MATEMATICA PARA PROFESORES EN TEXTO PDF

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SISTEMAS DE NUMERACIÓN ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE NUMERACIÓN EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: onocimientos Matemáticos 1.TÉCNICAS DE RECUENTO 1.1. Situación introductoria: Instrumentos para contar Toma un folio y divídelo en dos partes iguales. Escribe tu nombre en cada mitad. En una de ella simula la caída de una "granizada" durante unos 30 segundos, marcando con puntos gruesos la posición en la que caen los granizos. Obtendrás un dibujo parecido al que mostramos en este cuadro: * * * * * * * * * * * * * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * a) ¿Cuántos puntos hay en tu dibujo? ¿Qué has hecho para contestar a esta pregunta? b) En la otra mitad del folio escribe un mensaje para que otro compañero reproduzca exactamente la misma cantidad de granizos que tú has producido, aunque no en la misma posición. No puedes utilizar las palabras uno, dos, tres,..; ni los símbolos 1, 2, 3,... c) Intercambia el mensaje con el de otro compañero; cada uno de vosotros ha de interpretar el mensaje del compañero y reproducir su granizada. d) Comprueba que la reproducción ha sido correcta. e) Describe el procedimiento que habéis utilizado en la realización de la tarea. 1.2. Necesidades sociales que resuelven las técnicas de contar Las técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las sociedades estudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de número y a la Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de: comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos (cardinal de la colección). indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de objetos (ordinal del objeto). En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectores- se plantea ya, aunque sea a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son?. También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?, ¿quién interviene en segundo lugar?, etc. A partir de esas necesidades sociales se desarrollan diferentes técnicas de recuento que han ido evolucionando a lo largo de la historia. En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas. Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o sistema de representación numérica. El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades. 1.3. Técnica de recuento para obtener cardinales Las técnicas de recuento actuales se basan en la existencia de unas palabras (numéricas) que se recitan siempre en el mismo orden. Estas palabras forman un conjunto bien ordenado (hay un primer elemento y un siguiente para cada una de ellas). Para obtener el cardinal de un conjunto se realizan las siguientes acciones: Se adjudica a cada elemento del conjunto contado una palabra numérica distinta y sólo una en el orden habitual: uno, dos, tres,..., treinta. Una vez acabada la fase anterior, la palabra adjudicada al último elemento del conjunto contado, se repite, haciendo referencia con ella a toda la colección (treinta) y designando el número de elementos o cardinal del conjunto. Observamos que podemos contar (hallar el cardinal de un conjunto) porque nos sabemos de memoria una sucesión ordenada de palabras: uno, dos, tres, etc, y las recitamos siempre en el mismo orden. La tarea más complicada de los recuentos consiste en adjudicar a cada objeto del conjunto una palabra numérica distinta y sólo una. Ello requiere definir un orden total en el conjunto contado, orden que podemos definir a voluntad, sin que se modifique el resultado final. Para contar se requiere una coordinación entre la palabra y la mano o la vista, y a veces, se usan técnicas auxiliares, marcando, por ejemplo, cada punto contado. Al terminar de contar, la última palabra, hace referencia, no sólo al último objeto señalado, sino también a todo el conjunto, esto es, se trata de una "propiedad" que se predica de todo el conjunto. Por tanto, cada palabra numérica que se pronuncia tiene un doble significado: es el ordinal del elemento correspondiente en la ordenación que se va construyendo, y es el cardinal del conjunto formado por los objetos ya contados hasta ese momento. Hay que tener en cuenta también el uso intransitivo del recuento, esto es, el recitado de la serie de palabras numéricas en sí mismas, sin mención alguna a cardinales u ordinales. Aprender las palabras numéricas y cómo repetirlas en el orden correcto es aprender el recuento intransitivo, mientras que aprender su uso como medidas de conjuntos es el aprendizaje del recuento transitivo. "Si aprendemos un tipo de recuento antes que otro no tiene importancia cuando nos interesan los primeros números. Pero lo que es seguro, y no carente de importancia, es que tenemos que aprender algún procedimiento recursivo para generar la notación en el orden adecuado antes que hayamos aprendido a contar transitivamente, ya que hacer esto consiste, bien directa o indirectamente, en correlacionar los elementos de la serie numérica, con los miembros del conjunto que estamos contando. Parece, por tanto, que es posible que alguien aprenda a contar intransivamente, sin aprender a contar transitivamente. Pero no a la inversa" (Benacerraff1, 1983: 275 ) Técnicas auxiliares del recuento Cuando estamos contando los elementos de un conjunto, necesitamos distinguir en cada paso el subconjunto ya contado, del no contado. Las técnicas auxiliares que se utilizan son: Trazar mental o físicamente un camino a seguir cuando vamos contando los objetos. Marcar los objetos ya contados. Separar manual o mentalmente los objetos contados de los no contados (realizar una partición del conjunto). Sustituir la colección de partida por otra que tenga el mismo cardinal, contando esta última. El uso de una u otra técnica auxiliar depende de: el número de elementos del conjunto contado; la configuración geométrica del conjunto; el tipo de objetos que constituyen el conjunto contado; la accesibilidad de los elementos del conjunto (objetos físicos al alcance de la mano, objetos físicos al alcance de la vista pero no de la mano, objetos evocados mentalmente). la movilidad de los objetos. Todas estas técnicas auxiliares tienen que ir precedidas de una primera coordinación entre la mano o la vista y la emisión de la palabra. Es decir, hay que aprender a emitir cada palabra al mismo tiempo que la atención se fija en un objeto. Coordinabilidad entre conjuntos Al contar ponemos en correspondencia cada elemento de un conjunto con otro conjunto (de objetos, palabras, muescas, etc.). Las noción de cardinal se puede formalizar usando el lenguaje de la teoría de conjuntos. Definición 1(Coordinabilidad): Un conjunto A coordinable o equipotente con el conjunto B si existe una correspondencia biyectiva de A en B. Se escribe A B. Cada elemento del primer conjunto se pone en correspondencia con uno y sólo uno del segundo. Técnicas de recuento para obtener ordinales Para obtener el ordinal de un elemento se utiliza la sucesión de palabras: uno, dos, tres, ... o la sucesión de palabras: primero, segundo, tercero, etc. que llamamos "palabras numéricas ordinales". El resultado del recuento se expresa indistintamente mediante unas u otras palabras. Se dice de un elemento que es el décimo quinto o que es el quince. A medida que se avanza en la sucesión de palabras numéricas se utilizan cada vez menos las palabras ordinales. Dado un conjunto totalmente ordenado y un elemento de dicho conjunto, podemos usar diversas técnica para determinar el número ordinal: Se recita una de las sucesiones de palabras numéricas (ordinales o cardinales) Se adjudican dichas palabras a los elementos del conjunto siguiendo el orden establecido hasta llegar al elemento en cuestión. La palabra que le corresponde a dicho elemento es su ordinal. Como podemos ver, a diferencia de lo que sucede en la determinación de cardinales, para asignar un ordinal, el orden en que se van eligiendo los elementos ya no queda a discreción del que efectúa el recuento, sino que viene fijado de antemano. Para obtener el ordinal de un elemento no es absolutamente necesario tener previamente definido un orden total en el conjunto, sino que basta con saber qué elementos son anteriores al que nos interesa. En ese caso tenemos esta segunda técnica: Se obtiene el cardinal del conjunto formado por todos los elementos anteriores al que nos interesa, utilizando la técnica de recuento correspondiente. Pronunciamos la palabra numérica siguiente a la que se refiere el cardinal de dicho conjunto, indicando con ella el ordinal del elemento. Esta segunda técnica permite reordenar a voluntad el conjunto de los elementos anteriores al dado, puesto que para calcular cardinales el orden en que se elijan los elementos es irrelevante. 1.5. Orden de ordinales y cardinales Decimos que un ordinal es ‘anterior’ a otro si al recitar la sucesión numérica en el orden habitual, la palabra numérica correspondiente al primer ordinal se recita antes que la correspondiente al segundo ordinal. Por ejemplo, el ordinal ‘cuatro’ es anterior al ordinal ‘nueve’ porque, a la hora de contar, la palabra ‘cuatro’ se dice antes que la palabra ‘nueve’, la primera palabra es anterior en el tiempo a la segunda. Decimos que un cardinal es ‘más pequeño’ que otro, o ‘es menor’ que otro, si al emparejar los elementos de dos conjuntos que los tengan por cardinales respectivos, en el segundo conjunto quedan elementos sin pareja. Por ejemplo, el cardinal ‘cuatro’ es más pequeño, o menor, que el cardinal ‘nueve’ porque si emparejamos cuatro tazas con nueve platos quedarán platos sin taza. Esta última definición lleva implícita la idea de que todos los conjuntos que tienen el mismo cardinal pueden emparejarse sin que quede ningún elemento sin pareja. Estos dos órdenes, el ordinal y el cardinal, son equivalentes, es decir, que si un ordinal es anterior a otro los cardinales correspondientes a esas mismas palabras numéricas cumplen que el primero es más pequeño que el segundo; y recíprocamente. En general, decimos que el número a ‘es menor’ que b, entendiendo que eso significa que el ordinal a es anterior al ordinal b y que, al mismo tiempo, el cardinal a es más pequeño que el cardinal b. 1.6. Principios que subyacen en las técnicas de contar El análisis de las diversas técnicas de contar pone de manifiesto los principios que subyacen en ellas, es decir, los aspectos conceptuales que es necesario entender y tener en cuenta para contar correctamente. En el caso de la técnica de contar para obtener cardinales son los siguientes: Principio del orden estable. Las palabras numéricas uno, dos, tres, ... deben recitarse siempre en el mismo orden, sin saltarse ninguna. Principio de la correspondencia uno a uno. A cada elemento del conjunto sometido a recuento se le debe asignar una palabra numérica distinta y sólo una. Principio de irrelevancia del orden. El orden en que se cuentan los elementos del conjunto es irrelevante para obtener el cardinal del conjunto. Principio cardinal. La palabra adjudicada al último elemento contado del conjunto representa, no sólo el ordinal de ese elemento, sino también el cardinal del conjunto. En el caso de la técnica de contar para obtener ordinales los principios que la dirigen son el del orden estable y el de la correspondencia uno a uno referido únicamente al propio elemento y a los anteriores a él. Aquí el orden en que sean elegidos los elementos del conjunto para adjudicarles las palabras numéricas ya no es irrelevante de cara a la obtención del ordinal correspondiente. 1.7. Otras técnicas de recuento: ejemplos históricos2 Hasta ahora hemos visto que para contar se necesitan unas palabras numéricas, pero, ¿estas palabras han existido siempre? ¿Existen técnicas de recuento que no se basen en palabras? A continuación mostraremos cómo han resuelto diferentes culturas el problema de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? En primer lugar, el hombre tiene una capacidad innata para reconocer ciertos cardinales de conjuntos sin necesidad de efectuar un recuento. Esta capacidad recibe el nombre de “subitación” y permite reconocer cardinales de conjuntos con un número pequeño de objetos, por lo que algunas culturas comunican mediante el lenguaje cuál es el cardinal de un conjunto, aunque no tengan técnicas de contar, por ejemplo: En algunas sociedades, como los zulúes y pigmeos de Africa, los arandan y kamilarai de Australia, los bocotudos de Brasil y los aborígenes de las islas Murria, sólo se han inventado las dos primeras palabras numéricas: una para indicar la unidad, otra para indicar la pareja. Varias tribus de Oceanía declinan los nombres de las cosas en singular, dual, trial, cuatrial, plural, del mismo modo que nosotros declinamos los nombres en singular y plural. Tienen, por tanto, la posibilidad de indicar el cardinal de un conjunto de hasta cuatro objetos pero no tienen palabras para contar. En segundo lugar, muchas sociedades han desarrollado técnicas de contar sin palabras, que han llegado hasta nuestros días. Por ejemplo: llevar la cuenta de los votos a favor y en contra trazando palotes, mostrar los dedos para indicar un cardinal u ordinal (esta técnica se utiliza mucho con los niños pequeños), utilizar palillos, trozos de papel o fichas para llevar la cuenta de las partidas ganadas en un juego de cartas, pasar con los dedos las bolitas del rosario para llevar la cuenta de las avemarías, utilización de ábacos en las escuelas, etc. En nuestra cultura estas técnicas se mezclan con las técnicas de recuento con palabras, que son las predominantes, y, frecuentemente, sirven de refuerzo a estas últimas. Sin embargo, existen y han existido sociedades en las que las técnicas de recuento sin palabras eran muy importantes e incluso, las únicas existentes. Algunos ejemplos son los siguientes: Los papúes de Nueva Guinea y los bosquimanos de Africa del Sur, entre otros muchos aborígenes, cuentan utilizando las partes del cuerpo humano. Para ello y en un orden previamente establecido van señalando los dedos de las manos y de los pies, las diferentes articulaciones del cuerpo, los ojos, nariz, boca, etc. Ha sido una práctica frecuente en los ejércitos de diferentes épocas y sociedades que, antes de entrar en batalla, cada guerrero depositara un guijarro en un lugar convenido. A la vuelta cada guerrero recogía uno de dichos guijarros. Los sobrantes indicaban el número de bajas que se habían producido en la batalla. La utilización de guijarros para contar o realizar operaciones ha dado lugar a la palabra "cálculo" que proviene de la palabra latina "calculus" que significa "piedra pequeña". Tenemos así un muestrario de objetos físicos que sirven como objetos numéricos y que podemos clasificar en: - muescas, palotes; - objetos ensartados en collares o en varillas, nudos en una cuerda; - objetos sueltos: guijarros, palitos, conchas, perlas, huesos, etc. - partes del cuerpo humano. Ejercicios: 1. Si un pastor trashumante tuviese que contar 999999 cabezas de ganado, ¿Cuánto tiempo tardaría, haciendo una muesca por segundo? En conclusión, una técnica de recuento sin palabras se caracteriza por la existencia de un conjunto de objetos numéricos, que sirven para contar. A cada elemento del conjunto contado se le asocia un objeto numérico distinto y sólo uno, construyendo un subconjunto de objetos numéricos, cuya presentación es la respuesta a la pregunta, ¿cuántos hay? Esto pone de manifiesto que lo que subyace en un recuento, la parte común a todos ellos, es el establecimiento de una correspondencia uno a uno entre el conjunto contado y un subconjunto numérico de referencia, tanto si los elementos de este último son objetos físicos, palabras, partes del cuerpo humano, etc. El conjunto de objetos numéricos debe estar "naturalmente estructurado", y constituye lo que llamaremos un "sistema numeral" o sistema de representación numérica. 1.8. El paso del recuento sin palabras al recuento con palabras Las etapas necesarias para pasar de una técnica de recuento con objetos al recuento con palabras son las siguientes: Comparar el conjunto que se quiere contar con un conjunto de referencia, formado por objetos visibles o evocables por los demás. El principio de la correspondencia uno a uno permite pasar de una comunicación poco precisa del cardinal de una colección a una comunicación precisa de la misma, representándola mediante un conjunto de los objetos numéricos (muescas, guijarros, cuentas, etc.). Comparar con un conjunto de referencia ordenado (partes del cuerpo humano, objetos diferenciados) para poder establecer el ordinal de cada elemento dentro de un conjunto. La presentación sucesiva de los objetos diferenciados siempre en el mismo orden, principio del orden estable, permite comunicar el ordinal de un elemento. Utilización indistinta de los conjuntos de referencia ordenados para la obtención de cardinales u ordinales. Cada uno de los objetos numéricos, al estar diferenciado de los demás, puede recibir un nombre distinto. Descubrimiento de que basta nombrar el último elemento del conjunto numérico ordenado con el que se ha establecido la correspondencia uno a uno para transmitir la información deseada, tanto en contextos cardinales como ordinales: principio cardinal. En un momento dado, algunas sociedades se dan cuenta de que al usar un conjunto numérico ordenado, ya no es necesario presentar al interlocutor todo el conjunto con el que se ha establecido la correspondencia, ni enumerarlo. Con hacer referencia al último objeto es suficiente pues el interlocutor puede evocar todos los elementos anteriores. No todas las culturas han sido capaces de llegar a este punto. Por ejemplo, los papúes de Nueva Guinea, para indicar el cardinal "siete" hacen el gesto de tocar con su mano izquierda, sucesivamente, los dedos de la mano derecha, la muñeca y el codo. Si se hace delante de ellos el gesto único de tocar el codo no le encuentran sentido. Vestigios de esta incapacidad cultural se encuentran en los niños pequeños que preguntados sobre cuántos hay cuentan y dicen, por ejemplo,: “uno, dos, tres, cuatro”, y ante la pregunta insistente del adulto: “si pero, ¿cuántos hay?” vuelven a decir: “uno, dos, tres y cuatro”. Más adelante el conjunto de referencia se desliga de los objetos físicos. Cada palabra se convierte en una palabra numérica (palabra que sirve para contar). En otras sociedades primitivas algunas de esas palabras siguen evocando partes del cuerpo humano. En particular, nuestro conjunto numérico habitual es un conjunto ordenado de palabras: uno, dos, tres, cuatro, etc. Si alguien dice que tiene cinco objetos, su interlocutor entiende la información porque se imagina un objeto para el uno, otro para el dos, otro para el tres, otro para el cuatro y otro para el cinco. Es decir, la transmisión de dicha información numérica está dependiendo del hecho de tener almacenada en nuestra memoria esa sucesión de palabras, de forma que cuando nos dicen una de ellas somos capaces de recordar todas las anteriores. 1.9. Técnicas abreviadas de contar Las técnicas de contar exigen mucho tiempo cuando los elementos a contar son muchos. No es extraño, por tanto, que se intente hacerlas más breves. Algunas situaciones permiten acortar el proceso de contar, partiendo de una colección de objetos de cardinal conocido al que se añaden o suprimen elementos para obtener el cardinal de la colección modificada. Las formas más importantes de abreviar los recuentos son las siguientes: Contar de dos en dos, de tres en tres, etc., aprovechando nuestra capacidad de reconocer directamente los cardinales de conjuntos pequeños. Contar hacia delante o hacia atrás, desde un cardinal dado. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de dieciocho objetos y nos dicen que añadamos algunos más, no volvemos a contar todo para saber el cardinal del nuevo conjunto, sino que contamos los nuevos objetos adjudicándoles las palabras ‘diecinueve’, ‘veinte’, ‘veintiuno’, etc. De la misma manera, si queremos suprimir unos cuantos objetos de un conjunto de dieciocho vamos adjudicando a los objetos surprimidos las palabras ‘diecisiete’, ‘dieciséis’, etc. y la última palabra numérica indicará el cardinal del conjunto final. Contar hacia delante o hacia atrás desde un cardinal dado hasta otro cardinal también dado. Esta técnica se usa cuando queremos saber cuántos objetos hay que añadir o quitar a un conjunto de cardinal dado para obtener otro cardinal conocido, o bien, qué diferencia existe entre dos conjuntos de cardinal dado. Por ejemplo, si nos preguntan cuántos objetos hemos añadido a un conjunto que tenía dieciséis y ahora tiene veinticuatro objetos, podemos decir: diecisiete, dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, veintidós, veintitrés, veinticuatro, al mismo tiempo que vamos levantando dedos. Al final tendremos ocho dedos levantados que nos dan la respuesta a la pregunta inicial. Del mismo modo, si nos preguntan cuántos objetos hay que quitar para pasar de tener catorce a tener once, podemos decir: trece, doce, once, al mismo tiempo que levantamos dedos. Los tres dedos levantados nos dan la respuesta a la pregunta. Contar hacia delante o hacia atrás, desde el cardinal dado, tantas veces como indique el número de objetos a añadir o suprimir, respectivamente. Por ejemplo, si a un conjunto de veinticuatro elementos le quitamos cinco elementos podemos decir: veintitrés, veintidós, veintiuno, veinte, diecinueve, a medida que vamos quitando efectivamente esos objetos o levantando dedos. El hecho de quitar los cinco objetos o tener cinco dedos levantados nos indica que la cuenta ha terminado y el resultado es diecinueve. Como hemos podido ver, algunas de estas técnicas abreviadas necesitan, además de la colección habitual de palabras numéricas, una colección suplementaria de objetos numéricos. Esta colección referencial de apoyo suelen ser los dedos, pero podría ser cualquier otra: palotes, fichas, etc. 2. LOS NÚMEROS NATURALES. DIFERENTES USOS Y FORMALIZACIONES 2.1. La noción de número natural y sus usos Como resumen de las secciones anteriores podemos decir que contar es poner en correspondencia uno a uno los distintos elementos de un conjunto (contado) con un subconjunto de otro conjunto (contador, sistema numérico de referencia o sistema numeral). Los elementos del conjunto numérico pueden ser objetos físicos (piedrecillas, semillas, marcas en una varilla o en un segmento, partes del cuerpo), palabras, símbolos, etc. Pueden también ser imaginados por una persona, es decir, ser representaciones internas de objetos para realizar comparaciones o cálculos. Pero tanto si son perceptibles, como mentales, el uso básico que hacemos de ellos es contar y ordenar. En una primera aproximación, podemos decir que los números naturales son cualquier sistema de "objetos" (símbolos, marcas, materiales concretos, palabras,...), perceptibles o pensados, que se usan para informar del cardinal de los conjuntos y para ordenar sus elementos, indicando el lugar que ocupa cada elemento dentro del conjunto. El sistema más común es el de las palabras: cero, uno, dos, tres,..; y los símbolos, 0, 1, 2, 3,... Para poder ser usados en las situaciones de recuento y ordenación estos sistemas de objetos numéricos deben tener una estructura recursiva específica, que se concreta en los llamados axiomas de Peano enunciados en la sección 2.2. El número natural responde a la cuestión, ¿cuántos elementos tiene este conjunto? (recuento del número de elementos) y en estas circunstancias se habla de número cardinal. Para hallar el cardinal de un conjunto se le pone en correspondencia biyectiva con una parte del conjunto de los números naturales, pero fijándose sólo en el número atribuido al último elemento que se cuenta. Los números naturales también se pueden usar para ordenar un conjunto y entonces se habla de número ordinal. La noción de número natural surge de la fusión de los conceptos de número cardinal y ordinal 3, identificación que se realiza mediante el postulado fundamental de la aritmética: "El número cardinal de un conjunto coincide con el número ordinal del último elemento, y es siempre el mismo cualquiera que sea el orden en que se haya efectuado el recuento" El número cardinal resulta de considerar, no un elemento, sino todo el conjunto, prescindiendo de la naturaleza de los elementos que lo componen y del orden en que se consideran. El número ordinal resulta de prescindir de la naturaleza de los objetos y teniendo en cuenta solamente el orden. La reflexión sobre el cardinal y ordinal y sobre las operaciones que se realizan sobre ellos permite identificar una misma estructura operatoria, lo que lleva a hablar del “número natural”. Algunos autores consideran la medida como un contexto de uso diferente de uso de los números naturales, hablando incluso del “número de medir”. Pensamos que este uso es equivalente al de cardinal. Al medir una cantidad de magnitud tomando otra como unidad se trata de determinar cuántas unidades (o bien múltiplos y submúltiplos) hay en la cantidad dada. De manera equivalente, hablar del cardinal de un conjunto se puede ver también como “medir” el tamaño o numerosidad del conjunto considerado tomando el objeto unitario como unidad de medida. Cuando se trate de medir magnitudes continuas será necesario ampliar la noción de número para incluir a los racionales y reales. Finalmente, mencionamos un uso habitual que no es propiamente numérico. Se trata del uso de un sistema numérico como etiquetas identificativas de objetos. Por ejemplo, los números de carnet de identidad de una persona, los números de teléfonos, la identificación de las teclas en calculadoras, etc. En realidad tales “números” se usan como códigos, careciendo del sentido cardinal, ordinal y algorítmico. 2.2. Formalizaciones matemáticas de los números naturales La reflexión de los matemáticos sobre las propiedades y técnicas anteriores lleva a definir el conjunto de números naturales N de diversas formas que resumimos a continuación. Formalización de Peano (Axiomas de Peano) Esta formalización se basa en ideas muy sencillas: Consideramos como conjunto de los números naturales todo conjunto tal que cada elemento tiene un único siguiente, hay un primer elemento, y contiene todos los elementos siguientes de los anteriores. Los conjuntos que tienen estas propiedades se llaman conjuntos naturalmente ordenados o conjunto de números naturales.

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