ECUACIONES DE PRIMER GRADO EJERCICIOS RESUELTOS-QUINTO DE SECUNDARIA-PDF

Resolución de ecuaciones

Los problemas de ecuaciones no se consideran, por lo común, difíciles: de esto testimonia el hecho de que la mayoría de los estudiantes (según su opinión) cumplen esta tarea. Al mismo tiempo, muchos problemas encierran en sí dificultades y los estudiantes cometen graves errores.

Tal situación parece extraña, aunque sólo a primera vista. Para muchos graduados de la escuela secundaria hay una distancia enorme entre los hábitos de cálculo práctico obtenidos y la comprensión consciente de los fundamentos teóricos lógicos, sin los cuales es imposible resolver acertadamente una ecuación (quizás por casualidad, pero contar con esto sería, desde luego, absurdo).

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Esto se manifiesta durante las resoluciones: la mayoría de los estudiantes pueden simplificar una ecuación con ayuda de cálculos infalibles, pero no cada uno puede percibir cómo y por qué estos cálculos conducen a la pérdida o la adquisición de las raíces, y muchos hasta no reflexionan en esto. Otros, aunque conocen bien las tesis teóricas respectivas, empero las conocen formalmente, como una instrucción, expresan una incapacidad absoluta en una situación un poco variada.

Digamos que los escolares saben bien que al elevar ambos miembros de una ecuación irracional al cuadrado pueden aparecer raíces extrañas. ¡Pero, cuántas veces se puede ver cuando la elevación al cuadrado se aplica a una ecuación trigonométrica sin omisión siguiente de las raíces extrañas! Aunque no es difícil evitar este error sabiendo por qué la elevación al cuadrado da origen a la aparición de raíces extrañas. Veamos, el problema referente a la comprobación. Entre los estudiantes existen dos opiniones del todo opuestas. Unos consideran que la comprobación es un capricho de los profesores a que debe obedecerse a la fuerza, otros piensan que la comprobación es siempre obligatoria y comprueban todo, incluso las raíces de la ecuación de segundo grado. Estas opiniones se basan en la incomprensión absoluta de la comprobación, del lugar que ésta debe ocupar durante la resolución.

En pocas palabras, cada cual tiene que poseer aquel mínimo de conocimientos teóricos que se requieren para la resolución de ecuaciones. Nos detendremos brevemente en este mínimo.

¿Y cómo se aplican los conceptos introducidos durante la resolución de las ecuaciones? El hecho es que en la mayoría aplastante de los casos la solución resulta sólo después de una serie de transformaciones y pasos de una ecuación a otra. De tal modo, durante la resolución, cada ecuación se sustituye una por otra nueva, y la nueva ecuación puede tener, naturalmente, nuevas raíces. El problema de la resolución correcta de las ecuaciones consiste precisamente en seguir esta variación de las raíces, no perderlas y saber omitir las extrañas.

Está claro que el mejor procedimiento es el de sustituir cada vez la ecuación siguiente por una equivalente a ésta; entonces, las raíces de la última ecuación serán raíces de la inicial. Sin embargo, esta via ideal es irrealizable habitualmente en la práctica. Como regla, la ecuación se sustituye por su corolario, diciendo en general, que no es equivalente; en este caso, según la definición del corolario, todas las raíces de la primera ecuación son las de la segunda, es decir, no tiene lugar una pérdida de raíces sino que pueden aparecer raíces extrañas aunque pueden no aparecer. Y en el caso cuando la ecuación, durante las transformaciones, se sustituye, aunque una sola vez, por el corolario que no es equivalente, es obligatoria la investigación de las raíces obtenidas, siendo ésta la comprobación. Notemos en seguida que esta investigación, como lo veremos a continuación, no exige obligatoriamente la sustitución directa de las raíces obtenidas en la ecuación inicial.

De tal modo, si la resolución se efectuaba sin análisis de la equivalencia y fuentes de aparición de las raíces extrañas, entonces la comprobación es parte integrante de la resolución, sin la cual aquélla no puede ser considerada como válida, aunque no hayan aparecido, en realidad, las raíces extrañas. Si éstas han aparecido y permanecen no omitidas, la solución es realmente incorrecta. Por otra parte, si en cada oportunidad la ecuación se sustituye por una equivalente (como ya hemos dicho, esto sucede muy raramente), entonces no hace falta realizar la comprobación; con todo eso, de este hecho ya se habló especialmente en el curso de la resolución.

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