FÓRMULAS DE CONVERSIÓN DE MEDIDAS ANGULARES EJERCICIOS RESUELTOS

  • CLICK AQUI ver ANGULO TRIGONOMETRICO 
  • CLICK AQUI ver SISTEMAS I
  • CLICK AQUI ver SISTEMAS II
  • CLICK AQUI ver FORMULAS DE CONVERSIONES 
  • CLICK AQUI ver NIVEL PRE
  • CLICK AQUI ver VIDEOS

  • objetivos : *Reconocer la fórmula de conversión entre los sistemas conocidos . *Interpretar correctamente los ejercicios que involucran a los números de grados sexagesimales , centesimales y de radianes de un mismo ángulo. lectura El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos. Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas. Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0;180]. Sin embargo , el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos. relación entre los números que representan la medida de un ángulo Consideremos ahora un ángulo trigonométrico positivo como se muestra en la figura : * Siendo : S : Número de grados sexagesimales del ángulo . C : Número de grados centesimales del ángulo . R : Número de radianes del ángulo . * Se cumple : * También se cumple : observación : uso de la fórmula 1) para convertir de un sistema a otro ejemplo 1 : Convertir 54° al sistema centesimal. Resolución : * En este caso, tenemos: Dato: S=54 ; incógnita =C. * Sabemos: ejemplo 2 : Convertir 36° a radianes. Resolución : * Ahora tenemos : Dato : S=36 ; incógnita =R. * Sabemos : ejemplo 3 : Convertir 1 rad al sistema sexagesimal. Resolución : 1radR=1 En la fórmula : *Luego : 1rad=57,2958°=57°+17,748’ =57°+(0,2958×60)’=57°+17,748’ =57°17’+(0,748×60)’’ 2) en problemas condicionales ejemplo 1: Hallar la medida de un ángulo en radianes , si su número de grados centesimales (C) y sexagesimales (S) cumplen : Resolución : * En este caso , partimos de un ángulo : * En el dato, procuramos colocar todo en función de la incógnita ; para ello usamos : * Luego : el ángulo mide . Nota : Para todo ángulo trigonométrico se tiene que: * además: • Si: es positiva • Si: es negativa para todo ángulo en el sistema sexagesimal para todo ángulo en el sistema centesimal complemento y suplemento de un ángulo I) II) III) PROBLEMA 1 : Señala cuál de las alternativas presenta la equivalencia incorrecta . A) B) C) D) E) RESOLUCIÓN : *Analizando cada una de las alternativas : A) B) C) D) E) RPTA : ‘‘E’’ problema 2 : Señale la medida centesimal de un ángulo que cumple , siendo “S” y “C” lo conocido. A) 10g B)15g C) 20g D) 5g E) 30g Resolución : * La condición: , pero : * En (I) : el ángulo mide 20g RPTA : ‘‘C’’ problema 3 : Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números consecutivos, ¿cuál es la medida radial del ángulo? Resolución : * En estos casos se debe interpretar el enunciado . Tenemos un ángulo “” medido en : sexagesimales S centesimales C radianes R * del enunciados: “S” y “C” consecutivos. * Es decir , si : * Como piden “R”: el ángulo mide RPTA : ‘‘D’’ problema 4 : Señale la medida circular de un ángulo que verifica : , siendo “S”, “C” y “R” lo conocido por dicho ángulo. Resolución : * En la condición : * Como piden la medida circular “R” del ángulo, colocaremos todo en función de “R”; para ello usaremos * En (I) : el ángulo mide RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 5 : Sea S, C y R la medida de un mismo ángulo en los sistemas convencionales , tal que se cumple: Halle la medida del ángulo en radianes. RESOLUCIÓN : Condición: Reemplazamos: Luego: RPTA : ‘‘B’’ problema 6 : Siendo “S”, “C” y “R” los números convencionales, para un mismo ángulo. Calcular el valor de “R”, siendo : Resolución : * De la relación numérica : * Reemplazando en la ecuación inicial , se tiene RPTA : ‘‘D’’ problema 7 : Halle la medida de un ángulo en radianes que cumple : siendo “S” y “C” lo convencional. Resolución : * Restando miembro a miembro: RPTA : ‘‘E’’ problema 8 : La diferencia de las inversas de las medidas de un arco en grado sexagesimales y en grados centesimales es igual a su medida en radianes dividido por . Hallar la medida de dicho arco. Resolución : * Sean “S”, “C” y “R” los números de grados sexagesimales, centesimales y radianes del ángulo, entonces: * Sabemos que : * Reemplazando en la ecuación se obtiene: *este resultado significa que el ángulo mide: * Como , entonces : RPTA : ‘‘b’’ problema 9 : El número que representa el valor de un ángulo en el sistema centesimal es mayor en 11 unidades al número que representa al mismo ángulo en el sistema sexagesimal. Entonces, el valor del ángulo, en radianes, es: A) 0,172 B) 0,727 C) 2,750 D) 1,727 E) 3,172 Resolución : * Sabemos que : S : es el número de grados sexagesimales C : es el número de grados centesimales R : es el número de radianes * además: * De acuerdo a los datos del problema, se cumple que : C=S+11 * Luego : * Entonces el ángulo mide : 1,727 radianes RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 10 : La diferencia de los recíprocos de los números de grados sexagesimal y centesimal de un mismo ángulo es igual a su número de radianes que contiene el ángulo dividido por 6. Halle aproximadamente, el valor de dicho ángulo en radianes. A) 0,128 B) 0,181 C) 0,256 D) 0,362 E) 0,543 RESOLUCIÓN: * Por dato : * Sabemos que : * Reemplazando en (I) : RPTA : ‘‘a’’ PROBLEMA 11 : En el gráfico al medir el se obtuvo 20g 20m. ¿Cuál es su medida en el sistema sexagesimal? A) 18,17° B) 18,18° C) 17,16° D) 16,15° E) 16,16° RESOLUCIÓN : *Se tiene : *convirtiendo al sistema sexagesimal : RPTA : ‘‘B’’ PROBLEMA 12 : S , C y R son los números de grados sexagesimales : centesimales y radianes de un mismo ángulo respectivamente , donde se cumple que : ........................(I) ...........................(II) Determine el valor de n/m A) 7/9 B) 4/7 C) 5/9 D) 1/10 E) 9/10 RESOLUCIÓN : *Se sabe : *De los datos : mS + nC = 20R *Luego : *Resolviendo : *Piden : RPTA : ‘‘E’’ problema 13 : Hallar el ángulo, en radianes, que satisface la siguiente condición: La media geométrica de los números que representan la medida de ese ángulo, en grados centesimales y sexagesimales multiplicada por la suma de las inversas de los mismo, es igual a veces la semi diferencia de esos números. Resolución : * Del dato se deduce que : * Sabemos que : * Reemplazando en el dato : * Simplificando : RPTA : ‘‘a’’ PROBLEMA 14 : Calcule la medida de un ángulo , en radianes si S, C y R son los números que representan sus medidas en los sistemas sexagesimal , centesimal y radial, respectivamente ; y además se cumple: RESOLUCIÓN : Condición: Conocemos que: Reemplazamos : RPTA : ‘‘B’’ problema 15 : Si los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal son números pares consecutivos, el valor del complemento del ángulo, expresado en radianes, es: Resolución : * Sea : * Sabemos que: * Por propiedades, podemos decir que: * luego : * El complemento de este ángulo es: RPTA : ‘‘E’’ problema 16 : Sean dos ángulos, el primero mide p grados sexagesimales y el segundo q grados centesimales. La diferencia numérica de estas medidas es 15 . Si la suma de estos ángulos en el sistema sexagesimal es 129 , los ángulos, tal como estaban medidos originalmente, son: A) 30 y 15 B) 45 y 30 C) 60 y 45 D) 75 y 60 E) 90 y 75 Resolución : * Dato : * Si el segundo ángulo mide q grados centesimales ; entonces, su medida en grado sexagesimales , es: * Dato : * Restamos las igualdades (II) – (I): * Entonces : RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 17 : Si S, C y R son los números de grados sexagesimales, centesimales y radianes de un mismo ángulo, además se cumple: S + C+R = 76,62832; calcule la medida del ángulo en radianes (asuma = 3,1416 ). RESOLUCIÓN : Condición: S+C+R=76,62832 Conocemos que: RPTA : ‘‘E’’ problema 18 : Los tres ángulos de un triángulo son grados sexagesimales,radianes y grados centesimales. El mayor de ellos, expresado en radianes, es: Resolución : * Sean los tres ángulos del triángulo: * Por dato : * Pasamos al sistema radial: * Observar que : * Además : * De esta igualdad, obtenemos : RPTA : ‘‘c’’ problema 19 : Sean “S”, “C” y “R” los números que representan la medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal, centesimal y radial respectivamente. Si . Halle R. Resolución : * En la condición : * Utilicemos: * Que al reemplazar, se obtendrá: * Se pide : RPTA : ‘‘b’’ PROBLEMA 20 : Si S y C son los números que representan la cantidad de grados sexagesimales y centesimales de la medida de un mismo ángulo, calcule: RESOLUCIÓN : Conocemos que: En E : RPTA : ‘‘B’’ problema 21 : Si “S” y “C” representan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal respectivamente, y se cumple que ; calcule: A) 12 B) 9 C) 8 D) 13 E) 6 Resolución : * Considerando : * Que al reemplazarlo en : * Se obtendrá: * Ahora en : * Se pide: RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 22 : Si, entonces la medida de en radianes , es: RESOLUCIÓN : Convertimos a radianes: RPTA : ‘‘c’’ problema 23 : El ángulo de la figura, cumple la relación: * Hallar su medida en radianes Resolución : * De la condición, se obtendrá: * Factorizando : * Ahora utilizamos: * Que al reemplazarlo en (II), se obtendrá: * Se pide : RPTA : ‘‘c’’ PROBLEMA 24 : Un ángulo mide x segundos sexagesimales e y minutos centesimales. Calcule el valor de: A)321 B)322 C)324 D)344 E)424 RESOLUCIÓN: Por condición: así: Ahora en H: RPTA : ‘‘C’’ problema 25 : Calcule el número de radianes de un ángulo diferente de cero, para el cual sus números, de grados sexagesimales (S) y su número de grados centesimales (C) verifican la relación: Resolución : * Operando en la condición : RPTA : ‘‘b’’ PROBLEMA 26 : Las medidas de los tres ángulos de un triángulo son: ,(x+1)radianes y (x+2)g . El mayor de ellos expresado en radianes es: RESOLUCIÓN : Convertimos cada uno de los ángulos a radianes Como son los ángulos internos de un triángulo. Luego el mayor ángulo sera: RPTA : ‘‘b’’ PROBLEMA 27 : Se crea un sistema de medición X, el cual tiene como unidad al grado (1x). Si los ángulos 22°30’ y se expresan en el sistema X como los menores números enteros , halle dichos ángulos , y una fórmula de conversión entre el sistema X y el sistema radial RESOLUCIÓN : Tenemos: 1x:un grado x. Supongamos que: de una vuelta. Convertimos los ángulos dados a radianes Ahora estos ángulos los convertimos al sistema ‘‘x’’ Por condición, estos ángulos deben de contener los menores números enteros en grados x. Así los ángulos son: También: luego: RPTA : ‘‘C’’ problema 28 : Sabiendo que el número de grados centesimales de un ángulo es al número de grados sexagesimales de otro ángulo como 5 es a 2; halle la diferencia de las medidas de estos ángulos en radianes, considerando que son complementarios. Resolución : * Sean los ángulos: “” y “”, luego: ; * De (I) en (II) : * Se pide : RPTA : ‘‘d’’ problema 29 : Un alumno al convertir 75g a grados sexagesimales utiliza la fórmula . Halle el error cometido por el alumno (en rad). Resolución : * Al utilizar la fórmula erróneamente, se obtendrá : . * Donde el error , será : Error lo real - lo erroneo RPTA : ‘‘d’’ problema 30 : Un estudiante observa que las agujas de su reloj forman un ángulo, cuyo número de grados sexagesimales y centesimales son iguales, luego la hora que indica el reloj podría ser: A) 3:15 a.m. B) 6:30 a.m. C) 6 a.m. D) 12 m. E) 12:30 p.m. Resolución : * Piden: hora : representa la medida del ángulo formado por el horario y minutero. S : número de grados sexagesimales. C : número de grados centesimales. * Por dato: número * Por relación numérica: número * El valor que cumple : * Entonces la medida de * Esto significa que la aguja esta superpuesta, entonces existe 12 veces (12 horas) cuando el horario a partido de la primera hora hasta las doce horas. * Por lo tanto, existe 24 horas una de ellas es 12m ó 12 p.m. RPTA : ‘‘d’’ problema 31 : Si un grado Shary (1SH) equivale al 960ava parte de una vuelta, ¿a cuántos grados shary equivale ? A) 6SH B) 37SH C) 5SH D) 7SH E) Resolución : * De la condición: * Luego : * Entonces : RPTA : ‘‘c’’ problema 32 : Determine el ángulo entre 100° y 220° que sea coterminal con 1285° . A) 45° B) 55° C) 65° D) 75° E) 205° Resolución : *Es importante observar que hay muchos ángulos diferentes que tienen el mismo lado inicial, lado terminal y el mismo vértice. A cualquier par de estos ángulos se les llama ángulos coterminales. * Ahora en el problema, se tendrá que : * Pero : * Se pide : RPTA : ‘‘E’’ problema 33 : Se creó un sistema para medir ángulo tal que el número de grados de un cierto ángulo es equivalente a la quinta parte de la diferencia del duplo del número de grados sexagesimales y el número de grados centesimales del mismo ángulo. ¿A cuántos radianes equivalen 128 grados del nuevo sistema? Resolución : * Graficando : * Condición del problema : * Se pide el equivalente del 128x en radianes. * Del gráfico mostrado se tiene : * Convirtiendo 128x a radianes : * Reemplazando : * En (I) se obtiene : RPTA : ‘‘E’’ problema 34 : Siendo “S” y “C” los números de grados sexagesimales y centesimales de un mismo ángulo que cumple : Calcular la medida de dicho ángulo en radianes. Resolución : * De : * Factorizando en el segundo miembro : * RPTA : ‘‘d’’ PROBLEMA 35 : Hallar R en:(SR)n=(SC)m.Donde S, C y R representan el número de grados sexagesimales, número de grados centesimales y el número de radianes respectivamente de un ángulo. RESOLUCIÓN : Condición: Conocemos que: RPTA : ‘‘a’’ PROBLEMA 36 : Siendo S y C los números que expresan la medida de un mismo ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal que cumple 20 < 3C – 2S < 60. Halle la medida del mayor ángulo en radianes ,tal que S y C son números enteros. RESOLUCIÓN : Condición para el ángulo pedido: 20 0. Señale el menor valor que toma la medida radial de dicho ángulo. ¿En la igualdad, calcule ‘‘K’’, si :‘‘S’’ ; ‘‘C’’ y ‘‘R’’ son lo conocido para un ángulo no nulo? (S+C)2+(C+R)2+(R+S)2=2(S+C+R)2–KS2 Señale la medida circular de un ángulo que cumple : (S+C–R)2+(R+S+C)2+(C+R–S)2= 3(S+C+R)2–SCR Siendo S, C y R lo conocido. Señale la medida sexagesimal de un ángulo que cumple: Siendo S y C lo convencional para dicho ángulo. Exprese el equivalente de en radianes. Si : Siendo S y C lo conocido para otro ángulo generado en sentido antihorario. Sabiendo que el número de radianes de un ángulo, es de la forma : Además cumple : Donde: S, C y R son lo conocido para dicho ángulo. Calcular : a+b A) 2 B) 3 C) 4 D) 7 E) 8 La unidad de medida de un nuevo sistema es 1* y ésta se define como la media aritmética de las unidades de medida en los sistemas estudiados. Hallar el equivalente del ángulo de una vuelta en el nuevo sistema. Al medir un ángulo generado en sentido horario, se observó que los números que representan sus medidas en los sistemas convencionales, se relacionan como se indica. es a la diferencia entre el doble del número intermedio y el menor como 1,25 es al recíproco del mayor número. Halle la medida de dicho ángulo en radianes. Sabiendo que : S =# de grados sexagesimales. C = # de grados centesimales. Para un determinado ángulo, tal que : Halle la medida de dicho ángulo en radianes: Sabiendo que : Exprese la medida circular de
    Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...

    SI DESEAS OTRO TEMA BUSCAR AQUÍ

    Ejercicios resueltos de examen de admisión a la Universidad

    LIBROS PREUNIVERSITARIOS RUBIÑOS