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RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS
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  • RELACIONES METRICAS EN TRIANGULOS RECTANGULOS La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 17, el producto de la hipotenusa por la altura relativa a la hipotenusa es 60. Calcular la hipotenusa. A) 12 B) 20 C) 13 D) 15 E) 18 Las bases de un trapecio isósceles miden 30 cm y 48 cm respectivamente. Cada lado no paralelo mide 15 cm. ¿Cuánto mide la distancia entre las bases? Los catetos de un triángulo rectángulo miden (x) y (3x + 3); la hipotenusa mide (4x - 3). Calcular la longitud de la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa. Si dos circunferencias son tangentes exteriores, la longitud de una de las tangentes comunes exteriores es igual al duplo de la media geométrica de los radios de las dos circunferencias. RELACIONES MÉTRICAS
    RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS GEOMETRÍA I. PROYECCIONES Proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada del punto a la recta. Asi la proyección ortogonal del punto "P" sobre la recta L es el punto P'. La perpendicular PP ' se llama proyectante. Si el punto pertenece a la recta su proyección sobre ella es el mismo punto. Asi la proyección de "Q" sobre L es Q'. La proyección de un segmento sobre una recta es el conjunto de todos lo puntos de la recta que son proyecciones de los puntos del segmento sobre la recta. II. SEMEJANZAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Teorema En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triángulo en dos triángulos semejantes entre sí y también semejantes al triángulo dado.  AHB  BHC  ABC III. RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO A. Teorema del cálculo del cateto El cuadrado de la longitud de cada cateto es media proporcional entre su proyección sobre la hipotenusa y la longitud dicha la hipotenusa. De la figura: ABC ~ BDC a m b a  Efectuando: a2 = b.m Análogamente: c2 = b.n B. Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. Del teorema anterior: • a2 = (b.m) • c2 = (b.n) DESARROLLO DEL TEMA Sumar: a2 + c2 =   b bmn Luego: a2 + c2 = b.b a2 + c2 = b2 C. Teorema del cálculo de la altura La longitud de la altura relativa a la hipotenusa en medio proporcional entre las longitudes de los segmentos que determina dicha altura sobre la hipotenusa. ° ° ° ° h A m D n C B De la figura: ADB ~ BDC h m n h  Luego: (h)2 = (m.n) D. Teorema del producto de catetos El producto de las longitudes de los catetos es igual al producto de las longitudes de la altura relativa a la hipotenusa y la hipotenusa. A D b C c a B h ° ° ° De la figura: ADB ~ ABC h c a b  Luego: (a.c) = (b.h) E. Teorema de un triángulo rectángulo La inversa del cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las inversas de las longitudes de los catetos. A D C b c a B n m h Se cumple que: b2 = a2 + c2 ............ (1) b.h = a.c ................ (2) (1) y (2)2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a c b h a c a c   2 2 2 1 1 1 h c a   IV. PROPIEDADES 1.  x2  a.m 2.  x2  m.n 3. Si: P, Q y T son puntos de tangencia.  x  2 R.r 4. Si: P y Q son puntos de tangencia.  PQ  MN 5.  a2  b2  m2  n2 6. Para todo cuadrilátero de diagonales perpendiculares.  (AB)2  (CD)2  (BC)2  (AD)2 RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA I. TEOREMA DE LAS CUERDAS En una circunferencia si se trazan dos cuerdas secantes, el producto de las longitudes de los segmentos determinados en la primera cuerda es igual al producto de las longitudes de los segmentos determinados en la segunda cuerda. Se trazan las cuerdas AB y CD en la circunferencia que se intersecan en E. AED ~ CEB AE DE CE BE  Luego: (AE)(BE) = (CE)(DE) II. TEOREMA DE LA SECANTE Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan rectas secantes, se cumple que el producto de las longitudes de la secante entera por su parte externa es constante. Trazamos AC y BD por lo tanto el cuadrilátero ABCD está inscrito entonces: BPD ~ CPA PD PB PA PC  Luego: (PA)(PB) = (PC)(PD) III. TEOREMA DE LA TANGENTE Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una recta tangente y una secante, se cumple que la longitud del segmento tangente es media proporcional con las longitudes de la secante y su parte externa. Trazamos AT y BT por lo tanto: PBT ~ PTA PB PT PT PA  Luego: (PT)2 = (PA)(PB) DESARROLLO DEL TEMA Problema 1 Los radios de dos circunferencias tangentes externas están en la relación de uno a tres. Las tangentes comunes exteriores miden 4 3 u y se cortan en E. Calcula la distancia entre el centro de la mayor y E. A) 12 m B) 10 m C) 11 m D) 15 m E) 20 m Resolución: Se pide calcular OE AB =2 3r  r r = 2 m. Unimos los centros con E. Se observa que OO2= 4r; OH = 2r  mOO2H 30  mOEA 30 = = y ya que r = 2 u; OA = 6 u En el OAE: OE = 12 m Respuesta: A) 12 m Problema 2 Según el gráfico AO = OB = R. Hallar "x". Nivel intermedio A) R 4 B) R 2 2 C) 4R 9 D) R 3 E) R 5 Resolución: Piden: Se une los centros de las tres circunferencias: M; T y N son colineales. O; M y S son colineales. Luego: MON (T, Herón) x 2 R(x) R xR  R 2 2 2   x 4R 9   Respuesta: C) 4R 9 Problema 3 Según el gráfico, OA = PQ = 12 y OP = 4, hallar FT (F, T y Q son puntos de tangencia). Nivel difícil A) 2 6 B) 2 4 C) 6 D) 3 6 E) 4 2 Resolución: Piden FT = x Se observa: OSE: (T. Pitágoras) (a + 12)2 = (a + 4)2 + 122 a = 1 Por T. tangente: (FE)2 = (24 + a)(a) FE = 5 Luego en FTE: x2 + a2 = 52 x2 + 1 = 25 x  2 6 Respuesta: A) 2 6 problemas resueltos RELACIONES MÉTRICAS EN LOS TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS GEOMETRÍA I. TEOREMA DE EUCLIDES A. Primer caso del ángulo agudo El cuadrado del lado que se opone a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de uno de ellos con la proyección del otro sobre este. Tesis: BC2  AB2  AC2  2AC  AH Demostración: Por Pitágoras BH2 = BC2 – HC2 .................. (1) BH2 = BA2 – HA2 ................ (2) De (1) y (2): BC2 – (AC – AH)2 = BA2 – HA2 BC2 – AC2 + 2AC . AH – AH2 = AB2 – AH2  BC2 = AB2 + AC2 – 2AC . AH B. Segundo caso del ángulo obtuso El cuadrado del lado que se opone a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos más el doble producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Tesis: BC2  AB2  AC2  2AC  AH Demostración: Por Pitágoras BH2 = BC2 – HC2 ......... (1) BH2 = BA2 – HA2 ......... (2) De (1) y (2): BC2 – (AC +AH)2 = BA2 – HA2  BC2 = AB2 + AC2 + 2AC . AH II. TEOREMA DE LA MEDIANA En todo triángulo la suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa al tercer lado más la mitad del cuadrado de este lado. DESARROLLO DEL TEMA Tesis: 2 AB2 BC2 2BM2 AC 2    Demostración: Por teo. Euclides en: ABM: AB2 = BM2 + AM2 – 2AM . MH ......(1) BMC: BC2 = BM2 + MC2 + 2 MC . MH ......(2) (1) más (2): AB2  BC2  2BM2  AM2 MC2  2MH(MC  AM) como AM = MC = AC 2 2 2 2 2 AC AB BC 2BM 2     III. TEOREMA DE LA PROYECCIÓN DE LA MEDIANA En todo triángulo la diferencia de los cuadrados de dos lados es igual al doble del tercer lado multiplicado por la proyección de la mediana relativa a éste. Tesis: BC2  AB2  2AC HM Demostración: De la demostración anterior (2) menos (1). BC2 – AB2 = MC2 – AM2 + 2MH (AM + MC)  BC2  AB2  2AC MH IV. TEOREMA DE HERÓN O DE LA ALTURA En cualquier triángulo una altura es igual al doble de la inversa del lado al cual es relativa por la raíz cuadrada del producto del semiperímetro por las diferencias de éste con cada uno de los lados. Tesis: BH 2 1 p(p AB)(p BC)(p AC) AC     Siendo: P AB BC AC 2    Demostración: En el triángulo BHC: BH2 = BC2 – HC2 ............ (1) En el triángulo ABC:  AB2 BC2  AC2 2AC HC .........(2) De (2): BC2 AC2 AB2 HC .... (3) 2 AC    (3) en (1):   2 2 2 2 2 2 2 2BC AC BC AC AB BH 4AC        Por diferencia de cuadrados: 2 2 2 2 2 2 2 BH 2BC.AC BC AC AB 2BC.AC. AC AB BC 4AC            Por binomio cuadrado:  2 2 2  2 2 2 AC BC AB AB AC BC BH 4AC            Por diferencia de cuadrados: 2         2 BH AC BC AB AC BC AB AB AC BC AB BC AC 4AC          como P AC BC AB 2    Reemplazando y extrayéndole la raíz cuadrada: 2 BH 2p 2(p AB) 2(p BC) 2(p AC) 4AC        BH 2 1 p(p AC) (p BC) (p AC) AC       V. TEOREMA DE STEWART O DE LA CEVIANA El cuadrado de una ceviana multiplicada por el lado al cual es relativa es igual a la suma del cuadrado de uno de los otros lados por el segmento opuesto que determina la ceviana sobre el primer lado más el cuadrado del tercer lado por el otro segmento menos el producto del lado al cual es relativa la ceviana con los segmentos que determina sobre él. Tesis: AD2  BC  AB2 DC  AC2 BD  BC BD DC Demostración: Si AE altura y por Euclides: AB2 = AD2 + BD2 + 2BD . DE ......... (1) AC2 = AD2 + DC2 – 2DC . DE .......... (2) Multiplicando (1) por DC y (2) por BD y sumándolos. AB2 . DC + AC2 . BD = AD2(DC + BD) + BD . DC (BD + DC)  AD2.BC AB2 . DC  AC2 . BD BC.BD.DC problemas resueltos
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