ARCOSENO , ARCOCOSENO , ARCOTANGENTE , ARCOCOTANGENTE , ARCOSECANTE Y ARCOCOSECANTE EJERCICIOS RESUELTOS PDF

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  • objetivo: * Interpretar y operar expresiones del tipo Arcsenx, Arccosx , etc; de manera rápida y concreta. * Despejar ángulos incógnita cuando una razón trigonométrica de un ángulo se reconoce pero no es notable. * Definir las funciones trigonométricas inversas. FUNCION INVERSA DEL SENO FUNCION INVERSA DEL COSENO FUNCION INVERSA DE LA TANGENTE FUNCION INVERSA DE LA COTANGENTE FUNCION INVERSA DE LA SECANTE FUNCION INVERSA DE LA COSECANTE introducción : En el capítulo 30 se estableció que una función asigna a cada elemento del dominio, una y solamente una imagen que desde luego puede ser común a varios o a todos los elementos del dominio. Si la función tiene además la propiedad de que la imagen es exclusiva o sea que cada imagen en el recorrido lo es de un solo elemento del dominio, se dice entonces que esta función establece una correspondencia biunívoca o biyectiva entre los elementos del dominio y los del recorrido. Cuando tal es el caso, se puede definir una nueva función, inversa de la función original, cuyo recorrido sea el dominio de la primera. Se dice entonces que cada función es la inversa de la otra. * Función Inyectiva o Univalente Una función es inyectiva o univalente cuando todo elemento del rango tiene un único elemento en el dominio al cual está asociado; si: Como conjunto de pares ordenados, una función es univalente si dos pares ordenados diferentes nunca tiene el mismo segundo elemento así: Ejemplos : * Sea: f(x) = x2 ; x > 0 * Aplicando la difinición: * Por diferencia de cuadrados: debido a: Interpretación Geométrica Una función F es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a la gráfica de F a lo más en un punto. Es univalente * De las figuras mostradas se deduce que F es inyectiva. G no es inyectiva en todo su dominio; para que G sea inyectiva se debe redefinir la función, es decir, se restringe el dominio por ejemplo si se escoge el dominio de entonces G es inyectiva, también se puede elegir como dominio Funciones Inversas Si una función f es biyectiva (univalente y sobreyectiva), entonces existe su función inversa y se denota por f * ó f-–1 * Para determinar la inversa de una función se intercambia “x” por “y” e “ y” por “x”. Así : Df * = Rf Rf * = Df ejemplo: hallemos la función inversa de y = 2x – 1 cuyo dominio es [0 ; 3]. RESOLUCIÓN: * Despejando x se tiene: * Intercambiando variables: * Graficando: * Se observa: Df = [0 ; 3] y Rf = [–1;5] * También: Df* = [–1 ; 5] y Rf* = [0 ; 3] OBSERVACIÓN: Las gráficas de f y f* son simétricas con respecto a la recta (y = x). FUNCIONES TRIGOMÉTRICAS INVERSAS Como las funciones trigonométricas son periódicas, entonces no son inyectivas por lo tanto no tiene inversa en todo su dominio. Para que existan las inversas de dicha funciones, se debe restringir el dominio de modo que sean inyectivas. Funciones Arco Seno * Sea la función: * Despejando x: * Intercambiando variables: y = arcsenx Además: * La función es creciente e impar * Graficando f y f * Función Arco Coseno Es una función decreciente. Función Arco Tangente * La función creciente e impar. Función Arco Cotangente FUNCIÓN ARCO SECANTE FUNCIÓN ARCO COSECANTE NOTACIONES PARA EL ARCO Todo arco o ángulos puede ser expresado en términos del valor de sus razones trigonométricas; así por ejemplo si se tiene que: , entonces es el arco o ángulo cuya R.T. es igual a “n”. Ejemplos: Expresiones Equivalentes Ejemplos: OBSERVACIÓN: Todo arco o ángulo se puede expresar de seis formas diferentes, todas ellas equivalentes entre sí, esto se debe a que son seis razones trigonométricas del ángulo arco que se puede calcular, es decir: ejemplo: Calcular: resolución: * Luego graficando: Ahora bien, esto ha sido una interpretación bastante simple, sin restricciones; lo cual no es lo más correcto, pero si lo más adecuado para recién exponer sus aspectos teóricos básicos con la rigurosidad que contiene. Definición: * Esto es: * Nota: Arcsen(-x) = -Arsenx Ejemplos: Definición: * Esto es: * Nota: Ejemplos: Definición: * Esto es: * Nota: Arctan(–x) = –Arctanx Ejemplos: Principales Restricciones propiedades principales Ejemplos: Ejemplos: Para aplicar la propiedad es necesario hacer un previo cambio: Luego: * Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos: Ejemplos:
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