NUMEROS COMPLEJOS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

Presentar algunos elementos de un nuevo sistema numérico que se genera como ampliación del sistema de los números reales. Estos elementos denominados CANTIDADES IMAGINARIAS, se generan históricamente de la resolución de la ecuación binomia: x2n + 1 = 0 ; n Î , n ³ 1. Cuya resolvente es: • Hacer conocer que, de todas las cantidades imaginarias usuales en este nivel, la más importante es el número imaginario . Cuya simbolización universal , fue dada por K.F. Gauss en el siglo XIX, y se le denomina UNIDAD IMAGINARIA. • También nos interesa exponer todas las propiedades que guarda la unidad imaginaria “i” y sus consecuencias diversas. CANTIDADES IMAGINARIAS Son aquellos números que resultan al extraer la raíz de aquellos radicales de índice par de cantidades subradicales reales negativas. Es decir, se trata de extraer las RAÍCES ALGEBRAICAS del radical , siendo Veamos: El problema consiste en hallar las “2n” raíces algebraicas del subradical (–1). Observemos los siguientes ejemplos: y así sucesivamente. APLICACIONES DIVERSAS: • • • • Tener en cuenta que: y son cantidades imaginarias, ya que provienen de radicales de índice par de cantidades subradicales negativas. Teniendo en cuenta que estos son elementos del conjunto de los números complejos. UNIDAD IMAGINARIA Es aquella cantidad imaginaria elemental que resulta al extraer la raíz cuadrada de (–1). Es decir: Ejemplos : • • • • POTENCIAS ENTERAS DE LA UNIDAD IMAGINARIA Nos interesa analizar la potencia enésima de in; . Considerando las definiciones: Analicemos por inducción las potencias crecientes de in; n ³ 1. Veamos: * i1 = i * i5 = 1 * i9 = 1 * i2 = –1 * i6 = –1 * i10 = –1 * i3 = –i * i7 = –i * i11 = –i * i4 = 1 * i8 = 1 * i12 = 1 Se observa que las potencias de “i” se repiten cada cuatro veces y sólo asumen uno de los cuatro valores i, –1, i y 1. Teniendo en cuenta lo siguiente: Luego generalizando se tiene: Ejemplos diversos: Se sabe que un número es múltiplo de cuatro, si sus dos últimas cifras son múltiplos de él. Veamos los siguientes ejemplos: Calculemos ahora la potencia negativa de i: Por lo tanto: Generalizemos esto, mediante la siguiente propiedad: i–k = (i–1)k = (–i)k = [(–1) i]k = (–1)kik TEOREMA: Ejemplos diversos: Reducir : Luego : PROPIEDADES DIVERSAS: 1º) i + i2 + i3 + i4 = 0 2º) i4k + i4k+1 + i4k+2 + i4k+3 = 0; 3º) ik + ik+1 + ik+2 + ik+3 = 0; 4º) ; 5º) APLICACIONES ELEMENTALES : 1. Calcular: Por la segunda propiedad se tiene: 2. Calcular las siguientes potencias: • • Aplicando la 4ta. propiedad en el 2do. factor: B = (1) i4k = (1) (1) = 1 • Como 3747 es un número impar, se tiene: C = i4k–1 = i4k+3 = i4k · i3 = (1) (–i) = –i 3. Reducir: 4. Calcular: Es evidente que: Por lo tanto : R = 2i + 95 FORMA BINÓMICA O RECTANGULAR DE UN NÚMERO COMPLEJO Por definición, un número complejo es todo par ordenado de números reales. Donde la primera componente es la parte real y la segunda componente la parte imaginaria. Es decir: Dado Z = (a; b) tal que Siendo : a es la parte real de b es la parte imaginaria de En símbolos: TEOREMA: Todo número complejo Z = (a; b), tiene como equivalente la forma cartesiana Z = a + bi, denominada también binómica o rectangular. Demostración: Sea: Z = (a; b); tal que Por adición de pares ordenados: Z = (a; 0) + (0; b) Z = a (1; 0) + b (0; 1) Por definición : (1;0) = 1 (unidad real) (0; 1) = i (unidad imaginaria) Luego: Z = a (1) + b (i) Finalmente: Lqqd. DIAGRAMA DE ARGAND DEL COMPLEJO Z Dado el complejo Z = a + bi Ejemplo: Sea Z = 3 + 4i OPERACIONES BÁSICAS EN LA FORMA CARTESIANA 1) Adición y Sustracción en Dados: Z = a + bi W = c + di Se definen: 2) Multiplicación en Dados: Z = a + bi W = c + di Se define: 3) Inversa de Z Dado el complejo: Z = a + bi ¹ 0 Se define: 4) División en Se tienen los complejos: Z = a + bi y W = c + di Se define: PROPIEDADES USUALES 1º) (1+i)2 = 1 + 2i + i2 ; (1+i)2 = 1 + 2i - 1 Por lo tanto: 2º) (1–i)2 = 1 + 2i + i2 ; (1–i)2 = 1 + 2i - 1 Por lo tanto: 3º) Como consecuencia de las propiedades anteriores 4º) Dado Racionalizando el denominador, se tiene: Por lo tanto: 5º) Dado De la propiedad anterior: Por lo tanto: APLICACIONES ELEMENTALES 1. Simplificar: 2. Reducir: Como: ; se tiene lo siguiente: 3. Efectuar: Multiplicando los dos primeros factores, aplicando la propiedad distributiva: T = (6 + 4i – 3i - 2i2) (8 – i) ; i2 = –1 Luego : T = (8 + i) (8 – i) Entonces : T = 82 – i2 = 64 – (–1) = 65 4. Resolver la ecuación: Como : 512i = 29 i9 = (2i)9, resulta: (1 + i)n = (2 i)9 (1 + i)n = [ (1 + i)2 ]9 (1 + i)n = (1 + i)18 ® 5. Simplificar : * * * Por lo tanto: 13. La suma de dos números complejos es 3 – 2i, la parte real del primero es 5.Si el cociente del primero entre el segundo es un número real, ¿cuál es el segundo número complejo? Rpta.: 14. Dados: Z1 = m + 7 + (m – 3)i Z2 = n – 2 + (2n + 1)i Z3 = p + 4 + (q – 5)i donde: , se sabe que Z1 es un número real, Z2 es un número imaginario puro y Z3 es nulo. Según esto, calcular (m + n + p + q). Rpta.: 15. Si los números complejos: Z1 = (a + 4b) + 11i y Z2 = 6 + (4a + b)i son conjugados, entonces (a + b) es igual a:

Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad