PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA EJERCICIOS DE MATEMATICA 8–OCTAVO AÑO PDF



CONCEPTOS , ACTIVIDADES Y PROBLEMAS DE Razón y proporcionalidad de segmentos , Rectas secantes cortadas por paralelas , Secantes cortadas en segmentos iguales , Teorema de Tales , Aplicaciones del teorema de Tales , Triángulos en posición de Tales , Triángulos semejantes , Semejanza de triángulos en posición de Tales , Criterios de semejanza de triángulos , Polígonos semejantes , Construcción de polígonos semejantes , Perímetros y áreas de polígonos semejantes , Figuras semejantes , Construcción de figuras semejantes , Escalas , CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

Objetivo del módulo • Aplicar el teorema de Tales y los procesos para construir figuras geométricas por medios informáticos en la resolución de problemas que contengan figuras geométricas semejantes. Destrezas con criterios de desempeño • Determinar el factor de escala entre dos triángulos semejantes. • Determinar la escala entre figuras semejantes en la aplicación de Tales. • Aplicar el teorema de Tales en la resolución de figuras geométricas similares. • Reconocer la semejanza de triángulos en la resolución de problemas. • Aplicar los conceptos geométricos elementales a la resolución de problemas de la vida cotidiana. • Usar medios informáticos para realizar construcciones geométricas. • Valorar el uso de recursos y herramientas matemáticas para afrontar situaciones que los requieran. Para la activación de conocimientos previos • Las diferentes construcciones geométricas deben realizarse de forma correcta y precisa: división de un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados, división de un segmento en partes iguales, determinación gráfica del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados... • Tras construir gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados y el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados, puede proponerse el cálculo numérico de su medida, así los alumnos podrán comprobar la equivalencia de ambos procesos, el numérico y el gráfico (siempre que las construcciones geométricas se ejecuten correctamente). Para la construcción del conocimiento • Muestre el resultado de cortar dos rectas secantes con varias paralelas. • Siga el proceso que conduce a encontrar la relación que se establece entre los segmentos que se obtienen al cortar dos rectas secantes por rectas paralelas. • Lea a sus alumnos el enunciado del teorema de Tales y pida que lo relacionen con lo anteriormente explicado. • Si tres o más rectas paralelas son intersecadas cada una por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas, son proporcionales. • Son interesantes las aplicaciones que tiene el teorema de Tales para la resolución de problemas, así como para el estudio de las transformaciones: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Para la aplicación del conocimiento • Solicite a los alumnos/as expliquen la respuesta a este problema: una pizza para una persona tiene 23 cm de diámetro. Sin embargo, la pizza familiar tiene 46 cm de diámetro, justo el doble que la pequeña, pero dicen que es para cuatro personas. ¿Nos están engañando? • Entregue a los estudiantes figuras y solicite que construyan otras similares. • Forme grupos de trabajo y pídales que elaboren una maqueta en la cual se utilicen figuras reducidas o ampliadas. y 6 Para la construcción del conocimiento • Sería conveniente disponer de un programa informático para la práctica de los procedimientos explicados en las páginas 148 y 149 del texto del alumno. En este caso debería explicar, cada una de las construcciones y los pasos que han de seguir para reproducirlos con la ayuda del programa. • Sugiera a los alumnos que busquen en el Internet programas gratuitos que se puedan utilizar para trazar diferentes figuras geométricas. Se presentan algunos portales para descarga de software libre: Para la activación de conocimientos previos • Pida a los alumnos, que abran una página del procesador de textos, elijan la opción de insertar gráfico y escojan la figura que sea de su agrado, la pinten, cambie de estilo las líneas… • En las sesiones con la computadora, conviene considerar los diferentes niveles que puedan tener los alumnos/ as en su manejo y así tenerlo presente a la hora de formar grupos o de plantear las distintas activades. 2 Relacionada con la DCD: Usar medios informáticos para realizar construcciones geométricas. Para la evaluación • Forme grupos de trabajo. Pida que cada grupo, seleccione un monumento, un edificio, una construcción destacada de su ciudad o pueblo. Investigue la historia de la edificación y halle su altura apoyándose en la proyección de su sombra y con la proyección de la sombra de una estaca, mediante la relación de triángulos semejantes. Proporcionalidad geométrica Prerrequisitos Recuerda • Las fracciones y son equivalentes si se cumple que a ⋅ d = b ⋅ c. • Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común. • Dos rectas son secantes si tienen un único punto en común. • Dos ángulos son correspondientes si tienen un lado común y el otro paralelo. • Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. • Los polígonos regulares tienen todos sus ángulos y todos sus lados iguales. • El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados. • El área de un polígono es la medida de la extensión que ocupa. Evaluación diagnóstica 10 2 7 1 Razón y proporcionalidad de segmentos Observa los listones dibujados en la figura siguiente. Fíjate en algunos de los cocientes que pueden formarse a partir de sus longitudes. Los segmentos a y b no tienen la misma razón que b y c. En cambio observa que los segmentos a y b tienen la misma razón que c y d. Diremos entonces que los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d, y escribiremos: Este valor k se llama constante o razón de proporcionalidad. a b c d = = k Dados estos segmentos, forma parejas que estén en la proporción . Dibuja estos seis segmentos: AB, CD, EF, GH, IJ, KL; de forma que se cumpla la razón de proporcionalidad siguiente: 3 ¿Qué razón de proporcionalidad hay entre estas dos escalas? AB CD EF GH IJ KL = = =3 2 3 2 1 Actividades § La igualdad entre dos razones es una proporción. a b c d = Ú FÍJATE Se llama razón de dos segmentos de longitudes my n al cociente entre estas longitudes, . m n Ë a b b c c d = 16 = = = = = 8 2 8 6 4 3 6 3 2 a = 16 cm b = 8 cm c = 6 cm d = 3 cm 0 0 10 100 20 200 30 300 40 m 400 m a = 10 b = 9 c = 8 d = 6 e = 4 f = 3 MUCHO OJO 9 a b c d = = k 2 Rectas secantes cortadas por paralelas Veamos la relación que se establece entre los segmentos que obtenemos al cortar dos rectas secantes con un conjunto de rectas paralelas. 2.1. Secantes cortadas en segmentos iguales Observa la siguiente figura. Vamos a demostrar que los segmentos determinados por las rectas paralelas sobre s también son iguales: A′B′ = B′C′. Los dos segmentos determinados sobre s por las tres rectas paralelas son iguales. Este resultado puede generalizarse para cualquier conjunto de rectas paralelas. Las rectas r y s son secantes. Tres rectas paralelas cortan r y s. Las tres rectas paralelas determinan dos segmentos iguales sobre r. AB = BC s C r B A A′ B′ C′ Trazamos segmentos paralelos a s desde los puntos A y B, tal y como muestra la figura. Si ahora consideramos los triángulos AMB y BNC, podemos ver: — Tienen un lado igual AB = BC, por construcción. — Los tres ángulos son iguales, ya que son ángulos agudos de lados paralelos. Así, los dos triángulos son iguales y se cumple: AM = BN Además, por paralelismo: AM = A′B′ ; BN = B′C′ Y, por lo tanto, concluimos que: A′B′ = B′C′ s C r B A A′ B′ C′ N M Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas secantes de forma que los segmentos determinados en una de ellas son iguales, los segmentos correspondientes determinados en la otra también son iguales. Ë 2.2. Teorema de Tales Veamos ahora lo que ocurre si las rectas paralelas no determinan segmentos iguales sobre las rectas secantes. Vamos a comprobar que los segmentos A′B′ y B′C′ determinados sobre s son proporcionales a los segmentos AB y BC determinados sobre r: Esta conclusión se conoce como teorema de Tales, ya que fue el matemático y filósofo griego Tales de Mileto, quien lo enunció por primera vez en el siglo VI a. C. Los segmentos A′B′ y B′C′ reciben el nombre de proyección paralela de los segmentos AB y BC sobre la recta s. Además, A′B′ y B′C′ son los segmentos homólogos de AB y BC, respectivamente. AB A B BC ′ ′ B C = ′ ′ El teorema de Tales puede aplicarse también para determinar si dos rectas son paralelas o no. Observa la figura. Si se verifica que entonces las rectas r y s son paralelas. a a b ′ b = ′ Ú FÍJATE r s a b a′ b′ Las rectas r y s son secantes. Seis rectas paralelas cortan r y s determinando segmentos iguales. La longitud de los segmentos sobre r es u. La longitud de los segmentos determinados sobre s es u′. Consideramos los puntos A, B y C sobre r y sus puntos correspondientes sobre s. Estos puntos determinan sobre r segmentos de distinta longitud. AB ≠ BC s C r B A C′ u A′ u′ B′ — La longitud de cada segmento es: AB = 2u; BC = 3u; A′B′ = 2u′; B′C′ = 3u′ — Si ahora nos fijamos en la relación entre los segmentos, obtenemos: — Y, por lo tanto, llegamos al resultado: AB BC A B B C AB A B BC B C = ′ ′ ′ ′ ⇒ ′ ′ = ′ ′ AB BC u u A B B C u u = = ′ ′ ′ ′ = ′ ′ = 2 3 2 3 2 3 2 3 Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra. AB A B BC ′ ′ B′C′ = =... Ë Calcula la longitud x del segmento de la figura. Por el teorema de Tales, sabemos que los segmentos determinados sobre dos rectas secantes por un conjunto de rectas paralelas son proporcionales. Así pues, podemos establecer la proporción siguiente: La longitud del segmento es 6 cm. 8 4 12 12 4 8 6 = ⇒ = ⋅ = x x Vamos a ver cómo aplicar el teorema de Tales para hallar medidas indirectas. Encuentra las longitudes x e y . Observa la figura de la derecha. ¿Puedes afirmar que las rectas a, b y c son paralelas? 5 4 Actividades § 2,25 cm 1,5 cm 2,1 cm 1,35 cm a b c ejemplo 1 Los peldaños de la grada representada en la figura son paralelos. Calcula las longitudes de la grada representa - das como x e y. Si aplicamos el teorema de Tales, podemos establecer las siguientes proporciones entre las diversas longitudes de la grada: Las longitudes de x e y son 7,14 dm y 15,40 dm, respectivamente. 7 5 11 7 11 5 77 5 15 40 = ⇒ = ⋅ = = y y , 7 5 10 5 10 7 50 7 7 14 = ⇒ = ⋅ = = x x , ejemplo 2 5 dm x 11 dm 10 dm y 7 dm 2.3. Aplicaciones del teorema de Tales A continuación, estudiaremos algunas de las diferentes aplicaciones del teorema de Tales. División de un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados En primer lugar, veremos cómo dividir un segmento de longitud a en dos partes proporcionales a los segmentos de longitudes b y c. Sobre el segmento a hemos obtenido dos segmentos proporcionales a los segmentos b y c. — Dibujamos el segmento a. — Desde uno de sus extremos, dibujamos una semirrecta en la que situamos consecutivamente los segmentos b y c. — Unimos el extremo libre del segmento c con el extremo libre del segmento a. — Desde el extremo del segmento b, trazamos una recta paralela al segmento dibujado en el punto anterior. Dos personas quieren repartirse 20 m de cable eléctrico en partes proporcionales a 4 y 8, respectivamente. ¿Cuántos metros le tocarán a cada una? Para hacer los cálculos aplicaremos el procedimiento anterior. Tomaremos el segmento a de longitud 20 m y los segmentos b y c de longitudes 4 m y 8 m, respectivamente. Consideramos ahora x como la longitud de uno de los segmentos sobre a, y 20 − x la longitud del otro segmento (tal y como muestra la figura). Así, podemos establecer la proporción siguiente: Por lo tanto, 20 − x = 20 − 6,67 = 13,33 Así, a una persona le corresponden 6,67 m y a la otra, 13,33 m. 4 8 20 6 67 x x = x − ⇒ = , ejemplo 3 20 – x b = 4 m c = 8 m x a = 20 m División de un segmento en partes iguales Veamos ahora cómo dividir un segmento AB en cinco partes iguales. Hemos dividido el segmento AB en cinco segmentos de igual longitud. Este procedimiento es el mismo que hemos utilizado para representar las fracciones sobre la recta. — Dibujamos el segmento AB. — Dibujamos una semirrecta con origen en A. Sobre esta semirrecta situamos consecutivos y alineados cinco segmentos de una misma longitud b. — Unimos el extremo libre del último segmento b con el punto B. — Trazamos rectas paralelas al segmento anterior de manera que pasen por los puntos marcados en la semirrecta. Representa la fracción sobre la recta. — Resolvemos la división entera — Sabemos que la fracción estará en el segmento que tiene como extremos −1 y −2, ya que la fracción es negativa. — A continuación, dividimos el segmento en cuatro partes iguales, y tomamos tres. − → 7 4 7 3 1 4 − 7 4 ejemplo 4 Divide gráficamente un segmento de longitud a = 9 cm en dos partes proporcionales a los segmentos b = 4 cm y c = 7 cm. Divide gráficamente un segmento de longitud a = 15 cm en partes proporcionales a los segmentos b = 8 cm, c = 6 cm y d = 4 cm. Divide gráficamente un segmento de longitud a = 18 cm en siete partes iguales. Representa sobre la recta estas fracciones. 3 5 23 24 22 14 15 6 ; − ; ; − 9 8 7 6 Actividades § Segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados Dados tres segmentos a, b, c, se llama segmento cuarto proporcional a estos tres segmentos al segmento x que verifica la proporción siguiente: Sepamos cómo determinar gráficamente el segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados de longitudes a, b y c. El segmento x obtenido es el segmento cuarto proporcional a los segmentos a, b y c. Segmento tercero proporcional a dos segmentos dados Dados dos segmentos a y b, se llama segmento tercero proporcional a estos dos al segmento x que verifica la siguiente proporción: Veamos cómo determinar gráficamente el segmento tercero proporcional a dos segmentos dados a y b. El segmento x obtenido es el segmento tercero proporcional a los segmentos a y b. a b b x = a b c x = La determinación gráfica del segmento cuarto proporcional a tres segmentos dados tiene numerosas aplicaciones. Una de las más destacadas es la determinación gráfica del producto de dos segmentos. Aprendamos cómo podemos encontrar gráficamente el segmento c, producto de dos segmentos dados a y b: c = a ⋅ b Observa que podemos expresar la relación anterior como: Por lo tanto, el segmento c representa el segmento cuarto proporcional a los segmentos de longitud 1, a y b. 1 1 ⋅ c = a ⋅ b ⇒ = a b c Producto de dos segmentos En el caso del segmento tercero proporcional se establece una proporción llamada continua, que es aquélla en la que dos elementos de la proporción son iguales. Ú FÍJATE Construye el segmento cuarto proporcional a tres segmentos a, b y c de longitudes 10 cm, 5 cm y 7 cm, respectivamente. Construye el segmento tercero proporcional a dos segmentos a y b de longitudes 8 cm y 3 cm, respectivamente. Determina gráficamente el producto de dos segmentos de longitudes 2 cm y 6 cm, respectivamente. 12 11 10 Actividades § — Trazamos dos rectas secantes y situamos los dos segmentos de longitudes a y b sobre cada una de ellas. Situamos, entonces, el segmento c consecutivamente al segmento a. — Unimos los extremos de los segmentos a y b. Trazamos una recta paralela a ésta que pase por el punto c, obteniendo así un segmento x a continuación del segmento b. b a c La determinación gráfica del segmento tercero proporcional es análoga a la del segmento cuarto proporcional, considerando que c = b, tal y como muestra la figura. b a b x 3 Triángulos en posición de Tales Si observas los triángulos ABC y DBE de la derecha, puedes comprobar que: • Los dos triángulos tienen un ángulo común ^B. • Los lados opuestos al ángulo ^B son paralelos. A continuación, veremos qué propiedades tienen dos triángulos en posición de Tales y sus respectivas demostraciones. • Dos triángulos en posición de Tales tienen los lados proporcionales. • Dos triángulos en posición de Tales tienen los ángulos iguales. Observa esta figura. ¿Sabrías dibujar tres triángulos de modo que cada uno de ellos esté en posición de Tales respecto a los otros dos? Observa la figura dada e indica pares de triángulos en posición de Tales. ¿Cuántos pares has encontrado? 13 14 Actividades § B C A A D B C E B Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a este ángulo son paralelos. Ë — Aplicamos el teorema de Tales a las rectas secantes BA y BC. (1) — Trazamos la recta EF paralela a AB y aplicamos el teorema de Tales a las rectas secantes CA y CB. (2) — Combinando los resultados (1) y (2), y teniendo en cuenta que CB = BC y EB = BE, podemos escribir: Los lados DB, BD y ED son homólogos de AB, BC y CA, respectivamente. BC BE BA BD CA ED = = CA CB FA EB ED EB CA ED CB EB FA ED = = ⇒ = ↑ = , por paralelismo BC BA BE BD BC BE BA BD = ⇒ = — El ángulo ^B es común a los dos triángulos. — Entonces se cumple ^A = ^D y ^C = ^E, puesto que son ángulos correspondientes. Construcciones geométricas con la computadora En la actualidad podemos utilizar varios programas de licencia libre que sirven para trazar figuras geométricas, algunos de estos, que los puedes descargar en tu computadora son: GEONext, GeoGebra y Winplot. División de un segmento en partes iguales Partimos de un segmento a que queremos dividir en cinco partes iguales. — Dibujamos el segmento a (opción Segmento). Observamos que quedan m arcados los puntos inicial y final. — Trazamos una semirrecta (opción Semirrecta) a partir del punto inicial del segmento a. — Dibuja una circunferencia (opción Circunferencia) con centro en el punto inicial y un radio cualquiera. Con centro en el punto de intersección de la circunferencia con la semirrecta, trazamos otra circunferencia del mismo radio. Repetimos el proceso hasta obtener en la semirrecta los extremos de cinco segmentos iguales. — Dibujamos los segmentos iguales a partir de los centros de las circunferencias trazadas (opción Segmento). A continuación, escondemos las circunferencias (opción Ocultar/mostrar). — Unimos mediante una recta el extremo del último segmento trazado sobre la semirrecta con el extremo libre de la recta a. — Trazamos rectas paralelas a ésta que pasen por los extremos de los segmentos (opción Recta paralela). — Trazamos los segmentos determinados por las rectas paralelas sobre el segmento a (opción Segmento) y convertimos las rectas paralelas en discontinuas (opción Punteado). — Medimos los segmentos que acabamos de trazar y comprobamos que hemos dividido el segmento a en cinco partes iguales (opción Distancia y longitud). Si dispones de un programa de computación para efectuar construcciones geométricas, traza dos segmentos cualesquiera y divide el primero en siete partes iguales y el segundo en nueve partes iguales. 15 Actividades § Las TIC y la Matemática Si dispones de un programa informático para efectuar construcciones geométricas, realiza los siguientes ejercicios: Traza un segmento AB cualquiera, una semirrecta con origen en A, y cuatro segmentos consecutivos de diferentes longitudes sobre dicha semirrecta, el primero de ellos con origen en A. Divide el segmento AB en cuatro partes proporcionales a los cuatro segmentos consecutivos. Investiga las opciones del programa para elaborar macros e intenta elaborar una que te permita dividir un segmento cualquiera en partes iguales. La macro debe pedirte el segmento; el número de particiones debe dibujar la semirrecta, las circunferencias... y dejar visible únicamente aquello que te interese: el segmento dividido y, si lo consideras útil, los segmentos o las rectas auxiliares. 17 16 Actividades § — Dibujamos el segmento AB (opción Segmento). Observamos que los puntos inicial y final quedan marcados. — Dibujamos una semirrecta a partir del punto inicial A (opción Semirrecta). — Determinamos dos segmentos consecutivos a partir de A de longitudes 1 cm y 3 cm. Para determinarlos creamos dos valores numéricos con la opción edición numérica 1 y 4, y los trasladamos sobre la semirrecta (opción Transferencia de medidas). Así, obtenemos dos puntos sobre la semirrecta situados a 1 cm y 4 cm de los extremos, que nos determinan los segmentos buscados. — Unimos mediante una recta (opción Recta) el último punto con el extremo libre de la recta AB. Trazamos la recta paralela a ésta que pasa por el otro punto (opción Recta paralela). — Trazamos los segmentos determinados por las rectas paralelas sobre AB (opción Segmento). — Transformamos las rectas paralelas en discontinuas (opción Punteado). — Medimos los segmentos trazados (opción Distancia y longitud) y así comprobamos que hemos dividido el segmento AB en dos partes iguales. División de un segmento en partes proporcionales a dos segmentos dados Partimos de un segmento AB que queremos dividir en dos partes proporcionales a dos segmentos dados de longitudes 1 cm y 3 cm. 4 Triángulos semejantes Observa los triángulos ABC y A′B′C′, y fíjate en las relaciones que guardan sus ángulos y sus lados. Usa tus materiales de geometría. Decimos que los triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes. Los ángulos respectivamente iguales se llaman homólogos, y los lados opuestos a los ángulos homólogos se denominan lados homólogos. La razón de proporcionalidad entre los lados homólogos de dos triángulos semejantes se denomina razón de semejanza k. A′B′ ′ ′ ′ ′ AB B C BC C A CA = = = k Dos triángulos semejantes tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño. Ú FÍJATE Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y los lados proporcionales. Ë — Los ángulos de los dos triángulos son iguales. ^A = ^A′; ^B = ^B ′; ^C = ^C ′ — Los lados de los dos triángulos son proporcionales. ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = A B AB B C BC C A CA 2 C A B C′ A′ B′ A C B A′ B′ C′ Dibuja un triángulo de lados 3 cm, 5 cm y 6 cm. Construye otro triángulo semejante a éste con razón de semejanza . Calcula las medidas que faltan en la figura y halla la relación de semejanza entre los triángulos ABC y ADE. Observa la figura siguiente y determina oralmente cuáles de los triángulos representados son semejantes. Dos triángulos ABC y A′B′C′ son semejantes y su razón de semejanza es . Calcula los lados del triángulo ABC, sabiendo que los lados del triángulo A′B′C′ valen a′ = 21, b′= 12 y c′ = 18. 2 3 21 20 19 2 5 18 Actividades § 4.1. Semejanza de triángulos en posición de Tales Anteriormente vimos que dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a este ángulo son paralelos. También aprendimos que dos triángulos en posición de Tales tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. Por lo tanto, dos triángulos en posición de Tales son semejantes. El recíproco también es cierto; es decir, dos triángulos semejantes siempre pueden situarse en posición de Tales. Para comprobarlo, basta mover uno de los triángulos hasta hacer coincidir en un mismo vértice dos de los pares de ángulos homólogos cualesquiera. Observa que independientemente del ángulo escogido, los lados opuestos a este ángulo son paralelos y, por lo tanto, los triángulos siempre quedan situados en posición de Tales. Así, pues, podemos enunciar: En el margen, puedes ver la demostración de este enunciado. Dibuja dos triángulos en posición de Tales de forma que su razón de semejanza sea . Construye un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 10 cm. Dibuja otro cuyos catetos midan la mitad de los anteriores de manera que los dos estén en posición de Tales. Material concreto: Calca los dos triángulos semejantes que hemos utilizado en este apartado, recórtalos y superponlos comprobando así que son semejantes. 24 23 3 4 22 Actividades § El teorema de Tales sirve para determinar si dos rectas que cortan dos rectas secantes son paralelas o no. Si se cumple , entonces r y s son paralelas. Ahora considera los triángulos semejantes del ejemplo de la izquierda ABC y A′B′C′. Al ser semejantes deben cumplir: Por el teorema de Tales podemos afirmar que los segmentos BC y B′C′ son paralelos y, por lo tanto, que los triángulos ABC y A′B′C′ están en posición de Tales. A′B′ = ′ ′ = ′ ′ AB B C BC A C AC a a b ′ b = ′ Triángulos semejantes y posición de Tales a b r s a′ b′ B B′ A′ C′ A C A′ B′ C′ B A C B B′ A′ C′ A C B B′ A A′ C′ C B B′ A A′ C C′ Dos triángulos en posición de Tales son semejantes, y dos triángulos semejantes pueden situarse en posición de Tales. Ë 4.2. Criterios de semejanza de triángulos Hemos visto que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados son proporcionales. No obstante, no es necesario comparar los tres lados y los tres ángulos de dos triángulos para determinar si son semejantes. Hay diversos criterios de semejanza para triángulos. A continuación, te presentamos tres de estos criterios, que se demuestran comprobando que los triángulos pueden situarse en posición de Tales. Las condiciones que nos permiten afirmar que dos triángulos son semejantes se llaman criterios de semejanza. Ë Criterios de semejanza Comprobación ^A = ^ D; ^B = ^E Dos triángulos que tengan dos ángulos iguales son semejantes. — Construye un triángulo con un lado que mida 6 cm y con los ángulos contiguos a éste de 35° y 70°. — Construye otro triángulo con un lado que mida 4 cm y con sus ángulos contiguos iguales a los anteriores. — Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición de Tales. Dos triángulos que tengan sus tres lados proporcionales son semejantes. AC DF CB FE AB DE = = — Construye un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 8 cm y 10 cm. — Construye otro triángulo de lados proporcionales a los anteriores; por ejemplo, 3 cm, 4 cm y 5 cm. — Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición de Tales. ^B = ^E ; Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales son semejantes. AC DF CB FE AB DE = = — Construye un triángulo con dos lados de 5 cm y 6 cm, y que forman un ángulo de 60°. — Construye otro triángulo con dos lados proporcionales a los anteriores, por ejemplo 10 cm y 12 cm, y que formen el mismo ángulo. — Recorta los dos triángulos y comprueba que pueden situarse en posición de Tales. A D E B F A B C D E A B C B E F D E Los triángulos ABC y ADE no son semejantes porque los sementos BC y DE no son paralelos. CONTRAEJEMPLO A D E C B A Estos criterios de semejanza se simplifican para algunas clases de triángulos, como es el caso de los triángulos rectángulos y el de los triángulos isósceles. Veamos cuáles son estos criterios. Dibuja tres triángulos equiláteros de diferente lado y comprueba que son semejantes aplicando los tres criterios de semejanza. Un triángulo rectángulo ABC tiene un ángulo ^A = 28° mientras que otro triángulo rectángulo A′B′C′ tiene un ángulo ^ A′ = 62°. ¿Son semejantes? ¿Por qué? Dibuja dos triángulos isósceles que tengan un ángulo igual y comprueba que son semejantes. Material concreo: Fíjate en el triángulo DEF. Lo hemos construido uniendo los puntos medios del triángulo ABC. ¿Son semejantes los triángulos DEF y ABC? ¿Por qué? Con láminas de foamy, traza y recorta las figuras con las medidas indicadas y verifica si los triángulos son semejante, para lo cual ubícalos en posición de Tales. 28 27 26 25 Actividades § D F E A B C 12 cm 10 cm 8 cm — Dos triángulos ABC y A′B′C′ de lados paralelos son semejantes. — La recta que une los puntos medios de los lados de un triángulo es paralela al tercer lado del triángulo y mide la mitad de éste. Se verifica que la razón de semejanza entre los dos triángulos es k = . 1 2 Ú FÍJATE C C′ B′ A B A′ Dos triángulos rectángulos que tengan un ángulo agudo igual son semejantes. ^B = ^E Dos triángulos rectángulos que tengan los catetos proporcionales o que tengan un cateto y la hipotenusa proporcionales son semejantes. Dos triángulos isósceles que tengan uno de los ángulos correspondientes igual son semejantes. ^A = ^D o ^C = ^E Dos triángulos isósceles que tengan un lado y la base proporcionales son semejantes. Criterios de semejanza de triángulos rectángulos Criterios de semejanza de triángulos isósceles AC DF AB DE AC DF CB FE = o = AC DF AB DE CB FE AB DE = o = 5 Polígonos semejantes Observa los polígonos ABCDE y A′B′C′D′E′de la figura. Decimos entonces que los pentágonos ABCDE y A′B′C′D′E′ son semejantes. Es decir que dos polígonos semejantes tienen la misma forma aunque tengan distinto tamaño. La razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes se llama razón de semejanza, k, entre los dos polígonos. 5.1. Construcción de polígonos semejantes Construcción por triangulación A continuación, vamos a construir un pentágono semejante a otro utilizando el método de la triangulación. A′B′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ AB B C BC C D CD D E DE E A EA = = = = = k Si unimos tres puntos no alineados, obtenemos un triángulo. Así pues, la triangulación consiste en unir un conjunto de puntos no alineados de tres en tres formando triángulos. En los siglos XVIII y XIX, la triangulación se utilizaba para confeccionar mapas. Resolvían redes de triángulos cuyos vértices se localizaban en la cima de los montes y que recibían el nombre de redes geodésicas. Actualmente, la triangulación es la base del funcionamiento del sistema de navegación GPS. Triangulación Dos polígonos regulares con el mismo número de lados son semejantes. Ú FÍJATE A′ A′ A′ E′ D′ D′ C′ C′ B′ Dos polígonos del mismo número de lados son semejantes si tienen los ángulos iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Ë —Los ángulos de los dos pentágonos son respectivamente iguales. ^A = ^A ′; ^B = ^B ′; ^C = ^C ′; ^D = ^D ′; ^E = ^E ′ —Los lados de los dos pentágonos son proporcionales. A′B′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ AB B C BC C D CD D E DE E A A EA E B D C A′ E′ B′ D′ C′ A E B D C C′ A′ E′ B′ D′ 1. Efectuamos una triangulación trazando desde el vértice A todas las diagonales posibles. Así, obtenemos los triángulos ADE, ACD y ABC. 2. Construimos ahora tres triángulos A′D′E′, A′C′D′ y A′B′C′ semejantes a los anteriores. 3. Si ahora los situamos en la misma posición que los originales, obtenemos otro pentágono cuyos lados son proporcionales a los del pentágono original, y cuyos ángulos son iguales a los del pentágono original. A′ E′ D′ C′ B′ Método de Tales o método de radiación Uno de los métodos más utilizados para construir polígonos semejantes es el método de Tales o método de radiación. Este procedimiento se basa en la aplicación sucesiva del teorema de Tales que hemos estudiado anteriormente. Observa el polígono ABCDE de la derecha y veamos cómo construir un polígono semejante con razón de semejanza k = . 2 3 Construye dos cuadrados de lados 6 cm y 4 cm, y di cuál es su razón de semejanza. Dibuja dos polígonos, que no sean semejantes, con todos sus ángulos iguales. Dibuja dos polígonos, que no sean semejantes, con todos sus lados iguales dos a dos. Construye un polígono semejante al de la figura en cada uno de estos casos. a) El punto O es un punto exterior del hexágono y con razón de semejanza . b) El punto O es un punto interior del polígono y con razón de semejanza . c) El punto O es el vértice A y con razón de semejanza k = . 3 2 k = 3 4 k = 5 3 32 31 30 29 Actividades § A G F E D C B El punto Otambién puede escogerse del interior del polígono o de un vértice de éste. Ú FÍJATE A′ A O A′ A O Tomamos un punto O cualquiera y trazamos semirrectas con origen en el punto O y que pasan por cada uno de los vértices del polígono dado. Sobre una de las semirrectas, por ejemplo la OA, marcamos el punto A′ de modo que se cumpla: El punto A′ es el homólogo del punto A. OA OA ′ = 2 3 Por el punto A′, trazamos una paralela al lado AB hasta cortar la semirrecta OB en el punto B′. Por el punto B′, trazamos una paralela al lado BC hasta cortar la semirrecta OC en el punto C′. Repetimos la operación hasta obtener el polígono A′B′C′D′E′. A B C D E A′ O A B C D E E′ D′ C′ A′ B′ O 5.2. Perímetros y áreas de polígonos semejantes A continuación, encontraremos la relación que existe entre los perímetros y las áreas de polígonos semejantes. Perímetros de polígonos semejantes Observa los polígonos ABCD y A′B′C′D′ de la figura. — Los dos polígonos son semejantes. — Su razón de semejanza es k. Al ser polígonos semejantes de razón k se cumple: Así pues, podemos escribir: A′B′ = k ⋅ AB; B′C′ = k ⋅ BC; C′D′ = k ⋅ CD; D′A′ = k ⋅ DA Calculamos los perímetros de los polígonos. P = AB + BC + CD + DA P′ = A′B′ + B′C′ + C′D′ + D′A′ = k ⋅ (AB + BC + CD + DA) La razón entre sus perímetros será: La razón entre sus perímetros es k y coincide con la razón de semejanza. ′ = ⋅ ( + + + ) + + + = P P k AB BC CD DA AB BC CD DA k ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = ′ ′ = A B AB B C BC C D CD D A DA k A B C D A′ D′ C′ B′ En dos figuras semejantes, la razón entre dos longitudes homólogas es siempre la misma. Por ejemplo, si consideramos dos pentágonos regulares: La razón entre los lados, las diagonales, las apotemas, los radios de las circunferencias inscritas y los radios de las circunferencias circunscritas es igual a la constante de semejanza k. l l d d R R r r ap ap k ′ = ′ = ′ = ′ = ′ = Ú FÍJATE Dos polígonos regulares del mismo número de lados son semejantes. Ú FÍJATE ap R r d R′ r′ d′ ap′ ′ La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a su razón de semejanza. Ë Los lados de un triángulo miden 5 cm, 6 cm y 7 cm. ¿Cuál es el perímetro de un triángulo semejante al anterior, con razón de semejanza 3? Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto valdrán las diagonales, los lados y el perímetro de otro rombo semejante a éste con razón de semejanza 2? Dos polígonos semejantes tienen una razón de semejanza igual a . Si el perímetro del menor de ellos es 40 cm, ¿cuál es el perímetro del otro? Dibuja un hexágono regular de 6 cm de lado y otro inscrito en una circunferencia de 4 cm de radio. Halla las apotemas y los radios de las circunferencias inscrita y circunscrita de cada uno de los hexágonos. — Calcula la razón entre las distintas longitudes homólogas y compárala con la razón entre los perímetros de las dos figuras. 36 1 2 35 34 33 Actividades § Áreas de polígonos semejantes Fíjate en los triángulos QRS y Q′R′S′ de la figura. Ambos son semejantes, y con razón de semejanza k. Al ser semejantes, la relación entre dos longitudes homólogas es igual a la razón de semejanza. Entonces: — La razón entre sus alturas es . — La razón entre las bases es . Así, pues, la razón entre sus áreas será: La razón entre las áreas es k2, que coincide con el cuadrado de la razón de semejanza. A A QR h Q R h k QR k h Q R ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ′ ′⋅ ′ = ⋅ ⋅ ′ ′ ⋅ ⋅ ′ ⋅ ′ ′ 1 2 1 2 1 2 1 2 ⋅ ′ = ⋅ = h k k k2 QR Q R k ′ ′ = h h k ′ = Halla la razón entre los perímetros y entre las áreas de dos cuadrados, sabiendo que el lado de uno de ellos mide 8 cm y el del otro la mitad. La razón entre las áreas de dos triángulos es . ¿Cuánto mide el perímetro del triángulo grande si el pequeño tiene un perímetro de 6 cm? Un pentágono regular mide 10,9 cm de lado y 7,5 cm de apotema. ¿Cuánto valen el perímetro y el área de otro pentágono semejante a éste cuya razón de semejanza es ? Dibuja un trapecio semejante al de la figura cuya área sea cuatro veces mayor. ¿Cuál es la razón de semejanza entre las dos figuras? 40 4 5 39 1 4 38 37 Actividades § La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. Ë Q R S h S′ Q′ R′ h′ 4 cm 6 cm 3 cm 6 Figuras semejantes El concepto de semejanza puede generalizarse mas allá de los polígonos. Hablamos, entonces, de figuras semejantes. Decimos que dos figuras son semejantes si la proporción entre la distancia de dos puntos cualesquiera y la distancia de sus puntos homólogos se mantiene. Así pues, dos figuras semejantes tienen la misma forma, pero distinto tamaño. 6.1. Construcción de figuras semejantes Utilizamos el método de Tales para obtener figuras semejantes sencillas. Para figuras más complicadas emplearemos el método de la cuadrícula. Dada la figura de la derecha, construiremos otra semejante con razón de semejanza . En este caso hemos obtenido una figura mayor que la original. Decimos entonces que hemos hecho una ampliación. Para hacer una ampliación de una figura, la razón de semejanza tiene que ser mayor que la unidad; mientras que si lo que queremos es una reducción, la razón de semejanza tiene que ser menor que la unidad. 3 2 Otro procedimiento que podemos utilizar para dibujar figuras semejantes sencillas es el método de Tales. MUCHO OJO 9 El pantógrafo es un instrumento que nos permite dibujar figuras semejantes. Está formado por cuatro barras que forman un paralelogramo articulado, ABM′C, y la razón de semejanza puede graduarse modificando la proporción siguiente: El extremo P queda fijo; el extremo libre M lleva una punta con la que recorreremos la figura original que queremos reproducir. En el extremo M′ se coloca un lápiz que dibujará la figura semejante. Al ir recorriendo la figura original con la punta situada en M, iremos dibujando una figura semejante con el lápiz situado en M′. Un ejemplo de cómo funciona un pantógrafo lo encontrarás en la siguiente página web: www.ies.co.jp/math/java/geo /panta/panta.html PA PB PM PM = ′ El pantógrafo P M M B C A a′ 3. Por último, se reproducen las líneas de la figura sobre la segunda cuadrícula y de este modo obtenemos una figura semejante de razón . 3 2 2. Construimos otra cuadrícula en la que aumentamos la longitud a′ de cada cuadrito. La razón de semejanza entre los lados de los cuadritos de las dos cuadrículas es . ′ = a a 3 2 1. Inscribimos la figura original en una cuadrícula en la que la longitud de los cuadritos es a. Material concreto @ 6.2. Escalas A menudo utilizamos la semejanza de figuras para representar sobre papel objetos muy grandes u objetos muy pequeños, reduciendo o ampliando, respectivamente, sus medidas según la relación deseada. En las figuras 1 y 2 de la derecha se muestran ejemplos de objetos representados a escala. La escala a la que se ha reproducido un dibujo se indica al pie de éste y se expresa mediante un cociente cuyo dividendo es la unidad. Así, la escala 1 : 200 significa que una unidad de longitud del dibujo representa 200 unidades de estas mismas unidades en la realidad. Ejemplos de representaciones hechas a escala serían los planos, las maquetas o los mapas. A menudo, en el caso de los mapas, la escala se indica de forma gráfica, tal y como muestra la figura. Así, la escala gráfica de la figura nos informa que un segmento del dibujo de longitud igual a la representada mide en realidad 500 km. Indicar la escala de forma gráfica nos permite conocer directamente las dimensiones de la realidad con una simple medición. Utilizando el método de la cuadrícula, construye la figura semejante a la figura dada con razón de semejanza . A partir de la maqueta, halla la longitud y la altura real del tren. 42 5 3 41 Actividades § 0 6 m Fachada A Escala 1 : 200 ■ Fig. 1. Fachada de un edificio ■ Fig. 2. Glóbulos rojos 0 0,005 mm Escala 10 000 : 1 Un dibujo a escala es un dibujo cuyas dimensiones son proporcionales a las del objeto real. La razón de semejanza entre el dibujo de un objeto y el objeto real es el factor de escala o la escala del dibujo. Ë Calcula en metros la anchura de la fachada del plano de la figura 1. ¿Cuál es la superficie de la habitación A en metros cuadrados? La anchura de la fachada en el plano es de 3 cm. Llamamos x a la anchura real. La escala es 1 : 200, así pues la razón de semejanza es k = 200. Entonces debe verificarse: Así, la anchura de la fachada es de 6 m. La superficie de la habitación A medida en el plano es: 2 ⋅ 1,5 = 3 ⇒ 3 cm2 Llamamos y a la superficie de la habitación A. Como la relación entre las áreas de dos polígonos es igual al cuadrado de la razón de semejanza, debe verificarse: Así, la superficie de la habitación A es de 12 m2. y y 3 x = 2002 ⇒ = 120000cm x 3 = 200 ⇒ = 600cm ejemplo 5 Construcciones geométricas con la computadora En la actualidad podemos utilizar varios programas de licencia libre que sirven para trazar figuras geométricas, algunos de estos, que los puedes descargar en tu computadora son: GEONext, GeoGebra y Winplot. Construcción de triángulos semejantes Vamos a dibujar dos triángulos semejantes y a comprobar que lo son. — Dibujamos dos semirrectas a partir de un punto A (opción Semirrecta) y un triángulo ABC, de modo que los vértices B y C se sitúen sobre cada una de las semirrectas. Ponemos el nombre de los vértices mediante la opción Etiqueta. — Trazamos una recta paralela al lado BC (opción Recta paralela), y dibujamos un triángulo A′B′C′ (opción Triángulo) con un vértice en el punto A y los otros dos en los puntos de corte de la recta paralela con las semirrectas. Así, hemos obtenido dos triángulos ABC y A′B′C′ semejantes. Procederemos ahora a comprobar la relación entre sus lados, sus perímetros y sus áreas. Para ello, medimos: — Los ángulos no comunes de ambos triángulos (opción Ángulo). — Los lados de ambos triángulos (opción Distancia y longitud). — El perímetro de ambos triángulos (opción Distancia y longitud). — El área de ambos triángulos (opción Área). A B B’ C ’ C 2,05 cm 2,88 cm 3,68 cm 3,56 cm 51,17 cm 91,2o 45,3o 91,2o 45,3o Observamos que: — Los ángulos de ambos triángulos son iguales. ^B = ^B ′ = 45,3° ; ^C = ^C′ = 91,2° — Los lados son proporcionales. La razón de semejanza es 1,8. — La razón de los perímetros es la razón de semejanza. — La razón de las áreas es el cuadrado de la razón de semejanza. A A AB C ABC ′ ′ = 6 55 = ≈ ( ) 2 03 3 23 1 8 , 2 , , , P P AB C ABC ′ ′= = 12 41 6 92 1 8 , , , AB AB B C BC AC AC ′ = ′ ′ = ′ = 1,8 Si dispones de un software para realizar construcciones geométricas, comprueba las características que deben cumplir dos triángulos isósceles para ser semejantes. Haz lo mismo con dos triángulos rectángulos. 43 Actividades § Las TIC y la Matemática Si dispones de un programa informático para realizar construcciones geométricas, haz las siguientes actividades. Construye dos pentágonos regulares semejantes con razón de semejanza 3. 45 Construye un heptágono semejante a uno dado con razón de semejanza 2. 44 Actividades § Construcción de figuras semejantes Vamos a construir un pentágono semejante a otro dado, con razón de semejanza . 1 2 — Dibujamos un pentágono ABCDE (opción Polígono). — Señalamos un punto O cualquiera exterior a la figura (opción Punto). — Trazamos un segmento OA desde el punto exterior O hasta el vértice A (opción Segmento). — Determinamos el punto medio del segmento (opción Punto medio) y lo denominamos A′ (opción Etiqueta). Se cumple : . Ésta será la razón de semejanza. — Trazamos semirrectas desde el punto O a cada uno de los vértices del pentágono (opción Semirrecta). — Dibujamos una recta paralela al lado AB, que pase por A′ (opción Recta paralela). El punto de corte de esta recta con la semirrecta OB determinará el vértice B′. — Dibujamos una recta paralela al lado BC, que pase por B′, y obtendremos el vértice C′ en el punto de corte de esta recta con la semirrecta OC. — Repetimos los mismos pasos para obtener los vértices D′y E′. — A partir de los vértices encontrados, dibujamos el polígono A′B′C′D′E′ (opción Polígono). — Para observar con claridad la figura, escondemos las rectas paralelas (opción Ocultar/mostrar), transformamos las semirrectas en discontinuas (opción Punteado), y coloreamos los pentágonos (opción Relleno). OA OA ′ = 1 2 O A A B C E D O A A B C O A B A B C O A B A B C Estrategia: Experimentación con la posible solución En ocasiones, imaginar la posible solución de un problema nos conduce a su solución real. Esta estrategia es especialmente útil en problemas geométricos. Comprensión del enunciado En primer lugar, dibuja un triángulo ABC para aclarar cuáles son los datos y qué es lo que buscas. Los datos del problema son ^A, ^B y hC. Planificación de la resolución — Hay muchos triángulos con dos ángulos ^A y ^B iguales a los que nos piden en el enunciado, pero cada uno tendrá distintas alturas respecto al vértice C. — Construiremos un triángulo cualquiera A′B′C′ con los ángulos ^A y ^B que nos indica el enunciado. — Mediremos la altura hC′. — Esta altura medida no coincide con la altura hC. Pero observamos que si situamos hC sobre hC′ y trazamos paralelas desde C a A′C′ y B′C′, obtendremos la solución del problema. Ejecución del plan de resolución Procedemos tal y como lo habíamos planificado. Dibujamos un triángulo de ángulos ^A y ^B. Situamos hC sobre hC′ y trazamos desde C paralelas a los lados A′C′ y B′C′. Así, obtenemos el triángulo ABC, que es la solución del problema. Revisión del resultado y el proceso seguido Comprobamos que efectivamente el triángulo construido cumple las condiciones del enunciado. Construye el triángulo ABC, dados los ángulos ^A y ^B y la altura hC correspondiente al vértice C. Pon en práctica la estrategia anterior para resolver estos problemas. Construye el triángulo ABC, dados los ángulos ^A y ^B y la longitud del segmento de bisectriz interior al triángulo correspondiente al ángulo ^A. Construye el triángulo ABC, sabiendo que la razón de proporcionalidad de sus catetos es y la altura correspondiente al vértice C es hC = 4 cm. AC BC = 2 3 47 46 Actividades § hc A B C′ hc′ A′ B′ A A C hc A B B C′ hc′ A′ B′ B Cómo resolver problemas En resumen Síntesis ° La razón entre dos segmentos de longitudes m y n es el cociente entre estas dos longitudes. ° Los segmentos a y b son proporcionales a los segmentos c y d si se cumple la relación: El valor numérico del cociente entre estas dos longitudes (k) se denomina razón de proporcionalidad. ° Si un conjunto de rectas paralelas corta a dos rectas secantes de forma que los segmentos determinados en una de ellas son iguales, los segmentos correspondientes determinados en la otra también son iguales. ° Teorema de Tales Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra. ° Dos triángulos están en posición de Tales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a este ángulo son paralelos. ° Dos triángulos en posición de Tales tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. AB A B BC ′ ′ B C = ′ ′ a b c d = = k A B C A′ B′ C′ r s Completa el organizador gráfico en tu cuaderno: Permite expresar matemáticamente el concepto de permite definir para comprobar la semejanza podemos emplear propiedades del perímetro y del área son siempre una de sus aplicaciones son los Razón y .......................... de segmentos Triángulos semejantes Dibujos a ................................. Triángulos en posición de ................................... .......................... de semejanza ................................. semejantes Figuras semejantes La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la .................................. La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al ............................. de la razón de semejanza. Semejanza pueden situarse como Ejercicios y problemas integradores Calcular cuáles son las verdaderas distancias entre los tres pueblos que se observan en el mapa. • Planteamos otra proporción utilizando la equivalencia anterior. Para conocer las distancias reales en un mapa, es suficiente conocer la escala, observa: • Con una regla, medimos los segmentos AB, BC y CA. A ESCALA 1 : 300 000 B C A ESCALA 1 : 300 000 B C La escala 1: 300 000 significa que un centímetro en el mapa equivale a 300 000 cm en la realidad. • Planteamos una proporción utilizando la escala: AB = 4 cm BC = 5 cm CA = 7 cm 1 300 000 = AB 4 • Ampliamos la propiedad fundamental de las proporciones: El producto de los extremos es igual al producto de los medios. • Expresamos el 1 200 000 centímetros en kilómetros. AB 1 x = 4 x 300 000 AB= 1 200 000 1 300 000 = AB 4 1 km = 1 000 000 cm 1 200 000 1 1 000 000 = 1 x 1 200 000 1 000 000 x = x 1 200 000 1 000 000 ; ; = x ; 12 km = x ; x = 12 km • • Repetimos el proceso para las otras medidas: R: Los 4, 5 y 7 cm del mapa representan respectivamente 12, 15 y 21 km de distancia entre los pueblos, en la realidad. Margarita observa que en la punta de la torre de las antenas de teléfono que están cerca de su casa, se encuentra un pajarito de hermosos colores. ¿A qué altura se encuentra el pájaro? • En la gráfica se observan dos triángulos rectángulos pues la horizontal que pasa sobre la cabeza de Margarita está paralela al piso y tanto el árbol como la torre están perpendiculares al piso. • Como el ángulo agudo A en los dos casos tiene la misma amplitud podemos decir que los dos triángulos rectángulos son semejantes. • Determinemos la medida de los lados cada uno de los triángulos: 1 300 000 = BC 5 1 300 000 = BC 7 BC = 5 x 300 000 CA = 7 x 300 000 BC = 1 500 000 CA = 2 100 000 BC = 15 km 1 1 000 000 = x 1 500 000 CA = 21 km 1 1 000 000 = x 2 100 000 • • Planteamos las proporciones con los lados correspondientes de los triángulos: • Aplicamos la propiedad a las proporciones y hallamos el lado BC. • Para conocer la altura de la torre, sumamos el valor del lado BC más la altura de Margarita: 50 m + 1,7 m = 51,7 m R: El pajarito que observa Margarita se encuentra a una altura de 51,7 m. Practica Observa la imagen. Ramiro, el joven que está junto a la puerta, mide 1,65 m. Calcula, a partir de ese dato, las dimensiones reales (largo y ancho) de la puerta. AC = 72 m + 18 m = 90 m Triángulo ACB BC = x AE = 18 m Triángulo AED DE = 11,7 m - 1,70 m = 10 m AE AC DE BC 90 18 = x 10 = 90 x 10 18 = x 50 m = x 1,70m 18m 72m x 11,7m A C B D E Ejercicios y problemas Razón y proporcionalidad de segmentos Dibuja seis segmentos, de manera que se cumpla la proporción siguiente: Hemos cortado un listón de madera en partes proporcionales a 2, 3 y 5. Halla la razón de estos segmentos. a) AB y CD b) AC y BD c) BC y AD d) BC y BD La razón de dos segmentos a y b es , y la razón de dos segmentos b y c es . Halla la razón de los segmentos c y a. Observa la figura. Halla las longitudes de los segmentos AB y BC si se sabe que su razón es y que la longitud del segmento AC es de 2 dm. Observa el siguiente tramo de carretera. ¿En qué kilómetro se encuentra la casa si ? Halla las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 36 cm y la razón de la base y la altura, . Se conoce que la base mide 10 cm. Rectas secantes cortadas por paralelas Calcula la longitud x de los segmentos de las siguientes figuras. Observa la figura y halla las longitudes de los segmentos x, y, z. Las rectas r y s de cada una de las figuras siguientes son paralelas. Indica si la recta t también es paralela a r y s. Divide un segmento de 10 cm en partes proporcionales a 2,3 y 4. Divide un segmento de 6 cm en partes proporcionales a 2, 3 y 4. Dibuja un segmento de 7 cm y divídelo en ocho partes iguales. Divide gráficamente un segmento AB de 6 cm de longitud en dos segmentos cuya razón sea . ¿Cuánto mide cada uno de los segmentos? Traza un segmento AB de 10 cm. Dibuja otro encima que sea de AB. 48 AB CD EF GH IJ KL = = =2 49 5 3 50 2 5 51 1 4 52 AC AB = 5 4 53 5 4 54 55 56 57 58 59 60 3 5 61 5 6 A B C D A B C km 21 km 35 A C B 3 cm 2 cm 2,5 cm x a b 4 cm x 1,5 cm 1,6 cm 4 cm 3 cm 1 cm 12 cm z y x 3,3 cm 2 cm 2,2 cm 3 cm s r t a 1,5 cm 1 cm 1,4 cm 0,9 cm s t b r 9 Comprensión de conceptos y conocimiento de procesos En tu cuaderno Elabora un segmento AB de 7 cm. Construye otro CD, de manera que se cumpla que . Dibuja un segmento de 8 cm y divídelo en seis partes iguales. A continuación, señala un punto P tal que y un punto Q siendo . Construye el segmento tercero proporcional a los segmentos p y q cuyas longitudes son 3 cm y 4 cm, respectivamente. Considera que el segmento p es el que se repite. Indica oralmente si las siguientes frases son ciertas o falsas. a) La razón de dos segmentos de longitudes 2 dm y 40 cm es . b) Los segmentos de longitudes 2 cm y 6 cm son proporcionales a los segmentos de longitudes 2,5 cm y 6,5 cm. c) El segmento tercero proporcional a los segmentos de longitudes 2 cm y 4 cm mide 3 cm. d) El segmento cuarto proporcional a los segmentos de longitudes 3 cm, 4 cm y 9 cm mide 12 cm. Triángulos en posición de Tales Dibuja dos triángulos en posición de Tales, mide los lados y comprueba que son proporcionales. — Mide también los ángulos y comprueba que son iguales. Calcula, en tu cuaderno, las medidas que faltan en el triángulo de la figura siguiente. Halla el perímetro del triángulo DBE, sabiendo que AC = 10 cm, BC = 16 cm, AB = 22,7 cm y BD = 11 cm. Para hallar el perímetro, necesitamos conocer las medidas de los lados BE y DE. Los dos triángulos se encuentran en posición de Tales. Así, podemos establecer las proporciones siguientes: Sustituyendo los valores que conocemos: P′ = BD + BE + DE = 11 + 7,8 + 4,8 = 23,6 El perímetro del triángulo DBE es de 23,6 cm. Otra forma de resolver el problema es argumentando que la razón entre los perímetros de dos triángulos en posición de Tales es igual a la razón entre dos lados homólogos cualesquiera. El perímetro del triángulo ABC es: P = AB + BC + AC = 22,7 + 16 + 10 = 48,7 Así pues: Dos triángulos equiláteros están en posición de Tales y la razón entre sus lados es . Calcula mentalmente el perímetro del triángulo mayor si el del menor es 18 cm. Triángulos semejantes Los triángulos ABC y A′B′C′ de la siguiente figura son semejantes. Halla las medidas de los ángulos y de los lados desconocidos. AQ AB = 1 3 ′= ⇒ ′ = ⋅ = P P 48 7 11 22 7 11 48 7 22 7 23 6 , , , , , AB BD AC DE DE BD AC AB = ⇒ = ⋅ = ⋅ = 11 10 22 7 4 8 , , AB BD BC BE BE BD BC AB = ⇒ = ⋅ = ⋅ = 11 16 22 7 7 8 , , AB BD BC BE AB BD AC DE = ; = 68 67 66 1 2 65 64 AP = AB 5 6 63 CD = AB 4 3 62 69 2 3 70 1 cm x 2 cm 1,5 cm y z 4 cm C A D B E A′ B′ C′ B C A 25,18 cm 27,13 cm 81o 68 cm 54,26 cm 52o Construye un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Dibuja otro triángulo equilátero semejante al anterior con razón de semejanza . Observa algunas de las pistas de un aeropuerto que unen los puntos de salida A, B, C, D y E. ¿Cuál es la distancia entre A y B? En la siguiente figura pueden observarse tres triángulos rectángulos ABC, ADC y DBC. Averigua si son semejantes y, en caso afirmativo, halla la razón de semejanza entre ABC y ADC, entre ABC y DBC, y entre ADC y DBC. El ángulo desigual de un triángulo isósceles mide 108o y el lado desigual 14 cm. Uno de los lados iguales de otro triángulo isósceles semejante mide 18 cm. Si la razón de semejanza entre los dos triángulos es 2, calcula mentalmente: a) La medida de los ángulos del triángulo mayor. b) El perímetro del triángulo menor. Los triángulos rectángulos de las siguientes figuras son semejantes. a) ¿Cuál es la razón de semejanza? b) ¿Cuánto miden los catetos cuyas longitudes no son conocidas? Polígonos semejantes La razón de semejanza entre dos polígonos A y B es . Completa, en tu cuaderno, la tabla. La razón entre las apotemas de dos hexágonos regulares es . Si el área del mayor es 35,2 cm2, ¿cuál es el área del menor? El perímetro de un pentágono regular es veces el perímetro de otro pentágono regular. ¿Cuál es el área del pentágono mayor si el área del menor es 25,5 cm2? Construye un cuadrado de 4 cm de lado. Indica el punto medio de cada uno de sus lados y traza los segmentos que unen de forma consecutiva estos puntos medios. ¿Qué figura obtienes? ¿Es semejante a la figura original? — Indica la razón de semejanza entre las dos f iguras. El perímetro de un pentágono ABCDE es 17,5 cm y su área, 21 cm2. a) Construye dos pentágonos semejantes A′B′C′D′E′ y A′′B′′C′′D′′E′′ con razones de semejanza y . b) Copia la tabla en tu cuaderno y llénala. 5 4 77 4 7 76 75 74 73 72 7 6 71 7 3 78 79 80 3 2 1 2 3 cm x + 2 6 cm 5x – 2 Razón de semejanza Razón entre los perímetros Razón entre las áreas 4 7 Entre A y B 7 4 Entre B y A Pentágono Perímetro Área ABCDE 17,5 cm 21 cm2 A′B′C′D′E′ A′′B′′C′′D′′E′′ En tu cuaderno Figuras semejantes Se quiere colocar un listón alrededor de la puerta de un armario, cuyas medidas en un dibujo a escala 1 : 40 son 1,25 cm × 2 cm. ¿Cuántos metros de listón son necesarios? La escala nos dice que una unidad de longitud del dibujo representa 40 de la realidad. 1,25 cm ⋅ 40 = 50 cm = 0,5 m 2 cm ⋅ 40 = 80 cm = 0,8 m La puerta de un armario tiene forma rectangular; entonces, los metros de listón que necesitaremos serán: 2 ⋅ 0,5 m + 2 ⋅ 0,8 m = 2,6 m Son necesarios 2,6 m de listón. La siguiente figura está dibujada a escala 1 : 100. Halla su área. En el plano de la figura están señaladas diferentes distancias. Si la distancia real entre la escuela y la casa es 700 m: a) ¿Cuál es la escala del plano? b) ¿Cuál es la distancia real entre la escuela y la arboleda y cuál es la distancia real entre la arboleda y la casa? Dibuja un plano de tu casa con la escala que consideres más adecuada de las dos que te proponemos a continuación: 1 : 100 o 1 : 200. Aplicación en la práctica Halla la medida de cada uno de los peldaños de la escalera. Observa, en el siguiente gráfico, las carreteras que unen los pueblos A, B, C, D y E. Puesto que la vía que une D con E está cortada, si un auto parte de D para ir a E tiene dos posibles recorridos, uno pasando por B y otro pasando por A y por C. ¿Cuántos kilómetros recorrería en cada caso? Halla las medidas de la siguiente figura correspondientes a x + 2 y a x − 2. Un auto asciende por una rampa a una velocidad de 5 m/s. Si a los 4 s de su salida se encuentra a una altura de 10 m, ¿a qué altura se hallará a los 15 s? En la figura puedes observar la disposición de las pistas de la terminal de un aeropuerto. A partir de los datos que se indican, determina los valores para x e y. Completa los siguientes ejercicios ayudándote de los applets (aplicaciones) de la página: http://w3.cnice.mec.es/Descartes/3_eso/Seme janza/Semejan1.htm a) Los segmentos de longitudes a = 4 cm, b = 6 cm, c = 7 cm y d son proporcionales. Encuentra la razón de proporcionalidad y la longitud del segmento d. b) Encuentra distintos grupos de cuatro segmentos con razón de proporcionalidad 0,85. 84 83 82 85 86 87 81 88 89 90 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 120 cm z y x C A E D B 5 km 3 km 2 km 4 km 12 cm 6 cm x + 2 x – 2 . 980 m 440 m 280 m y x @ c) En las aplicaciones del Teorema de Tales investiga cómo cambian los valores de los cocientes de los segmentos al variar la posición de las rectas e intenta justificar el porqué. Si un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m, ¿qué sombra proyectará un árbol de 9 m? En primer lugar, hacemos un dibujo con los datos del enunciado. El poste, el árbol y sus respectivas sombras forman dos triángulos semejantes. Si llamamos x a la sombra del árbol, por semejanza de triángulos deberá cumplirse: La sombra proyectada por el árbol es de 13,5 m. Para averiguar la altura de un poste telefónico medimos su sombra, que es de 30 m. A la misma hora, una señal de tráfico de 2 m de altura proyecta una sombra de 4,8 m. ¿Cuál es la altura del poste? Un edificio está formado por dos bloques. Observa la figura y halla la altura del bloque más alto. Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno de los catetos y la hipotenusa de un triángulo semejante de constante de semejanza k = 2 miden 3 cm y 5 cm, respectivamente. Los lados de una habitación rectangular miden 4,5 m y 2,4 m. Al hacer un plano de la habitación la longitud del lado mayor es 1,5 cm. a) ¿Cuál es la escala del plano? b) ¿Cuánto medirá en el plano el lado menor de la habitación? A partir de este mapa, halla la distancia real que recorrerán los piratas hasta llegar al tesoro. Analiza los criterios de semejanza de triángulos en la página http://www.keymath.com/x3343.xml y construye pares de triángulos con razones de semejanza 2, , . En la página http://www.ies.co.jp/math/java/geo/ panta/panta.html puedes utilizar un pantógrafo virtual para dibujar figuras semejantes. Dibuja una casa y descubre qué relación de semejanza hay entre las figuras que obtengas. Más a fondo Sobre un plano dibujado a escala 1 : 5 medimos un ángulo de 60°. ¿Cuál es su medida real? Calcula la longitud de la barra de acero más larga. Un fabricante de material escolar quiere editar un mapa de una ciudad en formato INEN-A4 (297 mm × 210 mm). Sabiendo que la ciudad mide de norte a sur, aproximadamente, 890 km, y que su anchura máxima es de 1 030 km, ¿qué escala debe emplear? Formen grupos de 3 o 4 alumnos, y dibujen un plano de su centro escolar en la escala que consideren más adecuada de las dos propuestas a continuación: 1 : 100 o 1 : 200. 91 2 9 3 2 93 27 2 = ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = = 13 5 x x x , 92 93 94 95 96 97 1 2 3 2 98 99 100 101 102 : _ @ @ En tu cuaderno Demuestra tu ingenio Ampliar el césped El césped de un jardín cuadrado necesita 30 l de agua al día. Su dueño quiere ampliarlo y aumentar en un factor 1,5 la longitud de cada uno de sus lados. Se lo comenta al jardinero y éste dice: — Se puede ampliar, pero sepa que gastará más de 60 l de agua cada día para regarlo. El dueño del jardín contesta: —Vaya, pensaba que con 45 l diarios bastarían. ¿Cuántos litros de agua diarios calculas que necesitará el nuevo césped? Los comensales de la mesa redonda En una mesa circular hay 8 comensales sentados en posiciones equiespaciadas. ¿En cuánto habría que aumentar la superficie de la mesa para que puedan sentarse 4 personas más manteniendo la misma distancia de separación entre comensales que antes? Gulliver en Liliput En Los viajes de Gulliver, de Jonathan Swift, el protagonista naufraga en las costas de Liliput, donde se encuentra con el hecho sorprendente de que todas las cosas son 12 veces más pequeñas que sus correspondientes en Inglaterra. ¿Cuál sería la estatura de tu hermano gemelo liliputiense? Buen Vivir Los incas desarrollaron técnicas avanzadas de cultivo que se usan hasta el día de hoy. Por ejemplo, se cuenta con la técnica de terrazas, para aprovechar el terreno montañoso de Los Andes. Las tierras a cultivar eran adecuadas con sistemas de riego y con desagües de gran desempeño que hasta ahora las utilizan. Al trabajar de esta manera, los incas evitaban la erosión vertiginosa del suelo y lo mantenían con los nutrientes necesarios para que produzcan. Las terrazas hechas en las montañas, vistas desde lejos, parecen grandes escaleras que llevan hacia el Sol. Actividades ¿En qué se asocian las construcciones incas a las terrazas de cultivo? Investiguen su respuesta. ¿Han visto en algún lugar de la Sierra ecuatoriana terrazas de cultivo? ¿Por qué creen que eso sucede? Argumenten. Realicen una investigación sobre las técnicas de cultivo ancestrales y comenten si pueden ser aplicadas hoy. ¿Saben que los pueblos ancestrales de nuestro país tienen el derecho a vivir según sus tradiciones y a mantener su identidad cultural? ¿Cómo podemos respetar y hacer cumplir este derecho? 1 2 3 4 Buen Educación, cultura y saberes ancestrales Vivir _ Historia Sección de historia Autoevaluación 1. Dibuja un segmento AB de 3,5 cm y construye los segmentos CD, EF y GH tales que: 2. Si tenemos los segmentos a, b y c cuyas longitudes son 7 cm, 10 cm y 4 cm, respectivamente, calcula el segmento cuarto proporcional. 3. Calcula la altura del árbol. 4. Aumentamos en 1,5 cm las longitudes de los lados de un triángulo dado y construimos otro. ¿Este nuevo triángulo es semejante al primero? ¿Y si aumentamos las longitudes de los lados 1,5 veces? 1. Observen la figura y hallen los valores de x, y, z. 2. ¿Cuál es la altura de una estatua que proyecta una sombra de 8 m en el mismo instante en que un farol de 2,6 m proyecta una sombra de 1,8 m? 3. La razón de semejanza entre dos polígonos es k = . El perímetro del más grande mide 30 cm y su área es de 50 cm2. Calculen el perímetro y el área del polígono más pequeño. 4. La distancia entre dos ciudades en línea recta es de 744 km. Al medir esta distancia en un mapa obtenemos el valor 372 mm. ¿Cuál es la escala del mapa? CD = AB EF = AB GH = AB 2 3 3 1 5 ; ; 5 4 Las civilizaciones antiguas ya conocían algunos resultados referentes a segmentos proporcionales. Los griegos utilizaban la proporcionalidad geométrica como herramienta para efectuar sus razonamientos matemáticos. Las primeras definiciones precisas de razón y proporción entre segmentos las hizo Eudoxo en el siglo IV a. C, para ampliar la proporcionalidad entre números enteros. Euclides, en el libro V de su obra los Elementos, desarrolló una teoría muy completa de la proporcionalidad geométrica. Pappus (s. IV) ya definió la razón doble de cuatro puntos, concepto que constituirá la base de la geometría proyectiva. Blaise Pascal, matemático francés y niño prodigio, descubrió por él mismo, según la tradición, los 32 teoremas de Euclides. La duplicación del cubo es equivalente a encontrar el tercero proporcional x entre a y b: donde b es... a x x b = si y sólo si, para cualesquiera números enteros m y n: a b c d = ma < nb ⇒ ⇒ mc < nd ma = nb⇒ ⇒ mc = nd ma > nb⇒ ⇒mc > nd Coevaluación Si logras resolver el 70 % de estas actividades individuales y grupales, puedes avanzar. Formatos en cine y televisión Las pantallas de los televisores son rectángulos semejantes para que las imágenes tengan la misma forma en televisores grandes y pequeños. En las pantallas estándar la relación longitud/anchura es de 4 : 3. Este formato coincide con el «formato académico » utilizado en el cine hasta 1950. Poco después, la industria cinematográfica desarrolló los formatos Cinemascope y Panavisión para la proyección de sus filmes en salas de cine, con una relación 2,35 : 1. Otro formato de cine actual es el 1,85 : 1 (flat o americano). Al ver en un televisor estándar una película en Panavisión o en formato americano, no se conserva la semejanza y, o bien se ve toda la imagen pero desaprovechando área de pantalla (zonas en negro), o bien se pierde imagen de la película inicial. A la izquierda (edición widescreen), se pierde zona de pantalla. A la derecha (edición fullscreen), se pierde parte de la imagen inicial. En los televisores con pantalla panorámica, la relación de aspecto es de 16 : 9, por lo que hay menos zona en negro al ver una película en los formatos de cine. ¿Qué porcentaje de área de pantalla está en negro al ver una película de formato Panavisión en una pantalla estándar y en una panorámica? Medir alturas con el teodolito El teodolito es un instrumento para la medida de ángulos horizontales y verticales. Es muy utilizado en topografía e ingeniería, sobre todo en las triangulaciones. Básicamente es un telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y otro horizontal, con los que se miden los ángulos con ayuda de lentes. Si, por ejemplo, queremos hallar la altura h de una colina, con el teodolito podemos medir los ángulos α y β . Entonces, conocida la distancia real d entre las dos medidas, con un dibujo a escala y los dos triángulos de la figura, podemos determinar la altura h. Las casas de muñecas En las casas de muñecas se reproducen, a escala, puertas, ventanas y habitaciones reales, así como los distintos muebles y accesorios. Los muñecos que las habitan también son reproducciones a escala. La más utilizada es la escala 1 : 12, aunque también se construyen casas a 1 : 16, 1 : 24 y 1 : 48. ! http://majiniuhai.files.wordpress.com http://www.blogdojotace.com.br Crónica matemática 85. Polígono de 4 lados: 180° · (4 − 2) = 360° Polígono de 5 lados: 180° · (5 − 2) = 540° Polígono de 6 lados: 180° · (6 − 2) = 720° Polígono de 7 lados: 180° · (7 − 2) = 900° Polígono de 8 lados: 180° · (8 − 2) = 1 080° Polígono de 9 lados: 180° · (9 − 2) = 1 260° Polígono de 10 lados: 180° · (10 − 2) = 1 440° 87. Se trata de un dodecágono, ya que 360° : 12 = 30°. 89. 72°, pues su valor coincide con el ángulo central. 91. a) y b) Respuesta abierta. c) No existe, ya que en un triángulo equilátero todos los ángulos son de 60°. 93. a) El circuncentro está situado en el punto medio de la hipotenusa. b) 95. Simple observación. 97. a) Rombo; b) trapezoide; c) trapecio isósceles; d) romboide. 99. [360° − (2 × 35°)] ÷ 2 = 145° 101. 103. 107. a) 3 x + 5 = 20; b) ; c) ; d) 2 n + 2 n + 2 = 30. 109. a) La diferencia entre el triple de a y b; b) la suma del triple del cuadrado de a más b; c) la diferencia entre un tercio de a y 4; d) la diferencia entre el cuadrado de a y el cuadrado de b; e) la mitad de la suma de a más b; f) el cuadrado de la suma de a más b. 111. a) 2 · 4 + 5 = 13; b) 5 + 5 · + = 7; c) = 3. 113. a) 5 x − 5 y ; b) 20 a3b2; c) x4y5. 117. a) 1; b) a − 9 b ; c) 4 a + 8 b − 12 b2 + 9 ab7. 119. a) El número de lados de los polígonos es: M.C.D. (88, 68) = 4 b) Se obtienen 88 ÷ 4 = 22 cuadriláteros con palillos y 68 ÷ 4 = 17 cuadriláteros con cerillas. 121. Los trapecios rectángulos no tienen centro ni ejes de simetría y los triángulos rectángulos, en general, tampoco. 123. a) 18 x + 0,75 y b) 18 · 3 + 0,75 · 523 = 446,25 Debe pagar $ 446,25. 125. Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi nació en la ciudad de Khwarizmi (actual Khiva, en Uzbekistán) en el año 783. 127. Polígonos estrellados a partir del polígono regular de 15 lados. 129. a) a, b, c, d y f son triángulos isósceles, e es un romboide y g un cuadrado; a y b son iguales, y c y d también. 131. 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = 4 + 97 = ... Hay tantas sumas como la mitad de términos: 101 · 50 = 5 050 La suma de los 100 primeros números naturales es 5 050. Para los números pares, observamos: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 100 = 5 050 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 200 = ? Por tanto: 2 + 4 + 6 + … + 200 = 2 · (1 + 2 + 3 + … + 100) = 2 · 5 050 = 10 100 Para los números impares: 1 + 3 + 5 + … + 199 2 + 4 + 6 + … + 200 Por tanto: 1 + 3 + 5 + … + 199 = (2 + 4 + … + 200) − 100 = 10 100 − 100 = 10 000 — La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales es: La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales pares es: n (n + 1) La fórmula general para la suma de los n primeros números naturales impares es: n2 49. 51. Llamamos x a la longitud del segmento AB y llamamos y a la longitud del segmento BC. La longitud del segmento AB es 0,4 dm y la del segmento BC es 1,6 dm. 53. La altura del rectángulo mide 8 cm. 55. Podemos establecer las siguientes proporciones: Las medidas de los segmentos x, y y z son 1,5 cm, 4,5 cm y 6 cm, respectivamente. 65. a) Cierta; b) falsa; c) falsa; d) cierta. 67. Así, x = 2,4 cm; y = 7,2 cm. 69. El perímetro del triángulo mayor es 27 cm. 71. 73. — Triángulos ABC y ADC: Los triángulos ABC y ADC son semejantes y la razón de semejanza es . — Triángulos ABC y DBC: Los triángulos ABC y DBC son semejantes y la razón de semejanza es . — Triángulos ADC y DBC: Los triángulos ADC y DBC son semejantes y la razón de semejanza es . 75. a) La razón de semejanza es b) El cateto cuya longitud viene expresada por x + 2 mide 4 cm y el que viene expresado por 5x − 2 mide 8 cm. 2 77. El área del hexágono menor es 22,5 cm2. 79. Un cuadrado. — Sí, dado que todos los cuadrados son semejantes. — Calculamos el lado del cuadrado inscrito por el teorema de Pitágoras: Dado que el lado del cuadrado inscrito mide la razón de semejanza es: 83. a) 700 m = 70 000 cm La escala del plano es 1 : 10 000. b) 4,2 · 10 000 = 42 000 cm 42 000 cm = 420 m La distancia real entre la escuela y la arboleda es 420 m. 3,5 · 10 000 = 35 000 cm 35000 cm = 350 m La distancia real entre la arboleda y la casa es 350 m. 85. Establecemos las siguientes proporciones: Los peldaños de la escalera miden 30 cm, 60 cm y 90 cm, respectivamente. 87. Al estar los triángulos en posición de Tales, tenemos: Las medidas correspondientes a x + 2 y a x − 2 son 8 cm y 4 cm, respectivamente. 89. El otro cateto del triángulo mayor mide: Así pues, tenemos que: 93. Llamamos x a la diferencia de altura entre los dos bloques. Por semejanza de triángulos se cumple: La altura del bloque más alto es 45 m.
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