Matemáticas Preguntas Resueltas PDF

ESCRIBE AQUÍ LO QUE DESEAS BUSCAR

PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIOS RESUELTOS-QUINTO DE SECUNDARIA-PDF

¿Por qué (-1) (-1) = 1?

Mi melancólico profesor Benedito de Morais acostumbraba explicarnos, a mí y a mis compañeros de segundo año en el gimnasio, las reglas de los signos para la multiplicación de números relativos de la siguiente manera:
1. El amigo de mi amigo es mi amigo, o sea (+) (+) = +
2. El amigo de mi enemigo es mi enemigo, esto es, (+) (-) = -
3. El enemigo de mi amigo es mi enemigo, lo que significa (-) (+) = -, y finalmente:
4. El enemigo de mi enemigo es mi enemigo, lo que significa (-) (-) = +
Sin duda esta ilustración era un buen artificio didáctico, aunque algunos de nosotros no concordásemos con la filosofía maniqueísta contenida en la justificación de la cuarta regla (bien podíamos imaginar tres personas enemigas entre sí)
Consideraciones sociales aparte, lo que los preceptos anteriores dicen es que multiplicar por -1 significa “cambiar el signo" y, evidentemente, cambiar el signo dos veces equivale a dejarlo como está. Más generalmente, multiplicar por -a quiere decir multiplicar por (-1) a, o sea, primero por a y después por -1, luego multiplicar por -a es lo mismo que multiplicar por a y después cambiar el signo. De ahí resulta que (-a) (-b) = ab

• PRODUCTOS NOTABLES
Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva por la forma que presentan.

CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

1. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

• IDENTIDADES DE LEGENDRE

I1 : (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
I2 : (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS

(a + b)(a - b) = a2 - b2

Multiplicando miembro a miembro las identidades I1 e I2:

(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)

3. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUADRADO

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc +2ca
(ab + bc + ca)2 = a2 b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)

4. DESARROLLO DE UN BINOMIO AL CUBO

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

• IDENTIDADES DE CAUCHY

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b)
• RELACIONES PARTICULARES

(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)

5. SUMA Y DIFERENCIA DE CUBOS

(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

6. DESARROLLO DE UN TRINOMIO AL CUBO

Según Cauchy, se puede escribir así:

(a + b + c)3 =  a3 + b3 + c3+ 3ab(a + b) + 3bc(b + c) + 3ca(c + a) + 6abc

• Otras formas más usuales del desarrollo:

(a + b + c)3 =  a3 + b3 + c3+ 3(a + b) (b + c)(c + a)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)
(ab + bc + ca) - 3abc

(a + b + c)3 = 3(a + b + c) (a2 + b2 + c2) -
2(a3 + b3 + c3) + 6abc

7. IDENTIDADES DE STEVIN:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 +
(ab + bc + ca)x + abc

8. IDENTIDAD TRINÓMICA DE ARGAND:

(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2m y2n + y4n

• Formas particulares más usuales:

Si: m = 1, n = 1:
(x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4

Si: m = 1, n = 0:
(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1

9. IDENTIDADES DE LAGRANGE

(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2

(a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2 +
(ay - bx)2 + (bz - cy)2 + (az - cx)2

10.IDENTIDAD DE EULER

(a2 + b2 + c2 + d2) (x2 + y2 + z2 + w2) =
(ax + by + cz + dw)2 + (bx - ay + cw - dz)2 +
(cx - az + bw - dy)2 + (dx - aw + bz - cy)2

11.IDENTIDAD DE GAUSS

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)