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NÚMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS-QUINTO DE SECUNDARIA PDF

Definición de Números complejos
Se llama número complejo a todo par ordenado (a, b) de componentes reales. Un número complejo tiene la forma: a + ib ó a + bi, donde "a" y "b" son números reales y la "unidad imaginaria i" es un nuevo número tal que: i2 = -1.

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Al número "a" se le llama parte real de Z. [Re(Z) = a]
Al número "b" se le llama parte imaginaria de Z. [Im(Z) = b]

Se define:

- Adición: (a,b) + (c,d) = (a + c, b + d)

- Multiplicación: (a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad + bc) m(a,b) = (ma, mb)

Observación:

• Al número complejo (x,0) se le identifica con el número real "x", lo cual se puede escribir: x = (x,0).

• Al par (0;1) se le llama unidad imaginaria y se le representa por el símbolo "i".

Entonces al número complejo: Z = (a,b), lo podemos expresar: Z = (a,b) = a(1;0) + b(0;1)

• Si: b = 0  → el número complejo (a + 0i) se llama complejo real.

• Si: a = 0 → el número complejo (0 + bi) se llama complejo imaginario puro.

• Dos números complejos: Z1 = a + bi y Z2 = c + di; son iguales si: a = c y b = d

• El conjugado de un número complejo: Z = a + bi es:  Z = a - bi

• El opuesto de un número complejo: Z = a + bi es:  Z* = -a - bi

Números imaginarios

Dentro del campo de los números reales IR podemos siempre hallar números "x" tales que: x2 - 1 = 0. Los números reales 1 y - 1 satisfacen dicha ecuación. ¿Pero qué podemos decir sobre la ecuación: x2 + 1 =0? No existe ningún número real "x" que satisfaga esta ecuación puesto que el cuadrado de todo número real es positivo o cero (x2 ≥0) y en consecuencia: x2 + 1 > 0 Se hace necesaria la ampliación de IR a un conjunto en la cual pueda resolverse situaciones del tipo anterior, tal conjunto es el de los números complejos en la que definimos un número "i" tal que: i2 = -1

Potencias naturales de "i"

i1 = i          i7 = -i
i2 = -1        i8 = 1
i3 = -i         i9 = i
i4 = 1         i10 = -1
i5 = i         i11 = -i
i6 = -1       i-12 = 1

Representación geométrica de un número complejo
Todo número complejo, se puede representar por puntos en un plano, llamado Plano complejo o Diagrama de Argand.