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FACTORIAL DE UN NUMERO , COEFICIENTE BINOMIAL , POTENCIACION DE POLINOMIOS EJERCICIOS DE TERCERO DE SECUNDARIA EN WORD

CLICK AQUI PARA VER EN WORD OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Conoce una nueva operación matemática. • Determina el factorial de un número natural. • Resuelve ejercicios referidos a factoriales haciendo uso de las propiedades estudiadas. CLICK AQUI PARA VER PDF    ****

COMENTARIO PREVIO: El presente módulo comprende el estudio de una nueva operación matemática denominada factorial, el cual se refiere a determinar el resultado del producto de los números naturales consecutivos desde el 1 hasta el número indicado. Pero ¿ Para que nos va a servir esta nueva operación matemática? Pues bien esta operación se va a utilizar como un apoyo en la potenciación de polinomios. CONTENIDO TEÓRICO 1. Factorial de un número El factorial de un número natural “n” es el producto de todos los números naturales consecutivos desde 1 hasta “n”. La simbología a utilizar será: n! = n 2. Propiedades del factorial de un número 1. Los factoriales sólo están definidos para los números naturales. Así: El factorial de un número natural puede expresarse en función del factorial de otro número natural menor. 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 7! = 6! x 7 Luego: De la relación anterior, se concluye: Para n = 1  1! = 0! x 1  1! = 0! = 1 Observación: Sí n! = 1, cabe dos posibilidades para n: n = 0 ó n = 1 Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7 Luego se concluye: n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n 3. Si: a! = b!  a = b 4. En factoriales se debe recordar lo siguiente: (a  b)!  a!  b! (a . b)!  a! . b! (a/b)!  a! / b! 3. Cofactorial o semifactorial Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y se define: a. Para “n” par: 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 20!! = ………………… b. Para “n” impar: 7!! = 1 x 3 x 5 x7 19!! = ………………… Luego: 4. Relación entre el cofactorial y el factorial de un número. • Si el número es par: • Si el número es impar: Observaciones: • 3! = 6  factorial de 3 • 3!! = 3  cofactorial de 3 • 3 !!!  no existe definición • (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3 • ((3!)!)! = ( 6!)! = 720! • 3 !!!  (( 3! )!)! Ejemplo: Si ; Calcula: A x B x C Resolución Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo términos tendremos: A = 64/8 = 8 Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16 PRACTICA DE CLASE 01. Hallar el equivalente de: a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005 d) 0,05 e) N.A. 02. Calcula el valor de n en: a) 0 b) 3 c) 2 d) 1 e) N.A. 03. Para qué valor de “n” se cumple: 12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)! a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es: a) 24 b) 36 c) 30 d) 54 e) 60 05. Reduce: 06. Simplifica: 07. Halla “x” en: 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1 08. En qué cifra termina N? N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50! 09. Calcula el valor de E: 10. Halla “n” en: TAREA DOMICILIARIA 01. Reduce la siguiente expresión: E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n a) n! . nn b) (2n). n! c) 2n . n! d) 2n e) N.A. 02. Simplifica: a) 19/12 b) 19!/12! c) 19! d) 12! e) 19! - 12! 03. Simplifica: a) 50!–20! b) 80!–40! c) 49! ∕ 19! d) 42! ⁄ 20! e) F.D. 04. Simplifica: a) 54! b) 54 c) 27! d) 27 e) 53 05. Simplifica: a) x b) x + 4 c) x + 6 d) x + 5 e) x + 3 06. Reduce: a) x + 4 b) x + 3 c) x + 2 d) x + 1 e) x 07. Hallar n Sí: [(n! + 2)! – 4] ! = 20! 08. Sabiendo que: , el valor de “x” es : 09. Calcula “n” en: 10. Hallar el equivalente de: E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!) OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Define, conoce y aplica las propiedades del coeficiente binomial o número combinatorio para su posterior aplicación en la solución de problemas. COMENTARIO PREVIO: Newton que no es un matemático puro, sino un físico que aplicaba la matemática a los fenómenos de la naturaleza, su contribución más importante es su método de fluxiones que fue escrito en 1671, pero publicado en 1736, cuya esencia y notación, no es sino una forma de tratar los problemas del actual análisis infinitesimal. Newton es considerado como una de las brillantes mentes de todos los tiempos, investigador profundo de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del binomio (x + y)n para exponente no natural cuya aplicación se manifiesta en matemática financiera. En la sesión anterior estudiamos el factorial de un número natural, ahora nos asiste estudiar el coeficiente binomial que se verá reforzado con los conocimientos previos de la sesión anterior. CONTENIDO TEÓRICO Coeficiente binomial Esta importante notación conocida como coeficiente binomial, se define de la siguiente manera: Si “n” es un número real y “r” un número natural, la notación coeficiente binomial denotado por . Se lee: “coeficiente n, r” y está definida por: Puede comprobarse que el número de factores que hay en el numerador de ésta relación, coincide con “r”. Propiedad:  Teorema del coeficiente binomial El siguiente teorema, permite evaluar de otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un entero no negativo y 0  r  n, se verifica que: La expresión propuesta es semejante al cálculo del número de combinaciones de “n” objetos tomados de “r” en “r”, por lo que a este coeficiente binomial n, r también se le llama número combinatorio n, r. Una notación equivalente a la ya establecida es: , Donde “n” recibe el nombre de la base y “r” el de orden. Propiedad de los números combinatorios 1º Los números combinatorios complementarios, son aquellos que tienen igual base y la suma de las órdenes coincide con dicha base. Se verifica que los números combinatorios complementarios son iguales. Ejemplo: 2º La suma de dos números combinatorios de igual base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual a otro número combinatorio cuya base es la de los sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden es el mayor de los órdenes: Ejemplo: 3º La suma de todos los números combinatorios de igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta la propia base, vale 2 elevado a dicha base: Ejemplo: 4º Degradación de índice: Consiste en descomponer un número combinatorio en otro que tenga como índice superior e inferior el inmediato anterior. Es decir: PRÁCTICA DE CLASE 01. Halla (m + n) en: a) 30 b) 34 c) 22 d) 35 e) N.A. 02. Calcula “n” en: a) 20 b) 24 c) 22 d) 25 e) 19. 03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en: a) 13 b) 14 c) 15 d) 25 e) 16. 04. Calcular xy, si se cumple: a) 15 b) 18 c) 21 d) 20 e) a y d 05. Calcula (x + y) si se cumple: a) 15 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16 06. Efectuar: a) 105 b) 108 c) 101 d) 120 e) 100 07. Calcula “n” en: a) -22/7 b) 7 c) 22 d) 3 e) N.A. 08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad: a) 4,6 b) 6,4 c) 8,10 d) 5,5 e) 3,6 09. Calcula “x” en: a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 21 10. Un valor equivalente a es: a) b) c) d) e) PROBLEMAS PROPUESTOS 01. Simplificar: a) 42/13 b) 42/15 c) 42/11 d) 42/7 e) N.A. 02. Sumar: a) -2 b) -22n c) -2n d) 22n e) N.A. 03. Halle n + p en la ecuación: a) 52 b) 62 c) 60 d) 56 e) N.a. 04. Sí: = 10; Hallar: 2n-1 a) 5 b) 15 c) 13 d) 9 e) 7 05. Sí: = , el valor de “x” es: a) 4 b) 6 c) 2 d) 10 e) 8 06. Simplifica: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Resuelve: a) 16 b) 18 c) 21 d) 19 e) 20 08.  Entonces a.b es igual a: a) 24 b) 96 c) 216 d) 864 e) N.A. 09. Reduce: a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5 d) 5/3 e) 1/15 10. ¿ Para qué valor de “n” se cumple: 4 = 1331 a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 TAREA DOMICILIARIA 01. Sí n! = 720 y Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 02. Resolver: a) 1 b) 5 c) 2 d) 3 e) 4 03. Reducir: 04. Reduce: (r  n – 1) a) b) c) d) e) N.a. 05. Calcula: “n + k” de:  a) 15 b) 8 c) 12 d) 9 e) 17 06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad: 2 = 5 a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 5 07. Calcula el valor de “x” en: a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 5 OBJETIVOS ESPECÍFICOS: • Desarrolla correctamente la potenciación de un binomio, haciendo uso de los coeficientes binomiales. • Determina el término que ocupa un determinado lugar en el desarrollo de dicha potencia. • Resuelve ejercicios y problemas referidos al binomio de Newton. COMENTARIO PREVIO: El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande los matemáticos ingleses y uno de los mayores científicos de la humanidad. En este módulo introducimos las combinaciones de “n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar los coeficientes de los términos del desarrollo del binomio. Estos valores funcionando como coeficientes del desarrollo del binomio, son llamados números combinatorios. Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume, Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió el método para elevar ya no solo un binomio sino un polinomio cualquiera a una potencia compleja inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene a ser un caso particular. n  + CONTENIDO TEÓRICO 1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON La potencia de un binomio es un polinomio que se denomina desarrollo binomial o de Newton. Así tenemos: (x + a)1 = x + a (x + a)2 = x2 + 2xa + a2 (x + a)3 = x3 + 3x2 a + 3xa2 +a3 (x + a)4 = x4 + 4x3 a + 6x2 a2 +4xa3 +a4     Veamos a continuación el desarrollo de los diversos tipos de exponentes que pueden afectar al binomio. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NATURAL (n  IN): BINOMIO DE NEWTON o también: Como ; entonces también se podría expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales: FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR DIRECTAMENTE EL DESARROLLO DEL BINOMIO Veamos los siguientes ejemplos: MÉTODO “1” Desarrollar : (x + a)4 Nótese que cualquier coeficiente es igual al producto del coeficiente anterior por el exponente de “x”, dividido entre el exponente de “a” previamente aumentado en 1. Así: El 3er coeficiente: El 4to coeficiente: Generalizando: MÉTODO “2” TRIÁNGULO DE PASCAL Si distribuimos en línea los coeficientes del desarrollo del binomio para sus potencias consecutivas, toma la forma geométrica de un triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus descubridores. Veamos (x + a)0  1 (x + a)1  1 1 (x + a)2  1 2 1 (x + a)3  1 3 3 1 (x + a)4  1 4 6 4 1 (x + a)5  1 5 10 10 5 1 (x + a)6  1 6 15 20 15 6 1 (x + a)7  1 7 21 35 35 21 7 1      También: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 En donde un coeficiente cualquiera es igual a la suma de los dos que están encima de él en la fila anterior. Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Luego: (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 Además obsérvese estos detalles del triángulo: 4 6 10 Que en realidad comprueban que: Es un caso particular de: Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 ó Son una prueba de que la suma de los coeficientes de la fila n, es igual a 2n. OBSERVACIÓN: • Tanto el método (1) como el método (2) son viables o factibles de emplear para potencias con exponentes pequeños, caso contrario habría que emplear la forma general. • Si los términos del binomio están ligados con el signo "", los términos del desarrollo estarán ligados en forma alternada con los signos  , . o también: Siendo los de lugar: IMPAR  positivo lugar: PAR  negativo TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO Para: (x  a)n, se tiene que: Donde : (k + 1)  lugar que ocupa el término  combinación de “n” elementos tomados de “k” en “k” n  exponente del binomio x  primer término del binomio a  segundo término del binomio k  lugar del término buscado menos 1 Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de: Resolución Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene: TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A PARTIR DEL EXTREMO FINAL Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente las bases y aplicar la fórmula conocida del término general. Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x + y)40 Resolución Solamente intercambiamos las bases (y + x)40 y aplicamos la fórmula del término general. Observación:  La suma de los coeficientes de (x + a)n es:  La suma de los coeficientes de (x – a)n es cero.  En general la suma de los coeficientes del desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene reemplazando a las variables que aparecen en la base por la unidad. P(x ; a) = (px  qa)n  P(1;1) = (p  q)n 2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O FRACCIONARIO. En la primera parte del módulo se estudió el Teorema del binomio cuando el exponente es un número entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar la fórmula para exponente negativo y/o fraccionario. Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele llamar Serie binomial.. Ejemplo. Hállese los tres primeros términos de la expansión de: Resolución De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá plantear: Y según las propiedades antes vistas, se tendrá: Finalmente efectuando las operaciones indicadas conseguimos: PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO 01. El número de términos es infinito, y al desarrollo se le reconoce con el nombre de serie binómica de Newton. 02. Para determinar el desarrollo de (x + a)n para un número fraccionario y / o negativo el valor de x debe ser uno y además x > a. Los valores de a deben ser 0 < a < 1. 03. Los términos del desarrollo con respecto a sus signos, no tienen ninguna relación. 04. Para determinar el término general en el desarrollo se utiliza la siguiente fórmula. ; ó también: 3. FÓRMULA DE LEIBNITZ Así como se puede hallar el término que uno desee en la potencia de un binomio, se puede hallar un término cualquiera en la potencia de un polinomio, aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por razones puramente pedagógicas estableceremos las reglas para el desarrollo de (a + b + c + d)m, en donde el término que contiene a: a . b . c . d es: Donde: El desarrollo de toda la potencia se expresa así: Donde m se descompone en todos los modos posibles tales que:  +  +  +  pertenecen al conjunto {0; 1; 2; ... m}. Ejemplo: Halla el coeficiente de x6 en el desarrollo de (1 + 2x – x2)5. Resolución El coeficiente estará expresado por: ............. (I) Donde :  + 2 = 6 (exponente de x6) Además :  +  +  = 5, donde los valores posibles que pueden asumir son:  = 0 ;  = 4 ;  = 1  = 1 ;  = 2 ;  = 2  = 2 ;  = 0 ;  = 3 Reemplazando en (I): ¡Importante! Dado el polinomio El número de términos de su desarrollo se calcula de la siguiente manera: n° términos = Ejemplo: El número de términos de (1 + x + y + z)6 es: PRACTICA DE CLASE 01. Para que valores de “n” los coeficientes del término 5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x)n forman una progresión aritmética. a) 7 y 14 b) 7 y 12 c) 7 y 11 d) 6 y 14 e) 7 y 13 02. Si los coeficientes de tres términos consecutivos en la expansión de (x + y)n son proporcionales a 3, 12 y 28. Hallar “n” sí n  10. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 6 03. Determina el número de términos irracionales en el desarrollo de: a) 14 b) 43 c) 42 d) 45 e) 44 04. En el binomio: ,el coeficiente del término 6 es .Halle el número de términos. a) 20 b) 10 c) 11 d) 14 e) 12 05. El coeficiente de x45 en la expansión: es ; a  20. Halle el coeficiente de x4a -8 a) b) c) d) e) N.A. 06. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en relación con el desarrollo de (x2 – 3y5)6? a) El desarrollo consta de 7 términos. b) Los términos son alternadamente positivos y negativos. c) La suma de los exponentes que afectan a “x” é “y” en cada término es constante. d) El coeficiente del segundo término es –18 e) El coeficiente del cuarto término no es 540 07. El quinto término de (2x2 + y)20 tiene por coeficiente: a) 170. 28 b) 570. 24 c) 570. 216 d) 340 . 25 e) 4845. 216 08. El término de segundo grado en el desarrollo de: es : a) -32x2 b) 24x2 c) -12x2 d) 4x2 e) -16x2 09. Halla el coeficiente del término independiente de “x” en el desarrollo de a) 490 b) 492 c) 497 d) 493 e) 425 10. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del desarrollo de (x + 2)n es 80xk a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 11. En el desarrollo de: . Determinar el número de términos irracionales. a) 9 b) 150 c) 118 d) 112 e) Imposible 12. Al desarrollar la expresión: Observamos que ésta admite un término central cuya parte literal es: .Calcula “m + n” a) 41 b) 42 c) 43 d) 44 e) 45 13. Hallar el coeficiente que contiene a x2 en el desarrollo de: . a) 12 b) 6 c) 4 d) 18 e) 1 14. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9 en la expresión: a) 70 b) -70 c) 80 d) -80 e) 90 15. El número de términos que se obtiene al desarrollar: es 84. Calcula n. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 PROBLEMAS PROPUESTOS 01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del desarrollo de: ? a) 1– a2 b)10 – a20 c) 1 – 10a8 d) 10 – a2 e) 1+ a2 02. En el desarrollo de: .El término que contiene a x–8 es: a) El 2do b) El 3ro c) El 4to d) El 5to e) El 6to 03. En el desarrollo de los coeficientes de los términos cuarto y décimo son iguales. Hallar el término que no contiene a “x”: a) 120 b) 612 a4 c) 870 a6 d) 3003 a10 e) 1020 a9 04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de la expansión de: son números naturales? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 05. Si el término de lugar “n” contando a partir del último en la expansión del binomio. B(x ; y) = . Es px18 y–6.Halle m + n + p a) 82 b) 84 c) 86 d) 88 e) 90 06. Calcular el valor que toma el quinto término del desarrollo de: ; para x = 0,4 a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005 d) 0,007 e) 0,009 07. La suma de coeficientes de los 4 primeros términos del siguiente desarrollo: ; es: a) 0 b) 5 c) 6 d) –5 e) – 6 08. Determinar el lugar que ocupa el término de mayor valor numérico que se obtiene al desarrollar: (3 + 2x)15; para x = 7/ 2 a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16 09. El valor de “x” es tan pequeño de tal manera que su cuadrado y demás potencias superiores pueden despreciarse. De acuerdo a esto, el equivalente de: , es: a) b) c) d) e) 10. La suma de los coeficientes numéricos del desarrollo completo de ( x2 – 2xy + y2)7, es: a) 0 b) 7 c) 14 d) 128 e) 1282 11. Si el número de términos que se obtiene al desarrollar: ( 2 + 3x2 + 4y + 5z2)n es 84. Calcula “n” a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 12. Al desarrollar: ( x + y + z + w )8, se obtienen “n” términos en el cual uno de ellos toma la forma:  x2 y2 zw3. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor de: “x + n” a) 1805 b) 1584 c) 1845 d) 1854 e) 1580 13. Hallar el término que contenga la cuarta potencia de “a” en el desarrollo de: a) 1280 a4 b) 1380 a4 c) 1480 a4 d) 1580 a4 e) 1680 a4 14. En el desarrollo de , el coeficiente de a-1/2 es: a) - 7 b) 7 c) - 21 d) 221 e) 35 15. La suma de los coeficientes numéricos de todos los términos del desarrollo de: (x - 2y)18 es: a) 0 b) 1 c) 2 d) - 19 e) 19 TAREA DOMICILIARIA 01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término central del desarrollo de: es 6 a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) N.A. 02. Calcular el lugar del término que contiene a x2 en el desarrollo de: a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) N.A. 03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente de “x” en la expansión de: a) 57 b) 63 c) 97 d) 112 e) 113 04. En la expansión de: (3x3 + x-1)n existe un término en la cual su grado es numéricamente igual a la posición que ocupa. Indica dicha posición si la suma de los coeficientes de todos los términos del desarrollo es igual a 234 a) 8 b) 11 c) 10 d) 12 e) 9 05. En el desarrollo de: . Determina el número de términos racionales e irracionales. a) 9 y 12 b) 15 y 104 c) 17 y 104 d) 20 y 101 e) N.A.