CONCURSO NACIONAL DE MATEMATICAS DE CUARTO DE SECUNDARIA EXAMEN FINAL CON RESPUESTAS CONAMAT PDF

Concurso de matemáticas cesar vallejo de cuarto año de secundaria CLICK AQUI PARA VER PDF 1. Tres capitales que están en progresión aritmética de razón S/.r son impuestos al r% anual. Si el interés simple producido por los tres capitales luego de 2 años suma S/.P, halle el menor de estos capitales. 2. Se define el operador lógico  con la siguiente tabla de verdad: p q p  q V V F V F V F V F F F V Desarrolle el siguiente esquema molecular y dé como respuesta la cantidad de proposiciones verdaderas de su matriz principal (∼ p → q)  [(∼ q ∨ p) ↔ p]. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 3. Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones para eventos de un mismo espacio muestral. Cuarto grado de secundaria I. Si los eventos A y B son independientes, entonces P(A ∩ B)=0. II. Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A ∪ B)=0. III. Si los eventos A y B son independientes, además P(A)=0,2 y P(A – B)=0,08, entonces P(B)=0,6. A) VFV B) FFV C) FVF D) FFF 4. De las edades de seis personas se sabe que los tres mayores son números consecutivos. La moda, la mediana y la media son 24; 26 y 25,83,  respectivamente. Halle la suma de cifras de la menor edad. A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 5. Un examen de Historia del Perú consta de 10 preguntas, donde el alumno solo tiene que marcar verdadero (V) o falso (F); además, cada pregunta marcada correctamente vale 2 puntos y no hay puntos en contra. Si sabemos que Aurora marcó todas las preguntas y sacó 12 en el examen, ¿de cuántas formas pudo haber marcado las respuestas para que obtenga esa nota? A) 20 B) 1024 C) 5040 D) 210 6. Si abc ≠ 0 y {(x0, y0, z0)} es el conjunto solución del sistema ax by cz a b bx cy az b c cx ay bz c a + + = − + + = − + + = −      2 2 2 determine el valor de E x y z = + + 0 0 0 1 . A) 1 B) 2 C) –1 D) 3 7. Determine el valor de m para que la ecuación |x2+4x+3| – mx+2m=0 presente tres soluciones. A) 5 + 3 B) −8 + 2 15 C) 8 − 2 15 D) −8 − 2 15 8. Luego de resolver x4 x x4 1 4 2 1 4 + = · − , se obtiene como solución a b c + . Determine a+b+c. A) 5 B) 4 C) 3 D) 8 9. Luego de resolver x ≤ ln(e2 –1+e2 – x). Indique el número de soluciones enteras positivas. A) 4 B) 1 C) 3 D) 2 10. En un polígono, el número de diagonales es el doble del número de lados. Por lo tanto, dicho polígono es A) cuadrilátero. B) heptágono. C) hexágono. D) decágono. 11. En una región rectangular, el perímetro es a su área como 2 es a 3. Calcule la suma de las inversas de las longitudes de sus lados. A) 3/2 B) 3/4 C) 1/3 D) 2/3 12. En la región triangular NTY, se ha inscrito una circunferencia la cual es tangente a YT, YN y NT en los puntos L, J y A, respectivamente. Si AT+LY+NJ=18, y el inradio de dicha región es 3, calcule el área de dicha región triangular. A) 54 B) 27 C) 18 D) 24 13. En el gráfico mostrado, MAIS es un cuadrado. Si AR=2(RI)=6, m  RLI=m  RMB, calcule MB. S A B I L M R A) 8 B) 39/2 C) 12 D) 26/3 14. En el gráfico, YL=4(AY) y NY=9(TY). Calcule TL AN . A L N T Y A) 4/9 B) 9/4 C) 2/3 D) 6 15. En un cilindro de revolución, la longitud de la diagonal BD de la sección axial ABCD es k, y la distancia de A hacia dicha diagonal es t. Calcule el área de la superficie lateral de dicho cilindro. A) ≠kt 3 B) pkt C) ≠kt 4 D) ≠kt 6 16. Se tiene una esfera inscrita en un hexaedro regular. Si la suma de las distancias máxima y mínima desde un vértice del poliedro hacia la superficie esférica es 6, calcule el volumen de dicha esfera. A) 2 3 ≠ B) 3 3 ≠ C) 3 2 ≠ D) 2 2 ≠ 17. En el gráfico, ABCD es un paralelogramo. Calcule el área de la región sombreada si A=(– 3; 1) y B=(– 4; 4). Y D X A B C A) 8 B) 5 C) 4 D) 6 18. Se muestra una pirámide regular. Si AM=MB, G es baricentro de la región PCD y GM=2 5, calcule el área de la superficie lateral de dicho sólido. B A C D M P G A) 36 2 B) 12 3 C) 30 2 D) 16 2 19. En el gráfico, AC2+MD2=48. Si AD=6, calcule el diámetro de la semicircunferencia. A B C D M H A) 2 2 B) 2 3 C) 4 3 D) 6 20. En un triángulo equilátero ABC, se traza la ceviana AM (M distinta del punto medio de BC) y se traza MH perpendicular a AC (H en AC). Sea Q el punto medio de AM, y en MH se ubica el punto P de modo que MP=2(PH). Calcule el área de la región triangular PBQ sabiendo que PQ=. A) 2 B) 2 3 C) 1 2 2 3 D) 1 4 2 3 21. Si se cumple que tan4x – tan2x=1, calcule el valor de csc4x – tan4x. A) – 2 B) –1 C) 0 D) 1 CLAVES 4 AÑO SECUNDARIA Nro Clave P Clave Q Nro Clave P Clave Q 1 D B 2 B D 3 B D 4 A C 5 D B 6 A C 7 B D 8 A C 9 D B 10 B D 11 D B 12 A C 13 B D 14 C A 15 B D 16 A C 17 D B 18 A C 19 C A 20 C A 21 C A 1. El 40% de un capital se deposita en un banco durante 5 años al 6% de interés continuo. ¿Qué tanto por ciento del capital restante se debe imponer en una financiera que paga el 43,75% durante un año para obtener un interés equivalente al 15% del interés generado por la primera parte? Considere que e0,3=1,35. A) 7,5% B) 8% C) 9% D) 10% 2. De tres números enteros positivos diferentes se sabe que su mayor promedio es 30, el menor promedio de los dos menores es 16 y la media geométrica de los dos mayores es 36. ¿Cuál será la menor cantidad entera positiva x que se debe sumar al menor y al mayor de los números iniciales para que su media geométrica sea un número de la forma mn? Dé como respuesta m + n + x. A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 3. ¿De cuántas formas diferentes pueden escogerse 8 enteros x1; x2; . . . ; x8, no necesariamente distintos, tales que 1 ≤ x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ x8 ≤ 8? A) C7 13 B) C8 15 C) C6 11 D) C6 15 4. Los equipos rojo, azul y verde participan en un concurso; dos de ellos pasarán a la etapa final. En la última parte del juego deben elegir una llave que encienda cada uno de sus buses respectivos (cada equipo posee un bus). Si los equipos disponen de 5, 3 y 8 llaves, respectivamente, y el orden para escoger y probar la llave es rojo, Cuarto grado de secundaria azul y verde, ¿cuál es la probabilidad de que no clasifique el equipo azul? A) 23 720 B) 1 15 C) 1 360 D) 1 24 5. Sea f una expresión polinomial definida por f (a; b)=2a + 3b + ab +1 Si (a; b) ∈ 〈– 2; 3]×[–1; 2], calcule el menor valor entero de f. A) 5 B) – 3 C) – 4 D) 19 6. Se tiene el paralelepípedo (6 – x) x (x+3) Si el área de su base es máxima, calcule el valor numérico de su volumen. A) 9/2 B) 81/4 C) 81/8 D) 243/8 7. Resuelva el sistema lineal e indique el valor de x+y+z. Considere que a < –1. ( ) ( ) ( ) a x y z a x a y z a x y a z a − + + = + + − + = − − + + − = −      1 1 2 2 2 3 1 2 2 2 A) a+1 B) 1 C) a D) –1 8. La inecuación de incógnita x (n2 –1)x2 – (n+1)x – m ≤ n tiene como conjunto solución a S = {x R x  } 1 2 Calcule el valor de m+n. A) –1 B) 0 C) 1/2 D) 1 9. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones. I. Si 2 1 0 x − > , entonces x ≥ 1. ( ) II. Si x2= 4, entonces x {2; − 2; 2}. ( ) III. Si |x –1|+| x |= 0, entonces x ∈ {0; 1}. ( ) A) FFV B) FFF C) VFV D) VVV 10. Sean a y b números enteros diferentes. Si se sabe que la inecuación fraccionaria x x b x x a x 2 2 2 2 2 2 3 1 0 ( − + − )( + + − ) +  se verifica para cualquier valor real de x, calcule el mayor valor de a+b. A) 8 B) 6 C) 4 D) 3 11. Si x0 es solución de la ecuación logarítmica log 1 log 1 log ( ); 1 x a a x a − x = ax a > , indique lo correcto. A) x0 > 1 B) 0 < x0 < 1 C) x0 > a D) x a 0 1 < 12. Sea A n n n = + 1 1 1 ; , n ∈ Z+, una sucesión de intervalos, tal que (An) representa a la longitud de An. Calcule la suma de longitudes de todos los intervalos que conforman la sucesión. A) 2 B) 3/2 C) 1 D) 1/2 13. En un cuadrilátero ABCD, AB=BC=CD, la m  ABC=108º y la m  CAD =18º. Calcule la m  ACD, si se sabe que dicho ángulo es agudo. A) 18º B) 12º C) 27º D) 20º 14. En un triángulo rectángulo isósceles ABC, recto en B, se ubican los puntos M y N en BC, de modo que BM=CN=(AB)/4 y en AC se ubican los puntos P y Q (P en AQ), tal que PQ=2(QC)=(AC)/4; además, PB y AN se intersecan en E, y BQ y AM se intersecan en F. Calcule la m  EFQ. A) 30º B) 45º C) 37º D) 53º 15. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana interior AM, de modo que la m  MAC=2(m  MAB), además AC=3(AM). Si BM=1, calcule MC. A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 16. En la región interna de un triángulo ABC, recto en B, se ubica el punto D. Si AD=BD y AB=CD, calcule la m  DCB. A) 15º B) 20º C) 25º D) 30º 17. Según el gráfico, A, B y C son puntos de tangencia. Si BC = 2 2, calcule AC. A) 1 A B t 2t B) 2 C C) 2 D) 3 18. Del gráfico, T es punto de tangencia. Calcule x. 4 x T 2 A) 6 B) 4 C) 2 3 D) 2 6 19. Sea ABCD un rectángulo con centro O; en OC, CD y AD se ubican los puntos M, N y P, respectivamente, tal que OMNP es un rectángulo, OM=8 y la m  OCB=37º/2. Calcule AB. A) 1,8 10 B) 10 C) 1,5 10 D) 2 10 20. Del gráfico, A y B son puntos de tangencia. Calcule (EF)2+(AB)2. A) 81 E F A B 5 4 B) 64 C) 41 D) 53 21. Sea ABCD un romboide; en la prolongación de DC y de BM se ubican los puntos M y N, respectivamente, tal que CD=CM, la m  BNA=25º y la m  BND=90º. Calcule la m  NAD. A) 50º B) 40º C) 45º D) 55º 22. Del gráfico, si a y b son los radios de las circunferencias mostradas, calcule el área de la región sombreada. Considere que M y N son puntos de tangencia. α b 2α a M N A) ab B) 2ab C) 3ab D) ab 2 23. En un hexaedro regular ABCD - EFGH de arista a, desde B y C se trazan BM y CN perpendiculares a la diagonal AG (M y N en AG). Calcule el volumen del tetraedro MNFH. A) a3 12 B) a3 18 C) a3 20 D) a3 24 24. Un octaedro está limitado por 6 triángulos rectángulos isósceles de catetos con longitud a (congruentes) y por dos triángulos equiláteros congruentes de lados a 2. Calcule el volumen de dicho octaedro. A) a3 3 B) 2 3 a3 C) 3 4 a3 D) 5 6 a3 25. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda en las siguientes proposiciones. I. En un cilindro oblicuo, el desarrollo de la superficie lateral es un paralelogramo. ( ) II. Si un semicírculo se enrolla, se forma la superficie cónica de un cono equilátero. ( ) III. La longitud del recorrido mínimo para ir de un punto de la superficie cilíndrica de revolución de radio r a otro punto diametralmente opuesto es pr. ( ) A) FFF B) FVF C) VFV D) FVV 26. En el gráfico se muestra un tronco de cilindro recto. Calcule el área de dicho tronco de cilindro, si R = 4. Considere que la base superior es la sección determinada en la superficie semiesférica por un plano secante que forma un diedro de 30º con el plano de la base. O C R A B 30º A) 6p 3 B) 2p 3 C) 3p 3 D) 4p 3 27. Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A=(0; 0), B = (1; 1) y C = ( 3 ; − 3). Calcule la medida del menor ángulo que forman las mediatrices de los lados AB y BC. A) 60º B) 45º C) 53º D) 90º 28. Si ABCD es un cuadrado, entonces (tanq+1)(1–tanqtanx) – tan x será equivalente a θ F A D E B C x A) tanq. B) cotq. C) 1 2 tanq. D) 2tanq. 29. De la condición sec tan sec sen tan sen x x x x x x + + = − − 3 3 3 3 , calcule sec2x + 2tan2x. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 30. En el gráfico se cumple que CM=AB y tanq=3tana. ¿A qué será igual cota+cotq? A) 2 α θ A B C M B) 4 C) 5 D) 7

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