CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA EJERCICIOS RESUELTOS PDF
Concavidad y puntos de inflexión
Ya hemos visto que la determinación de los intervalos en que una función f crece o decrece es útil para trazar, con relativa exactitud, su gráfica. En esta sección veremos Que hay otros aspectos de la gráfica de una curva que requiere el estudio más detallado de la derivada. es decir, la localización de los intervalos donde f crece o decrece.
En ta1 sentido, los conceptos de concavidad y punto de inflexión están en juego. CONCAVIDAD HACIA ARRIBA CONCAVIDAD HACIA ABAJO
Criterio de concavidad PUNTO DE INFLEXIÓN El criterio de la segunda derivada Uso del criterio de la segunda derivada
RESUMEN DE TÉCNICAS PARA GRAFICAR UNA FUNCiÓN Hasta ahora hemos discutido en el texto varios conceptos útiles al momento de dibujar la gráfica de una función El aparato analítico comprende: - Dominio y rango Intersecciones con los ejes coordenadas - Simetría Asíntotas horizontales, venicales y oblicuas - Puntos en Que no existe derivada (puntos angulosos) Extremos relativos o locales y absolutos - Sentidos de concavidad Punto de inflexión El estudio de una función dada y la construcción de su gráfica con ayuda del aparato analítico desarrollado es racional llevarlo a cabo en el siguiente orden. SUGERENCIAS PARA ESBOZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCiÓN
Se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple correspondiente a los máximos y mínimos relativos. Puntos de inflexión y número de inflexión. Sea f una función y a un número. Supongamos que existe números b y c tales que b menor que a menor que c y además: a) f es una función continua en el intervalo abierto (b,c) b) f es una función cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo en (a,c), o viceversa. Bajo las condiciones anteriores el punto (a,f(a)) se llama punto de inflexión, y al número a se llama número de inflexión. Si la segunda derivada f´´ de una función f es positiva en un intervalo abierto (a,b) es porque la primera derivada f´ es creciente en ese intervalo. Criterios de la segunda derivada para máximos y mínimos relativos Sea f una función con su primera derivada definida, al menos, en un intervalo abierto conteniendo al número a. Si f´´ esta definida entonces podemos considerar los siguiente aspectos: a) Si f´(a)=0 y f´´(a)menor que 0 entonces se dice que f tiene un máximo local en a. b) Si f´(a)=0 y f´(a) mayor que 0 entonces se dice que f tiene un mínimo local en a. 1. Determinar el dominio de exislem.:Ül de la funci6u t inlersecciones,la región de COJ1- linujdad y los puntos de discontinuidad 2. Hallar las asíntotas. 3. Trazar aproxín~adamente, a l!randes rru.gos, la gráfica de la tunción que in~Juyu,cun1 - Quicr interseccion con los ejes o asmtot..1.S fáciles de determinar. 4. Localizar los. valores·de x en lo~' que !'(x.) y f11(X) son nulas o no eSlán definidas. s. Estudiar el comportamiento de la función 'construyendo una tabla de variad6n del signo de 1a primera)' segunda derivadas. Determinar los intervalo~ de crecimiento. decrecimiemoy concavidad, luego, hunar los puntos extremos locales y pumos de inflexión~ 6. Finalmente trazar ]a gráfica señalando. los extremos locales, los puntos de inflexión y,Si es necesario hallar más ,puntos sobre ella. Naturalmente. no todos estos pasos se aplicaran a cada función. Por ejemplo, puede no haber intersecciones con los ejes o asíntotas. Un número crítico puede .investigarse por el criterio de la primera derivada o por el de la segunda derivada para saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo. El método que será preferihle depende de la función.
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN RACIONAL Criterio de la segunda derivada para establecer los valores máximos y los valores mínimos de una función Además de proporcionar información sobre la concavidad de la gráfica de una función, la segunda derivada permite establecer si un punto crítico es un valor máximo o un valor mínimo. El Criterio o prueba de la Tercera Derivada es un método que se utiliza la tercera derivada de una función para confirmar o comprobar los puntos de inflexión obtenidos a partir de la segunda derivada. Es un caso particular del Criterio de la derivada de mayor orden. Concavidad y puntos de inflexión Un punto de inflexión es un punto donde los valores de x de una función continua pasa de un tipo de concavidad a otra. La curva "atraviesa" la tangente. Matemáticamente la derivada segunda de la función f en el punto de inflexión es cero, o no existe. En las funciones derivables reales de una variable real, para hallar estos puntos de inflexión, basta con igualar la segunda derivada de la función a cero y despejar. Los puntos obtenidos deberán ser sustituidos en la derivada tercera o sucesivas hasta que nos dé un valor diferente de cero. Cuando esto suceda, si la derivada para la que es distinto de cero es impar, se trata de un punto de inflexión; pero, si se trata de derivada par, no lo es. La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente: Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A , si es creciente sobre A. Si es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo. Note que es la función derivada la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A. En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo y cóncava hacia abajo en el intervalo Puede decirse que un punto de inflexión separa una parte de la curva que es cóncava hacia arriba de otra sección de la misma que es cóncava hacia abajo. En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión. Observe que una parte de la curva queda sobre la tangente de inflexión, y otra parte bajo ella.