ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA PLANA PROBLEMAS RESUELTOS PARA PROFESORES PDF

Circunferencia , PosiCIones respecto a una recta, Posiciones relativas de dos cincunferencias, Angulos en las circunferencias, longitud de la circunferencia , Area del circulo, sector, segmento , corona y trapecio circular,EJERCIClOS RESUELTOS ESTUDIO SOBRE LA CIRCUNFERENCIA 1. Circunferencia. Posiciones respecto a una recta. DEFINleION. Circunferencia es una línea cerrada plana cuyos puntos equidistan de uno interior /lamado centro. Radio es cada uno de los segmentos iguales que unen el centro con los puntos de la circunferencia. Para d ibujar una circunferencia se utiliza el compás. A O~ circunferencia E AE circunferencia BE circunferencia o C~ circunferencia • e • O D~ circunferencia B E E circunferencia Si sobre la circunferencia se señalan dos puntos M y N se obtiene un segmento llamado cuerda. Cada trozo de circunferencia comprendida entre dos puntos recibe el nombre de arco. Di6metro es la cuerda que pasa por el centro. Semicircunferencia es la mitad de la circunferencia . POSICIONES RESPECTO A UNA RECTA . Una recta puede lener tres posiciones respecto a la circunferencia. www.Matematica1.com al Cuando la recta y la circunferencia no tienen ningún punto en común se dice que la recta es exterior a la circunferencia. b) Cuando la recta y la circunferencia tienen un punto común, la recta es tangente a la circunferencia. cl Cuando la recta y la circunferencia tienen dos puntos comunes, la recta es secante a la circunferencia, e e exterior tangente SOlcante Si una recta es exterior, tangente o secante su distancia al centro es respectivamente mayor, igualo menor que el radio TEOREMA Sí una recta r tiene un punto A interior y otro B exterior a una circunferenclO, también tiene otro punto A' interior a mayor distancia del centro que el A y otro punto B' exterior a menor distancia del centro que el B. La demostración la hacemos sobre la circunferencia M P A B www.Matematica1.com Sea P el pie de la perpendicular trazada por el centro a la recta r y sobre el sentido PA se lleva la distancia r - OA obteniendo el punto A' : AA' r - OA En el sentido BP se lleva la distancia OB - r obteniendo el punto B' ,BB' - OB - r Se tiene OA' > OA Y OB' < OB Por la construcción: OA' < OA + OB' > OB AA' BB' - r Por tanto A' es un punto interior y B' es un punto exterior TEOREMA FUNDAMENTAL Toda recta que tiene un punto A interior a una circunferencia tiene dos puntos comunes con el/a. Sea la circunferencia y A un punto interior siendo P P A B o el pie de la perpendicular trazada por el centro él la recta r El punto P determina dos semirrectas y llamemos SI al conjunto de puntos interiores a la circunferencia y S2 al conjunto de puntos no Interiores a la circunferencia. Se verifica que. 1) En cada semirrecta hay puntos de SI y puntos de S2 pues basta ver que A por hipótesis pertenece a SI y que cualquier punto B que cumpla la condición PB > r está en S2 con lo que OB > PB > r. 2) Todo punto de la semirrecta es interior o no interior, no cabe otra posibilidad. www.Matematica1.com 3) En el sentido definido en cada una de las semirrectas (partiendo de P) todo punto de SI precede a todo punto de S2. es decir todo punto interior precede a un punto no interior. Estas tres condiciones son las correspondientes al Axioma de Dedekind que dice" "Dada una clasificación de los puntos de una recta en dos clases SI y S2 que cumpla las condiciones 1) Existen puntos de la recta en una y otra clase. 2) Todo punto de la recta está en una u otra clase. 3) Todo punto de 51 precede a todo punto de 52, existe un punto y sólo uno P de la recta, tal que todos los puntos que le preceden pertenecen a la clase 51 y todos los que le siguen pertenecen a la clase S2' El punto P recibe el nombre de frontera de las dos clases». Este punto P puede ser el último de la clase 51 o el primero de la clase 52' Como se verifican los tres puntos del Axioma existe en cada semirrecta un punto y s6lo uno tal que todo punto que le precede en la semirrecta corresponde al conjunto 51 y todo punto que le sigue pertenece a 52 Este punto M pertenece a la circunferencia, luego OM - r, ya que en caso contrario si OM > r en virtud el teorema anterior otro punto precedente pertenecería a 52 y si OM < r otro siguiente de 51 con lo que contradice el axioma. 2. Posiciones relativas de dos circunferencias Sean dos circunferencias C y e 1 de centros O y O 1 Y de radios r y r 1 • Comparando la distancia d entre los centros con la suma y diferencia de los radios r y r ' supuestos r > r' se pueden presentar los siguientes casos: 1) Circunferencias exteriores: Cuando todos los puntos de la primera circunferencia e son exteriores a la segunda e I y todos los puntos de la segunda e' son exteriores a la primera e d C 71-0' d > r + r ' '--~/ C' www.Matematica1.com 2) Circunferencias interiores: Una circunferencia e 1 es interior a otra e cuando todos los puntos de la primera son interiores a la segunda e C' d < r + r ' , El radio de la circunferencia interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r. 3) Circunferencias tangentes exteriores: Dos circunferencias son tangentes exteriores cuando son exteriores y tienen un punto común e d d r + r ' o r' O' 4) Circunferencias tangentes interiores: Dos circunferencias son tangentes interiores cuando una- es interior a la otra y tienen un punto común e d d =: r - r ' El radio de la circunferencia tangente interior siempre es menor que el radio de la circunferencia exterior: r ' < r www.Matematica1.com 5) Dos circunferencias son secantes cuando tienen dos puntos comunes. p e C' o Hay puntos de la circunferencia e que son interiores a la circunferencia C' . Hay puntos de la circunferencia C' que son interiores a la circuferencia C . Las dos circunferencias C y C' tienen dos puntos comunes. Observando el triángulo OPO ' de lados r, r ' y d vemos que se cumplen estas dos condiciones d > r - r y d < r + r' ya que un lado de un triángulo es Menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. También lo podemos Indicar , - r ' < d < r + " 6) Circunferencias concéntricos: Dos circunferencias son concéntricas cuando tienen el mismo centro . / -,C ' e o , . En dos circunferencias concéntricas la distancia de los centros es cero Cuando la dos circunferencias son iguales, tienen el mismo centro, sólo son válidos los enunciados . 1) d > 2, www.Matematica1.com CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES. Dos circunferencias secantes se llaman ortogonales cuando se co rtan de tal manera que las tangentes en cada uno de los puntos comunes son perpendiculares entre s( Las circunferencias e y e ' de centros O y O ' y radios r y r ' son secantes y además ortogonales. Dos circunferencias ortogo nales cumplen: 1) Los radíos en los puntos de intersección son perpendiculares. 2) La tangente a cada circunferencia en cada punto de int ersección pasa por el centro de la otra circunferencia . 3) Los triángulos OPO' y DMO' son rectángulos con ángulo recto en P y M (puntos de corte de las dos circunferencias). Se cumple ' Ejemplo. Dos circunferencias ortogonales tienen de radios 8 cm y 6 cm ¿Cuál es la distancia entre sus centros? 3_ Angulos en la circunferencia ANGULO CENTRAL. Es un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia , o A AOB es un ángulo central www.Matematica1.com Los puntos de la circunferencia interiores al ángulo central forman el arco correspondiente al ángulo central. En una misma circunferencia a ángulos centrales ¡guajes corresponden arcos iguales y a arcos iguales corresponden ángulos centrales iguales. Existe un isomorfismo aditivo entre Jos ángulos centrales y los arcos correspondientes. El arco correspondiente al ángulo central y el ángulo central se miden en grados o en radianes. Un radlOn es la medida de un ángulo central cuyo arco tiene una longitud igual al radio de la circunferencia . A Aoa = 1 radian o Cuando el ángulo central mide un llano el arco es una semicircunferencia. Cuando el ángulo central mide un recto el arco se llama cuadrante. ANGULO INSCRITO . Es un 6ngulo convexo cuyo vértice est6 en la circunferencia. e , El ángulo AB, e está inscrito a la circunferencia . El ángulo MNP no está in scrito, ya que no es convexo. p www.Matematica1.com Teorema: «Todo ángulo inscrito a una circunferencia mide la mitad del arco comprendido entre sus lados», También se puede enunciar como: «Todo ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad del ángulo central que conprende el mismo arco» Se pueden presentar tres casos de ángulo inscrito, al Que uno de los lados del ángulo pase por el centro de la circunferenda Para demostrarlo, unimos con el centro el punto A, formándose el trián- ~_""",-!B e 6 gulo AOB que es isósceles, pues los lados AO y OB son radios de la circun- A A ferencia y Jos ángulos OAB y ABO son iguales. El ángulo central Aélc que es exterior al triángulo ADB mide luego /\ ...... A ..... AOC - OAB + ABO ~ 2 ABO A ABO A ABC 1.- AOC 2 El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados. bl Que el centro de la circunferencia esté en el interior del ángulo, B www.Matematica1.com Tomamos los radios en A y en e y el diámetro en B, formándose la fi. gura B M El ángulo ABM por el caso anterior vale ~ 1 ~ ABM - _ AOM 2 El ángulo CBM por el caso anterior vale: CBM 1 ' - 2"MOC luego A ,... "... 1"" 1 A ABC - ABM + MBC - - AOM + - MOC 2 2 1 A - - AOC 2 El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendído entre sus lados. c) Que el centro de la circunferencia esté en el exteríor del ángulo. A Trazamos los radios en A y en e y el diámetro en B. formándose la figura B www.Matematica1.com Se tiene ABC - ABM - CBM Considerando el ángulo inscrito ABM, por el primer caso A 1 A ABM ~ _ AOM 2 A Considerando el ángulo inscrito CBM, por el primer caso Por tanto • 1 A CBM ~ - COM 2 AB'" C - -1 AO"" M - -1 CO'" M 2 2 A COMI - ~ AOC 2 El ángulo inscrito mide la mitad del arco comprendido entre sus lados, Corolario: «El ángulo inscrito en una semicircunferencia mide 90" _, Es mmediato, pues el ángulo inscrilo en una semicircunferencia es el ángulo convexo que tiene un vértice en la circunferencia y sus lados cortan él la circunferencia en los extremos de un diámetro. A e A A A A Los ángulos ABC. AB'C, AB"C, AB '''C miden la mitad del ángulo comprendido entre sus lados. Como el arco comprendido es un ángulo llano, todos los ángulos Indicados miden 90°, '" A "" A ABC - AB'C = AB "C = AB"C = 90' www.Matematica1.com ANGULO SEMIINSCR1TO. Es un 6ngulo convexo que tiene su vértice f:!n la circunferencia. uno de sus lados es tangente a la circunferencia V el otro es secante B e + o A El ángulo ABe es semiinscrito a la circunferencia Teorema ; «Todo 6ngulo semiinscrílo en una circunferencía mide la mitad del óngulo central que aborca el mismo arco» . También se puede enunclar así: ti Todo ángulo semllnscrito en una circunferencia mide la mitad del arco comprendido entre sus lados». Para demostrarlo trazamos el diámetro perpendicular a AB y el radio en el punto B B e ,/ Se forman los ángulos eSA y BOM que tienen los lados perpendiculares, siendo iguales. por tanto eSA - SÓM Como OM es perpendicular a AS en su punto medio Por lanlo Aéls - 2 MOS eSA ~ ~ AÓS 2 www.Matematica1.com ANGULO INTERIOR. Es un 6ngulo convexo cuyo vértice es un punto inlerior de la circunferencia, B Q p R Los ángulos ABC y PQR son interiores Teorema: «Todo 6ngulo interior a una circunferencia es igual a la semisuma del arco comprendido entre sus lados y el comprendido entre las semirrectas opuestas a sus lados» También se puede enunciar así: "Todo ángulo interior es igual a la semisuma de los ángulos centrales correspondientes a los arcos abarcados por dicho ángulo y por su opuesto por el vértice». Prolongando los lados del ángulo interior corta a la circunferencia en otros dos puntos M y N. A p...:-_=_~,q M o N e Trazando la cuerda AM se obtiene el triSngulo ABM El ángulo exterior a este triángulo en 1'3 mide la suma de los otros dos, es decir AÉiC ~ MÁB + AMB Pero el ángulo AMB - AMe que es inscrito abarcando el arco AC y el ángulo MÁB = MÁN es también inscrito abarcando el arco MN Por tanto AÉiC + Jc M6N 2 ~ IA6c + M6N) www.Matematica1.com ANGULO EXTERIOR. Es un ángulo convexo cuyo vértice es un punto exterior a la circunferencia y sus lados tienen algún p unto común con el/a . + + Tres son las posiciones a considerar para el ángulo exterior, según que los lados del ángulo sean secantes. sea un lado secante y otro tangente o Jos dos lados tangentes a la circunferencia, estando sIempre el vértice exterior a la circunferencia. Teorema: «Todo ángulo exterior a una circunferencia es igual a /0 semldiferencia de los ángulos centra/es correspondientes a los arcos abarcados por sus lados» También se puede enunciar así: «Todo ángulo exterior a una circunferencia llene como medida la semidiferenda de los dos arcos delerminados en la circunferencia por los lados del ángulo e inle-riores al mismo" La demostraci6n es inmedlala en los tres casos: al Que los dos lados del ángulo sean secantes a la circunferencia Para demostrarlo formamos la figura El ángulo MÉiN ~ BAc + AÑB de donde BAc - MÉiN - AÑB www.Matematica1.com Tanto MBN como AÑS son Interiores siendo su medida la mitad del án gulo central abarcado Luego BAC MBN - 1. MÓN 2 y AÑB- 1. Me 2 1~ 1~ l' A ~ - MON - - BOC - - (MON - BuC) 2 2 2 b) Que los lados del 6nglllo seo uno secante y otro tangente M B N , , , El ángulo NBM ~ BAN + ANB BAN - NBM , ANB .... Al'" El ángulo NBM es semiinscrito : NSM -2 NOS ..... Al .... El ángulo ANB es interior: ANB "" 2 BOC Luego '" 1.... 1'" 1.... ... BAN - - NOB - - BOC ~ - (NOB - BOC) 2 2 2 e) Que los lados del 6ngulo sean tangentes a la circunferencia M A N www.Matematica1.com El ángulo exterior al triángulo ABe en B mide Mík = BAC BAc - Mi3c , , Tanto el ángulo MBC como ACB son semiinscritos, siendo sus medidas Luego BAC MBC - 21" • BOC (cóncavo) 1 ' = 2" COB (convexo) 1 • 2" BOC (c6ncavo) - ..!. coa (convexo) 2 Cuando el ángulo exterior tiene sus dos lados tangentes a la circunferencia se dice que el ángulo es circunscrito a la circunferencia. También la circunferencia se dICe que está inscrita en el ángulo. 4. Longitud de la circunferencia POLlGONOS INSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA. Un polígono est6 inscrito o uno circunferencia cuando todos los vértices del polígono pertenecen a la circunferencia. Si señalamos tres puntos sobre una circunferencia y los unimos obtendremos un triángulo inscrito a la circunferencia. Si señalamos cuatro puntos sobre la circunferencia y los unimos consecutivamente obtendremos un cuadrilátero inscrito a la circunferencia. A e www.Matematica1.com De esta forma señalando los puntos que se quiera y uniéndolos consecutivamente obtendremos un polígono inscrito a la circunferencia de tantos lados como puntos señalamos sobre la circunferencia. Aquí podemos aplicar la medida de los ángulos inscritos a una circunferencia para comprobar que: a} La suma de los ángulos de un triángulo mide 1800 DibUjando un triángulo ABC inscrito a una circunferencia A resulta que , 1, ABC - -AOC 2 A 1 A BCA - -BOA 2 CAA B --1B Ó C 2 ABC + BeA + CAB - ~ (AÓC + BÓA + BÓC) _ 1 . 3600 _ 1800 2 de donde Ji. + ª + e = 1800 b) Los ángulos opuestos de !ln crlOdrilátero son suplementaríos Sea el cuadrilátero ABCD A B www.Matematica1.com Vamos a ver que A + e = 1800 Y que B + O - 1800 En efecto A BAO ...le BOO 2 (cóncavo) A C ~ BCD ~ ...le BOO (convexo) 2 21" (B O" D (cóncavo) + Be)O (convexo)) = ~ 3600 ~ 180" De forma análoga se ve que B y [) son suplementarios. Por tanto la suma de los cuatro ángulos de un cuadrilátero vale POLIGONOS CIRCUNSCRITOS A UNA CIRCUNFERENCIA Un poli" gono est6 circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a la circunferencia, Observando esta circunferencia situada dentro del triángulo ABe A C~ _ ~~~ _______ ~B N los lados del triángulo son tangentes a la circunferencia en los puntos M, N Y p" Si trazamos las bisectrices de los ángulos Á, B y e del triángulo se cortan en un punto O llamado in centro y que es el centro de la circunferencia El triángulo está circunscrito a la circunferencia y la circunferencia está inscrita al triángulo. El centro de la circunferencia es el incentro, punto de corte de las bisectrices del triángulo Los radios de la circunferencia en los puntos de tangencia son perpendiculares a los lados del triángulo -El radio OM es perpendicular aliado AB -El radio ON es perpendicular aliado Be -El radio OP es perpendicular aliado AC www.Matematica1.com Existe una circunferencia y sólo una inscrita a un triángulo pero puede haber muchos triángulos circunscritos a una circunferencia, basta con que sus lados sean tangentes a la circunferencia Observando esta otra circunferencia situada dentro de un cuadrado [os lados del cuadrado son tangentes a la circunferencia. A M B I Q --to- N I D P e -El radio OM es perpendicular aliado AB en su punto medio -El radio ON es perpendicular aliado BC en su punto medio. -El radio OP es perpendicular alIado CD en su punto medio, -El radio OQ es perpendicular alIado DA en su punto medio. En un cuadrado circunscrito a una circunferencia el lado coincide con el diámetro. En general si dada una circunferencia nos Piden que dibujemos un polígono circunscrito se ha de seguir este camino' 1) Señalar sobre la circunferencia tantos puntos como lados tenga el polígono circunscrito. 2) Trazar los radios correspondientes a esos puntos. 3) Trazar las tangentes a la circunferencia en dichos puntos, que como se sabe han de ser perpendiculares a los radios correspondientes 4) Donde se corten cada dos tangentes consecutivas serán los vértices del polígono circunscrito pedido. Si el polígono circunscrito es regular los puntos señalados en la circunferencia deben estar situados a igual distancia unos de otros Los polígonos inscritos o circunscritos a una circunferencia que más fácilmente se dibUjan son' 1) Exágonos regulares inscritos que se obtienen señalando 6 puntos sobre la circunferencia a una distancia uno del otro de un radio, uniéndolos consecutivamente 2) Exágonos regulares circunscritos que se obtienen señalando los 6 puntos de igual forma que en el caso anterior trazando después Jos radios en dichos puntos y por último las tangentes en dichos puntos www.Matematica1.com 3) Trióngulos equiláteros inscritos que se obtienen dividiendo la circunferencia como en el exágono inscrito y uniendo los puntos alternativamente 4) Triángulos equiláteros circunscritos que se obtienen señalando los tres puntos de igual manera que en el caso anterior y después trazando las tangentes a la circunferencia en dichos puntos. 5) Cuadrados inscritos se obtienen trazando dos diámetros perpendiculares en la circunferencia, determinando así los cuatro vértices del cuadrado. 6) Cuadrados circunscritos se obtienen señalando los cuatro puntos como en el caso anterior y trazando las tangentes en dichos puntos. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA. Observa esta figura en la que el cuadrado es circunscrito a la circunferencia y el exágono está inscrito en la circunferencia y sea I el lado del cuadrado, r el radio de la circunferencia y l' el lado del exágono. El perímetro del cuadrado es' P - 41 - 4d El perímetro del exágono es: P' = 61' = 6r = 3d www.Matematica1.com La circunferencia está inscrita al cuadrado y circunscrita al exágono, por tanto Petímetro exágono < Longitud circunferencia < Perímetro (_uadrado P' < L < P 3d r = v32 - 4 "12 2 2 L - 21fT - 21!H Y2l - 8..J2 1f cm www.Matematica1.com 6. Hallar el área de una corona circular cuyas circunferencias tienen por suma de radios 1 70 cm y por diferencia 30 cm_ Solución A - 1I"(R2 - r2) _ 1!"(R + r) (R - r) _ 'Ir 170 30 - 510011" cm2 7. A un círculo de diámetro 12 cm se le recorta una corona circular de área la mitad del área del círculo completo. ¿Qué anchura tiene la corona círcular? Solución Area círculo ~ Area '"" 1811" "" 1IT2 =- r2 _ 18 =- r2 "" 18 =- r 3";2 El ancho de la corona circular es: R - r = 6 - 3-../2 cm. 8. El área de una corona es de 14 m2: si el radio de la circunferencia mayor mide 4 m ¿qué longitud tendrá el radio de la circunferencia menor? Solución Si R '" 4 =- 11"(16 - r2) = 14 =- 16 - r2 - 14 14 =- r -= 3,4 cm 9. A un cuadrado cuyo perímetro mide 24 cm se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Calcular los radios y el área de la corona circular formada Solución P - 24 - 41=-1 - 6cm 1 r - radio de la circunferencia inscrita - "" 3 cm 2 www.Matematica1.com . I I I B Area triángulo ABe ... cl~R:"";+7R~)~R~ ... ~ Area cuadrado 2 2 2R· R ... -,!, JI ... 2..62 2 2 2 lB ~ R' - l B - R - .JIlí 10. Hallar el área del sector circular cuya cuerda es el lado del exágono siendo el rodlo de la circunferencia 12 cm . Solucl6n Se trata de un sector cIrcular de amplitud 600 .,.' Area del sector'" 360 x60 - r x 121 360 x 60 ... 2411" cmZ 11 . Duelo WI triángulo equ" 6cero de 6 cm de lado hollar el área de uno de los sectores determinados por lo circunferencia circunscrito y por los radios que paso" por 10$ uértices_ Soluci6n Se trata de un sector circular de amplitud 1200 en una clrcunferencia de 6 cm de radio. A ~ lrf2 360 x n - • 6' 360 x 120 ... 12 .. cml www.Matematica1.com 12. Un Jardín de forma triangular tiene 90 m de base y 40 m de altura, pero hay un estanque circular que mide 20 m de diámetro. ¿Cuál es el área cultiuable? Solución Alea triángulo - -b x2 a- - 90 x2 40 "" 1.800 m2 Atea estanque :t n 2 _ 10011" mZ Atea cultivable - 1.800 - 10011" : 1.486 m2 13. Una mesa está formada por un rect6ngulo de 1, 70 m de largo por 0,80 m de ancho y dos semicírculos que se prolongan en el sentido de /0 longitud, leniendo por diámetro lo anchura de /o meso. ¿Cuál es el áreo de la mesa? ¿Cuál es su perr metro? Solución Area - Area rectángulo + Area círculo = (0,80 x 1,70) + + 11" . 0 .402 _ 1,36 + 0,1611" m2 Perímetro - 2 x l , 70 + 2'11" . 0.40 - 3,4 + 0,8'11" m 14. En uno circunferencia de 8 dm de radio se trazo uno cuerda de 8 dm de longitud. Calcular el área del segmento menor (Area del triángulo equilátero = 1 2 ~ ) Solución Al ser los tres lados iguales eIITl.'inguk> es equilátero y el sedor es de amplitud 600 Area segmento clH;ular - Area sector circular - Alea triángulo -- -- x n - 360 -32- , 3 l' ,¡~ -4- _ ~ x 60 _ S2.J3 36ü 4 16 ~ - 16 (~ "lf - ...[j ) cm! www.Matematica1.com 15. ¿Qué ocupa la mayor parte del cuadrado de la figura, el círculo grande o los cuatro círculos pequeños? Solución Sea a el lado del cuadrado - El círculo grande ocupa A _ 11" -Los 4 círculos pequeños ocupan Ocupan la misma superficie a' 4r-- 16 "a ' (2 - 4 ra' 4 16. Determinar el 6rea de la zona sombreada de la figura. conocido el lado del cuadrado I = 4 cm Soluci6n Area cuadrado"", 12 - 42 '" 16 cm2 Area círculo - :n2 - T 22 - 41(' cm2 Parte rayada"" 2(Area cuadrado - Area círculo) "" 2(16 - 4n-} cm2 www.Matematica1.com 17. En la figura adjunta hay 5 circunferencias tangentes con centro en la mis· ma recta, sIendo las pequeñas Iguales )J de radio 2 cm l' Probar que la circunferencia mayor es igual a la suma de las cuatro imeno' "" 2) (.Qué superficie ei>t6 comprendida entre la exterior y las cuatro ínteriores') Solución 1) Sea Li la longitud de la circunferenda pequeña y L la longitud de la mayor L' - 211T ' - 411" cm L "" 211T .. 211" ' 8 16'1" cm L - 4 L ' pues 1611' '" 4(4'1") s - 4$' - 64r - 16'1" _ 48'1" cml 18. En la figura hay 3 semIcircunferencias con centro en la recta AB, sabiendo que los radios de las dos menores son 4 cm y 8 cm. Se pide: 1} Probar que el camino ACB y el ADFEB son iguales 2) ¿Cudl es el drea comprendida entre las tres semicircunferencias? www.Matematica1.com e D A .+. F++-' Solución 1) Camino ACB "" L - 1IT "" 121[" cm Camino ADF - L1 "" ni "'" 811" cm Camino FES "'" L2 - 1IT2 = 411" cm Se cumple 2) ATea S - !1r 122 = 7211: cm2 ATea SI" 1-11" 82 =- 321rcm2 ATea S) - -t1l" -42 - 811" cm2 E Area encerrada - 721f + 3211" - 811" = 961!' cm2 B 19. Calcular el área de un sector circular de 14 m de radio equi[)alente a un cuadrado cuyo lado es igual a la longitud del arco de aquél. Soluci6n ATea sector .:> ,.,' 1[" 142 x n - x n 360 360 ATea cuadrado ... )2 _ (' -2-,.,- x n )' . 360 Como ATea sector .. Area cuadrado 11"' 142 360 x n ~ 211" 14 360 n - 360 4r www.Matematica1.com de donde Area sector 20. Un orco gótico está fomlOdo por dos arcos de circunferencia unidos, cada uno de ellos es igual a la sexta porte de la circunferencia El centro de cada una de e llas está en el extremo opuesto de la anchura del arco, es decir los dos radios son iguales a la onchura del arco . Hallar el área de un arco gótico de 6 m de radio Solución Area arco gótico ( Area triángulo = /2..f3 ) . 4 • 2 Area sector - Area triángulo - 2 n' 360 x60 _ 11 .J3_ 4 2 w62 x60 360 6"J3 - ~ - 12. - 9,/3 -

Archivo

Mostrar más
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...