FUNDAMENTOS DE ALGEBRA BASICA EN TEXTO PDF

Número, concepto y fundamento , Álgebra, la aritmética superior, Potencias y polinomios, Productos notables y factorización, Fracciones y fracciones parciales, Logaritmos y funciones logarítmicas, Sistemas de ecuaciones lineales, Ecuaciones de segundo grado, Ecuaciones simultáneas de primero y segundo grado, Ecuaciones y desigualdades, Progresiones aritméticas y geométricas CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION Las matemáticas constituyen una parte fundamental en la formación de todo profesional, independientemente del área en que se encuentre. En las ciencias sociales, sobre todo en la economía y en la administración, son pieza importante para lograr entender diversas teorías, comportamientos de fenómenos, medición de tendencias, etcétera. En la vida profesional, los bancos, las casas de seguros, las agencias investigadoras que analizan los hechos de la vida económica, política y social hacen uso extenso de las matemáticas para llegar a resultados y conclusiones. Por ello, los estudiantes y estudiosos de las ciencias sociales que se enfrentan al análisis y estudio de problemas económicos, administrativos, sociológicos y psicológicos son cada vez más conscientes de la necesidad de adquirir una preparación sólida en el campo de las matemáticas. El presente libro tiene como propósito proporcionar las bases de álgebra que un estudiante de ciencias sociales, en especial de economía y administración, debe conocer y manejar. Se pretende que el alumno adquiera las habilidades algebraicas necesarias en la solución de ejercicios y problemas que aparezcan en sus áreas de estudio. Este material ha sido diseñado por profesores de la Universidad Autónoma Metropolitana que cuentan con amplia experiencia docente en esta materia. Su intención es brindar apoyo a los alumnos que ingresan a esta institución con serias deficiencias y problemas en este campo matemático. Sin embargo, ellos están conscientes de que este apoyo sólo podrá ser aprovechado por aquellos alumnos que reconozcan estas deficiencias y tengan el firme propósito de superarlas. El libro está estructurado de la siguiente manera: los primeros capítulos introducen en los diferentes conjuntos de números (naturales, enteros, racionales, irracionales) y en el lenguaje del álgebra. En los capítulos tres y cuatro se trabajan operaciones algebraicas: suma, producto, división, hasta llegar a los productos notables y factorización, fundamentales en los cursos posteriores de matemáticas. En el capítulo cinco se aborda el tema de fracciones y sus respectivas operaciones; mientras que en el seis se dan los elementos para el manejo de logaritmos y sus funciones. A partir del capítulo siete se ven los sistemas de ecuaciones lineales de primero y segundo grado, hasta llegar en el capítulo diez, al estudio de las desigualdades para observar como se encuentran casos donde las soluciones no son puntos sino áreas. Este tipo de sistemas de desigualdades es también ampliamente utilizado en programación lineal. El último capítulo aborda las progresiones aritméticas y geométricas de mucha utilidad en las finanzas. Además, es necesario precisar lo siguiente: se respetó el orden estructural de cada capítulo, pues cada autor y autora así lo determinó. Los números y la creación se llevan muy bien. El buen conocimiento y manejo del álgebra posibilita el que los siguientes cursos de matemáticas se aborden de una mejor manera. Confiamos y deseamos que el libro cumpla con las expectativas de estudiantes y profesores. Así como estamos acostumbrados a sentir el sol, ver la luna y las estrellas, y quizá por ello ya no apreciamos su importancia y su grandeza, del mismo modo reaccionamos ante nuestro sistema de números. Existe la falsa creencia de que el aprendizaje de números y operaciones numéricas es aburrido. Nada de eso. (No descartamos, empero, la influencia malhechora de algún profesor en la escuela primaria.) El sistema de los números merece toda nuestra atención, no sólo porque es base de las matemáticas, sino también porque contiene ideas significativas que dan pie a interesantes aplicaciones las cuales, dicho sea de paso, no tienen nada de monótonas y menos de aburridas. Entre las civilizaciones del pasado, fueron los griegos los que mejor apreciaron el prodigio y las virtudes del concepto de número. Para éstos, por ejemplo, fue un maravilloso descubrimiento el hecho de que se pueda abstraer de muchas y diversas colecciones de objetos una propiedad tal como la "cinquidad" (de cinco). Sin embargo, existieron otros pueblos que, aunque bien dotados intelectualmente, no consideraron los números de manera abstracta ni pudieron apreciar con lucidez su grandeza. Números enteros y fraccionarios Los primeros números que aparecieron fueron los naturales N = {l , 2, 3, 4, ... } utilizados para contar,ligados siempre a objetos. Las operaciones bien definidas entre ellos son la adición y la multiplicación. Entre los antiguos griegos hubo quienes crearon una filosofla basada en los números: los pitagóricos. Es precisamente Pitágoras quien fundó la secta religiosa que estudió tanto la filosafla como la Naturaleza y que, contándose entre los fundadores de la gran civilización griega, transmitió su actitud racional a los griegos. En la época de nuestro personaje aún predominaban las creencias místicas y religiosas provenientes de Egipto y sus vecinos de Oriente. www com . . M atematica1 A los pitagóricos les emocionaban los números, y puesto que eran místicos, asignaban a aquéllos importancia y significados que ahora juzgamos infantiles. Creían que el número "uno" era la esencia o la naturaleza misma de la razón, pues de ésta resultaba solamente un cuerpo de doctrina. El número "dos" lo identificaban con la opinión, yaqueésta implica claramente la posibi lidad deque exista opinión contraria y. por consigu iente, hay por lo menos dos. En el "cua· tro" reconocían lajusticia, porque éste es el primer número que resulta un pro· dueto de iguales. Los pitagóricos representaban los números como puntos en la arena o por medio de piedritas. Para cada número los puntos o las piedritas se ordenaban de manera especial. El número "cuatro", por ejemplo, se representaba con cuatro puntos que sugerían un cuadrado. Así quedaban vinculados el cua· drado y la justicia. Hoy en día, en español "cuadrar" significa ajustar una cosa con otra. "Cinco" denotaba matrimonio por ser la unión del primer número mas· culino, tres, con el primer femenino, dos. (Los números impares eran masculi· nos y los pares femeninos). El número "siete" indicaba salud y el "ocho", amistad o amor. Las especulaciones y los resultados obtenidos por los pitagóricos en relac ión con los números naturales y sus razones, o fracciones, fueron el inicio de un desarrollo largo y dedicado de la aritmética como ciencia, en contraste con la aritmética como instrumento para apoyar aplicaciones. Cuando el sistema numérico incluye al cero y los negativos, constituye los números enteros = { .. . , -5, -4, -3, -2, -1, O, 1,2,3,4, 5, ... }. En este sistema ya están bien definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación. Uno de los miembros más destacados de este sistema numérico es el representante matemático de la ausencia de cantidad, es decir, el cero. (Se denotará por Wa Nv {O}). Esta cifra es tan familia r, que por lo regular no reparamos en dos hechos importantes: en primer lugar, este miembro del sistema numérico llegó relativamente tarde. Los hindúes concibieron la idea de utilizar el cero y, como otras ideas suyas, ésta pasó a Europa por medio de los árabes. A ninguna de las civi li zaciones anteriores, ni siquiera a los griegos, se les ocurrió laconveniencía de disponer de un número que representara la ausencia de objetos. Vinculado con la aparición tardía de este número, está el segundo hecho importante: el cero debe distinguirse de nada (vacío). Es indudable que, por no haber podido hacer esta distinción, los pueblos antiguos tampoco lograron inventar el cero. La distinción entre cero y nada podrá entenderse gracias a los siguientes ejemplos: la cal ificac ión de un estudiante en un curso que no haya tomado nunca será ausencia de cal ificación o nada. Sin embargo, podrá obtener la calificación de cero, en el caso que sí haya asistido. La persona que carezca de cuenta bancaria no tendrá saldo. En caso de que sí la tenga, su saldo podrá ser de cero. Siendo el cero un número, se puede operar con él; por ejemplo se puede agregar a otro, y así 5+0 = 5. La única restricción impuesta al cero como número es que no se puede dividir entre él, muchos de los pasos en falso que se dan en matemáticas provienen de div idir entre cero; conviene entender claramente por qué está prohibido hacerlo. La respuesta a un problema de di visión, digamos 6/2, es un número que al ser multiplicado por el divisor produce el d ividendo. En nuestro ejemplo, 3 es la solución porque 3 • 2 = 6. Por consiguiente, la respuesta a 5/0 tendrá que ser un número que multipl icado por O, dé el dividendo 5. No hay, sin embargo, algún número que sirva de cociente porque todo número que se multiplica porO da O. Si se presentara la fracción 010, cualquier número puede ser la respuesta, y al no saber qué número elegir no se puede efectuar la operación. Teniendo a su disposición el cero, los matemáticos pudieron establecer el método actual de escribir números enteros. Primero se cuentan las unidades: las grandes cantidades se miden en decenas o decenas de decenas o decenas de decenas de decenas, etcétera. Así, el doscientos cincuenta y dos se representa como 252. El2 de la izquierda signifi ca, dos decenas de decenas; el 5 indica 5 veces 10, Y el 2 de la derecha simbol iza 2 unidades. El concepto de cero hace que sea práctico el sistema de escribir cantidades pues permite, por ejemplo, distinguir 22 y 202. Como el lO desempeña un papel fundamental en el sistema numérico se le llama sistema decimal, en el cual el lOes la base. Lo más seguro es que el uso del 10 resultó del hecho de que una persona contaba (y sigue contando) con los dedos y, habiendo pasado por todos los dedos de las manOS, considero que el número al que había llegado era la unidad mayor. Del principio de que la posición de Wl número es 10 que determina la cantidad que representa resulta la notación posicional. El sistema decimal de notación posicional es legado hindú. Los números nega tivos Una ad ición al sistema de los números, y que incrementó considerablemente el poder de las matemáticas procede de la Ind ia remota. Es común usar los números para representar cantidades de dinero, en particular las que se deben. Quizá www com . . M atematica1 porque la condición normal de los hindúes era la de estar endeudados, se les ocurrió que sería útil disponer de números que representaran el monto de las deudas. En consecuencia, inventaron lo que ahora se conoce como números negativos; los antecesores de éstos son los números positivos. Cuando es necesario distinguir claramente los números positivos de los negativos, o cuando hace falta recalcar que positivo es opuesto a negativo, se escribe -3,-5 en vez de 3 o 5. En los bancos y en las grandes empresas comerciales, que manejan constantemente números negativos, es frecuente que se escriban éstos con tinta roja y los positivos con tinta negra. Sin embargo, es adecuado poner un signo de menos a un número para indicar que es negativo. El uso de números positivos y negativos no se limita a la representación de ingresos y egresos, abonos y cargos, haberes y débitos. Se toman como negativas las temperaturas por debajo de 0° y como positivas las que están por encima de esta cifra. Las alturas sobre y bajo el nivel del mar se pueden representar también con números positivos y negativos, respectivamente. A veces tiene sus ventajas representar el tiempo anterior y el posterior a un acontecimiento dado con números negativos y positivos. Por ejemplo, utilizando el nacimiento de Cristo como punto de partida, el año 50 a.e. se podria indicar como el año -50. Para sacar el máximo provecho del concepto de números negativos debe ser posible operar con ellos igual que con los positivos. Son fáciles de entender las operaciones con números negativos así como con números negativos y positivos simultáneamente si se tiene en mente el significado fisico de dichas operaciones. Supóngase, por ejemplo, que una persona tiene un activo de $ 3 Y un débito de $8. ¿Cuál es el capital neto? Está claro que esta persona tiene $5 de débito. Es posible hacer el mismo cálculo con números positivos y negativos diciendo que deben restarse $8 de $3, es decir, $3 - $8, o que debe sumarse un débito de $ 8 al activo de $3, o sea, +3 +{-8). La respuesta se obtiene restando el valor numérico menor (es decir, el número que sea más pequef'io en términos absolutos, independientemente de su signo) del valor numérico más grande y poniendo al resultado el signo del valor numérico más grande. Así pues, resta 3 de 8, y consideramos negativo el resultado porque el valor numérico mayor, el 8, tiene signo negativo. Toda vez que los números negativos representan deudas, y que por lo regular la sustracción tiene el significado fisico de "quitar" o "extraer", entonces la resta de un número negativo significará la eliminación de una deuda. Por consiguiente, si una persona tiene un haber de, digamos $3, y si le pagan una deuda de $8, entonces la cancelación de ésta dejará a [a persona con un haber de $11. En términos matemáticos se ve que +3 --{-8)= + ¡l. y en palabras se dice que, para sustraer un número negativo, se añade el número positivo correspondiente. Supóngase que cierta persona se endeuda a razón de $5 por día. Así, a los tres días de una fecha dada, tendrá una deuda de $ 15. Si denotamos la deuda de $ 5 con -5, endeudarse a razón de $ 5 por día durante tres días se representa matemáticamente como 3(-5) = - 15. Así, [a multiplicación de un número positivo por otro negativo produce un número negativo, cuyo valor numérico es el producto de los valores numéricos implicados. Hay una definición más sobre los números negativos cuya veracidad es fácil de percibir. Por razones obvias, se dice de los números positivos y del cero que 3 es mayor que 2, que 2 es menor que 12, y que cualquier número positivo es mayor que cero. De los números negativos se dice que son menores que [os positivos y que el cero. Además, que -5 es menor que -3, o que - 3 es mayor que -5. Es fácil retener la posición relativa de los números positivos, los negativos yel cero imaginando estos números como los puntos de una linea, como en [a figura siguiente. Lo que se aprecia en esta figura no difiere mucho de lo que se observa cuando se pone la escala de un tennómetro en posición horizontal (véase la figura): I I [ [ -4 -3 -2 - 1 o 2 3 4 5 Ejercicios l. Supóngase que una persona tiene $3 y contrae una deuda de $5 ¿Cuál es su capital neto? 2. Una persona debe $5 y luego adquiere una deuda nueva de $8. Utiliza números negativos para determinar su situación financiera. www com . . M atematica1 3. Un comerciante debe $5 y gana $8. Utiliza números positivos y negativos para calcular su capital neto. 4. Supóngase que una persona debe $13 y paga una deuda de $8. Utiliza números positivos y negativos para calcular su capital neto. 5. Una persona pierde dinero en los negocios a razón de $100 por semana. Indica este cambio de capital con -100, el tiempo futuro con números positivos y el tiempo pasado con números negativos. ¿Cuánto perderá esta persona en 5 semanas? ¿Cuánto tenía hace 5 semanas? Operaciones aritméticas Las operaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación y división son familiares. Tal vez por eso no se percibe que son, a la vez, en extremo complejas y de notable eficiencia. Se remontan a los tiempos de los griegos, y poco a poco fueron evolucionando a medida que mejoraban los procedimientos para escribir números y aparecia el concepto de cero. Los europeos heredaron de los árabes los procedimientos correspondientes. Primero, los europeos utilizaron el sistema romano de escribir números, y las operaciones aritméticas tuvieron que basarse en este sistema. En parte porque estos procedimientos eran laboriosos y en parte porque la educación estaba limitada a una minoría: los que poseían el arte del cálculo tenían reputación de diestros matemáticos. En realidad, los procedimientos aritméticos de la época ponían a prueba la inteligencia de la mayoría, al grado de que llegaban a convencerse de que quienes dominaban tales habilidades debían poseer poderes mágicos. Los buenos calculistas eran conocidos como practicantes del "arte negro". Fracciones y operaciones entre fracciones Cuando se introducen fracciones. y la división es también una operación bien definida, se está trabajando con el sistema de los números racionales Q={plqlp,q EZ.q ... o}, es des;ir, Q es el conjunto de enteros con denominador diferente de cero. Por otro lado, el procedimiento común de escribir fracciones, por ejemplo, 2/ 3 o 7/5, para expresar partes de un todo no es dificil de comprender. En cambio, las operaciones con fracciones parecen tener algo de misterio. Para sumar 2/3 a 7/5, se lleva a cabo por el siguiente proceso: 2 7 10 21 31 - + - = - + - = - 3 5 15 15 15 Lo que se hizo fue expresar cada una de las fracciones en su forma equivalente, de modo que los denominadores fueran iguales, y luego se sumaron los nume~ radores. Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores y los denominadores. o también, 2· ~ · 2 =2· ~ =~ 3 5 15 15 La operación de dividir una fracción entre otra es un poco más dificil. El procedimiento correcto consiste en multiplicar el numerador por el inverso del denominador, esto es: o bien: Yt =f*T=1=6 Yt X -3. · ~ -~-3 2 - -- l I 2 2 www com . . M atematica1 Notación decimal Las fracciones, como los números enteros, se pueden escribir en notación posicional. Así 12520525 - = - = - + - = - + - 4 100 100 100 10 100 Si se conviene en suprimir las potencias de lO, esto es, 10 y 100, así como las mayores potencias cuando las haya, entonces se puede escribir Y. = 0.25. El punto decimal recuerda que el primer número es en realidad 2/l0; el segundo 5/ lOO, Y así sucesivamente. Los babilonios ya empleaban la notación posicional para las fracciones, pero utilizaban 60 como base en lugar de lO, igual que para los números enteros. La base decimal para las fracciones fue introducida por los algebristas europeos del siglo XVI. Las operaciones con fracciones se pueden efectuar también en forma decimal. Lo que resulta frustrante de la representación decimal de fracciones es que no todas las fracciones simples se pueden escribir como decimales con un número finito de dígitos. Así, cuando se trata de expresar 1/3 como decimal, se encuentra con que no basta ni con 0.3 ni con 0.33, ni con 0.333, etcétera. Todo lo que puede decirse de este y otros casos parecidos es que, agregando más y más dígitos, es posible aproximarse cada vez más a la fracción, pero ningún número finito de dígitos dará la respuesta exacta. Este hecho se expresa con la notación: :11 = 0.333 ... , en donde los puntos suspensivos indican que se debe añadir continuamente un tres para aproximarse más y más a la fracción 113. Es importante resaltar que la expresión decimal de los números fraccionarios es finita o periódica; en el ejemplo anterior el periodo que se repite es el número 3,10 cual también se indica como: 1 "3 = 0.333 ... ,= 0.3 Cuando la expresión decimal de un número no pertenece a ninguno de los tipos mencionados, esto es, cuando es infinita no periódica, el número correspondiente no es racional, entonces se llama irracional: {Irracionales} = Q'= complemento de los Racionales Q. Ejercicios l. ¿Cuál es el principio de la notación posicional? 2. ¿Por qué es indispensable el número cero en el sistema de notación posicional? 3. ¿Qué significa la afirmación de que el cero es un número? 4. ¿Cuáles son las dos maneras de representar fracciones? 5. ¿Qué principio determina las definiciones de las operaciones con números fracccionarios? Los números irracionales Los pitagóricos, como se hizo notar antes, fueron los primeros en captar el concepto mismo de número, y en tratar de emplear los números para describir los fenómenos fundamentales de los mundos fisico y social. Para los pitagóricos, los números fueron también interesantes en sí mismos y por sí mismos. Les gustaron los números cuadráticos, es decir, números como 4,9,16,25,36, etcétera, y observaron que las sumas de ciertos números cuadráticos, o cuadrados perfectos, eran también números cuadráticos. Por ejemplo, 9+16=25; 25+ 144= 169 y, 36+64= I OO. También se pueden escribir así estas relaciones: y, A los conjuntos de tres números cuyos cuadrados satisfacen igualdades como éstas se les sigue llamando hasta hoy temas pitagóricas. Así 3, 4, 5 constituyen una tema pitagórica porque: 31+42= 52 Los pitagóricos trabajaron mucho con estas temas, fundamentalmente porque se prestaban a una interesante interpretación geométrica (Teorema de Pitágoras). Si los dos números más pequeños son las longitudes de los lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo, es decir los catetos, entonces el tercer número será la longitud de la hipotenusa (véase la figura). " www com . . M atematica1 Ejercicios l. Demostrar que el cuadrado de cualquier número par es par también. (Suge· rencia: por definición, todo número par contiene 2 como factor, es decir, se IEPtffB Ita can o 21'1.) 2. Demostrar que el cuadrado de cualquier número impar es también impar. (Sugerencia: todo número impar termina en 1,3,5,7 o 9 y puede represen· tarse como 2n+I.) 3. See.a un número entero. Demostrar que si a2es par, entonces a es par taF.:bién. (Sugerencia: utiliza el resultado del ejercicio 1). 4. Establece la verdad o la falsedad de la afirmación de que la suma de cuales· quiera dos cuadrados es asimismo el cuadrado de un número. Los pitagóricos edificaron una filosofia, para ellos mismos muy satisfactoria, en la que se aseguraba que todos los fenómenos naturales y los conceptos éticos y sociales no eran, en esencia, más que números enteros o relaciones entre núme· ros enteros. Pero cierto día a uno de los miembros de la secta se le ocurrió examinar el caso, al parecer más sencillo, del teorema de Pitágoras. Supongamos que cada uno de los catetos de un triángulo (figura siguiente) tiene una longitud de 1. ¿Cuál será entonces la longitud de la hipotenusa? El teorema de Pitágoras dice que el cuadrado (de la longitud) de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. Por lo tanto, si llamamos "e" a la longitud desconocida de la hipotenusa, de acuerdo con el teorema tendremos que Ahora bien, 2 no es un número cuadrático, es decir, un cuadrado perfecto, y entonces "e" no es un numero entero. Pero podría ser una fracción, es decir, que seguramente habría una fracción cuyo cuadrado fuera 2. La fracción 7/5 se acerca al valor correcto porque (7/5)2.: 49/25, que es casi 2. Pero por muchas pruebas que se hagan no se encontrará la fracción cuyo cuadrado sea 2. Para investigar si existe o no una fracción cuyo cuadrado sea 2, se razonó así: se requiere encontrar un número representado con ,Ji Este símbolo significa un número cuyo cuadrado es 2. Supóngase ahora que -ti es la fracción alb, en donde a y b son números enteros. Además, para simplificar aún más el problema, suponga que ya se han eliminado todos los factores comunes dea y b (alb es una fracción irreducible). La operación inversa de elevar al cuadrado, es sacar raíz cuadrada. Entonces significa que una operación es inversa de otra cuando una deshace lo que hace la otra. a .Ji=b ( 1) De ser correcta la ecuación (1), elevamos al cuadrado sus dos miembros, este paso se funda en el axioma de que números iguales multiplicados por números iguales dan resultados iguales; multiplicando el miembro izquierdo -ti por .Ji y el derecho por alb, se obtiene: a' 2= - b' Aplicando de nuevo el axioma de que números iguales multiplicados por nú· meros iguales producen resultados iguales, se obtiene el producto de ambos miembros de la ecuación por b2 : (2) El miembro izquierdo de esta ecuación es un número par porque contiene 2 como factor. Por lo tanto, el miembro derecho deberá ser también un número par. Pero si a2 es par, entonces, según los resultados del ejercicio 3, "a" deberá ser par también. Si "a" es par deberá contener 2 como factor, esto es, a== 2d, en donde "d" es un número entero. Sustituyendo este valor de "a" en (2) se obtiene 2b'=(2d)'=2d*2d--4d' 2b2=4d 2 Se pueden dividir ambos miembros de esta ecuación entre 2 para obtener b2:2d 2 (3) (4) Por lo que b2es número par y, recurriendo una vez más al resultado del ejercicio 3, b tendrá que ser igualmente número par. . Lo que demuestra esta argumentación es que si -fi = alb, entonces a y b deben ser números pares. Pero la fracción es irreducible y " a ", "b" siguen www com . . M atematica1 conteniendo 2 como factor común. ¡Contradicción! Como el razonamiento es correcto, la única posible equivocación estriba en el supuesto de que.J2 equi· vale a una fracción. En otras palabras,.J2 no puede ser la razón de dos números enteros. El símbolo Ji es un número porque representa la longitud de una línea: la hipotenusa de un triángulo. Pero este número no es ni un entero ni una fracción. La filosona pitagórica aseguraba que todo cuanto existe en el universo era redu· cible anúmeros enteros. Ahora se evidenciaba la insuficiencia de la doctrina. La existencia de números como .Ji fue una amenaza muy seria para la filosofia pitagórica. También descubrieron que hay una colección indefinidamente grande de otros números que tampoco son enteros o fracciones. Asr,J3.~ y~, y en general la raíz cuadrada de cualquier número que no sea cuadrado perfecto, la raíz cúbica de cualquier número que no sea cubo perfecto, y así sucesivamente, son números que ni son enteros ni son fracciones. El número 1t, que es la razón de la circunferencia a su diámetro, tampoco es entero o fraccionario. Todos estos "nuevos" números se llaman números irracionales. La palabra "irracional" significa ahora que estos números no pueden expresarse como razones de nú· meros enteros, pero en tiempos de los pitagóricos era sinónimo de inmencionable, inescrutable o inconocible. Al agregar irracionales a los racionales, se obtiene el sistema de números reales 9t=QJ{lrracionaJes}, en el que están bien definidas la adición, la sus· tracción,la multiplicación, la división, la potenciación y la raíz de números no negativos. Para poder utilizar los números irracionales, se debe establecer la manera de operar con ellos, es decir, cómo sumarlos, restarlos, multiplicarlos y dividirlos. Es cierto que Para multiplicar raíces cuadradas, es suficiente con multiplicar los radicandos. Para la división ~, el procedimiento es semejante al caso de la multiplica· ción: ",4 ~ = K pues esta ecuación infonna sencillamente que 312~3f2.. El número irracional es la primera de muchas ideas sutiles que el matemático ha introducido para reflexionar en ellas al tratar con el mundo real. El matemático crea estos conceptos, idea maneras de trabajar con ellos de modo que se adapten a situaciones reales y utiliza luego sus abstracciones para razonar sobre los fenómenos a los que se apliquen sus ideas.

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