RELACIONES EJERCICIOS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

Producto cartesiano, Relaciones,Propiedades de las relaciones binarias, Relación de equivalencia ,Conjunto cociente, Relaciones de orden , Propiedades de los conjuntos,EJERCICIOS RESUELTOS RELACIONES 1. Producto cartesiano Vamos a definir un conjunto cuyos elementos se caracterizan por estar formados por pares de elementos pertenecientes a otros dos conjuntos dados. Para ayudarnos partimos del siguiente ejemplo intuitivo : Si las butacas de un local de espectáculos se numerasen correlativamente desde la primera hasta la última, sería inc6modo y difícil para el espectador que adquiere una localidad saber si ~sta responde a sus deseos así como encontrar posteriormente su asiento en la sala; pOr eso las localidades numeradas designan el asiento por un par de números, el de la fila y el de la butaca en dicha fila . Así se evita la dificultad apuntada. DEFINICION. Dados dos conjuntos A y B se lIomo producto cortesíono O producto de ambos co njuntos A x B al conjunto fvrmudo por todos los pares ordenados cuyo primero componente pertenece a A y lo segunda O B A x B ~ I(x. vl lx E A. V E 61 Ejemplo 1_ En el ejemplo propuesto anleriormente si A - Conjunto de filas en la sala B - Conjunto de bulacas en una flJa www.Matematica1.com Para designar en la fila 8 la butaca número 3 se escribe el par (8,31 Para designar en la fila 3 la butaca número 8 se escribe el par (3,81 Dados los coníuntos A = [1, 2, 3) Y B = [m, p) aplicando la definici6n de producto cartesiano formamos todos los posibles pares ordenados A x B - 111, mi, 11. pi, (2, mi, 12, pi (3, mI, 13, pll Cada par es un elemento del producto cartesiano 11 , mi E A x B 11, pi E A x B (2, mi E A x B 12, pi E A x B 13, mi E A x B 13, pi E A x B Hay que tener muy en cuenta el orden de colocación de los elementos ya que (1, mi '" (m, 11 porque (1, m) E A x B y (m, 1) fiÉ- A x B También se puede formar el producto cartesiano B x A B x A ~ Ilm,11, (p, 11, 1m, 21, Ip, 21, 1m, 31, Ip, 311 Para representar gráficamente el producto cartesiano A x B sobre unos ejes cartesianos llevamos el primer conjunto A al eje de las ",X" y el segundo conjunto B al eje de las «Y" . p B m (1, p) (2, p) (1, ro) (2,m) 2 A AxB (3,p) (3, m) 3 3 (m, 3) (p,3) A 2 (m, 2) (p,2) 1 (m, 1) (p, 1) m p B BxA www.Matematica1.com B Cuando los conjuntos vienen definidos por comprensión su representaci6n gráfica es: ~ .. "/ //; " / //: " "';/// A A B B, A Ejemplo 2. Sea A Ix e Ra.clonales 11 :$ x :$ 41 B "" Iy e RaCionales 11 :$ Y ::s: 31 El producto cartesiano A x B está formado por todos los pares de números racionales con IlIS condiciones anteriores. Su representación gráfica es· 3 B 2 1 A AxB Lo mismo que hemos definido el producto cartesiano de dos conjuntos. se puede definir el producto cartesIano de tres conjuntos: Dados los conjuntos A. B Y e se llama producto cartesiano A x B x e al con}l.mto formado por todas las ternas ordenadas cuya primera campo" nente pertenece a A, la segunda a B y la tercera a e A x B x e = I(x, y , , lIx E A. y E B, , E CI www.Matematica1.com Ejemplo 3 . Dados los conjuntos A - 11. 2. 3. 41 . B - 11 . g . hl y e - le. I1 el producto Cllrtesiano A x B x e es A x B x e - {(l, f, e), (2, f. e l. (3, f, e), (4 , f, e l. (1, f, i), (2 . f, 1) , (3. l. 11. (4. l. 1). (1. g. ej. (2. g. ej. (3. g. ej. (4. g. ej. 11 . g. IJ . 12. g. 11. (3. g. ¡J. 14. g. 1). 11 . h. ej . 12. h. ej . (3. h. el. 14. h. el . (1 . h. iJ. (2. h. IJ. 13. h. ¡J. 14. h. 1)1 PROPIEDADES 1. No conmutativa. Dados dos conjuntos A y B AxB:;t:B x A ya que al definir el producto como pares ordenados A x B - {Ix. yl lx E A. Y E BI B x A ~ lIy. xJly E B. x E Al y siendo (x, y) "* (y, x) . Por tanto el producto cartesiano no cumple la propiedad conmutativa Si consideramos los conjuntos A y B del ejemplo 1 A ~ {1. 2. 31 y B - {m , pI los productos canesianos A x B y B x A son A x B ~ ((l. m), (1. pJ. (2. mi. (2. pi , 13. mi. (3. pI B x A = (1m. 11, Ip. 11. 1m. 21. Ip, 21 , 1m. 31. (p. 311 A x B*B x A Sin embargo el número de elementos o cardinal de A x B y de B x A es igual n(A x BI - 6 y n(B x Al ~ 6 ~ n(A x BI - n(B x Al Se cumple además n(A) - C.rd (Al ~ 3 n(B) = C.rd (B) ~ 2 www.Matematica1.com n lA x B) - ea,d lA x B) - ea,d lA) x Ca,d lB) - 3 x 2 - 6 n (B x A) - ea,d (B x A) - ea,d (B) x ea,d lA) - 2 x 3 - 6 2 No es asociativa. Dados tres conjuntos A, B Y e ya que lA x BI x e '" A x lB x el (A x B) x e - ([(x, y), ,]1 Ix, y] E A x B, , E C] A x lB x C) - ([x, (y, ')]1 x E A, Iy, ,) E B x C] Sin embargo hay autores que convienen en denominar que (A x B) x x e - A x lB x C). 3, Propiedad distributiva del producto cartesiano respecto a la unión de conjuntos Dados tres conjuntos A, B y e se verifica A x lB U el - lA x BI U lA x CI Para demostrarlo procedemos utilizando la propiedad antisímétrica a) A x (B U C) e lA x B) U lA x e) { XEA {XEA v(x, y) E A x (B U C) ~ ~ _ yEBUC yEBoyEC { X E A, Y E B { Ix, y) E A x B => o => o => x E A, y E e Ix, y) E A x e ~ (x, y) E (A x B) U (A x C) Todo par perteneciente al primer miembro A x (B U C) también pertenece al segundo miembro (A x B) U (A xC). b) (A x B) U (A x C) e A x (B U C) { Ix, y) E A x B v(x, y) E (A x B) U lA x e) ~ o ~ (x, y) E A x C www.Matematica1.com { X E A, Y E B {X E A = o - x E A, Y E e y E B o y E e - { X E A - = Ix, y) E A x lB U C) yEBUe Todo par perteneciente al segundo miembro (A x Bl U (A x el también pertenece al primer miembro A x (B U el. Ejemplo 4 Dados los conjuntos A - 1m, p . bl , B - fa, e, iJ . e - la , al Vamos a comprobar que : A x (B U C) - (A x Bl U (A x Cl Hallamos ' B U e - la . e , i , 01 A x (8 U C) - fim o al. (p, a). (b, al. (m, eL (p. el , lb, el. {m, ¡¡, (p, 1). lb. i), (m, ol. (p, o), (b. a l) A x B -= ¡(m, al, (p. al. (b. al, {m, eJ, (p, ej. (b, el. (m, n, (p, 0, (b, i) J A x e "" !(m, al. {p , a}, (b . al , (m, o), (p, o), (b, ol} (A x Bl U (A x e l - 11m, a), (p, al , (b, a). (m , el, (p, el , (b, eJ , (m, i), (p , ¡j. (b. íl . (m. o). (p , o), (b , 0)1 E(ectivamenle A x lB U e) - lA x B) U lA x C) 4 ProPiedad distributiua del producto cartesiano respecto Q la intersec ción de conjuntos. Dados tres conjuntos A, B y e se verifica. A x (B n CI = (A x BI n (A x el Para demostrarla procedemos utilizando la propiedad anlisimétrica a) A x lB n C) e lA x B) n lA x C) .Ix, y) E A x lB n e ) { XEA { XEA = yEBne= YEBeYEC~ { X E A. y E B { Ix, y) E A x B => Y - Y => x E A, y E C Ix , y) E A x e - Ix, y) E lA x B) n lA x e) www.Matematica1.com Todo par perteneciente al prImer mIembro A x (B. n el también pertenece al segundo miembro (A x 8l n (A xC). bl lA x BI n lA x C) e A x lB n el Vlx. yl E lA x BI n lA x e l ~ { Ix. yl Ey A Ix. yl E A x B - x e { X E A. Y E B { X E A ~ { x E A ~ ~ x E A: y E e - y E B e y E e y E B n e ~ Ix. yl E A x lB n C) Todo par perteneciente al segundo miembro (A x Bl n (A x C) también pertenece al primer miembro A x (B n C) Ejemplo 5 Dados los conjuntos A - 1m, p , b] , B ,., la , e, i} , e = la , 01 Vamos a comprobar que: A x (B n C) '" (A x BI n (A x el Hallamos B n e '" lal A x (B n C) - (1m, a) , (p, al. (b. al! A x B = ({m, a), (p, a), lb, a). (m, e), (p, el, (b, e) , (m, ll, (p , 0, lb. ;11 A x e - !1m, a), (P. al. lb, al, (m, ol, (p, o), (b , 0) 1 lA x 81 n lA x C) - 11m. al. Ip. al. lb, all Efec tivamente A x (B n CI .. lA x SI n lA x CI 5 PropIedad distributiua del producto cartesiano respecto a la dIferenCia de conjuntos. Dados tres conjuntos A, B y e se verifica A x lB - ei = lA x Bi - lA x C) Para demostrarla procedemos utilizando la propiedad antlSimétrica. al A x lB - el e lA x BI - lA x C) www.Matematica1.com 'ti Ix, y} E A x { X E A lB - el ~ y E B - e - { X E " { x E A. Y E B ~ y E B. Y $ e ~ . x E A. Y $ e ~ _ { Ix . yl E A x B - ~ Ix, yl E lA x BI - lA x C) Ix, YI $ A x e Todo par pertenecie_nle al primer miembro A x (B - e) también pertenece al segundo miembro (A x B) - (A x e) bl lA x BI - lA x el e A x lB - el { Ix, y) E A x B v~ , 0 E ~ x ~ - ~ x el ~ ~ Ix, YI $ A x e { X E A, Y E B {X E A { x E A ~ x E A, Y $ e ~ y E B, Y $ e ~ y E B - e ~ - Ix . y) E A x lB - C) Todo par perteneciente al se,gundo miembro (A x Bl - (A x el tamb¡ ~ n pertenece al primer miembro A x (B - C) Ejemplo 6 Dados los conjuntas A - 1m. p, bl , B· l • . • , ji . e - l. , 01 Vamos a comprobar que, A x (B - C) - (A x BI - lA x Cl Hallamos B - e - le. JI A x (8 - C) - [{m, el. (P. e), (b. el. (m , 1) , (p. JI . lb. 1)J A x B - !1m . ~l, (p. a) , lb. a), (m, el. (p. e l. (b, el . (m. il, (p, iJ, lb, '11 A x C - {(m . a). (P. al. (b, ,al, (m. o) . (p, o), (b. ol! Efectivamente A x (B - C) - fAx B) - (A x Cl www.Matematica1.com 2. Relaciones Hasta ahora ha aparecido más de una vez la palabra relaci6n. La hemos utilizado para hablar de relaciones de pertenencia, de inclusi6n, etc. También aparece en otros campos de las matemáticas tales como relaci6n de para e ismo' de perpendicularidad, etc , incluso en el lenguaje ordinario nos encontramos con nuevas relaciones de amistad, de parentesco , etc, ¿c6mo podremos establecer una teoría general de la relaci6n? Una relaci6n la podemos establecer entre elementos de dos conjuntos o entre elementos de un mismo conjunto, en este caso relaCionamos los elementos de un conjunto entre sí Consideremos el conjunto {p, q, s, tI de rectas del plano y la relación de perpendicularidad. ----t----------- p q Para expresar que la recta p está relacionada con la recta q escribimos P 1- q Análogamente t.lq Y s.lq Como p no está relacionada con s ponemos: p ./- s. Podemos generalizar este caso llamando a "" a pues 3 1 E Nla - a x 1 l- I'--L_I- - -+ '/1 : 1 , - -¡1f •- - •j _ _ ,1.. _-+' __ .L /1 I I I I . I I I I I • • o Ejemplo 2 Si consideramos el conjunto P de las reCias del plano y la relocl6n CR - -ser perpendiculares_ cumplen la prop'ledad simétnca ya que dadas dos recias r y s del plano, si r es perpendicular a s tambl~ n s será perpendicular a r PROPIEDAD ANTISIMETRICA Una relación binaria A - B PROPIEDAD TRANSITIVA Una relación binaria (R estableCIda entre los elementos de un conjunto M tiene la propJedad transitiva cuando dados tres elementos x . y, z si x est6 relacionado con y e y eSl6 relaCionado con z enton ces x est6 relacionado con z Si x b (R: a (por ser (R transitiva) Hemos obtenido que si (a) y (b) tienen al menos un elemento común, entonces a x E (b) todo elemento que pertenece a (a) pertenece también a (b) y {a} e (b) . - En segundo lugar: (b) e (a), para ello v x E (b) .. x al b y como b x ~ B, Y E e y E e y E e ;;o (x, y) E (A - Bj x e 4. Demostrar que (A U B) x e =' (A x c; u rB x e) siendo A, B Y e tres subconjuntos Solución 1) lA U Bi x C e (A x C) U (B x C) { XEAUB ';'(x, y) E lA U Bl x e ='> ;;o y E e { X E A 6 x E B { X E A , Y E e ... - o "" y E e x E B , Y E e { (x , yl E A x e ... o - {J( , yl E lA x Cl U (B (x , y) E B x e xC) 2) (A x el u (o x C) e (A U Bl x e { Ix , y) E A x e \I(X, yl E (A x el u (B x el _ o _ (x , y) E B x e { X E A, Y E e { x E A 6 , E 8 - o - _ x E B, Y E e y E e { XEAU 8 - ~ (x, y) E (A U 8) x e y E e www.Matematica1.com 5. Dado el conjunto F de figuras Clasifícalo atendiendo a la forma Comprueba en el conjunto que resulta que se ha efectuado una partición Soluci6n Se ha efectuado una partición porque los tres subconjuntos son disjuntos y no hay ninguna figura que quede fuera de los subconjuntos que se han formado 6. Dado el conjunto F de las figuras del ejercicio anterior y la relación En caso afirmativo escribir el conjunto ca ciente y Jos clases de que consta Solución Del diagrama se deduce que cumple las propIedades reflexiva , simétrica y transitiva, dando lugar a una relación de equivalencia siendo las clases de equivalencia [a, e, dI y lb! El conjunto cociente es M/()l - {I', e di, lb!} 16, En el conjunto de círculos de un plano se consideran diVersas relaciones entre los círculos e y e' 1) e es exterior a C' 2) C y C' tienen el mismo centro 3) e y C' son secantes, 4) e y C' son ortogonales Precisar en cada caso, si se trata de una relaci6n de equiValencia o qué propiedades de las tres cl6sicas se verifican (Oposici6n E G B. 1977) www.Matematica1.com Solución 1) Cumple la propiedad simátrica 2) Cumple la!; propiedades refleKlva. simétrica y tra.nsitiva. es una relación de equivalencia 3 ) Cumple la propiedad Slmétnca 4) Cumple la propiedad Slmétnca 17. En el conjunto Z de los números enteros se define lo relación o ~ b ~ a - b = 4 Se pide J) Comprobar si es uno relación de equipolencia. 2) Hallar las clases de equlpalencio 3) Hallar el conjunto cocie nte Solución 1) t.R es; una relación de eqUIva lencia por cumplir las propiedades - R~ lIeK i va a cR a .. a - a - O = 4 - Simé1rica a lJl b -= b b - a "" - (a - b) ... 4 - TransitIva Si a ffi b y b al c = a a ffi a # a + a "" 2a - n para que se cumpla' n - 1 pues 2a ... 1 n=2pues2a-2 no hay más valores pues si: n "" 3 => 3a * 2 V aE N n-4 ... 4a*2 VaEN La propiedad reflexiva s6lo se cumple cuando n - 1 6 n - 2 2) Propiedad simétrica, a ffi b ... b ffi a , + b , + b 1 2 3) ProPiedad transitiva' También se verifica para n - 1 Y n - 2 Para estos valores es una relaci6n de equivalecia 19. En el conjunto de los múmeros naturales se define la relacI6n a ffi b # a/b ¿Es ffi relación de orden? Solución 1) Propiedad reflexiva ala => :1 1 E N I a - 1 x a 2) Propiedad antisimétrica. SI a/b y b/a => a = b a/b ... :1 P E Nlb 'P} b/a ... :1 q E Nla = bq "'0 .. apq ... pq - 1 ... p - q - 1 luego a = b 3) PrOPiedad transitiva: Si a/b y b/c => ale a/b ... :lpENlb - ap } ~ e - 'pq ~ ,je b/c => :1 q E N le,,", bq www.Matematica1.com 4) Propiedad conexa no la cumple porque dados dos números naturales cualesquiera a y b no tiene porqué cumplir a/b ó b/a. 20_ En Z x Z se establece la siguiente relación Estudiar/a (Oposición E G B , 1983) Solución Se cumplen las siguientes propiedades 1) Reflexiva" (a, b) ffi (a, b) pues a2 + b2 _ a2 + b2 2) Simétrica Si (a, b) ffi(c, d) ... (e, d) ffi(a, b) 3) Transitiva Sí (a, b) ffi(e, d) y (e, d) ffi{e, f) entonces (a, b) ffi(e, f) En efecto e2 + f2 se deduce que Se trata de una relaci6n de equivalencia dando lugar a un conjunto cociente, estando formada cada clase por todos los pares de números enteros cuya suma de cuadrados sea igual Así en la clase (1, 2) están los pares (-1,2), (1, -2), (-1, -2), (2, 1), (-2, 1), (2, -1) Y (-2, -1) pues el primer elemento de cada par elevado al cuadrado más el segundo elemento elevado al cuadrado, en todos los casos vale 5. 21. En el conjunto N de los númerqs natura/es se define /a re/ación de orden a ffi b ~ a/b www.Matematica1.com Dados los conjuntos A = 11. 2, 3, 4, S, 6, 7, 8, 9) Y B = {3, 6, 121. Hollor. 1 J Cotas superiores de A y de B. 2) Extremos superior e inferior de A y B 3) Máximos y mrnlmos de A y B . Solucl6n 1) - Cota superior de A: m. c. m (1,2,3,4,5,6,7,8, 9) - 2.520 Luego 2.520 son las cotas superiores de A - Cota inferior de A - (l) -Cotas superiores de B: m, c. m. (3, 6, 12) - 12 Luego 12 son las cotas superiores de B - Cotas inferiores de B - (l, 31 2) Extremo superior de A = 2.520 Extremo inferior de A - 1 Extremo superior de B - 12 Extremo inferior de B "'" 3 31 Máximo de A no llene Mínimo de A - 1 Máximo de B - 12 Mínimo de B - 3

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