOGARITMICO SUMA DE LOGARITMOS Para sumar logaritmos de característica positiva, se suma como si fueran números decimales cualquiera; los logaritmos con característica negativa se suma teniendo en cuenta el signo de la característica y las mantisas se suma como cualquier número decimal. Ejemplos: – i) 0,17096 + ii) 2,43128 + – 1,23047 4,26081 – 3,73919 2,43128 ––––––––– –––––––––– 5,14062 7,12337 RESTA DE LOGARITMOS Para restar logaritmos se efectúa la mantisa como si se tratara de decimales cualesquiera, pero teniendo en cuenta el signo de la característica cuando se restan éstas. Ejemplos: i) 4,17096 - ii) 2,56937 - – 1,23047 3,33646 ––––––––– ––––––––– 2,94049 5,23291 PRODUCTO DE LOGARITMOS Para hallar el producto de un logaritmo por un número entero, se efectúa como el producto de un número decimal por otro, pero teniendo en cuenta el signo de la característica. Ejemplos: –– i) 2,45234 x ii) 16,34783 x 2 3 ––––––––– ––––––––– 4,90468 47,04349 Si el número es negativo todo el producto es negativo, luego el resultado se transforma en característica negativa y mantisa positiva. Ejemplos: – i) 2,56937 x ii) 2,33646 . (-3) -2 ––––––––– -5,13874 Por partes: (-2)(-3) = 6 (1) (0,33646)(-3) = -1,00938 – (0,33646)(-3) = 2,99062 (2) Sumando (1) con (2) se obtiene: – 2,33646 . (-3) = 4,99062 MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE LOGARITMOS ENTRE SI Si los logaritmos que han de multiplicarse o dividirse son positivos, se procede lo mismo que en Aritmética. Si uno de los dos logaritmos es parcialmente negativo; ésto es, si tienen característica negativa y mantisa positiva, se transforma en su equivalente totalmente negativo antes de efectuar la operación. Ejemplos: – – i) Efectuar: ( 3,33646)( 2,56937) Solución: Transformando a negativo: = (-2,66354)(-1,43063) = + 3,81054 ii) Dividir: –1–6–, –3–4–7–8–3– 2, 64048 Solución: Transformando a negativo: - 15,65217 –––––––––– = -5,92777 2,64048 CONVERSIÓN DE LOGARITMOS DECIMALES A LOGARITMOS NEPERIANOS Utilizando la fórmula del cambio de base: log10 N logeN = ––––––– = 2,3026 log10N loge N Luego: logeN = 2,3026 log10N Ejemplo: Hallar el logaritmo neperiano de 1 000. log 1 000 = 2,3026 log 1 000 = 2,3026 . 3 = 6,9078 CONVERSIÓN DE LOGARITMOS NEPERIANOS A LOGARITMOS DECIMALES Por fórmula: logeN 1n M log N = –––––– = ––––––– = 0,343 1n N loge 10 2,3026 ∴ log N = 0,4343 1n N Ejemplo: Hallar el logaritmo decimal de 16 si: 1n 4 = 1,36863 log 16 = 0,4343 1n 16 = 0,4343 1n 42 = 2(0,4343) 1n 4 = 2(0,4343)(1,36863) log 16 = 1,20412 EJERCICIOS RESUELTOS 1.- Calcular: _______ E = log 4 √ 781,25 si log 2 = 0,301030 Solución: Transformando la expresión E : 4 ––––––––––––– E = log √–7–8–1–,2–5– –.– 1–0–0–– 100 4 ––––––– E = log √–7–8–1–2–5– = –1– log (–7–8–1–2–5– ) 100 4 100 1 1 E = –– (log 78 125 - log 100) = –– (log 57 - 2) 4 4 E = –1– (7 log 5 - 2) = –1– (7 log –1–0– - 2) 4 4 2 E = –1– [7(log 10- log2) - 2] = –1– [7(1 - log 2) - 2] 4 4 E = –1– (7 - 7 log2 - 2) = –1– (5 - 7 log 2) 4 4 E = –1– [5 - 7(0,301030)] = –1– (5 - 2,10721) 2 2 E = 0,7231975 2.- Hallar el número de cifras que tiene el siguiente producto: E = 540 . 280 si log2 = 0,30103 Solución: Tomando logaritmos vulgares a ambos miembros, resulta: log E = 40 log 5 + 80 log 2

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