FACTORIZACION POR PRODUCTOS NOTABLES PROBLEMAS RESUELTOS

Factorización de expresiones notables 1. Factorización de una diferencia de cuadrados Hemos visto en los productos notables ya estudiados que una diferencia de cuadrados se obtiene multiplicando la suma de dos términos por la diferencia de los mismos, o sea: (a+b)(a - b) = a2 - b2 Diferencia de cuadrados En consecuencia una diferencia de cuadrados, siempre será igual al producto de la suma de dos términos, por la diferencia de los mismos. En general: (a2m - b2n) = (am + bn)(am - bn) Luego: Dada una diferencia de cuadrados para hallar sus factores: 1º Se extrae la raíz cuadrada de cada término. 2º Se forman 2 factores, uno con la suma de las raíces halladas y el otro con la diferencia de dichas raíces. Ejercicio 1: Factorizar a2 - 64 Resolución: 2 Extraemos las raíces cuadradas a cada término: ; 2 Luego: a2 - 64 = (a+8)(a - 8) Ejemplo 2: Factorizar: Resolución: 2 Extraemos las raíces cuadradas de cada término: ; 2 Luego: Ejemplo 3: Factorizar: 5t2 - 320 Resolución: 2 Primero factorizamos el factor común 5. 5t2 - 320 = 5(t2 - 64) 2 Luego, factorizamos el binomio (t2 - 64) 5t2 - 320 = 5(t2 - 64) 5t2 - 320 = 5(t+8)(t - 8) Ejemplo 4: Factorizar: 75 a2n - 3 Resolución: La expresión dada se puede escribir así: 75a2n - 3 = 3 · 25a2n - 3 Sacamos factor común “3” 75a2n - 3 = 3(25a2n - 1) = 3( + )( - ) Extraemos raíz cuadrada Extraemos raíz cuadrada \ 75 a2n - 3 = 3(5an + 1)(5an-1) Ejemplo 5: Factorizar: (a - b)2 - (c - d)2 Resolución: (a - b)2 - (c - d)2 = [ + ][ + ] 2 Extraemos las raíces cuadradas de cada término: y Luego: (a - b)2 - (c - d)2 = [(a - b)+(c - d)][(a - b) - (c - d)] = [a - b+c - d)][a - b - c+d] \ (a - b)2 - (c - d)2 = [a - b+c - d][a - b - c+d] Ejemplo 6: Factorizar: x4 + 2x3 - 2x - 1 Resolución: Agrupando los términos convenientemente, obtenemos: x4 + 2x3 - 2x - 1 = (x4 - 1) + (2x3 - 2x) Sacamos factor común “2x” = (x4 - 14) + 2x(x2 - 1) Extraemos raíz cuadrada Extraemos raíz cuadrada x4 + 2x3 - 2x - 1 = (x2 + 12)(x2 - 12)+2x(x2-1) = (x2+12)(x2-12) + 2x(x2-12) Sacamos factor común “(x2 - 12)” x4+ 2x3 - 2x - 1 = (x2 - 12) [(x2+1)+2x] Extraemos la raíz cuadrada Extraemos la raíz cuadrada = (x2 - 1)(x2+2x+1) x4 + 2x3 - 2x - 1 = (x+1)(x - 1)(x+1)2 \ x4 + 2x3 - 2x - 1 = (x+1)3 (x - 1) 2. Factorización de una suma de cubos Una suma de cubos equivale a un producto donde el primer factor es igual a la suma de sus bases, y el segundo factor es un trinomio que se forma por el cuadrado de la primera base menos el producto de sus bases y más el cuadrado de la segunda base. Es decir: a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) Ejemplo 1: Factorizar 8a3+27b3 Resolución: 8a3 + 27b3 = ( + )( - + ) Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la suma de estas raíces es el primer factor binomio (la suma de sus bases). Esta suma (2a + 3b) se multiplica por un trinomio cuyos términos son el cuadrado de la primera base (2a)2 = 4a2, menos el producto de las dos bases -2a · 3b = -6ab y más el cuadrado de la segunda base (3b)2 = 9b2 Luego: 8a3 + 27b3 = (2a+3b)(4a2- 6ab+9b2) Ejemplo 2: Factorizar 64x3 + 1 Resolución: 64x3 + 13 = [ + ][ - + ] Extraemos raíz cúbica : = 1 Extraemos raíz cúbica = 4x Suma de bases: (4x + 1) Luego: 64x3 + 13 = (4x+1)(16x2 - 4x+1) \ 64x3 + 13 = (4x+1)(16x2 - 4x+1) Ejemplo 3: Factorizar b6 + 125z3 Resolución: b6 + 125z3 = (b2 + 5z)[ - + ] Extraemos la raíz cúbica = 5z Extraemos la raíz cúbica = b2 Luego: b6 + 125z3 = (b2 + 5z)[(b2)2 - b2 · 5z + (5z)2] \ b6 + 125z3 = (b2 + 5z)(b4 - 5b2z + 25z2) Ejemplo 4: Factorizar: Resolución: Extraemos raíz cúbica = 2a Extraemos raíz cúbica = Suma de bases: Luego: \ Ejemplo 5: Factorizar: 0,008a3 + 0,064x3 Resolución: La expresión dada se puede escribir de la siguiente manera: 0,008a3 + 0,064x3 = Extraemos raíz cúbica Extraemos raíz cúbica Luego: 3. Factorización de una diferencia de cubos Una diferencia de cubos equivale a un producto cuyo primer factor es la diferencia de las bases y el segundo factor es un trinomio que se forma por el cuadrado de la primera base más el producto de las dos bases y más el cuadrado de la segunda base. Es decir: a3 - b3 = (a - b)(a2+ab+b2) Ejemplo 1: Factorizar: 64x3 - 8y3 Resolución: 64x3 - 8y3 = ( - )[ + + ] Para factorizar dicho binomio se extrae la raíz cúbica de ambos términos; la diferencia de estas raíces es el primer factor binomio (diferencia de sus bases) 4x 2y Diferencia de bases: (4x - 2y) Esta diferencia (4x - 2y) se multiplica por un trinomio cuyos términos son: El cuadrado de la primera base (4x)2 = 16x2, más el producto de las dos bases 4x · 2y = 8xy y más el cuadrado de la segunda base (2y)2 = 4y2 Luego: 64x3 - 8y3 = (4x - 2y)(16x2 + 8xy + 4y2) Ejemplo 2: Factorizar: 8x3 - y12 Resolución: 8x3 - y12 = (2x - y4)[ + + ] Extraemos raíz cúbica y4 Extraemos raíz cúbica 2x Diferencia de bases: (2x - y4) Luego: 8x3 - y12 = (2x - y4) [(2x)2 + 2x · y4 + (y4)2] 8x3 - y12 = (2x - y4) [4x2 + 2xy4 + y8] Ejemplo 3: Factorizar: a3 - a-3 Resolución: a3 - a-3 = ( - )[ + + ] Extraemos raíz cúbica a-1 Extraemos raíz cúbica a Diferencia de bases: (a - a-1) Luego: a3 - a-3 = (a - a-1)[a2 + a · a-1 + (a-1)2] = (a - a-1) (a2 + a · + a-2) \ a3 - a-3 = (a - a-1)(a2 + 1 + a-2) Ejemplo 4: Factorizar: m6 - 216n6 Resolución: m6 - 216n6 = (m2 - 6n2) [ + + ] Extraemos raíz cúbica 6n2 Extraemos raíz cúbica m2 Diferencia de bases: m2 - 6n2 Luego: m6 - 216n6 = (m2 - 6n2)[(m2)2 + m2 · 6n2 + (6n2)2] \ m6 - 216n6 = (m2 - 6n2)[(m4 + 6n2m2 + 36n4] Ejemplo 5: Factorizar: 8a3 - (a - 1)3 Resolución: 8a3 - (a - 1)3 = [2a - (a - 1)][ + + ] Extraemos raíz cúbica (a - 1) Extraemos raíz cúbica 2a Diferencia de bases: [2a - (a - 1)] Luego: 8a3 - (a - 1)3 = [2a - (a - 1)][(2a)2 + 2a (a - 1)+(a - 1)2] = (a+1)(4a2+2a2 - 2a+a2 - 2a+1) \ 8a3 - (a - 1)3 = (a+1)(7a2 - 4a+1)

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