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NÚMEROS DECIMALES EJERCICIOS RESUELTOS-SEGUNDO DE SECUNDARIA PDF

Es la expresión lineal de una fracción ordinaria o decimal que se obtiene al dividir el numerador por el denominador. Operaciones con números decimales A. Adición y Sustracción de números decimales * Si se trata de decimales exactos, buscamos que tengan la misma cantidad de cifras en la parte decimal completando con ceros. CLICK AQUI PARA VER PDF 1   ****
CLICK AQUI PARA VER PDF 2    **** * Si se trata de sumar o restar 6,83 con 11,8752, entonces, igualamos la cantidad de cifras de la parte decimal, es decir: 6,8300 con 11,8752. * Al sumar o restar, escribimos un número bajo el otro cuidando que la COMA DECIMAL esté ALINEADA, para luego proceder a operar como si se tratara de números enteros. B. Multiplicación y Potenciación de números decimales. Para multiplicar decimales exactos, operamos como si se tratara de números enteros. La cantidad de cifras en la parte decimal del resultado es la SUMA de la cantidad de cifras decimales de los factores. C. División de números decimales * Para esto, multiplicamos el DIVIDENDO y DIVISOR por la unidad seguida de tantos ceros como sea posible, para transformar los números decimales en enteros.

* Un padre de familia compra cinco cuadernos y cinco lapiceros a S/. 1,50 cada lapicero. Si en total gasta S/. 10, ¿cuánto costó cada cuaderno?

a) S/. 0,50 b) 0,30 c) 0,80 d) 0,75 e) 0,60

* Una frutera compra 46 manzanas a S/. 1,80 cada una. Si se le malogran nueve manzanas y vende las restantes a S/. 2,50 cada una, ¿cuál será su ganancia?

a) S/. 5,90 b) 8,60 c) 9,70 d) 10,00 e) 11,20

* Un carpintero gastó S/. 145,20 en comprar madera. Cons-truyó tres sillas y dos mesas. Cada silla la vendió en S/. 32,50 y cada mesa en S/. 55,70, ¿cuál fue su ganancia?

a) S/. 67,70 b) 63,70 c) 57,50 d) 57 e) 47,50

* Carmen tiene S/.4,50 más que Barnie; y Barnie, S/.1,25 menos que César. Si César tiene S/.24,15; ¿cuánto tienen entre Carmen y Barnie juntos?

a) S/. 50,30 b) 49,70 c) 50,50 d) 48,90 e) 50,20

* Un alambre de 24 m se divide en cinco partes iguales. A las tres primeras partes se les suelda en un extremo un pedazo de alambre de 0,75 m y a las otras dos partes se les suelda un pedazo de 0,25 m. Si se unen todas las partes, ¿cuánto medirá todo?

a) 26,50 m b) 24,50 c) 21,25 d) 27,75 e) 26,75

* Un depósito tiene 16,5 l de capacidad; otro depósito tiene 22,7 l de capacidad y otro depósito tiene 10,2 l de capacidad. Un depósito, mayor que los tres, llena los dos primeros y sólo la mitad del tercero. ¿Qué capacidad tiene el depósito mayor?

a) 44 l b) 37,3 c) 37 d) 48,3 e) 44,3

* Un terreno de 650,34 m2 se reparte entre tres hijos, en partes iguales. Si cada hijo, a su vez, tiene dos hijos a los cuales deja su parte, ¿cuánto le corresponde a cada una de éstos últimos?

a) 108 m2 b) 108,34 c) 107,30 d) 116,8 e) 108,39

* Cuatro amigos aportan, por igual, para comprar un auto de $ 4 630. Si luego lo venden en $ 6 550, ¿cuál fue la ganancia de cada uno?

a) $ 440 b) 460 c) 532,5 d) 480 e) 520

* Jorge pesa 73,5 kg y Raquel pesa 52 kg. Diariamente Jorge y Raquel consumen entre ambos 5 kg en alimentos, en partes iguales. Jorge elimina 2,5 kg y Raquel 2 kg. ¿Después de cuántos días Raquel igualará el peso de Jorge?

a) 40 días b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

* El señor Grados debía S/. 63,20; S/. 180,50 y S/. 234,40. Además le debían a él S/. 264,50 y S/. 300,50. ¿Cuál es, entonces, el estado financiero del señor Grados?

a) +86,90 soles b) -37,40 c) +88 d) +24 e) -78

* Un corredor de bolsa compra 500 acciones a S/. 2,75 cada una. Al día siguiente de la compra, estas acciones subieron S/. 0,75. En los dos días siguientes bajaron a S/.0,30 por día; el siguiente día subieron hasta S/. 6,25 cada una. ¿Cuál fue el cambio neto de estas acciones?

a) S/. 123,5 b) 675,50 c) 1 200 d) 1 375 e) 3 200

* Antonio le debe a Marcos S/. 13,80 y diariamente le paga S/. 2,30. ¿Cuántos días transcurrieron hasta que, sin que se diera cuenta, Marcos le deba ahora a Antonio S/. 6,90?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

* En la alcancía de un niño habían 15 monedas de S/. 0,20 y algunos de S/.0,50. Si en total, el niño contó S/. 48, ¿cuántas monedas eran de 0,50?

a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 40

* Dos amigos juegan a los dados con la condición que el ganador de cada juego pagará S/. 4,50 al otro. Si el primero ganó seis veces y el segundo ganó cuatro veces, ¿cuánto más ha ganado el primero que el segundo?

a) S/. 13,5 b) 9 c) 4,5 d) 9,5 e) 12

* Un globo aerostático asciende 125,30 m; luego desciende dos veces 32,20 m y luego vuelve a ascender 52,10 m. ¿A qué altura se encuentra?

a) 111,8 m b) 112,9 c) 115 d) 111 e) 113

* Un niño mide 1,25 m y una niña mide 0,13 m menos. Si cada año ambos crecen 0,02 m, ¿cuánto medirá cada uno luego de tres años?

a) 1,31 m y 1,18 m b) 1,24 y 1,20 c) 11 y 1,2 d) 1,36 y 1,18 e) N.A.

Procedimientos numéricos Métodos similares a los usados para multiplicar y dividir en ℕ determinadas usando Unidades de medida: longitud, masa, etc. relacionadas con Multiplicaciones Equivalencias con las fracciones Divisiones Contextualizaciones resueltas usando resueltas usando ¿Qué debemos comer para alimentarnos sanamente? Para llevar una dieta equilibrada y sana debemos consumir alimentos de los cinco grupos que conforman la pirámide nutricional. Estos grupos son: Nivel 1: grupo de pan, cereales, arroz y pastas. Nivel 2: grupo de verduras y frutas. Nivel 3: grupo de lácteos y grupo de carnes rojas, aves, pescados, frutos secos, huevos y nueces. Nivel 4: grupo de grasas, aceites y dulces. Cada grupo ocupa un compartimento que por su ubicación y tamaño sugiere la proporción en que deben ser ingeridos los alimentos que contiene. En particular, el segundo nivel corresponde al de frutas y verduras, valiosas por su contenido de fibra y por su aporte en vitaminas y antioxidantes. La Organización Mundial de la Salud (OMS) recomienda consumir diariamente 0,4 kg de vegetales para prevenir la aparición de una serie de enfermedades crónicas que deterioran la calidad de vida de las personas. ¿Consumes frutas y verduras diariamente? ¿Qué proporción de tu alimentación diaria corresponde a ellas? ¿Qué verduras son parte de tu dieta diaria? ¿Puedes resolver? Un hombre ha decidido comenzar a controlar su alimentación. Las cantidades diarias de alimentos que ha seleccionado son: 0,8 kg de verduras, 0,5 kg de frutas, 0,25 kg de pan, 0,2 kg de carnes y 0,22 kg de pastas; además de 5 L de agua y 0,5 L de leche. Los alimentos sólidos los distribuye en partes iguales en dos comidas diarias, una a medio día y la otra al caer la noche. ¿Cuántos kilogramos de alimentos sólidos consume el hombre en cada una de sus comidas diarias? Tras 7 días de mantener esta dieta, ¿cuáles son las cantidades de alimentos sólidos consumidos por el hombre? Si aumentara al doble las cantidades de alimento que consume diariamente, ¿cuánta carne y cuánta pasta consumiría en 5 días? En esta unidad aprenderás a: Multiplicar y dividir números decimales. Interpretar y expresar información con números decimales. Convertir números decimales finitos y no finitos a fracciones. Resolver problemas cotidianos en las que aparecen números decimales. Actividad inicial No siempre después del 2 viene el 3, pues hay muchas cosas que no pueden medirse solo con los números naturales. Si hay dos personas y llega otra, pasamos de un salto del 2 al 3, pero… ¿qué pasa si le preparas un café a tu mamá y ella te dice que le pongas una cucharada y un poquito más, pero no dos cucharadas?, ¿a qué número se refiere? Para estudiar los números decimales, te invitamos a realizar las siguientes actividades. 1. Formen grupos de tres personas, lean la historieta y respondan las preguntas de la página siguiente: a) ¿Qué volcán es más alto, el Lonquimay o el Villarrica? ¿Cómo lo saben? b) ¿Qué diferencia hay entre los números 6 y 7 y el número 6,9? c) ¿Saben cuáles son las partes que componen un número decimal? Indíquenlas a continuación: d) En la recta numérica se ha ubicado la parte entera de 6,9. Ubiquen en el lugar asignado, el número entero que viene a continuación: a) Ordenen las ciudades de la tabla de menor a mayor pluviosidad, considerando los datos de un año normal. b) Calculen la diferencia de pluviosidad que se produjo en cada una de las ciudades entre un año normal y el 2004. 3. ¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana encuentran números decimales? Mencionen al menos tres. Ciudad Precipitación anual (en mm) ¿Llovió más o Año normal Año 2004 menos? Arica 1,1 0,0 Isla de Pascua 1 222,9 1 132,4 La Serena 104,1 99,3 Juan Fernández 912,6 852,4 Curicó 718,9 546,3 Chillán 1 022,5 958,0 Puerto Montt 1 844,7 1 557,5 Balmaceda 723,2 555,7 6 e) Entre el 6 y el 7 existen infinitos números. Por ejemplo, justo entre el 6 y el 7 está el 6,5, que es un número decimal. Ubíquenlo en la recta numérica anterior. ¿Podrían ubicar también el 6,9? 2. A continuación, se presenta una tabla con las cifras de precipitación en distintas ciudades de Chile, indicando cuántos milímetros de agua caen en un año normal y cuántos cayeron el año 2004. Identifiquen si en cada una de ellas ese año llovió más o menos que en un año normal. 6 , 9 Expresión fraccionaria de un número decimal finito Una fracción se puede convertir en un número decimal y un número decimal se puede convertir en una fracción. Por ejemplo, si calculamos el cociente entre el numerador y el denominador de las siguientes fracciones obtendremos: 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 23 10 = 2,3 o 4 5 = 0,8 o 433 40 = 10,825 Como ves, en los tres casos anteriores los resultados son números que tienen una cantidad de cifras decimales finitas. A estos números se les llama decimales exactos o finitos. Las fracciones se caracterizan por tener un desarrollo decimal. Cuando dividimos el numerador de una fracción por el denominador obtenemos un número decimal, pero, ¿cómo expresamos fraccionariamente un número decimal finito? ff¿Cuál es la expresión fraccionaria de 52,262? Como puedes ver, 52,262 es un decimal finito. Para transformarlo en fracción anotamos el número sin la coma en el numerador y en el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal. En este caso: 52,262 = 52 262 1 000 Como el número decimal posee tres dígitos decimales, el denominador de la fracción corresponde a un 1 seguido de tres ceros. Una vez obtenida la fracción podemos simplificarla a su mínima expresión. En este caso, podemos simplificarla por 2, obteniendo 52262 1000 26131 500 . Para transformar una fracción en un número decimal simplemente debes dividir su numerador por su denominador. Es posible transformar un número decimal finito en una fracción a b tal que: a: número decimal sin la coma. b: un 1 seguido de tantos 0 como dígitos decimales tiene el número decimal. Cuando debas expresar un número decimal en forma fraccionaria es importante que elimines de la parte decimal todos los 0 que haya a la derecha. Por ejemplo, si el número decimal a transformar es el 2,603200; debes previamente, convertirlo en 2,6032. Las fracciones se clasifican en propias e impropias: Fracción propia: 2 5 Su valor es < 1. El numerador es menor que el denominador. Fracción impropia: 7 2 Su valor es > 1. El numerador es mayor que el denominador. Se pueden expresar como número mixto, en este caso: 7 2 = 3 1 2 Archívalo Ejercicios individuales Transforma las siguientes fracciones en números decimales e indica a. cuáles de ellos son finitos y cuáles infinitos: Fracción Expresión decimal ¿Finito o infinito? b. Expresa los siguientes números decimales mediante fracciones. No olvides simplificar cada fracción hasta su expresión mínima: Expresión decimal Fracción 1,25 0,503 0,077 13,652 9,3710 148,0875 Ejercicios grupales a. En grupos de tres personas consideren las siguientes situaciones: a) Un pan de pascua se dividió entre cu2atro niños. El primero tocó , el tercero 0,15 y el cuarto 0,32 del total de la bebida; ¿qué número decimal representa la cantidad de bebida que queda en la botella respecto al total que había al principio? Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos Muchas veces debes haber escuchado expresiones como: "un tercio de la torta es para tus tíos" o "para preparar el jugo tienes que poner un tercio de agua". En ambas situaciones un tercio representa la tercera parte de algo. En el caso de la torta, la dividiríamos en tres partes correspondiendo una de ellas a los tíos y en el caso del jugo, dividiríamos el recipiente en tres partes y una de ellas sería de agua. Los números decimales periódicos son aquellos en los que en su parte decimal se repite una cifra o un grupo de cifras infinitamente. Los números decimales periódicos tienen una parte entera y una parte decimal como cualquier número decimal, pero en su parte decimal, se designa como período a la cifra o conjunto de cifras que se repite indefinidamente. A veces, antes del período puede haber otra cifra o conjunto de cifras que no se repite y que se denomina anteperíodo. En este caso, hablamos de números decimales semiperiódicos. 7 : 4 2 = 0 , 1 6 6 6 6 6 6… = 0,16 7 0 ⇓ 2 8 0 2 8 0 … 6444447444448 parte entera coma anteperíodo período 7 42 = La coma se pone una vez que el resto de la división es menor que el divisor. Para seguir dividiendo, multiplicamos el resto por 10. ff¿Qué número decimal representa la tercera parte de algo? Basta dividir 1 por 3. Observa: 1 3 = 0,333333333… o 5 3 = 1,666666666 o 1 9 = ¿Qué sucede con el valor de esta fracción? Podríamos seguir dividiendo indefinidamente, ya que el número decimal que se obtiene es infinito. ¿Cuál es la expresión decimal de la fracción 7 23 ? Desafío al ingenio Otro tipo de decimal es aquel que tiene una cantidad infinita de cifras después de la coma, pero en el que estas cifras no siguen un patrón de repetición. A estos números decimales se les llama infinitos no periódicos. Archívalo Tíos ¿Cómo transformar un decimal p ff eriódico en fracción? En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera. Para obtener el denominador debes escribir tantos nueves como dígitos componen el período. Ejemplos: 1,98 = 198 −1 99 = 197 99 o 5,3 = 53 − 5 9 = 48 9 5,3 1,98 = 198 −1 99 = 197 99 o = 53 − 5 9 = 48 9 ff¿Cómo transformar un decimal semiperiódico en fracción? En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma. Para obtener el denominador debes escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ejemplo: 24,65235 = 2465 235 − 24652 99000 = 2440583 99000 Los números decimales periódicos se escriben con una línea recta sobre el período. En algunos libros lo hacen también con una línea curva, como un paréntesis hacia abajo. Ejercicios individuales a. Transforma en fracciones los siguientes números decimales describiendo explícitamente el procedimiento utilizado, como se muestra en el ejemplo: Número decimal Operatoria Fracción 1,431 1431− 14 990 1417 990 1431− 14 990 1417 990 52,2 3,23 0,01 2,314 71,32 Número decimal Operatoria Fracción 5,57 12,2 6,392 0,42 9,9935 23,451 Multiplicación de números decimales Don Pedro necesita comprar lentes ópticos para su hijo. Su Isapre le cubre 5,5 UF. El valor de la UF el día de la compra es de $ 18 532,04. ff¿Qué debe hacer don Pedro para saber exactamente cuánto es lo máximo que la Isapre le cubre? Para averiguar la cobertura de su Isapre don Pedro debe multiplicar 18 532,04 por 5,5. A continuación mostraremos dos métodos para resolver esta operación: Método 1 1º Convertimos los factores en números enteros, multiplicándolos por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene cada uno de ellos. Si uno de los factores es un número entero no se amplifica. En el caso del ejercicio que estamos resolviendo, las multiplicaciones son: 18 532,04 · 100 = 1 853 204 y 5,5 · 10 = 55 2º Multiplicamos los números naturales: 1 8 5 3 2 0 4 · 5 5 9 2 6 6 0 2 0 + 9 2 6 6 0 2 0 1 0 1 9 2 6 2 2 0 3º En el producto, corremos la coma de derecha a izquierda tantos lugares como dígitos decimales tengan los factores en conjunto. En el ejemplo: 18 532,04 tiene 2 decimales y 5,5 tiene 1 decimal, por lo tanto, contamos 3 posiciones de derecha a izquierda en el resultado y allí colocamos la coma: 101 926,220. Por lo tanto, la Isapre cubre un máximo de $ 101 926,22 para la compra de los lentes ópticos. Método 2 Una forma de resolución equivalente a la anterior consiste en transformar la multiplicación de números decimales a una multiplicación de fracciones decimales. Observa: Recuerda que los términos de una multiplicación se llaman factores y el resultado, producto. 4 · 3 Factores = 12 Producto El resultado de multiplicar dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores. Cuando un adulto contrata un plan de salud es muy importante que pida la información detallada de lo que este incluye. Las Isapres cuentan con un informativo específico para cada plan donde figuran los distintos servicios ambulatorios y hospitalarios. Muchas veces en los planes el tope se expresa en UF. La Salud Enlace con… Ejercicios individuales Resuelve las siguientes operaciones multiplicando por medio de los dos a. métodos. Comprueba con una calculadora: a) 348,69 · 6,7 b) 7 298,42 · 92,72 c) 1 628,33 · 55,55 d) 72,4 · 0,6 100 10 100 10 100 ⋅10 101926 220 1 000 = 101926,22 En la unidad siguiente verás detalladamente la multiplicación de fracciones. División de números decimales Según la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU., un niño o niña de 9 a 13 años debería consumir diariamente como mínimo 1,7 L de agua potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos espaciados equitativamente a lo largo del día. ff¿Cuál es la cantidad de agua que debe contener cada vaso? Para saber la cantidad de agua que debe contener cada vaso, dividimos 1,7 L en 7,5 vasos y para esto utilizaremos el siguiente método: 1. Identificamos cuál de los dos términos de la división tiene más cifras en la parte decimal. En este caso, ambos números son decimales y los dos tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. 2. Amplificamos el dividendo y el divisor por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales tenga el número que identificamos en el paso anterior. 1,7 · 10 = 17 7,5 · 10 = 75 3. Dividimos estos números naturales: 1 7 : 7 5 = 0 , 2 2 6 1 7 0 2 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 … Hay casos en que el dividendo y el divisor no tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. En estos casos multiplicamos ambos términos de la división por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos después de la coma tenga el número con más cifras decimales. Así habrás convertido tanto dividendo como divisor en números enteros y podrás resolverla sin problemas. Observa el ejemplo: 8,4 : 2,25 En este caso el dividendo tiene 1 dígito decimal y el divisor 2, por lo tanto multiplicaremos ambos por 100. Al hacerlo transformamos la división de números decimales en una división de dos números naturales: 840 : 225 Esta división puedes resolverla como ya sabes. Recuerda que los términos de una división se llaman dividendo y divisor y el resultado, cociente. Divisor 8 : 2 Dividendo = 4 Cociente Para multiplicar y dividir números decimales en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La coma decimal la encuentras generalmente como un punto, en la tecla .. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 3 minutos, ¿cuánto tardan 100 gatos en cazar 100 ratones? Desafío al ingenio Ejercicios individuales a. Resuelve las siguientes divisiones: a) 1 255 : 2,5 = b) 4 587 : 5,4 = c) 2 840 : 2,4 = d) 78,9 : 3 = e) 49,49 : 7 = f) 761,25 : 9 = g) 25,69 : 2,3 = h) 345,82 : 46,3 = i) 105,3 : 3,9 = j) 248,33 : 2,5 = b. Descubre la relación que existe entre los números de cada pirámide y completa los casilleros vacíos: a) c) 0,1 0,2 0,8 0,16 2 0,2 1,1 7 3 7,7 2,8 1,2 21,56 4,95 3,3 11 1,5 0,3 0,26 1,3 4 8 3 0,5 4 48 b) d) Análisis de factores y productos Los alimentos que consumes a diario contienen en mayor o menor cantidad determinados compuestos químicos que el organismo necesita. La carne es una fuente habitual de proteínas, grasas y sales minerales en la dieta humana. Entre los minerales que aporta al organismo se encuentran algunos como el hierro, el potasio y el fósforo. En la siguiente tabla presentamos la cantidad de miligramos (mg) de fósforo presentes en un gramo (g) de algunos tipos de carnes de consumo habitual: Carnes Fósforo (mg por g de parte comestible) Seso de vacuno 2,11 Chuleta de cerdo 0,87 Lomo vetado 0,95 Posta negra 1,05 ffSi una persona come 150 g de cada una de las carnes mencionadas en la tabla, ¿qué cantidad de fósforo está ingiriendo con cada una de ellas?, ¿y si comiera solo 0,7 g de cada una? Carnes mg de fósforo por g de carne mg de fósforo en 150 g de carne mg de fósforo en 0,7 g de carne Seso de vacuno 2,11 2,11 · 150 = 316,5 2,11 · 0,7 = 1,477 Chuleta de cerdo 0,87 0,87 · 150 = 130,5 0,87 · 0,7 = 0,609 Lomo vetado 0,95 0,95 · 150 = 142,5 0,95 · 0,7 = 0,665 Posta negra 1,05 1,05 · 150 = 157,5 1,05 · 0,7 = 0,735 Después de obtener el resultado solicitado en el problema anterior pongamos atención en los números y analicemos los datos obtenidos en la tabla: En verde tenemos la multiplicación de dos números mayores que 1; en azul la multiplicación de un número mayor que 1 y otro menor que 1 y en rojo se multiplican dos números menores que 1. ¿Qué ocurre con los productos? 2,11 · 150 = 316,5 1,05 · 0,7 = 0,735 0,95 · 0,7 = 0,665 Elije un número decimal. Réstale 0,3 y el resultado multiplícalo por 4. Suma 5,2 y el resultado multiplícalo por 0,25. Finalmente resta 1. ¿Qué número obtienes? Prueba con otros números decimales. Desafío al ingenio Muchas personas se abstienen de comer carne y pescado, basando su alimentación en el consumo de cereales, legumbres, frutas y vegetales. Esta dieta es conocida como vegetariana. La Salud Enlace con… En la multiplicación de números decimales se obtienen productos que dependen de la naturaleza de los factores: Cuando los factores son mayores que 1 • –tanto si se trata de números naturales como decimales– el producto siempre es mayor que cualquiera de los factores. • Cuando uno de los factores es mayor que 1 –tanto si se trata de un número natural o decimal– y el otro es menor que 1, el producto es mayor que el factor menor que 1 y menor que el factor mayor que 1. • Cuando los factores son menores que 1, el producto siempre es menor que cualquiera de sus factores. Ejercicios individuales a. Completa las siguientes tablas usando calculadora y responde las preguntas: a) ¿Por qué crees que el valor de los productos en todas las columnas va disminuyendo? b) Pinta de un color los casilleros en los que ambos factores son mayores que 1; de un segundo color, los casilleros en los que un factor es mayor que 1 y el otro es menor; y de un tercer color, los casilleros en los que ambos factores son menores que 1. ¿Se cumplen las tres reglas expuestas en el cuadro de definición que está más arriba? 2. Responde las preguntas ocupando la información de la siguiente tabla: Alimento Queso Almendra Yema de huevo Brócoli Nuez Calcio (mg por g de alimento) 7,3 2,5 1,3 0,6 0,9 a) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,8 g de queso? b) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,5 g de almendras? c) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 4,1 g de yema de huevo? d) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,4 g de brócoli? e) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en 70 g de nueces? f) ¿Cuántos miligramos de calcio hay en una ración de 0,9 g de queso y 10 g de nueces? Factores Producto 18 · 2 18 · 1,5 18 · 1 18 · 0,5 18 · 0,25 Factores Producto 1,7 · 100 1,7 · 10 1,7 · 1 1,7 · 0,1 1,7 · 0,01 Factores Producto 0,3 · 12 0,3 · 4 0,3 · 1 0,3 · 0,4 0,3 · 0,1 Hoy, excepto en unos pocos países, la unidad de longitud que se utiliza es el metro. Algunas de sus equivalencias son: Números decimales: unidades de longitud ff¿Qué significa la afirmación “Carla caminó 1,8 metros”? ff¿Es lo mismo que decir: “Carla caminó 1,8 centímetros”? De forma gráfica 1 metro equivale a 100 centímetros. Dividimos 1 metro en 100 partes iguales y cada una de esas partes corresponde a 1 centímetro. Considerando lo anterior, 1,8 metros se podría representar así: En conclusión, 1,8 metros equivalen a 180 centímetros. De forma aritmética También se puede determinar la equivalencia de la siguiente forma: Unidades de longitud y sus equivalencias Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro 1 kilómetro (km) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 1 hectómetro (hm) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 decámetro (dam) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 000 1 metro (m) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 1 decímetro (dm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 centímetro (cm) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1 milímetro (mm) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 8 décimas de 1 metro 8 décimas de 1 metro son 80 cm 8 décimas de 100 cm porque 1 m = 100 cm 8 10 ⋅1m = 8 10 ⋅100 cm = 800 10 cm = 80 cm Por lo tanto; 1,8 m es lo mismo que 1 m + 8 10 ⋅1m = 8 10 ⋅100 = 800 10 m = 100 cm + 80 cm = 180 cm. Antiguamente se utilizaban diversas unidades de longitud. Incluso en algunos países siguen utilizándose algunas de ellas: Sistema francés antiguo y anglosajón Sistema métrico decimal actual Braza 1,8228 m Cable 185,19 m Legua francesa 4,44 km Legua de posta 4 km Legua marina 5,5555 km Línea 2,1167 mm Milla marina (inglesa) 1,8532 km Milla terrestre (EE.UU.) 1,8522 km Milla terrestre 1,6903 km Pie 32,48 cm Pie francés 32,40 cm Pulgada 2,5401 cm Toesa 1,949 m Yarda 0,9144 m Archívalo Ejercicios individuales El hombre más alto que se conoce fue Robert Pershing Wadlow, un estadounidense a. que nació en 1918 y murió en 1940. Medía 2,72 m de altura. Poseía las manos más grandes, con una longitud de 32,3 cm desde la muñeca hasta la punta del dedo medio, y los pies más grandes, que cubría con zapatos de 47 cm de longitud. a) ¿Cuántos centímetros medía Robert Pershing? b) ¿Cuántos metros medían los zapatos de Robert Pershing? c) ¿Cuántos milímetros medía la mano de Robert Pershing? b. En Santiago, las cuadras antiguas medían 120 m. Actualmente las cuadras son de 100 m cada una. Además, salvo algunas excepciones, la numeración de las casas avanza 100 unidades por cuadra. a) ¿Cuántos kilómetros representan 120 m? b) ¿Cuántos kilómetros tiene una calle actual cuya numeración va del 0 al 8 400? c. Marca >, < o = según corresponda. Fíjate en la unidad de medida: Problemas 1. La directiva del centro deportivo de una municipalidad ha decidido embellecer la piscina municipal colocando por la orilla de los cuatro lados una franja de listeles con motivos mexicanos. La piscina tiene forma rectangular de 51 m de largo por 21 m de ancho. Si los listeles miden 30 centímetros de largo, ¿cuántos listeles se necesitan para cubrir toda la piscina? 2. La misma municipalidad cuenta con un terreno vacío de 100 m de frente por 45 m de fondo y el alcalde ha decidido construir allí un gimnasio para la comunidad. Piensen en posibles distribuciones y finalmente escojan una de ellas, teniendo en cuenta que en el gimnasio quieren construir una piscina de 35 m por 15 m, una multicancha techada de 40 m por 40 m y una zona de juegos y parque en el resto del terreno. Dibujen el plano en sus cuadernos utilizando la escala 1:1 000, esto quiere decir que 1 cm del dibujo representa 1 000 cm reales (10 metros), por lo que cada metro de gimnasio está representado por 0,1 cm en el papel. a) 8,24 m 5,43 mm b) 13,6 km 13,6 cm c) 0,5 m 0,8 mm d) 24,15 dm 30,9 cm e) 3,1 km 3 300 m f) 23,2 cm 0,0232 dm Números decimales: unidades de masa Supón que van a preparar un asado en tu casa. Tu mamá te pide que vayas a comprar el carbón y te dice que compres una bolsa de 2 500 gramos. Al llegar al supermercado, encuentras dos tipos de bolsas: unas de 2,5 kilogramos y otras de 4,2 kilogramos. ff¿De cuál de las bolsas tienes que comprar? De forma gráfica: Un kilogramo equivale a 1 000 gramos. Para saber, por ejemplo, a cuánto equivalen 0,5 kilogramos, dividimos 1 kilogramo en 10 partes. Cada una de esas partes tiene una masa de 100 gramos. 5 10 de kilogramo, entonces, son 500 gramos. Observa el siguiente dibujo que muestra gráficamente la equivalencia en gramos de cada bolsa: Como ves, 2,5 kilogramos equivalen a 2 500 gramos, mientras que 4,2 kilogramos equivalen a 4 200 gramos. Tendrías que comprar la bolsa de 2,5 kilogramos, ya que 2,5 kg = 2 500 g. De forma aritmética: También podemos determinar lo que significa la parte decimal de cada número. Por ejemplo, para el 2,5: 5 décimas de 1 kg 5 décimas de 1 kg son 500 g 5 décimas de 1 000 g porque 1 kg = 1 000 g 5 10 ⋅1 kg = 5 10 ⋅1000 g = 5000 10 g = 500 g Por lo tanto, 2,5 kg son 2,0 kg + 0,5 kg = 2 000 g + 500 g = 2 500 g. La masa es una propiedad que indica la cantidad de materia que posee un cuerpo. Es independiente del lugar que ocupa el cuerpo en el espacio. El peso es la fuerza con que la Tierra –o cualquier otro cuerpo celeste– atrae a los cuerpos que están en sus cercanías. El peso de un objeto material es diferente dependiendo del cuerpo celeste en el que se encuentra, así por ejemplo, el peso de un objeto es mayor en la Tierra que en la Luna. Archívalo La combustión del carbón produce benzopireno, un producto cancerígeno. En un kilogramo de carne a la parrilla hay tanto benzopireno proveniente del carbón como el que se encuentra en el humo de 600 cigarrillos. La Salud Enlace con… 4 200 g La unidad de masa básica establecida en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo y algunas de sus equivalencias son: Unidades de masa y sus equivalencias Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo 1 kilogramo (kg) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 1 hectogramo (hg) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 decagramo (dag) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 000 1 gramo (g) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 000 1 decigramo (dg) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 centigramo (cg) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1 miligramo (mg) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 Ejercicios individuales Completa c a. on >, < o = según corresponda: a) 1,2 kg 0,12 hg b) 360 g 0,36 kg c) 250 g 0,25 kg d) 78,9 cg 7,89 dg e) 45 dag 4,5 kg f) 3,4 dg 34 g Problemas 1. En un supermercado es posible encontrar los siguientes precios por kilogramo de cada producto: a) Si Anastasia compra 3,6 kg de manzanas, 500 g de tomates, 250 g de jamón pierna y 1 kg de duraznos, ¿cuánto dinero le costará la compra? b) Si Ana compra 2 kg de manzanas, 1,5 kg de zanahorias, 1,3 kg de papas, 300 g de queso, 1,8 kg de tomates y 150 g de jamón, ¿cuánto gastará en su compra? c) ¿Cuántos kg de queso y cuántos de pan puede comprar Natalia con $ 1 800 si quiere comprar la misma cantidad de cada uno? Duraznos $ 640 Zanahorias $ 230 Manzanas $ 450 Tomates $ 730 Queso $ 3 900 Jamón pierna $ 3 500 Papas $ 300 Pan $ 600 Resolución de problemas Problema modelo Una pequeña industria del sector químico dedicado al rubro de fertilizantes agrícolas fabrica diariamente 5 420,3 kg de amoniaco y 4 653,7 kg de urea. El precio de venta por tonelada de producto en mercados internacionales es US$ 250,5 para el amoniaco y US$ 225,2 para la urea. a) ¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la producción diaria de amoniaco? b) ¿Cuánto es lo recaudado por las ventas diarias de urea? c) ¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la producción semanal de ambos productos? a) Entiende: ¿Qué sabes del problema? • Se conoce la cantidad de amoniaco y de urea producidos diariamente. • Se conocen los precios del amoniaco y de la urea expresados en dólares. b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema? • El producto de la producción diaria de amoniaco y su precio nos permitirá conocer los ingresos de dinero por ventas de amoniaco. • El producto de la producción diaria de urea y su precio nos permitirá conocer los ingresos de dinero por ventas de urea. • El producto entre la producción semanal (7 días) de amoniaco y su precio, sumado con el producto entre la producción semanal (7 días) de urea y su precio, nos permitirá conocer los ingresos semanales. d) Responde: Contesta las preguntas del problema • Las ventas de la producción diaria de amoniaco corresponden a US$ 1 357,78515. • Las ventas de la producción diaria de urea corresponden a US$ 1 048,01324. • Las ventas de la producción semanal de ambos productos corresponden a US$ 16 840,58873. e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado • Para comprobar que los resultados fueron calculados correctamente es recomendable utilizar una calculadora. c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta • Como los precios están expresados por tonelada de productos, debemos dividirlos por mil: 250,5 : 1 000 = 0,2505 US$ por kg 225,2 : 1 000 = 0,2252 US$ por kg • 5 420,3 · 0,2505 = US$ 1 357,78515 4 653,7 · 0,2252 = US$ 1 048,01324 • (5 420,3 · 7) · 0,2505 + (4 653,7 · 7) · 0,2252 = US$ 16 840,58873 Problema 1 A Miguel le gustan mucho las frutas. En la feria compró 0,5 kg de moras; 0,75 kg de frutillas y 1,2 kg de frambuesas. Si las moras y las frutillas las compartió en cantidades iguales con su hermana, y las frambuesas las compartió con su hermana y su madre en partes iguales, responde: ¿Qué cantidad de frutillas l a) e corresponden a Miguel? b) ¿Qué cantidad de moras le corresponden a Miguel? c) ¿Qué cantidad de frambuesas le corresponden a Miguel? Problema 2 Una carretera se ha ido entregando en tramos iguales de 18,275 km. Si se entregaron un total de 7 tramos, responde: a) ¿Cuál era el largo de la carretera tras la entrega del cuarto tramo? b) ¿Cuál es el largo de la carretera construida completa? Problema 3 En la Plaza de Armas de un pueblo hay muchos árboles. Uno de ellos crece 20,75 cm al año. a) ¿Cuántos metros medirá al cabo de 8 años si inicialmente media 2,6 m? b) ¿A cuánto corresponde esta altura si la aproximas a la centésima? ¿Y a la décima? Problema 4 Un vehículo de transporte de turistas tiene una tara (masa sin carga) de 1 030,25 kg. La masa máxima autorizada para este tipo de vehículo es de 1 695 kg. Una mañana suben a él cinco pasajeros. La masa corporal de dos de ellos es de 71,3 kg y la de los otros tres de 78,5 kg. La masa corporal del chofer es de 67,5 kg. a) Una vez que los pasajeros están sobre el vehículo, ¿cuál es la masa máxima que puede cargar como equipaje? b) Si la masa del equipaje del grupo de turistas es de 309,5 kg, ¿cuántos kilogramos no podrán ser cargados en el vehículo? Tecnología activa Transformando unidades Construiremos una tabla en Excel que permitirá expresar automáticamente las unidades metro (longitud), litro (volumen) y gramo (masa) en algunos de sus diferentes múltiplos (unidades mayores que la unidad básica) y submúltiplos (unidades menores que la unidad básica). 1. Creación de la hoja de cálculo. ›› Crea un nuevo libro o proyecto en Excel. Llámalo “Tabla de transformación de unidades”. ›› Copia los títulos: “Longitud” en la celda B1, “Volumen” en la C1 y “Masa” en la D1. ›› Copia las unidades de referencia: “Metro” en la celda B2, “Litro” en la C2 y “Gramo” en la D2. ›› En las celdas B3, C3 y D3 anota “1”. ›› En la columna A escribe los múltiplos y submúltiplos: Kilo, Hecto, Deca, Deci, Centi y Mili en las celdas A4, A5, A6, A7, A8 y A9. ›› A continuación escribiremos las equivalencias correspondientes para cada una de las unidades de referencia: ›› A continuación selecciona con el mouse las celdas desde la B4 hasta la B9. ›› Dirige el cursor al extremo inferior derecho de las celdas seleccionadas y cuando aparezca una cruz negra “+” arrástralo hasta la celda D9. ›› Tu hoja de cálculo debe verse como se muestra a continuación: En la celda… Escribe… B4 =B3/1000 B5 =B3/100 B6 =B3/10 B7 =B3*10 B8 =B3*100 B9 =B3*1000 Ejemplificaremos el uso de la planilla que acabas de construir completando ›› la siguiente tabla de equivalencias: Valor Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili 3,5 m 0,3 L 1,2 g ›› Incorporando los valores 3,5; 0,3 y 1,2 a la planilla en las celdas B3, C3 y D3 obtendremos lo siguiente: 2. Aplicando lo aprendido. a) Incorpora los valores de la planilla a la tabla de arriba y responde las siguientes preguntas: ›› ¿A cuántos centímetros equivalen 3,5 metros? ›› ¿A cuántos hectolitros equivalen 30 centilitros? ›› ¿A cuántos kilogramos equivalen 1 200 miligramos? b) Utiliza la planilla recién creada para obtener los múltiplos y submúltiplos de los siguientes valores: - 0,1 m; 9,6 L y 1 245,75 g - 128,758 m; 0,045 L y 65 g Responde: ›› ¿A cuántos decímetros equivalen 12 875,8 centímetros? ›› ¿A cuántos mililitros equivalen 0,045 litros? ›› ¿A cuántos decagramos equivalen 12 457,5 decigramos? Ficha 1 Un número decimal finito se puede expresar mediante la siguiente fracción: a b c d e f Donde: a: número decimal sin la coma. b: un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales posee el número decimal. Ficha 2 Un número decimal infinito periódico se puede expresar mediante la siguiente fracción: a b c d e f Donde: c: resultado de la sustracción entre el número formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera. d: número constituido por tantos 9 como dígitos tiene el período. Ficha 3 Un número decimal infinito semiperiódico se puede expresar mediante la siguiente fracción: a b c d e f Donde: e: resultado de la sustracción entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma. f: número constituido por tantos 9 como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Ficha 4 Para multiplicar números decimales se deben multiplicar los números sin sus comas y al resultado incorporar la coma de forma que determine tantos dígitos decimales en él como dígitos decimales tenían en su conjunto los factores. Ficha 5 Para dividir dos números decimales se debe identificar cuál de ellos posee más dígitos decimales y luego multiplicar ambos –dividendo y divisor– por un múltiplo de 10 con tantos ceros como dígitos decimales posee el número identificado. Finalmente, se realiza la división de los dos números naturales obtenidos tras la multiplicación. Ficha 6 Los números decimales se utilizan para realizar la conversión de unidades. Así permiten obtener múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud y masa, entre otras. Síntesis de la unidad Evaluación a. Expresa los números decimales como fracciones. Comprueba usando calculadora: I Ejercicios de desarrollo a) 0,5 = b) 0,05 = c) 0,65 = d) 0,123 = e) 3,45 = f) 8,354 = g) 12,4435 = h) 121,0987 = a) 3,2 · 0,9 = b) 0,09 · 0,1 = c) 0,34 · 54,3 = d) 2,34 · 7,86 = e) 0,876 · 32,4673 = f) 1,46 · 9,354 = g) 13,68 · 0,7 = h) 0,0006 · 0,00054 = a) 3,6578 + 7,9985 = b) 0,0546 + 2,59932 = c) 7,5347 + 18,6509 = d) 99,6547 + 0,7178 = e) 23,0811 – 18,6188 = f) 14,654 – 13,775 = g) 0,8765 – 0,65399 = h) 101,765 – 37,8064 = c. Resuelve las siguientes multiplicaciones de números decimales: b. Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de números decimales: d. Resuelve las siguientes divisiones de números decimales: e. Anota el producto de los siguientes pares de números redondeándolos previamente a la posición indicada: f. Une mediante una línea las expresiones de la columna izquierda con sus equivalentes de la columna derecha: a) 4,9 : 0,5 = b) 10,5 : 0,1 = c) 3,25 : 4,3 = d) 0,34 : 0,81 = e) 0,6 : 3,2 = f) 6,4 : 0,2 = g) 23,09 : 0,2 = h) 0,008 : 0,4 = Factores Producto previo redondeo de los factores a la… Número 1 Número 2 Milésima Centésima Décima 0,3546 2,465348 3,6657 2,9982 1,2511 9,8467 0,25563 13,8552 3,2 kg 0,2 h 2 005 ml 1 050 m 12 min 2,005 L 0,75 km 0,145 dag 75 hg 120 000 ml 1 200 dl 8 280 s 10,5 hm 320 000 cg 1 450 mg 750 m 2,3 h 75 000 dg g. Juan compró 13 bolsas y media de harina. Si cada bolsa contiene 0,75 kilogramos; ¿cuánta harina compró? h. Loreto ha dado 8 vueltas a una plaza trotando. Cuando llevaba la cuarta parte de la novena vuelta se detuvo a tomar agua. Si en cada vuelta recorrió 123,25 metros; ¿qué distancia llevaba trotando cuando se detuvo? a A un supermercado llegan cajas de conservas con 24 latas cada caja. Si la masa de una caja es de 12,734 kg, ¿cuál es la masa aproximado de cada lata? a) 0,53 g b) 5 530 g c) 0,56 kg d) 0,53 kg e De una bolsa de arroz de 2,5 kg sacamos 1,06 kg. Calcula cuánto queda en la bolsa. Si lo que queda en la bolsa lo repartimos en tres bolsas, ¿qué masa tendrá cada una? a) Quedan 0,9 kg y cada bolsa tendrá 0,3 kg. b) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendrá 0,48 kg. c) Quedan 0,9 kg y cada bolsa tendrá 0,03 kg. d) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendrá 0,048 kg. b ¿Cuántas botellas de leche de 0,75 L se pueden llenar con un bidón de 24,75 L? a) 24 b) 33 c) 36 d) 28 f Si se aproxima por redondeo a la milésima el número 0,56365 queda: a) 0,56 b) 0,563 c) 0,564 d) 0,5637 c Para realizar la instalación eléctrica de una casa se necesitan 98,7 m de cable. Si cada rollo de cuatro metros y medio cuesta $ 360 y no se venden trozos de menor longitud, ¿cuál será el costo de la compra de cable para la instalación? a) $ 7 560 b) $ 7 920 c) $ 8 280 d) $ 7 200 g El automóvil de Marcos consume 6,7 L de bencina cada día laboral, mientras que en todo el fin de semana consume 17,4 L. Si el litro de bencina cuesta $ 685,5, ¿cuánto dinero aproximadamente gasta Marcos en gasolina en una semana? a) $ 34 892 b) $ 32 654 c) $ 39 051 d) $ 33 980 d Un edificio de 8 pisos tiene una altura de 29,52 m. Calcula la altura aproximada del cuarto piso si el primero tiene 3,96 m de altura y los otros 7 tienen cada uno la misma altura. a) 3,45 m b) 3,85 m c) 3,65 m d) 3,75 m h Un recipiente contiene 0,75 L de jugo de naranja. Si el jugo se reparte en forma equitativa a tres niños, ¿cuántos mililitros corresponden a cada uno? a) 0,25 ml b) 2,5 ml c) 25 ml d) 250 ml II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la tabla que allí aparece.