RAZONES DE CAMBIO Y MODELACION DE FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS PDF
Para resolver problemas de razones de cambio relacionadas , debes considerar las siguientes recomendaciones :
I. Leer cuidadosamente el problema varias veces y pensar en los datos y en las cantidades que se desea calcular.
II. Hacer un croquis o esquema apropiado y dar nombre a las variables y a las cantidades desconocidas.
III. Escribir los hechos conocidos expresando la rapidez de variación dadas y las desconocidas como derivadas de las variables.
IV. Encontrar una ecuación general que relaciones las variables.
V. Derivar con respecto a t ambos lados de la ecuación del punto 4 para obtener una relación general entre las razones de cambio respecto al tiempo.
VI Sustituir los valores y las derivadas conocidas y despejar la rapidez de cambio desconocida.
Ejemplo 1 :
Supón que estamos interesados en determinar la velocidad de desplazamiento del ferrocarril central que une a las ciudades de Lima , Huancayo y Huancavelica .
¿Cómo calculamos la velocidad promedio del ferrocarril?
¿A qué velocidad se desplaza el ferrocarril a las cuatro horas de viaje? Especialistas de la empresa administradora de este servicio de transporte han estimado que la distancia recorrida después de t horas de viaje es : donde . Resolución : Para cualquier móvil , se sabe que : velocidad promedio Razón de cambio instantánea de la distancia recorrida por un móvil .
Luego , la velocidad del ferrocarril en el instante t = 4 será igual a d’(4) . Así , primero calculamos d ’ (t) = 8t + 10 y enseguida : d ’ (4) = 8(4) + 10 = 42 km/h nota :
* Si y = f(t) es una función de posición de un objeto que se mueve en línea recta, entonces la función de velocidad en el tiempo t es : V(t)= f ’(t).
* Además , se puede hallar la razón de cambio de la velocidad , que es la función de aceleración en el tiempo t .
Es decir : a(t) = Dt [V(t)] = Dt [f ’(t)] = f ’’(t) Función de aceleración , medida en (m/s2),(km/h2), etc. f ’’(t) es la segunda derivada . Ejemplo 2: Una ciudad tiene la forma de un rectángulo de lados x(x + 3) kilómetros . A causa de la expansión urbana , x está creciendo a razón de 1/3 km/año. Hallar la razón de cambio (instantáneo) del área urbana cuando está ocupada 108 km2. Resolución : Las variables que intervienen son el área , los lados que dependen de ‘‘x’’ y el tiempo ‘‘ t ‘’. A continuación relacionamos las variables , así: El área urbana A es función de x . Ejemplo 3 : Una masa m cae verticalmente por acción de la gravedad , partiendo del reposo . Asuma que la resistencia del aire es depreciable . Hallar la tasa de cambio de la velocidad en el instante t . Resolución : En el instante inicial (t=0)parte del reposo(v= 0) En el instante t , después de iniciado el movimiento , la única fuerza que actúa sobre el cuerpo es el peso mg . Por la segunda ley de Newton , asumiendo como positiva la dirección del movimiento hacia abajo ; nos queda : ma = mg, de donde luego Entonces, la tasa de cambio de velocidad respecto al tiempo (aceleración) es la gravedad. A partir de aquí , nota que la velocidad es : v = gt+c , donde c es una constante ; como la masa cae a partir del reposo, tenemos para t=0, v= 0 . Luego reemplazando en la ecuación encontrada tenemos que c = 0 . Finalmente , encontramos que la velocidad está dada por v = gt