ESFERA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Conocer los elementos y características de la esfera y semiesfera.
• Calcular medidas de la esfera, semiesfera y casquete esférico.
• Aplicar las diversas propiedades del tema en la resolución de situaciones relacionadas con esfera y semiesfera.
La naturaleza presenta ejemplos de frutos que se aproximan a una esfera, como por ejemplo la naranja.
Las gotitas de agua se aproxima a una esfera.
En la ornamentación se utiliza la esfera.
Las pelotas, bombillas, etc.
Son otros ejemplos de objetos que se relacionan con la esfera.
La tierra es aproximadamente esférica y gira alrededor de un eje que pasa por los polos llamado eje del mundo.
Los meridianos y paralelos de esta superficie de revolución se llaman paralelos y meridianos terrestres
ESFERA DE REVOLUCIÓN
Es el sólido generado por un semicírculo cuando gira 360° alrededor de su diámetro tomado como eje .
DEFINICIÓN DE ESFERA :
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º, en torno a su diámetro.
SUPERFICIE ESFÉRICA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.
ÁREA DEL CÍRCULO MÁXIMO
ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA
El área de la superficie esférica es igual a cuatro veces el área de un círculo máximo.
VOLUMEN DE LA ESFERA
ZONA ESFÉRICA
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
Es decir la zona esférica es la porción de superficie esférica generada por la rotación completa de un arco alrededor del diámetro
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica generada por la rotación completa de un arco alrededor del diámetro que pasa por uno de los extremos del arco .
DEFINICIÓN: La superficie esférica es la superficie generada por la rotación completa de una semicircunferencia alrededor de su diámetro
En efecto la superficie de la esfera se puede considerar generada por la rotación de una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro una vuelta completa.
HUSO ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica generada por una semicircunferencia cuando gira un ángulo alrededor de su diámetro .
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
Es aquel sólido que se genera por la rotación de una región plana al girar en torno a un eje. Estudiaremos a continuación sólidos de revolución generados por regiones planas contenidas en un mismo semiplano respecto al eje de giro.
DETERMINACION DEL VOLUMEN DE UNA ESFERA
El volumen que genera un triángulo que gira alrededor de un eje que pasa por uno de sus vértices sin cortar al triángulo y situados en el mismo plano , es igual a la tercera parte del producto del área generada por el lado opuesto al vértice situado sobre el eje , por la altura relativa a este lado .
SECTOR ESFÉRICO
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360º en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.
CUÑA ESFERICA
Es la porción de la esfera generada por un semicírculo cuando gira un ángulo alrededor de su diámetro .
Si el semicírculo gira 360° alrededor de su diámetro se genera el volumen de la esfera .
ANILLO ESFÉRICO
Es el sólido generado por la rotación de un segmento circular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia , a que pertenece el segmento circular .
SEGMENTO ESFÉRICO
Es la porción una esfera sólida comprendida entre dos planos paralelos .
PROBLEMAS PROPUESTOS
PREGUNTA 1 :
Calcular la longitud del radio de una esfera, en centímetros, sabiendo que el área de su superficie total es numéricamente igual a su volumen.
A) 1 cm
B) 2 cm
C) 3 cm
D) 4 cm
E) 6 cm
Rpta. : "C"
PREGUNTA 2 :
Se tiene una superficie esférica cuya área mide 144𝜋 𝑢². Calcule la longitud de la circunferencia máxima.
A) 18𝜋
B) 16𝜋
C) 15𝜋
D) 12𝜋
E) 20𝜋
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Halle el área de la superficie esférica circunscrita a un cubo de arista igual a 2.
A) 8𝜋
B) 16𝜋
C) 32𝜋
D) 12𝜋
E) 64𝜋
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Si el volumen de una esfera es numéricamente igual con el área de su superficie, calcule el área del círculo máximo de dicha esfera.
A) 16𝜋 𝑢²
B) 32𝜋 𝑢²
C) 18𝜋 𝑢²
D) 25𝜋 𝑢²
E) 9𝜋 𝑢²
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
Un cuerpo en forma de esfera de volumen 𝕍 es calentada hasta que su radio aumenta en un décimo de su valor inicial. Calcule el nuevo volumen de la esfera.
A) 1,331𝕍
B) 1,227𝕍
C) 1,666𝕍
D) 1,343𝕍
E) 1,434𝕍
Rpta. : "A"
PREGUNTA 6 :
Halle el radio de la superficie esférica inscrita en un tetraedro regular cuya arista tiene 6 m de longitud.
A) √6/2
B) √6/3
C) 3√6/2
D) √6/4
E) √6/6
Rpta. : "A"
PREGUNTA 7 :
Calcule el volumen de una esfera inscrita en un cilindro de revolución si el área de la superficie total del cilindro mide 54𝜋 𝑢².
A) 12𝜋 𝑢³
B) 36𝜋 𝑢³
C) 72𝜋 𝑢³
D) 48𝜋 𝑢³
E) 52𝜋 𝑢³
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
En una circunferencia de radio 6m se inscribe un triángulo rectángulo isósceles tal que su hipotenusa es el diámetro de la circunferencia dada. Hallar el volumen comprendido entre la superficie generada por la semicircunferencia dada y por el triángulo. Luego de una rotación de 360º alrededor del diámetro citado.
A) 120𝜋m³
B) 150𝜋m³
C) 240𝜋m³
D) 288𝜋m³
E) 144𝜋m³
Rpta. : "E"
PREGUNTA 9 :
Halle la razón de las longitudes de los radios de las esferas inscrita y circunscrita a una misma esfera.
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/4
D) 2/3
E) 2/2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 10 :
Dada una superficie esférica de radio R, calcule la distancia desde el centro hacia el plano secante a la superficie esférica para que el casquete menor que se forma tenga igual área que la superficie lateral del cono equilátero inscrito en dicha superficie esférica.
A) R/7
B) R/2
C) R/5
D) R/3
E) R/4
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
En un cono circular recto está inscrita una esfera. La relación entre los volúmenes del cono y de la esfera es igual a dos. Halle la relación entre el área de la superficie total del cono y el área de la superficie esférica.
A) 2: 1
B) 3: 2
C) 5: 2
D) 3: 1
E) 5: 3
Rpta. : "A"
PREGUNTA 12 :
El área de una superficie esférica es 24𝜋, se trazan dos planos paralelos entre sí, tal que dichos planos trisecan a un radio de forma perpendicular. Halle el área de la zona esférica comprendida entre los planos.
A) 3𝜋
B) 4𝜋
C) 6𝜋
D) 8𝜋
E) 12𝜋
Rpta. : "B"
PREGUNTA 13 :
Calcule la medida del ángulo que debe girar un semicírculo de radio ∛28 respecto del diámetro como eje de giro, para que el volumen de la cuña esférica sea equivalente a un segmento esférico de una sola base, de altura 2 y se encuentre en una esfera de radio 3.
A) 60°
B) 90°
C) 45°
D) 67°30'
E) 75°
Rpta. : "B"
PREGUNTA 14 :
Halle el radio de la esfera inscrita en el tetraedro trirrectángulo S – ABC de arista : SA=12 ; SB =24 y SC = 36.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Rpta. : "D"
PREGUNTA 15 :
En un cono equilátero se inscribe una superficie semiesférica, tal que el círculo máximo está en la base del cono. Calcule el área de la zona esférica determinada por la superficie cónica sobre la superficie semiesférica si el radio de la base del cono es igual a 4√3.
A) 16𝜋
B) 36𝜋
C) 18𝜋
D) 24𝜋
E) 72𝜋
Rpta. : "B"
PREGUNTA 16 :
La razón entre la altura de un cono de revolución y el radio de la superficie esférica circunscrita a este es igual a 8/5. Calcule la medida del ángulo formado por dos generatrices diametralmente opuestas.
A) 45°
B) 75°
C) 53°
D) 60°
E) 37°
Rpta. : "C"
PREGUNTA 17 :
El área de la superficie total de un cono es igual a 25 veces el área de la superficie esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175u³. Calcule el volumen de la esfera (en u³).
A) 4
B) 5
C) 7
D) 9
E) 15
Rpta. : "C"
PREGUNTA 18 :
Calcule el radio de la esfera inscrita en un tetraedro regular cuya arista mide 12m.
A) √6
B) √2
C) √3
D) 4
E) √5
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
Cuatro esferas congruente de radio r, están inscritas en un cubo de tal manera que son tangentes a la base y a las caras laterales consecutivas 2 a 2. Entonces el radio de una quinta esfera que es tangente a las cuatro esferas dadas y a la cara opuesta es:
A) r/2
B) 5r/4
C) 3r/4
D) 4r/7
E) 5r/7
Rpta. : "B"
PREGUNTA 20 :
Calcule la medida del ángulo entre la generatriz de un cono de revolución y su base si el área de la superficie esférica inscrita en el cono es igual al área de la base del cono.
A) 53°
B) 37°
C) 45°
D) 60°
E) 75°
Rpta. : "A"
PREGUNTA 21 :
La altura de un segmento esférico es 8 y la distancia del centro de la esfera a la base del segmento esférico es 5. Calcule el volumen del segmento esférico.
A) 1984𝜋𝑢³/3
B) 1762𝜋𝑢³/3
C) 1854𝜋𝑢³/3
D) 1676𝜋𝑢³/3
E) 1582𝜋𝑢³/3
Rpta. : "A"
PREGUNTA 22 :
Calcule el volumen del segmento esférico de una base si el área de su casquete esférico es cuatro veces el área de su base y el radio de la esfera es 4√3.
A) 35𝜋
B) 88𝜋
C) 220𝜋
D) 180𝜋
E) 150𝜋
Rpta. : "E"
PREGUNTA 23 :
Una superficie esférica esta inscrita en un huso esférico y dos semicírculos máximos de una esfera, si el área del huso esférico es 24𝜋 u² y su radio es 6u entonces el área de la superficie esférica máxima inscrita es (en u²):
A) 12𝜋
B) 14𝜋
C) 16𝜋
D)18𝜋
E) 20𝜋
Rpta. : "C"
PREGUNTA 24 :
El volumen de una esfera es numéricamente igual al área de su superficie y el área de un huso correspondiente es 2/9 del área de la superficie esférica. Calcule el volumen de la cuña esférica.
A) 8𝜋
B) 6𝜋
C) 5𝜋
D) 12𝜋
E) 9𝜋
Rpta. : "A"
PREGUNTA 25 :
Halle el área lateral , en m², de un tronco de pirámide cuadrangular regular circunscrita a una esfera , siendo las áreas de las bases del tronco 9 y 36.
A) 78
B) 79
C) 80
D) 81
E) 82
Rpta. : "D"
PREGUNTA 26 :
Una esfera de área 144𝜋 m² es cortada por dos planos que forman entre si un ángulo diedro de 60º, de modo que la recta de intersección de los planos es tangente a la esfera y el plano bisectriz contiene un diámetro de la esfera. ,Hallar el volumen de la parte de la esfera comprendida en el ángulo diedro.
A) 2888𝜋m³
B) 198𝜋m³
C) 243𝜋m³
D) 126𝜋m³
E) 264𝜋m³
Rpta. : "B"
PREGUNTA 27 :
En dos esferas concéntricas, se traza un plano secante tangente a la esfera menor, formándose una sección de 16𝜋𝑚². Calcule el volumen de uno de los segmentos esféricos si el radio de la esfera menor es 3 m.
A) 10𝜋 𝑚²
B) 16𝜋 𝑚²
C) 21𝜋 𝑚²
D) 52𝜋 𝑚²/3
E) 24𝜋 𝑚²
Rpta. : "D"
PREGUNTA 28 :
Calcule el volumen de una esfera inscrita en un cono de revolución cuya generatriz mide 13 y el radio de su base mide 5.
A) 2000𝜋𝑢³/27
B) 1000𝜋𝑢³/27
C) 4000𝜋𝑢³/81
D) 8000𝜋 𝑢³/9
E) 2000𝜋𝑢³/9
Rpta. : "C"
PREGUNTA 29 :
En una semiesfera se inscribe un cono cuyo vértice es el centro de la semiesfera. Calcule el volumen del cono si el radio de su base es 3 m y dicha base divide a la superficie semiesférica en dos superficies equivalentes.
A) 3√2𝜋 𝑚³
B) 4√3𝜋 𝑚³
C) 5√3𝜋 𝑚³
D) 3√3𝜋 𝑚³
E) 3𝜋 𝑚³
Rpta. : "D"
PREGUNTA 30 :
El área de la base de una pirámide cuadrangular regular es 16 𝑐𝑚² y su apotema mide 2√3cm. Calcule volumen de la semiesfera inscrita en dicha pirámide (el círculo máximo está contenido en la base de la pirámide).
A) 10𝜋 𝑐𝑚²
B) 12𝜋 𝑐𝑚²
C) 8𝜋 𝑐𝑚²
D) 16𝜋 𝑐𝑚²
E) 32𝜋√6𝑐𝑚²/27
Rpta. : "E"
PREGUNTA 31 :
La relación entre el volumen de un tronco de pirámide regular cuadrangular , de áreas 4a² y 16a²(a>0) y el volumen de una esfera inscrita es
A) 7/𝜋
B) 6/𝜋
C) 5/𝜋
D) 12/𝜋
E) 9/𝜋
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :
La afirmación: “Si el área de una esfera es 36𝛑 u², entonces su volumen es 36𝛑 u³ ”. Marcar la alternativa correcta:
A) Ambigua
B) Falsa
C) Imposible
D) Incompleta
E) Verdadera
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 2 :
Se tiene dos esferas cuya relación de volúmenes es de 1 a 2, si el radio de la menor es ∛16 .
Calcule el volumen de la esfera mayor.
A) 143𝛑/3
B) 196𝛑/3
C) 129𝛑/3
D) 128𝛑/3
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"
PREGUNTA 3 :
Una esfera de 100𝛑m² de área está inscrita en un cilindro. Calcular el volumen del cilindro.
A) 200𝛑m³
B) 220𝛑m³
C) 250𝛑m³
D) 260𝛑m³
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "C"
PREGUNTA 4 :
En un cubo de arena se hace una excavación de una esfera cuyo diámetro es igual a la arista del cubo y el radio de la esfera es 3 cm. Calcule el volumen restante de la arena.
A) 12(5 – π) u³
B) 24(6 – π) u³
C) 30(6 – π) u³
D) 26(5 – π) u³
E) 36(6 – π) u³
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 5 :
El área de la base de una pirámide cuadrangular es de 16 m² y su apotema mide 2√3m. Hallar el área de la superficie total de la semiesfera inscrita en dicha pirámide, si se sabe que el circulo máximo está contenido en la base de la pirámide.
A) 10𝛑m²
B) 12𝛑m²
C) 14𝛑m²
D) 9𝛑m²
E) 8𝛑m²
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "E"
PREGUNTA 6 :
En la figura 1, se tiene una esfera de madera compacta de 5 cm de radio. Para colocarla sobre la mesa y para que no ruede, se le va a seccionar con un plano a una distancia de 4 cm del centro, desechando la menor cantidad de madera. Halle el volumen del sólido que queda sobre la mesa, considerando que la sección de corte está sobre la mesa. Ver figura 2.
A) 165𝛑 cm³
B) 162𝛑 cm³
C) 166𝛑 cm³
D) 168𝛑 cm³
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "B"
TEOREMA DE ARQUIMEDES
El área de la superficie generada por una poligonal regular al girar 360º entorno a un eje que contiene al centro de la poligonal regular , la cual está en un mismo semiplano respecto al eje , es igual al producto de la longitud de la circunferencia cuyo radio es igual a la longitud del apotema de la poligonal regular con la longitud de la proyección ortogonal de la poligonal sobre el eje.
Es decir el teorema anterior señala que el área que genera una poligonal regular cuando gira alrededor de un eje coplanar que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita a dicha poligonal es igual a la longitud de una circunferencia cuyo radio es el apotema de la poligonal multiplicado por la proyección de dicha poligonal sobre el eje de giro .
TEOREMA DE ARQUÍMEDES
El volumen del sólido generado por un sector poligonal regular al girar 360º en torno a un eje que pasa por el centro del sector poligonal , el cual está en un mismo semiplano respecto del eje, es igual a la tercera parte del producto del área de la superficie generada por la correspondiente poligonal regular por la longitud de su apotema.
TEOREMA : Todo plano secante a una esfera determina una sección que es un círculo
PROPIEDADES
► Todo plano tangente a una esfera es perpendicular al radio que pasa por el punto de contacto .
► Dícese que un plano o una recta y una esfera son tangentes entre sí , cuando tienen un punto común y sólo uno. Ese punto se llama punto de tangencia.
► Dos esferas son tangentes entre sí cuando sus superficies esféricas tienen un punto en común y sólo uno.
► La intersección de dos esferas cualesquiera es un sólido formado por dos segmentos esféricos de base común , siendo esta base perpendicular a la línea que une los centros de ambas esferas .
Para poder hallar la proyección ortogonal de una porción de línea poligonal sobre una recta, solo debemos trazar las perpendiculares de los extremos hacia dicha recta.
El segmento que tiene por extremos los pies de dichas perpendiculares es la proyección pedida.
Una superficie esférica es un conjunto no convexo. Si se le traza una recta secante a dicha superficie, solo la intersecará en dos puntos.
Si se le traza un plano secante a dicha superficie, solo la intersecará una circunferencia.
Si desde un punto exterior se trazan una recta tangente y una recta secante, entonces es posible aplicar el teorema de la tangente.
• El centro de una superficie esférica equidista de todo punto de dicha superficie.
• La distancia del centro a todo punto de la superficie esférica es el radio de la superficie esférica.
Solo los sólidos de revolución presentan sección axial.
Si una esfera está inscrita en un sólido o poliedro, debe ser tangente a todas las superficies del sólido, o a todas las caras del poliedro.
Para un tetraedro regular, si R es el radio de la esfera inscrita, entonces...
• radio de la esfera circunscrita al tetraedro = 3R.
• radio de la esfera exinscrita a una de las caras = 2R.