NUMEROS NATURALES Y SISTEMAS DE NUMERACION PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

Concepto de número naturaL , Operaciones entre números naturales ,Propiedades, Otras propiedades de la suma y del producto, Axiomática del número natural, Sistemas de numeración, Cambio de sistemas,Operaciones en un sistema en base cualquiera, EJERCICIOS RESUELTOS Concepto de número natural RELACION DE COORDINABILIDAD. Dados dos conjuntos A y B son coordinables si se puede establecer entre ellos una aplicación biyectivQ. Se expresa poniendo A - B. Los conjuntos A = {l, 2, 3) Y B - fr, s, tI son coordinables y lo expresamos poniendo A - B ya que entre ellos podemos establecer la siguiente aplicación 1 2 , 1(1) ~ , 1(2) - S " 1(3) ~ t A f B La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia porque cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. 1 Propiedades reflexiva: Todo conjunto es coordinable consigo mismo. www.Matematica1.com 2, Propiedad simétrico: Dados dos conjuntos A y B si A es ¡;oordinable con B. también B es coordinable con A SiA-B~B-A 3. Propiedad transitivo · Si A - By B - C - A - C. Si f: A B y g: B e son aplicaciones biyeclívas, la aplicación producto 9 o f : A --- C también es aplkación biyectlva y por tanto A - e La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia . DEFlNICION DE NUMERO NATURAL. La .. Iaclón de coo,dlnabilldad definida en el conjunto de todos los conjuntos finitos origina una clasificación, cada clase de equivalencia está formada por todos los conjuntos coordinables entre sí, Se denomina cardinal de un conjunto finito al número de elementos que tiene, escribiendo Card (A) - n(A) = número de elementos de A - m Cada una de las clases de equivalencia antes señaladas viene representada por uno de los conjuntos que la forman. Se define el número natural como el cardinal del conjunto representante de cada clase de equivalencia , También se suele definir el número natural como la propiedad característica de cada clase de equivalencia. El conjunto de los números naturales se denomina por N y se escribe N - 11,2,3,4,5, 6,7, ... , n, . .. } El conjunto N de los números naturales es un conjunto ¡n(¡nito, ya que tiene primer elemento, ell, pero no tiene último elemento. EL NUMERO CERO. Si al conjunto N de los números naturales se le agrega un número que llamaremos _cero .. y que representamos por O se forma el conjunto No No - NU 101 www.Matematica1.com En lo que resta cuando se mencIone el conjunto NI) se entiende que es el conjunto N de los números naturales más el O No - 10. 1. 2,3. 4 . 5... n , .. 1 2. Operi:lciones entre números naturales. Propiedades SUMA DE NUMEROS NATURALES. Dados dos conjuntos finItos A y B disjuntos, si llamamos níA) - a al cardinal de A y n(B) = b al cardinal de B, de/ínimos la suma de a y b como el cardinal del conjunto A U B que se llama e Tenemos C- AUB a - n(AI b n(BI a + b - nlA U BJ ~ n(CI - e Ejemplo 1 Dados A = t I , 2, 31 Y B - Ir, sI siendo A n B = tP a - n(A) - 3 b - n(BI - 2 A U B - 11 , 2, 3. T. si a + b = n(A U B) = nlC) :: 5 PROPIEDADES 1 Ley de composici6n interno: La suma es una operación inlerna , ya que a cada par de números naturales se hace corresponder otro número natural , su suma N xN ---N (a, bJ a + b 2. Conmutativa. Dados dos conjuntos A y B disjuntos AUB=BUA www.Matematica1.com tomando cardinales' nlA U B) ~ nlB U A) operando n(A) + n(B) - n(B) + n(A) a+b=b+a siendo n(A) "" a y n(B) ... b 3. Asociativa Dados tres conjuntos A, B Y C disjuntos (A U B) U e ~ A U (B U Ci tomando cardinales_ n[(A U B) U C) - n[A U (B U C)] operando n(A U B) + nle) [nIA) + nIB)] + nle) n(A) + nlB U Ci nlA) + [nIB) + n(Ci] (o + b) + e = o + (b + e) siendo n(A) "" a, n(B) = b y n (C) - c El conjunto de los números naturales respecto de la operación de sumar tiene estrutura de semigrupo conmutativo (N, +) es semigrupo conmutativo PRODUCTO DE NUMEROS NATURALES. Dados los conjuntos A y B cuyos cardinales son a y b, se define el producto a por b como el cardinal de AxB a x b = n(A x B) = n(A) x n(B) Ejemplo 2 Dados A - 11, 2, 31 Y B = Ir, sI A x B - 111, <), (1, ,j, (2, ,j, 12, ,j, 13, ,j, 13, ,ji n(A) '" 3 n(B) - 2 n(A x B) - 6 se cumple www.Matematica1.com PROPIEDADES 1 Ley de composición interna. El producto es una operaclón interna, ya que a cada par de números naturales se hace corresponder otro número natural, su producto NxN N (a, b) a x b 2 Conmutativa. Dados los conjuntos A y B Y siendo n(A) = a y n(B) - b operando n(A x B) n(A) x n(B) n(B x A) ~ n(B) x n (A) axb=bXa :3 AsoclQtivo_ Dados los conjuntos A, B Y e siendo n(A) = a , n(B) = b y n(e) = e nllA x B) xC] n(A x B) x n(e) [n (A) x n(BII X n(e) n[A x (B x ell ~ n(A) x n(B x e) ~ n(A) x [n(B) x n(C)] (a x b) x e = a x (b x eJ 4 Elemento neutro. Sea A un conjunto unitario y B un conjunto cualquiera Se verifica siendo n(A) 1 y n(B) - b n(A x B) ~ n(A) x n(B) ~ 1 x b Al ser A x B el producto cartesiano de un conjunto unitario por otro conjunto de b elementos, el número de pares que se forman en el conjunto producto es el mismo que el de elementos de B, quedando n(B) ~ n(A X B) Por tanto b = 1 x b El conjunto N de los números naturales respecto de la operación de multiplicar tiene estructura de semigrupo unitario conmutativo (N, x) es semigrupo unitario conmutatiuo www.Matematica1.com 5 Distributiva Dados tres conjuntos A, By C disjuntos, se verifica A x lB U C) - lA x B) U lA x C) Llamando n(Al = a, n(B) - by n(C) = e se cumple n[A x lB UC)) nlA) x nlB U C) nlA) x [nIB) + nlC)) ~ n[IAxB) U IAxC)) ~ nlAxB) + nlAxC) [nIA) x nlB)) + [nIA) x nlc)) a x (b + e) = (a x b) + (a x e) El conjunto N de los números naturales respecto de la suma y del producto es un semianillo conmutativo (N, +, x) es un semianillo conmutativo RESTA DE NUMEROS NATURALES. Sean A y B dos conjuntos tales que B e A y cuyos cardinales sean a y b, se define la diferencia a - b como el cardinal de A - B. a nlA) b ~ nlB) a - b - nlA - B) El número a se llama minuendo y el b se llama sustraendo. Ejemplo 3 Sean A - 1m, n, p, q, rl y B - ¡p, q, rJ Se tlene_ B e A, nlA) - 5 Y nlB) - 3 A - B ""' 1m, nJ 5 - 3 - n(A - Bl - 2 El número 5 es el minuendo y el 3 es el sustraendo La resta no es operación interna ya que se puede expresar también como solución de la ecuación a - b + x que sólo tiene solución cuando a > b www.Matematica1.com Propiedad distributiva, Dados tres conjuntos A, B Y C siendo C e B se cumple que A x lB - C) - lA x BI - lA x C) llamando. n(A) = a, n(B) = by n(C) = e a X (b - e) = (a x b) - (a X el El producto respecto de la diferencia de conjuntos es distributivo, dando lugar a que también lo sea respecto de la diferencia de números naturales. DlVISION DE NUMEROS NATURALES. Dados dos números naturales a y b se define el cadente entero de estos dos números naturales, llamados dividendo y divisor, como el mayor número natural que multiplicado par el divisor da un resultado igualo menor que el dividendo. A la diferencia entre el dividendo y el resultado de la multiplicación del divisor por el cociente se le llama resto de la división Se tiene a -,,-b_ e a - (b x el + r Dividendo = (divisor x cociente) + resto resto < divisor Cuando el resultado de multiplicar el divisor por el cociente es el dividendo, la división es exacta, Se puede poner a:b e 6 a - e 6 a - bxc b En caso contrario la división es entera. El resto sIempre ha de ser menor que el divisor POTENCIACION DE NUMEROS NATURALES. La potenciación de números naturales es la operación que consiste en repetir como factor un número a llamado base tantas veces como indica otro b llamado exponente. Se escribe Q' www.Matematica1.com Ejem plo 4 Estas potencIas representan 21 _ 2x2x2_8 5( - 5 x5x 5x5 - 625 81 -8 x8_64 Cuando el exponente es dos se le llama cuadrado. Cuando el exponente es tres se le llama cubo . PropIedad distributiv a' La potenciación es distributiva por la derecha respecto de la multiplicaci6n . Se cumple . La pote.nciación no es distributIva por la izquierda ya que Ejemplo 5 La propiedad distributiva por la derecha de la potenciación respecto de la multiplicaCIón es fácilmente comprobable 12 X 3)4 6' 1 2% 2f X 3( _2f X3f 16 x 81 Sin embargo no es distrlbutlva por la izquierda 2].4 *' 2] X 24 212 *' 8 x 16 4 096 "d28 OTRAS PROPIEDADES 1 El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y de exponente la suma de los exponentes de las potencias dadas 2. El cociente de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base y de exponente la diferencia de los exponentes de las potencias dadas (b > el www.Matematica1.com 3 La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y como exponente el resultado de multiplicar los exponentes RADlCACION DE NUMEROS NATURALES, Dados dos números naturales a y n (a> n) llamados radicando e índice definimos la raíz n-sima entera de a como el mayor número natural que elevado a n nos da un número igualo menor que el radicando. Cuando n - 2 la raíz se \lama cuadrado En una raíz cuadrada llamamos resto a la diferencia entre el radicando y el cuadrado de la raíz. Cuando el cuadrado de la raíz es igual al radicando se dice que la raíz cuadrada es exacta. Las raíces n-simas se indican: va También se indican como solución de la ecuación: x~ "'" a Propiedad distributiva: La radicación tiene la propiedad distributiva a la izquierda respecto de la multiplicación Ejemplo 6 Es fácilmente comprobable que "';64 x 16 ..J64 x -J16 "1024 Y64 x D6 32 - 8 x 4 3. Otras propiedades de la suma y el producto LEYES DE SIMPLlFlCACION Y MONOTONIA 1 Ley de simplificación de la suma' Dados tres conjuntos A, By C dis· juntos entre sí SiAUC=BUC=A - B www.Matematica1.com Tomando los cardinales y siendo n(A) - a, n(B) = b, n(C) - c se deduce: nlA U C) n(B U e) ~ n(A) n(B) + n(C) = a + e + n(C) ~ b + e Sia+c=b+c=a=b En el conjunto N de los números naturales con la operación de sumar todos los elementos son regulares. 2. Ley de monotonia de la suma: Dados tres conjuntos A, 8 Y C disjuntos entre sí Si A ~ B ~ A U e ~ B U e Llamando n(A) - a, n(B) = by n(C) ... e Como n(A U C) ... a + c y n(B U C) - b + e se deduce Si a = b ~ a + c = b + c 3_ Ley de simplificación del producto. Dados tres conjuntos A. B y e S¡AxC - BxC~A=B Llamado n(A) = a, n(8) - by n(C) - c n(A x e) nlB x C) ~ n(A) x n(C) ~ a x e n(B) xn(e) ~ bxc Siaxc=bxc~a=b En el conjunto N de los números naturales con la operación de multiplicar todos los elementos son regulares. 4 Ley de monotonía del producto. Dados tres conjuntos A, B y e SiA=B~AxC - BxC www.Matematica1.com Llamando: n{A) - a, n{B) = by n(C) = e se deduce nlA x CI nlB x CI n(A) xn(C) "'" axc nlBI x nlc) ~ b x e Sia=b=axc=bxc DESIGUALDAD DE NUMEROS NATURALES. Dados dos números naturales a y b, a es menor que b escribiendo a < b si existe otro número natural d tal que a + d = b. Lo expresamos 'Va, b E N a < b = 3 d E N la + d ,. b La relación «menor que" posee la propiedad transitiva Siab Cada una de estas relaciones implica a + e < b + c axc < bxc a + e = b + e axc=bxc a + c > b + e axc>bxc www.Matematica1.com 4. Axiomática del n(imero natural El conjunto N de los números naturales se puede introducIr además de por la teoría de conjuntos mediante una forma axiomática. Mediante el razonamIento o desarrollo de teoremas se deducen proposiciones de otras anteriormente establecidas que a su vez pueden haber sido deducidas de otras anteriores mediante OITOS teoremas. Hay unas proposiciones que deben aceptarse sin demostración , son las propOSIciones p ri· meras Las propOSiciones enuncian propiedades de objetos o entes definidos refiriéndolos a entes anteriores por lo que también se han de introducir unos conceptos primitivos aceptados sin definición . Los axiomas o postulados son un conjunto de conceptos primItivos y proposiciones primeras que forman la base de la teoría matemática de que se trate_ Los demás conceptos y teoremas serán consecuencia de dichos axiomas_ Para una misma teoría se pueden considerar axiomáticas distintas y una proposición puede ser axioma en una mientras que en la otra teorema (de mostrable) Según Hilbert los sistemas de axiomas deben estar formados por axiomas compatibles , independientes, completos y suficientes, de tal modo que 1) No se contradigon unos a aIras 2) Ninguno sea consecuencia de los dem6s . 3) El resto de la teoría sea exclusiva consecuencia de ellos 4) Su número sea el menor pOSible Cuando se cumplen estos requisitos se dice que el sistema de axiomas es compatible . Exponemos a continuación tres sistemas axiomáticos de introducir el conjunto N de los números naturales SISTEMA AXIOMATICO DEL NUMERO NATURAL (Del Pmf. Zoma) Axíoma 1, Para cada dos números naturales a y b existe un número natural y sólo uno, llamado suma de a y b, y otro úníco llamado producto de a y b La suma representa por a + b Y el producto por a x b Axioma 2. La suma y el producto poseen las propiedades -ConmutatIva' a + b = b + a -Asociativa: a + (b + c) = fa + b) + e -DistrIbutiva. a x (b + e) = (a x b) a xb-bx a a x (b x el = (a x b) X e + (a x e) www.Matematica1.com Axioma 3. Existe en N el número «uno» representado por 1, tal que lXn - n Vn E N Axioma 4. Si a y b son dos números naturales vale una y s610 una de las tres posibilidades 1) a b Axioma 5. Principio de Inducción . Todo e e N que cumple las condiciones. 1 !'l. 1 E e 2 a:Sia E eseverificaa + 1 E e contiene al conjunto N, es decir, resulta ser e - N AXIOMATICA DE PEANO Axioma 1. «Uno es un número natural' 1 E N». Axioma 2. ",A cada número natural corresponde un número natural siguiente a él, unívocamente determinado». SixEN~sgxEN (sg = siguiente) Axioma 3. «El uno no tiene precedente,., v x E N s9 x *" 1 Esto significa que la sucesi6n numérica natural empieza por 1 Definimos el precedente de un número asf sg(pr x) = x (pr - precedente) Axioma 4. «De la igualdad sg x = sg y se deduce x = y» Esto nos dice que cada número natural tiene a lo más un s6lo precedente, aunque no nos dice que lo tenga. Axioma 5. Axioma de Inducción completa. Si de un conjunto e de números naturales (e e N) se sabe que cumple estas dos condiciones: www.Matematica1.com 1. al El número natural 1 pertenece al conjunto C (1 E C). 2. al Si un número natural x E C =t sg x E C los números naturales pertenecen al conjunto C (N e C) y entonces C = N. Aplicando los Axiomas de Peano y en particular el principio de inducci6n completa se demuestran como teoremas la propiedad asociativa, conmutativa de la suma y del producto así como la distributiva Por recurrencia se define la suma y el producto de la siguiente forma. al Suma. A cada par de números naturales x, y corresponde unívocamente otro número natural definido x + y construido así x+l=sgx x + sg y = sg(x + y) "Ix E N "Ix, y E N bl Producto A cada par de números naturales x, y corresponde unívocamente otro número natural designado por x . y construido así: x 1 = x xsgy=xy+x "Ix E N "Ix, y E N Por el principio de inducción completa se demuestran como teoremas las propiedades de los números naturales tanto respecto de la suma como del producto SISTEMA AXIOMATICO DEL NUMERO NATURAL 1M Sales Boli) Los números naturales son entes abstractos que forman un conjunto N cuya estructura queda determinada por las siguientes propiedades Axioma 1 ... El conjunto N es totalmente ordenado e indefinido,". Es decir que dados dos números naturales a y b siempre uno de ellos es anterior al otro y no hay ninguno que sea el último, Axioma 2 «El conjunto N es bien ordenado". Es decir todo conjunto parcial de N tiene un elemento primero. Consecuencia de esto es que el propio conjunto N tiene un primer elemento que se llama uno y se representa por 1, Axioma 3 . .. Todo número natural, excepto el 1, tiene un anterior inmediato » Teorema 1 .. Todo número natural tiene un siguiente inmediato». www.Matematica1.com Teorema 2 ... Principio de inducci6n completa. Conceptos de mayor y menor: «Si a es anterior a b se dice que a es menor que b y que éste es mayor que aquél» Cortaduras en N: .. Cualquier número natural n descompone al conjunto N en dos partes: Una S~ formada por el número n y todos los anteriores a n que llamaremos sección inferior de n y la otra S~' formada por todos los números mayores que n, llamada sección sup"rior de n» Conjuntos finitos: «Un conjunto A se llama finito cuando es coordinable con una secci6n inferior de N. El número 11 determinante de la sección S~ se llama número cardinal del conjunto Al! Números ordinales' «Todo conjunto finito es biyectivo con una sección inferior del conjunto N. En esta biyecci6n a cada elemento de e corresponde un número natural que se llama el número ordinal de ese elemento El cardinal del conjunto coincide con el ordinal de su último elemento Axioma 4 «Permanencia del Cardinal. Al cambiar el orden de los elementos de un conjunto, pueden cambiar los ordinales, pero el cardinal permanece inalterable». Por recurrencia o por paso de n al Siguiente de n se definen las operaciones de suma y producto de la siguiente forma' al Suma: Se llama suma de dos números naturales a y b a otro número natural e, que se representa por a + b, determinado del siguiente modo a + 1 a + sg n sga sg (a + nl b) Sustracción Axioma 5. o. Dados dos números a > b existe siempre otro número natural d, tal que b + d ,.. a Si a> b = 3 d E NI b + d ~ a Este número d se llama diferencia entre a y b y se representa por a - b de modo que a > b = b + d = a ~ a - b - d www.Matematica1.com el Multlplicaci6n. Dados dos números naturales a y b se llama producto de a por b a otro número natural p . que se representa por a x b - p ; a·b = p 6 ah = p que queda determinado por las siguientes igualdades a x 1 = a a x sgb=a x b+a Va EN Va, b E N Por el principio de inducción completa y por recurrencia se obtienen las propiedades tanto respecto de la suma como del producto de los números naturales a modo de teoremas. Ejemplo J Demostrar En efecto según· sg~+b - a+sgb sga-a+l lI+ sg n - sg[a +n) sg a + 1 - sg(sg al - ;g(a + 1) = a + sg 1 para b .. Se cumple que sg a + b - a + sg b pues hemos visto que s9 a + I .. -a+s91. Supuesta cierta esta igualdad para el número b veamos que también es cierta para sg b Ejemplo 2 . Demostrar +3- a + l Para a _ 1 es cierta Supuesto cierto para a [o será también para 59 a l+ sga= sga+l Sabemos· (1 + S9 a) - 5g(a + 1) www.Matematica1.com luego (1 + sg al == sg(a + 1) - a + sg 1 "" (por el ejemplo 1) - sg a + 1 Ejemplo 3. Por el prIncipIo de inducci6n completa demostrar Paran - 1 Paran-2 Paran = 3 1 + 2 + 3 + + n - n(n + 1) 2 resulta: 1 - 1 x (1 + 1) - 1 2 resulta : 1 + 2 - 2x(2+ 1) - 3 2 resulta: 1+2+ 3- 3 x (3 + 1) _ 6 2 Supuesto cierto par21 n también lo será para n + 1 1 + 2 + 3 + ' .. + n + (o + 1) - (n + 1) (n + 2) 2 En efecto ' +2 + 3+4+ nln + 1) 2 + n + In + 1) - U + 2 + 3 + + (n + 1) _ cn~(n,,-,+_I,,)- -+; ;-2,- (~n_+-",-)1 _ 2 5. Sistemas de numeración + n) + (n + 1) - In + 1) In + 2) 2 INTRODUCClON. Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresar verbal y gráficamente los números mediante palabras y signos. El sistema decimal se basa en el valor relativo de sus cifras, ya que una mIsma cifra representa distintos valores según el lugar que ocupa Emplea los digitos, cifras o guarismos: O, 1. 2. 3, 4 . 5, 6. 7. 8 y 9 El haber trabajado en base decimal o sistema decimal es debido a la comodidad que representa el ser diez los dedos de las manos y la faci lidad de realizar sus cálculos. www.Matematica1.com El sistema de base dos o binario ha cobrado un interés especial a causa de su utilización en las máquinas de calcular electrónicas y computadoras El dígito O equivale a la interrupción de corriente y el 1 al paso de ella Desarrollamos nuestro estudio en un sistema de base S > 1. El utilizar bases mayores a 10 da lugar al empleo de signos para representar los dígitos mayores a 9; el utilizar bases menores a 10 da lugar a tener que utilizar muchos dígitos para expresar cualquier número Utilizaremos· 10 = ct , 11 = i3 12 "'" "( 13 = {j, para casos de bases superiores a diez, tomando las letras del alfabeto griego_ En un sistema de base S, las unidades simples o de primer orden son: 0, 1,2, ,(B-1); cada B unidades simples o de primer orden forman una de segundo orden, cada B unidcdes de segundo orden forman una de tercer orden y así sucesivamente. Al igual que en base decimal, en cualquier base B utilizaremos el principio de valor relativo. Ejemplo 1 Escribir las cifras que se utilizan en las bases menores a diez -En base 2· 0, 1 -En base 3. 0, 1. 2 -En base 4 0, 1, 2, 3 -En base 5. 0, 1, 2, 3, 4 -En base 6: 0, 1, 2, 3, 4, 5 -En base 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 -En base 8· 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 -En base 9 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 EXISTENCIA DE UN NUMERO EN BASE CUALQUIERA Sea B la base del sistema de numeración con la condición de ser mayor que 1, cualquier número natural n se puede escribir de la forma única siguiente en donde los números rl' r2' , rh, Ck son todos menores que B En efecto cualquiera que sea n podemos efectuar la división por B dándonos un cociente Cl Y un resto rl' A su vez si Cl > B dividimos nuevamente por B dando un cociente C2 Y un resto r2' Y así sucesivamente podemos continuar dividiendo los cocientes que resultan hasta llegar a un cociente c_ < B. www.Matematica1.com Si este cociente ch '* O tendremos n B r, c, LB r, c, I B r, c, -De la primera división. n ~ c, B + r, -De la segunda división: c, c, B + r, - De la tercera división: c, c, B + r, -De la k-ésima división: Ch~l = Ch 8 + r, con rl , r2 , .. , r. , Ch todos inferiores a B por ser los r, restos de las divisiones por B y Cl < B por hipótesis. Multiplicando estas k igualdades por BO , Bl , B2 , _, BH respectivamente , resulta n ~ c, B + r, cl 8 C2 B2 + r, B C2 82 e3 83 + r, B' Cl - l B·~l = Ch Bh + r, Bh-l sumando estas k igualdades miembro a miembro y simplificando los términos comunes da Otra forma de expresarlo es: Ejemplo 2 Expresar en base 10 el número natural 1983. www.Matematica1.com Se efectúan las siguientes divisiones por la base 10. 1983 98 83 ~ 198 98 1983 - 1 103 + 9 102 + 8 10:1- 3 - 1983(10 Ejemplo 3 Expresar en base 6 el número natural 101 Se efectúan las divisiones por 6 101 ~ 41 16 ~ 5 4 2 G GJ c0 101 - 2 62 + 4 6 + 5 ~ 245(6 Ejemplo 4 Expresar en base 12 el número natural 1490 Recordamos que CJ. = la y {3 - 11 Dividimos por 12 y donde aparezcan restos 10 y 11 los reemplazaremos por las letras CJ. y {3, 1490 ~ 29 124 ~ 50 04 10 ¿ GQ 1490 ... CJ. 122 + 4 12 + 2 = a 42 112 UNICIDAD DE UN NUMERO EN BASE CUALQUIERA Vamos ahora a demostrar que no es posible encontrar otro polinomiO en B y con coefi· cientes menores que B que sea la descomposici6n de n Lo demostramos por reducción al absurdo Para ello supongamos que se puede descomponer de esta nueva forma n = c':' 8'" + r';' 8",-1 + + r:Í 8 2 + rí 8 + rí www.Matematica1.com tanto en esta expresión como en la que obtuvimos podemos sacar del segundo miembro B como factor común, quedando n n - B(c':'8",-1 + r';'8 "'-: + ... + r; 8 + Ti) + rí 8 (CA BH + r~ 8k-2 + + r3 B + r2) + r1 se puede considerar en ambos casos una división donde el dividendo es n, el divisor 8 , el cociente el paréntesis y el resto rí y rl respectivamente . Como dividendo y divisor son iguales . el cociente y el resto tambIén lo serán , por tanto: r l - Tí Llamando nI al paréntesis resulta n1 = c';' B",-1 + r':' 8",-2 + + r; B + rí n1 - Ck 8A - 1 + rk B~-2 + " + T3 B + T2 reiterando el procedimiento anterior, en el segundo miembro de las dos igualdades sacamos B factor común, quedando n. B(c';' B",-2 + r':' S",-2 + n, >::> B (eA B~-2 + rA 81-2 + + r;) + rí + r1) + r2 como el dividendo es nI Y el divisor B en las dos igualdades. serán iguales el cociente y el resto. '2 = ,; así llegaríamos a demostrar que : r) = rj ; r4 = r~ siendo además m = k. r';' = T •• c.:. - c. Llegamos a demostrar que todo número natural se puede expresar de formo única en una base B. REPRESENTACION GRAFICA, Para representar gráficamente un número natural en una base cualquiera S , se hace así 1) Se señalan en un diagrama de Venn los elementos cuya cardinal es el número natural que nos dan . 2) Se van agrupando de B en B rodeándolos para (onnar las unidades de segundo orden . www.Matematica1.com 3) Si el número de estos subconjuntos formados (unidades de segundo orden) es igualo superior a B se agrupan nuevamente de B en B obteniendo las unidades de tercer orden y así sucesivamente Ejemplo 5, Expresar el número natural 25 en base 6 11 xxxxxx " ,-- -:--, <.....~~~ xxxxxx ,---- (,. ¡(xxxxx"') ~-~ xxxxxx e --~ -xx-xxxx- ) xxxxxx C~;;-~ , --, -~ como s6lo se forman 4 subconjuntos se termina aquí 25 = 41 16 Ejemplo 6 Expresar el número natural 25 en base 4 11 xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx , Se han obtenido· 2i ~ ~ ~ C2> C§0 ~ -Unidades de 1 ~, orden _ Unidades de 2 o orden -Unidades de 3. er orden 3i 1 2 1 ~ Ci0 ~ ~) ~ \.~..,,::., 1 EXPRESION DE NUMEROS NATURALES EN UNA BASE B Sabemos que en una base B cada B unidades de primer orden forman una unidad de segundo orden; cada B unidades de segundo orden forman una unidad de www.Matematica1.com tercer orden, cada B unidades de tercer orden forman una de cuarto orden y así sucesivamente. También conocemos que en una base B los dígitos utilizados son 0, 1, 2,3, .. , IB-1) Con estas premisas vamos a formar a modo de ejemplo una tabla con los 30 primeros números naturales expresados en base inferior a 10 y que convIene que el lector la continúe a modo de ejercicio BASE n - 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 10 2 2 2 2 2 2 2 3 11 10 3 3 3 3 3 3 4 100 11 10 4 4 4 4 4 5 101 12 11 10 5 5 5 5 6 110 20 12 11 10 6 6 6 7 111 21 13 12 11 10 7 7 8 1000 22 20 13 12 11 10 8 9 1001 100 21 14 13 12 11 10 10 1010 101 22 20 14 13 12 11 11 1011 102 23 21 15 14 13 12 12 1100 110 30 22 20 15 14 13 13 1101 111 31 23 21 16 15 14 14 1110 112 32 24 22 20 16 15 15 1111 120 33 30 23 21 17 16 16 10000 121 100 31 24 22 20 17 17 10001 122 101 32 25 23 21 18 18 10010 200 102 33 30 24 22 20 19 10011 201 103 34 31 25 23 21 20 10100 202 110 40 32 26 24 22 21 10101 210 111 41 33 30 25 23 22 10110 211 112 42 34 31 26 24 23 10111 212 113 43 35 32 27 25 24 11000 220 120 44 40 33 30 26 25 11001 221 121 100 41 34 31 27 26 11010 222 122 101 42 35 32 28 27 11011 1000 123 102 43 36 33 30 28 11100 1001 130 103 44 40 34 31 29 11101 1002 131 104 45 41 35 32 30 11110 1010 132 110 50 42 36 33 www.Matematica1.com 6. Cambio de sistemas PASO DE UN SISTEMA EN BASE NO DECIMAL A BASE DECIMAL Lo explicaremos mediante un ejemplo. Sea el número 24(5 y queremos pasarlo a base decimal. Este número está formado por cuatro unidades de primer orden y dos de segundo orden Gráficamente Por ser la base 5, cada unidad de segundo orden está formada por cinco de primer orden Una vez representado el número transformamos todas las unidades de orden superior en unidades de primer orden, resultando xx xx xxx xxx xxxx Por último agrupamos estas unidades de primer orden según la base a la que queremos pasar. Aquí es 10, luego cada diez unidades de primer orden forman una de segundo, resultando xxxx El número es 14<10 o simplemente 14 De forma analítica hacemos n - cifra de 1 er orden + base x cifra de 2. o orden + (baseF x cifra de 3 ~f orden + (baseJ3 x cifm de 4. o orden + Por tanto n = 4 + 5 x 2 ~ 14 www.Matematica1.com Ejemplo 1 Expresar en base decimal el número 123'4 123(4 - 3 + 4 x 2 + 42 X 1 - 27 Ejemplo 2 Expresar en base decimal el número 4a{32m 4a.62 - 2 = 2 + 11 + {3 12 + a 12 + 10 123 122 + 4 + 4 123 123 - - 8486 PASO DE BASE DECIMAL A OTRA BASE CUALQUIERA. Se efectúa del mismo modo gráficamente Consideremos el número 12 en base decimal y queremos pasarlo a base 4. Su proceso gráfico es él;)\ • • ©" él;) " 'J Analíticamente lo hacemos dividiendo el número entre la base tantas veces como cocientes nos resulten mayores que la base 12 4 O 3 ~Q como 3 < 4 12 = 30'4 ya que al expresar un número n en un base B Ejemplo 3_ Expresar en base 5 el número natural 38 38 ~ 3 7 ~ c0 2 1 r0r0 www.Matematica1.com Ejemplo 4 Expresar en base 12 el número natural 467 467 107 11 12 38 2 467 - 32,8'(\2 PASO DE UNA BASE NO DECIMAL A OTRA BASE NO DECIMAL. Gráficamente se hace de forma análoga a la expuesta en casos anteriores. Si queremos expresar el número 1516 en bi!5e 3 para efectuarlo ponemos .....:: ::--. C) '" 'e '" • '" • ~ '" '" ~ " " " 1516 = 102(3 Analíticamente lo hacemos en dos partes: 1) Pasando a base decimal y 2) De base decimal pasando a la segunda base 1) 15(6 - 5 + 6 x 1 = 11 2) 11 3 2 3 3 O 1 Por lanto, 15(¡ -= 102(3 E]€mplo 5. Pasar el número 45(6 él base 11 . 1) 45(1 - 5 + 4 x 6 ... 29 2) 29 7 Por tanto L!L 2 11 ~ 10243 www.Matematica1.com Ejemplo 6, Pasar el número 21502 a base 8. 1) 215112 "" 5 + 1 x 12 + 2 x 12l - 305 2) 305 65 1 Por t~nto' ~ 38 I 8 305 - 461,. 6 4 215m - 461 11 7. Operaciones en un sistema de base cualquiera SUMA. Para sumar dos números lo primero a hacer es expresarlos en la misma base . Se puede efectuar la suma de forma gráfica y de forma analítica. Veamos la suma con el siguiente ejemplo numérico 3214 + 21(4 c ~~ ") C xxxx) c;::) + c=:J <::::0 , " 32(4 + 21(4 De forma analítica : - Dos unidades de primer orden más una de primer orden son tres unidades de primer orden . www.Matematica1.com - Tres unidades de segundo orden más dos unidades de segundo orden hacen una de segundo y una de tercer orden. SI en Jugar de dos sumandos tenemos tres la operación se realiza de forma análoga recordando que cada B unidades de un orden forman una unidad de orden superior 425(6 + 324(6 223(6 Muchas veces se efectúa una tabla de sumar, de la suma , en la base en que nos encontremos . previameme al desarrollo A modo de ejemplo formamos las tablas de sumar en base 5 y en base 7 + O 1 2 3 4 O 1 2 3 4 + O 1 2 3 4 5 O 1 2 3 4 O O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 10 1 1 2 3 4 5 6 2 3 4 lO 11 2 2 3 4 5 6 10 3 4 10 11 12 3 3 4 5 6 10 11 4 10 11 12 13 4 4 5 6 LO 11 12 5 5 6 10 11 12 13 6 6 10 11 12 13 14 Ejemplo 1 Suma en base 8: 4762,. y 3156,. + 4762 '8 3156,. 10140" Ejemplo 2. Suma en base 12 · 30"561(12 + 4789m + 651~m + 3 a561m 4789m 651Pm 49649uz 6 6 10 11 12 13 14 15 www.Matematica1.com RESTA Para efectuar la resta seguimos el mismo procedimiento que en base decimal. Siempre ha de ser el minuendo mayor que el sustraendo. En este ejemplo no ha habido ninguna dificultad para su realización puesto que todas las 6 fras del minuendo son mayores que sus correspondientes del sustraendo Pero puede ocurrir que alguna cifra del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo y en base decimal 35892 23467 12425 no decimos 2 menos 7, sino 12 menos 7, porque descomponemos una unidad de segundo orden en diez de primer orden para poder efectuar la diferencia.. " En otra base cualquiera, cuando no podamos efectuar la diferencia porque el término del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo, descompondremos una unidad de orden superior en tantas unidades de orden inferior como indica la base. Por ejemplo 543205" 344012" 155153" Decimos: De 2 a 5 van 3; de 1 a 6 van 5; como de las 2 unidades de tercer orden hemos pasado una unidad de tercer orden a 6 de segundo, decimos de O a 1 va 1; de 4 a (6 + 3) van 5; de 4 a (6 + 3) van 5 y por último de 3 a 4 va 1. Para comprobar el resultado sumamos el sustraendo y el resto obtenido para ver si coincide con el minuendo. Ejemplo 3, Restar en base 7 www.Matematica1.com La comprobaci6n es: 26154(7 + 16026n Ejemplo 4_ Restar en base 11 La comprobación es: 8a7582m 154a63(11 75261am 1540:63111 + 75261allt 8cr7582m MULTIPLlCACION. La multiplicaci6n por una cifra se puede efectuar directamente teniendo en cuenta la base en que se trabaje o bien efectuar previamente una tabla de mulliplicar y aplicar el resultado a la operación a realizar Por ejemplo decimos: 342012" X 3(5 2131041" -3 por 2 son 1 unidad de 1 ... orden y 1 de 2. o orden. -3 por 1 son 3 y una que nos llevamos hacen 4 unIdades de 2. o orden. -3 por O es O unidades de 3. Ir orden. - 3 por 2 es 1 unidades de 4. o orden y nos llevamos 1 de 5 . o orden. -3 por 4 son 2 unidades de 5. o orden y 2 de 6. o orden, pero como nos llevábamos 1 de 5 . o hacen 3 de 5. o orden. - 3 por 3 son 4 de 6 .0 orden y 1 de 7.° orden pero como nos llevábamos 2 de 6 .° hacen 1 de 6.° y 2 de 7. 0 orden . También se podía haber efectuado la tabla de multiplicar previamente . www.Matematica1.com A modo de ejemplo formam os las tablas de multiplicar en base 5 y en base 7. x O 1 2 3 4 x O 1 2 3 4 5 6 O O O O O O O O O O O O O O 1 O 1 2 3 4 1 O 1 2 3 4 5 6 2 O 2 4 II 13 2 O 2 4 6 11 13 15 3 O 3 II 14 22 3 O 3 6 12 15 21 24 4 O 4 13 22 31 4 O 4 II 15 22 26 33 5 O 5 13 21 26 34 42 6 O 6 15 24 33 42 51 Cuando la multiplicación sea por dos cifras primero se multiplica por la primera cifra . después por la segunda y a continuación se efectúa la suma al igua.l que en base decimal. A modo de ejemplo efectuamos la siguiente multiplicación 3142056" X 25 '7 22103412 63 14145 115245162" para su realización se ha podido utilizar las tablas de multiplicar y de sumar en base 7 o bien directamente . Ejemplo 5. Multiplicar en base 4 210312\4 X 3'4 Ejemplo 6. Multiplicar es base 11 47820'5(11 X 23m 1312894 945590' www.Matematica1.com DIVISION. Antes de efectuar la división es conveniente construir la tabla de multiplicar en dicha base, En este ejemplo en base 6 lo comprobamos 453210" LI .,,5'---_ Formamos la siguiente tabla de multiplicar. En base 6 5 x 1 ~ 5 453210 I 5 5 x 2 14 --41- 55250 5 x 3 ~ 23 43 5 x 4 ~ 32 -41 5 x 5 41 -W -14 41 -41 00 Si el divisor está formado por dos cifras el razonamiento es idéntico Veamos en base 8 47 x 1 47 3207651 I 47 47 x 2 116 -303 52674 47 x 3 ~ 165 157 47 x 4 ~ 234 -116 47 x 5 303 416 47 x 6 352 -352 47 x 7 ~ 421 445 -421 241 -234 5 La comprobación de estas divisiones se hace siguiendo el esquema general de que Dividendo ,. (divisor x cociente) + resto resto < divisor www.Matematica1.com Ejemplo 7. Dividir en base 5 32 x 1 = 32 42013 I 32 32 x 2 - 114 -32 1122 32 x 3 - 201 100 32 x 4 - 233 -32 131 -114 123 - 114 4 Comprobación: 112215 X 3215 2244 3421 42004 + 4 42013(5 Ejemplo 8. Dividir en base 12 o x 1 - o 8709~35 I o o: x 2 - 18 -84 0:4823/'j o: x 3 - 26 30 o x 4 - 34 -34 o x 5 - 42 69 o x 6 - 50 -68 o x 7 - 50 1~ a x 8 68 -18 o: x 9 - 76 33 o x a - 84 -26 o: x {3 "" 92 ----¡g ~92 3 Comprobación: 0:4823.6'112 x 0:112 870:9/'j32 + 3 87cr9/'j35 www.Matematica1.com EJERCICIOS RESUELTOS 1. Demostrar por inducción que Solución 1 + 4 + 7 + + (3n - 2) = 0(3n - 1) 2 Para n _ 1 _ 1 _ 1 (3 - 1) = 1 2 n 2(6 - 11 2 o 5 Supuesto cierto para n 1+4+7+ +(3n-2) - n(3n - 1) 2 lo demostramos par n + 1 1 + 4 + 7 + - + (3n - 2) + [3(n + 1) -2]. - 0(3n - 1) + [3(n + 1) - 2)J _ 2 n{3n - 2 11 + (3n + 11 - -,,n,,,(3)on,-=--=.!11~+--,2,:!(::.3n~+~11 2 3n2 + 5n + 2 2 (n + 1) (3n + 2) 2 2. Demostrar por inducción que Solución 1 + 3 + 6 + 10 + Paran - l~l + n (n + 1) = en,,! n"--+,--,1")c-'("n_+~2,,-) 2 6 1(1 + 1) (1 + 2) "" 1 6 n "" 2 _ 1 + 3 "" 2(2 + 1) (2 + 2) == 4 6 www.Matematica1.com Supuesto cierto para n 1 + 3 + 6 + 10 + + n(n + 1) ~ .::".1:":,--+,.....::1),,1::.:"_+,-,2,,)- 2 6 lo demostramos par~ n + - 1 + 3 + 6 + 10 + n(n + 1) (n + 1) In + 2) + + - n(n + 1) (n+ 2) + (n + 6 2 2 1) (n + 2) -n(n + 1) (n + 2) + 3{n + 1) en + 2) 2 6 (n + 1) (n + 2) (n + 3) 6 3. Demostror por inducción + ~---,1: .~-~ = ~~ ~n~(n,--+,~3~1~~ n(n + 1) (n + 2) 4(n + 1J (n + 2) Solución 1 1 1 11 + 3) 1 Para n ... ~ -- - -~ 1· 2 ·3 4 · (1 + 1) (l + 2) 6 n _ 2 _ _ 1_ + _ 1_ 2 12 + 31 5 ~ ~ -- Supuesla cima para n lo demostramos para n + 1 1 1 1 23 23 4 4(2 + 11 (2 + 2) + ---,--~--= n (n + 1) (n + 2) nln + 3) 4(n + 1) (n + 2) 24 -- +--+ .. + + =- 1 · 2 3 2 3 ·4 n{n + 1) In + 2) (n + 11 (n + 2) (n + 3) nln + 3) 4(1'1 + 1) (n + 2) n(n + 3)2 + 4 1 + ~-~--''-",-,---"", (n + 1) (n + 2) (n + 3) n{n 2 + 6n + 9) + 4 4(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + I)Z (n + 4) - ~~~~--'== 4(n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 1) In + 4) 4(n + 1) (o + 2) (n + 3) 4{n + 2) (n + 3) - www.Matematica1.com 4. Demostrar por inducción completa 2 + 4 + 8 + 16 + 2(2" - 1) Solución Para n - 1 ~ 2 ... 2(21 - 1) "'" 2 n - 2 ,.. 2 + 4 - 2í22 - 1) "" 6 Supuesta cierta para n 2 + 4 + 8 + 16 + + 2" 2(2" - 1) lo demostramos para n + 1 2 + 4 + 8 + 16 + + 2~ + 2~+1 - 2(2" - 1) + 2"+1 "'" '"' 2"+1 _ 2 + 2.+1 = 2(2"+1 - 1) 5. Demostrar por inducción completa (a + 1)" ?: aH + 1 Va E N Solución Paran - l"'a+l - a+1 n - 2 ... (a + 1)2 > a2 + 1 Supuesto cierto para n ía + 1)" ?: a" + 1 (1) lo demostramos para n + 1 Multiplicando los dos miembros de (1) por (a + 1) (a + 1) (a + 1)" ?: (a" + 1) (a + 1) (a + 1)"+1 ?: a"+1 + a + a" + 1 > a"+1 + 1 luego (a + 1)"+1 ?: a"+1 + 1 www.Matematica1.com 6. Demostrar que si a < b y e < d sIendo a, b, e, d E N se verifica Solución Si Si 1) a + e < b + d 2) oc < bd a3qEN a + P ... b e + q d 1) Sumando m a m. (l) y (2) 11) 12) a + P + e + q - b + d => a + e < b + d 2) Multiplicando m. a m (1) y (2) ae + aq + ep + pq - bd ,.. ae < bd 7. Basándose en la axiomática de Peano, demostrar (a + b) + e = a + (b + c} Soludon Para e = 1 Supuesta eierta para e (a + b) + e - a + (b + e) también lo será para sg e, es d~dr (a + b) + sg e - a + (b + sg e) Por definición de suma. a + sg b ... sg(a + b) (a + b) + sg e - sg [(a + b) + el - sg [a + {b + e)J - a + (b + sg e) 8. Basándose en la axiomática de Peano, demostrar (a + b) e =' oc + be a + sg{b + e) = www.Matematica1.com Solución Para e "" 1, aplicando la definición del producto (a + b) x 1 = a + b = (a x 1) + (b x 1) Supuesta cierta para c: (a + b) c - ac + be vamos a demostrar que también es cierta para S9 c (a + b) S9 e = a S9 e + b S9 e Por definici6n del producto' a sg b - ab + a (a + b) sg e - (a + b) e + (a + b) = ac + be + a + b - (ac + a) + + (bc + b) '" asgc + bsgc 9. Un número es mayor que 600 y menor que 700, la cifra de las unidades es la tercera parte de la cifra de las decenas y el número invertido es los 4/7 del primi tivo, ¿cuál es éste? (Oposición FG.B., 1981) Solución 600 < n < 700 n - 6ba y 3a - b n - 6(3a)a - 600 + 30a + a = 600 + 31a n - a (3a) 6 - 100a + 30a + 6 - 130 a + 6 Por hip6tesis: 4n 4(600 + 31a) 2400 + 124a 7n' = 7(130a + 6) 910a + 42 a ... 3,b - 3a 9 El número pedido es: 693 10. En un Banco hay tres cajeros, a los que llamaremos P, Q y R con 1 año. 2 años y 3 O/los de antigüedad en el empleo respectivamente El Banco decide pagar un incentivo mensual a cada cajero, para lo que destina una cantidad fija menwww. Matematica1.com sual que el primer mes distribuye proporcionalmente a la antigüedad de cada uno. El segundo mes, en cambio, hace de esa cantidad mensual tres partes desiguales a, b y c billetes de mil pesetas, de modo que 2b := a + c y las sortea entre los cajeros. El tercer mes uuelve a sortear las mismas tres partes, siendo esta vez el menos favorecido el cajero Q. En total, entre los tres repartos P ha cobrado 15.500 ptas Q ha cobrado 19.000 ptas. y R ha cobrado 28.500 plas Se pide_ a) Hallar a, b y c. b) Hacer una tabla de doble entrada explicatiua de las cantidades que cada ca· jera cobra cada mes como incentiuo así como de los totales pagados por el Banco y recibidos por los cajeros. (Oposición E.G B" 1979) Solución En totaL 15.500 + 19.000 + 28,500 - 63000 ptas. Cada mes el· Banco paga, 63,000 = 21.000 ptas. 3 El primer mes lo reparte proporcionalmente a la antigüedad x + 2 x + 3x "" 21 => x - 3,5 Por tanto el primer mes ganan P ""' 3 500 ptas, Q - 7.000 ptas. y R -= 10.500 ptas Después se tiene a + b + c = 21 2b - a + c } 3b "" 21 ... b - 7 sustituyendo' a + c - 14 Si el cajero Q cobra el primer mes 7 billetes de mil, el segundo mes b y el tercer mes a resulta 7 + b + a - 19 comob - 7 ... a 5yc"",2b a = 14 - 5 ~ 9 Los valores son: a - 5 www.Matematica1.com 2) formamos un cuadrado con el dinero percíbldo ~t;¡(>s~'.Ie"os P Q R Total l.. 3.500 7.000 10.500 21.000 2 • 5000 7000 9.000 21000 3 • 7 .500 5.000 9 .000 21000 Total 15 .000 19 000 28.500 63.000 11 . Dado el número 54321 '5 expresarlo : a) En base deCimal b) En base 12 c) En base 4 Solución a) 54321 '6 -= 1 + 2 6 + 3 62 + 4 . 63 + 5 · 6· = 7465 b) ' 1 7465 26 25 1 7465 34 26 25 LlL 622 LlL 22 51 10 3 U--. 1866 I 4 26 466 26 06 2 26 2 u.L 4 u........ 116 36 O u........ 29 3 7465 = 1230221,. 7465 U--. 6 I 4 2 1 430: l Ul www.Matematica1.com 12. Efectuar en las bases que se indicon. las siguientes sumas al 42531764• bl 4532103" + 3247615 4• 1 5204 1 4 , ~ + 2351205" Solución al 752301 318 bl 13244130" 13. Efectuar en las bases que se Indican, las siguientes res/as 01 672438034, bl &.,630419n: 50287654(, 538« 168.6,,2 Solución bl 37240:940'112 14. Efectuar e n los bases que se Indicon los siguientes multiplicaciones Solud6n 01 3452301 n x 2611 3452301(1 X 26(7 31040406 10234602 13341642641 bl bl 3210213" x 1230 222313 11 13021032 3210213 1200130131'4 15. Efectuar en los bases que se indican, las siguientes divisiones 01 bl 6201354" 5341 www.Matematica1.com Solucl6n .1 3021341 15 I 4" 1 x 4 - 4 -22 341321 (5 2 X 4 ~ 13 32 3 x 4 22 -=.2.L 4 x 4 - 31 11 - 4 ~ -22 14 .::lL 11 - 4 ~, bl 620 135417 I 53(7 53 X 1 - 53 ::2ª-- 341321 (s 53 x 2 ~ 136 60 53 x 3 222 - 53 53 x 4 - 305 413 53 x 5 ... 361 - 361 53 x 6_444 225 -222 34" 16. Si un número se escrIbe en el sIstema de base tres con seis cifras, ¿cu6ntas podrá tener en el sistema de base once? Solución - El menor número de seis cifras es 1000000 - 35 ... 243 ... 201(11 - El mayor número de seis cifras es 222222'J - 100000013 - 1 - 3' - 1 = 728 - 6021ll El número tiene tres cifras en el sistema de base once. 17. Si un número se escribe en el sIstema de base dos con ocho cifras. ¿cu6n · tas podr6 tener en el sistema de base doce? www.Matematica1.com Solución -El menor número de ocho cifras es - El mayor número de ocho cifras es 11111111(2 - 100000000'2 - 1 - 255 = 193m El número tendrá dos o tres cifras en el sistema de base doce 18. Hallar la suma de todos los números que se pueden escribir en base dos con cinco cifras Solución -El menor es: 10000(2 = 16 -El mayores: 11111(2 - 100000(2 -1 =- 31 Hay pues 16 números y su suma es: s - 16 + 31 2 x 16 - 376 19. Hallar la suma de todos los números que se pueden escribir en base tres con cuatro cifras. Solución -El menor número es: 1000() "" 27 -El mayor número es. 2222(3 - 10000n - 1 80 Hay pues 54 números y su suma es: 5 - 27 + 80 2 x 54 2889 20. Hallar la base del sistema en que el número 554 representa el cuadrado de 24. www.Matematica1.com Solución Se tiene 554(x ., [24 IxJ2 4 + 5x + 5 x2 .,. (4 + 2 x)2 _ 16 + 16 x + 4 X2 de donde X2 - 11 x - 12 = O = x = 12 Y x = - 1 La base es 12 21. ¿En qué sistema de numeración se duplica 25 invirtiendo sus cifras? Solución 2 25(x - 52(x 2(5 + 2 x) - 2 + 5 x 1O+4x=2+5x x ~ 8 22. Un número de tres cifras en el sistema de base 7 tiene sus cifras invertidas cuando se expresa en base 9. ¿Cu6/ es el número? Solución -El número en base 7 es· N - cban -El número en base 9 es· N = abe l ! cban = abc, ! 72c + 7b + a "'" 92a + 9b + e 80a + 2b = 48c b - 24<: - 40a = 8(3c - Sal Como a, b y c tienen que ser dígitos inferiores a 7 3c-5a - O ... c=5ya 3 luego N

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