FUNCIÓN BIYECTIVA EJERCICIOS RESUELTOS



funciones  biyectivas : Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez . Se le conoce porque su gráfica es cortada por cualquier recta paralela al eje X y , además, este corte se produce en un solo punto. Interpretación gráfica : Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de éste es imagen de un sólo elemento del dominio, es decir, es sobreyectiva e inyectiva a la vez. Ejemplo 1: Sea la función f: , definida de A en B mediante el gráfico de la figura. Podemos afirmar que : I) A elementos diferentes del dominio le corresponden imágenes diferentes. II) El rango de «f» está formado por los elementos a , b , c que forman todo el conjunto de llegada B . De (I) y (II) concluímos que la aplicación «f es biyectiva de A en B» Ejemplo 2 : Dada la función h:, definida de C en D según el gráfico de la figura , podemos afirmar que El rango de la aplicación «h» está formado por los elementos «a» y «b», que no son todos los elementos del conjunto D. Luego , la aplicación «h» de C en D no es biyectiva. Ejemplo 3 : Dada la función g:, definida de E en F , según el gráfico de la figura, podemos afirmar que : A los elementos 8 y 1 del dominio, que son diferentes, les corresponde la misma imagen «n». Es decir y Por esta razón , la aplicación «g» de E en F no es biyectiva. CONCLUSIÓN : Una función de A en B es biyectiva si cumple con las condiciones siguientes: I) El rango de la aplicación es todo el conjunto de llegada, o sea B. II) A elementos diferentes de A les corresponde imágenes diferentes . Es decir, la aplicación es INYECTIVA y SOBREYECTIVA. En otras palabras : Una aplicación f de A en B es biyectiva , si a cualquier elemento de B le corresponde un único elemento de A y reciprocamente, a cualquier elemento de A le corresponde un único elemento de B. Ejemplo 4: Sea la función f :definida por: I) Será sobreyectiva , porque II)Será inyectiva , porque y , como son positivos , se deduce que Luego se trata de una función biyectiva. Ejemplo 5 : Averigue si la función : f: definida por: , es biyectiva Resolución : Veamos si f es inyectiva Sean Luego : implica Por tanto, f es inyectiva Veamos si f es sobreyectiva: Hallemos el rango de f como Luego Por tanto f no es sobreyectiva . Finalmente f no es biyectiva . Ejemplo 6 : Sea : f : , f(x) = 1– 2x biyectiva y g:, g(x)= igualmente biyectiva calcular B. Resolución: Como f es biyectiva Ranf = A
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