700 PROBLEMAS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO PREUNIVERSITARIO PDF

1. Tú no puedes mover las fichas 1; 3 Y 7. ¿Cuántas fichas, de las otras, debesmover como mínimo para lograr que los números de las tres filas horizontales, las tres filas verticales y las 2 diagonales presenten la misma suma? CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION 2. Provisto de los signos (+)(-)(x), (+)y (y ) tienes que establecer correctamente las Igualdades. Colocando entre los números que están a la izquierda del signo = de tal manera que todas las lineas horizontales den como resultado el mismo 6. Usa lo menos posible el signo (y ). 222=6 666=6 333=6 777=6 444=6 888=6 555=6 999=6 ¿Cuántos signos Y has utilizado? A)l 8)3 e)4 0)5 E)2 RESOLUCiÓN: 2+2+2=6 6+6-6=6 3 x 3 - 3=8 7 + 7-7=6 4 + 4- v'4=6 8-VV'8+8=6 5 + 5+5=6 9-9 +V9~9~=~6~~ 1 Rpta. C I ® ¿Es posible encontrar dos números menores que diez que sumados resulte un cuadrado perfecto y multiplicados den un cubo perfecto? A) SI, es posible B) No hay esos números e) Son números Irracionales O) Son Imaginarios E) Ninguna anterior RESOLUCiÓN: Los números 8 y 1 cumplen la condición del problema. 1 Rpta. A I @ Entre Alfredo y Luis tienen menos de 6 hijos, Luis tiene más hijos que Ramón y aunque Alfredo tuviera un hijo menos, seguirla teniendo más hijos qua Ramón. ¿Cuántos hIjos tienen entre los tres? A)4 B)5 e)e 0)7 E)8 RESOLUCIÓN: Alfredo tiene 3; Luis 2 y Ramón 1 1 Rpta. C I ® Para el brindis por el cumpleanos de Fenmln, se ha servido vino a 60 personas en dos clases de copas: las más pequetlas eran de 30 mt y las más grandes eran de 40 mt. Para la ocasión se hablan comprado 3 botellas de vino de "a" litros, de las qua se gastaron oompletamente 2 y fue neoessrio abrir la tercera, para terminar de servir dos copas de las grandes. SI las damas brindaron con las 00- pas pequenas y los caballeros con las grandes. ¿cuántas damas estuvieron presentes? (1 litro =1 000 mt) A)28 B)30 C)32 E)35 E)36 RESOLUCiÓN: Se sirvieron 2080 mt. Estando las 60 copas, servimos 30 mta cada una, van 6Ox30 =1800 mt Con los 280 mi que nos quedan tenemos para completar 10 mi a 28 copas de las grandes. En consecuencia son 80 - 28 = 32 las damas. 1 Rpta. c I ® Un cajón de naranjas cuasta entre 30 y 60 soles y contiene entre 10 Y 30 naranjas, entonoss el precio de cada naranja varIa. A) entre 2 y 3 soles B)entre 1 y3soles C)entre 1 y6soles O) entre 2 y 3 soles E) el precio es único de 3 soles RESOLUCiÓN: Preciomáxlmo= 60 =6c/u 10 Preció mlnimo = -ªº- = 1 c/u 30 rl Rp-:--ta-. c-'I o Una acequia de regadlo debe atravesar2 chacras "A" y "B"; la primera de 320m y la segunda de 232m. Los propietarios contretan a un obrero por S/.92 y los 3 haosn el trabajo en partes Iguales. ¿euénto debe pagarel propietario de "A"? A) S/.24 B) S/.48 0)S/.60 RESOLUCiÓN: e)S/.52 E) S/. 68 El obrero cobró 92 soles por hacer (320+232) + 3 = 184 m, o sea 0.50 soles por metro. El propietario A, de los 320 m el mismo hizo 184 m, al obrero le pagó por 320 - 184 = 136m quea S/.0.5O porm resulta: 136 x 0.50 = 68 soles rl Rpta.---E-'I ® Se debe comprar objetos de 2 precios distintos, gastando exactamente SI. 1 020. Los precios por unidad son S/.4O y SI. 1 OO. ¿Cuél serIa la máxima cantidad de objetos que se podrla comprar? A)25 B)24 C)23 0)20 E) 18 RESOLUCiÓN: Oebemos comprar més del más barato. Los SI. 1 020 alcanzan para comprar 25 objetos de 40 soles soles sobrando 20 soles; entonces con estos 20 soles y 2 objetos de 40 soles, le consigue uno de 100;.- .__- , Total objetos: 25 -2+1 = 241 Rpta. B I :!) Un caminante ha recorrido 1000 m, unas veces avanzando otras retrocediendo. Si sólo ha avanzado 350 m. ¿Cuánto anduvo retrocediendo? A) 675 B) 820 C) 325 0)765 E) 460 RESOLUCIóN: Oe no haber retrocedido habrla avanzado 1000 m, como sólo avanzó 350 m, entonoss de los 1000-350 = 650m, la mitad (325 m) avanzó y la otra mitad (325 m) retrocedió. 1 Rpta. C I § Hallarel valorde "x' en: 24 =x-x +x-x ............ CID A)O B) 1 C)24 O) 12 E)48 RESOLUCIóN: Paradoia de Bo/zano 24 =x-Jx-x+ x-x ..... 00), 24 24=x-24 => I x=481 1 Rpta. E I :!Y L~sletrasA; B; C y O representan a 4 numeros enteros tales que al ser divididos entre 5, dejan siempre residuos diferentes de osro y diferentes entre si. ¿En qué cifra terminaA+B+C+O? A)En5 B)EnO C) En unaclfradlferentedeOy5 O) En 5 ó O E) No se puede saber RESOLUCIóN: Los números deben ser: 5+ 1; 5+ 2; 5+ 3; 5 +4; IUII9D (5+ 1)+(5 + 2)+ (,5+,3) + (5+4) =5 + +(1 +2+3+4)=5+5 =5 Si la suma es 5, entonces tenmlna en cero o cinco. [ Rpta. D I § ¿ Cuéles son las coordenedas del punto medio del segmento de la linea OP que se ha dibujado entre el punto (O; O)yel punto P(6; 4); A)(2,3) B)(12,8) C)(6,2) 0)(3,2) E)(1,4) RESOLUCiÓN: Punto medio = [ 6; 0 H 4;<> J =[~ ; ~) =(3,2) 1 Rpta. D I ~ Puaste en una balanza de dos platillos, un ladrillo se equilibra con % de un ladrillo y una pasa de % kg. ¿Cuánto pasa elladrillo? A)6kg B)4kg 0)1 kg RESOLUCIÓN: C)3kg E)2kg www.Matematica1.com www com . . M atematica1 : ladrillo < > ! kg 1 ladrillo < > 3 kg I Rpta. e I @ Se dan a multiplicar 18 y 25. Si se aumenta 12 unidades al multiplicando; en cuántas unidades hay que disminuir al multiplicador para que no varie el producto? A)8 B)5 C)12 D)10 E)12 RESOLUCiÓN: La multiplicación se puede escrlbir: 18x25 = 3x6x5x5 = 6x5x3x5=30x15 Puesto que 30 = 18+12y 15 = 25-10, se ve que al aumentaren 12 el multiplicando, el multiplicador debe disminuir en 10, para que no varie el producto. I Rpta. D I @ El producto de dos factores es2184; si el multiplicando aumenta en 5, el producto resulta 2444. Hallar los dos factores e indicarla suma. A)42 B)52 C)94 D)84 E)90 RESOLUCiÓN: El aumento del producto es 2444 - 2184 = 260. Al aumentar en 5 unidades el multiplicando, el producto aumenta en 5 veces el multiplicador, entonces este valdrá: 260 + 5 = 52 Y el multiplicando: 2444+52=42. I Rpta. el @ Con motivo de navidad, Julian ha comprado juguetes entre muñecas y carritos, gastando 45 soles. Las muñecas le costaron 7 soles y 4 soles los carritos. A cada amiguita le dio una muñeca y a cada amiguito, un carrito. ¿Cuántas amistades de Julian fueron beneficiados con los regalos? A)7 B)8 C)9 D)10 E)6 RESOLUCiÓN: Con 45 soles se puede comprar: 45ll.. 3 6 6 muñecas sobrando 3 soles. Vamos devolviendo las muñecas una por una, hasta que con los 3 soles mas el importe de las muñecas devueltas, se pueda comprar un número exacto de carritos de 4 soles. Compro 3 muñecas y6 carritos. I Rpta. el @ En un barco iban 300 personas, ocurrió un naufragio y de los sobrevivientes 1/8 eran peruanos y 1/11 eran chilenos, de los muertos 1/9 eran peruanos. ¿Cuántos peruanos iban en el barco? A)37 B)35 C)41 D)43 E)23 RESOLUCiÓN: El número de sobrevivientes debe tener octava y onceava parte: puede ser 88; 176 ó 264. El número de muertos debe tener novena parte, esto es posible si solo si: # Sobrevivienles = 264 # Muertos = 36 ••• Peruanos: 264+8+36+9=37 I Rpta.A I @ Se han de repartir 160 caramelos entre 45 niños de un salón, dándole 3 caramelos a cada var6n y 4 a cada niña. ¿Cuántas niñas hay en estaaula? A)24 B)25 C)23 D)20 E)22 RESOLUCiÓN: Dámosle 3 a todos gastando 3x45 = 135, nos quedan entonces 160-135 = 25, que nos alcanza para dar uno más a 25 niñas. I Rpta. B I @ Por la venta de cierto número de camisas se ha obtenido 2800 soles. Si cada camisa se hubiese vendido en 9 soles más, se habria recaudado S/.3520. ¿A qué precio se vendieron las camisas? A) 20 soles B) 25 soles C) 30 soles D) 35 soles E) 40 soles RESOLUCiÓN: El incremento de 9 soles en el precio de cada camisa, ocasiona un incremento en la venta, equivalente a 9 veces el número de camisas. Este incremento es 3520 -2800 = 720; en consecuencia, el número de camisases720+ 9=80 El precio: 2800 + 80 = 35 sFol=es",.---::""I I Rpta. D I ® Hallar dos números consecutivos cuyo prodUcto es igual a 2070. Indicarlasuma. A)50 B)80 C)86 D)81 E)91 RESOLUCiÓN: El menor de los números debe ser igual a la raiz cuadrada por defecto de 2070 quees-v2070=45. Entonces el mayores: ,.---..... 2070+45=46 I Rpta. E I ® Un observador ve relampaguear un rayo sobre la cima de un monte, al cabo de "n" segundos oye el trueno producido por dicho rayo. Calcular a qué distancia de la persona cayó el rayo, si: c = velocidad de la luz (mis) V. = velocidad del sonido (mis) A) CV. B) nCV. C)_n_ n(C-V.) C-V. C-V. D) n(C-V.) CV. RESOLUCiÓN: E) n(C+V.) C-V. En 1 segundo la luz recorre OC" metros y el sonido "V s" metros. Cuando llega la luz; ¿cuántos metros atrás está el sonido? como desde ese instante va a tardar n segundos en llegar, debe estar a nV. metros atrás. Luego: Recorriendo C metros, la luz le saca una ventaja de (C-V.) metros al sonido, ¿cuántos metros recorrió para aventajarlo en nV. metros? d = nVsC C-V. I Rpta.B I @ "A" puede caminar cierta distancia en 20 minutos y "B" puede caminar la misma distancia en 30 minutos. Si "A" parte 5 minutos después que "B". ¿Cuánto tiempo habrá estado caminando "B" antes de que lo alcance "A"? A)10min B)15min D)12min RESOLUCiÓN: " para B: En 30' En5' 11 d C)8min E)5min { AreCOrre 3d (-)Id " En 60 min B recorre 2d ~ Adescuentaa B, Id Lueoo: En 60 minAdescuenta 1 d en? minAdescuenta d/6 rl R-ta-A~I ?=10mlnutos . p. . @ Dos personas parten al mismo tiempo desde dos puntos "A" Y "B" en sentidos contrarios; en el momento que se encuentran, la primera habia recorrido 36 km más que la segunda. A partir de ese momento, la primera empleó 4 horas en llegar a "B" y la otra, 9 horas en llegar a "A". Hallar la distancia de Aa B. A)150km B)160km D)200km RESOLUCiÓN: C)180km E)240km "1" h "1" h A~~B ...... ................................ __ ~~ '.. ... ....................... .- -:1 9 h 4 h Lo que A recorre en "t"h B recorre en9h. Lo que A recorre en 4 h B recorre enth. ~t= 4 x 9 ~t2=36~t=6h t " Para A: En 6 h recorre 36 + e en 4 h recorre e ~e= 4(36+e) 6 6e=4x36+4e~e=72km :. AB=36+2e=36+2(72)=180km I Rpta. el @ Todos los dlas sale de Cusco a Arequipa un ómnibus a 40 km/h. Este se cruza siempre a las 11 h con un ómnibus que va de Arequipa con una velocidad de 35 km/h. Cierto dla el ómnibus que va de Cusco encuentra malogrado al otro a las 12:45am. ¿Aqué horas se malogró ese ómnibus? A) 12:45 B)II:00 C)10:45 D) 10:00 E) 9:00 RESOLUCiÓN: El ómnibus de Cusco recorrió del punto habitual de encuentro hasta 4 encontrarlo malogrado, durante 1'3 h www.Matematica1.com cubriendo 40 x [1 ! J= 40 x ~ = 70 km. En consecuencia el ómnibus de Arequipa se malogr6 fallándole 70 km para el punto de encuentro, lo cual iba a cubrir en 70 + 35 = 2h. Por lo tanto se malogró 2 h antes de las 11,oseaalas9am. I Rpta. E I @ Diariamente Mónica sale del colegio a las 13 h Y su padre la recoge puntualmente en la puerta del colegio para llevarla a casa. Un d la, Mónica salió a las 12h 40min. yfue caminando al encuentro de su padre, éste la recogió en el camino y llegaron a casa 24 minutos antes que de costumbre. ¿Cuánto tiempo estuvo caminando Mónica antes de ser recogida? A)8min. B)16min D)20min. RESOLUCION: C)48min. E)24min. El ahorro de 24 mino es debido a que el padre evitó llegar hasta el colegio Este ahorro de 24 mino significa que el padre habria tardado 12 mino en ir del punto de encuentro hasta el colegio, lo que implica que encontr6 a Mónica 12 mino antes de las 13 h, o sea a las 12 h48 mino Por tanto, Mónicaandó de 12h 40 mino hasta 12 h 48 mino es decir, durante 8~m~in~.,-~ I Rpta.A I ® Un tren que viaja a 60 km/h, tarda un minuto en salir de un túnel de 800 m de longitud. ¿Qué longitud tiene el tren? A)200m B)400m D)800m RESOLUCION: C)600m E)1000m Se sale de la mitad para afuera: 11 al 400 m 800 m .. tu al 400 m El tren recorre: 60000 m en 60 mino 400 + Lten 1 mino 400 + Lt 1 x 60000 60 ~ Lt=600min. Lt I Rpta. el ® Para ir de A, a C, un ciclista se demora 5 h. El trayecto es ascendente desde A hasta B y descendente de B a C. La subida lo recorre a 20 kmlh Y la bajada, a 30 km/h. Si la longitud del trayecto AC es 120 km. ¿a qué distancia deA, está ubicado B? A)60km B) 50 km D)55km RESOLUCION: C)70km E) 65 km Si las 5 h corriera a 20 km/h, avanza sólo 100 km; faltarían 20 km. Quiere decir que 2 horas viaja a 30 km/h, recuperando en cada hora 10 km (en la bajada). :. DeAa B va a 20 km/h durante 3 h~AB=3x20=60km. otro Método Sea "r' horas el tiempo deAa B ~ (5 -t)el de B a C. Si en 1 h se corre 20 km, en t horas recorre 20 t: AC= 120km~20t+30(5-t)= 120~ t=3 r-----.. AB=20t=20(3)=60km.l Rpta.A I @ Dos ómnibus salen de Cusco hacia Arequipaa las 17 h; el ómnibus A, a 40 km/h Y el B a 36 km/h. ¿Qué horas, el ómnibus A le ha sacado una ventaja de 24 km al B? A)20h B)21h D)22h RESOLUCION: C)18h E)23h En cada horaAle saca a B, 40 - 36 = 4 km de ventaja, entonces para sacar 24 km de ventaja requiere 24 + 4 = 6 horas. Esto se producirá a la 17 +6=23h. I Rpta.EI @ Un ciclista va por una carretera, con velocidad constante y observa que el poste kilométrico indica ab km. Luego de una hora de recorrido, nota que el poste kilométrico indicaba ba km y una hora más tarde se encuentra en el km aOb. ¿Cuál es la velocidad del ciclista? (En km/h). A)32km/h B)30km/h C)40km/h D)45km/h E)50km/h RESOLUCION: 1 h 1 h O~ ~ba-ab=aOb-ba (10b+a) - (1 Oa+b) = (1 OOa+b)( 10b+a) 9b-9a=99a-9b 18b=108a{ b=6 ~b=6a a=l :. Velocidad =61-16=45km1h I Rpta. D I @ Dos nadadores se lanzan simultáneamente de las orillas opuestas de un río yse cruzan a 12 m. de la orilla más próxima. Tras llegar a sus destinos inmediatamente regresan cruzándose esta vez a 6 m. de la otra orilla. En cada momento ellos nadan con rapidez uniforme. ¿Será posible, con estos datos, calcular el ancho del río? A)18m B)20m D)30m RESOLUCION: C)24m E) F. D. Hasta el primer en- ~12m B cuentro, entre ambos han cubierto 6m un ancho del río. A Hasta el segundo encuentro, entre ambos, han cubierto 3 anchos del río. El nadador B recorrió 12 m. hasta el primer encuentro, entonces hasta el segundo encuentro habrá recorrido 12 x 3 = 36 m. Por tanto el ancho del ríoes36-6=30m. I Rpta. D I ® Un policla de carreteras situado a 188 km de la frontera con Bolivia, recibe la comunicación de que a 48 km delante de él, unos malhechores están fugando en un auto rojo a 80 kmlh ¿A qué velocidad debe correr el patrullero para alcanzar a los fugitivos antes que crucen la frontera? A)100km/h B)105km/hC)106km1h D)107km/h E) 108 km/h RESOLUCION: Alos malhechores les falta 188 - 48 = 140 km para alcanzar la frontera, corriendo a 80 km/h cruzarán la frontera en 1,75 h; esto es, debe correr a más de 188+1,75 = 107,4 km/h I Rpta. D I @ La ciudad de lca se encuentra en el km 340 de la Panamericana Sur. ¿Qué hora debe salir de Urna para estar en la fiesta de la Vendimia de lca a las 10 de la noche? iAh! ... te informo que los ómnibus corren por la Panamericana a 85 km/h. A)15h B)16h D)18h RESOLUCION: C)17h E) 19h Puesto que cada hora recorre 85 km, el viaje dura 340 + 85 = 4 h. Por tanto, debes salir 4 h antes de las 22 h, oseaalas18h. I Rpta.DI @ Un tren demora 3 minutos para pasar por delante de un observador y 8 minutos para atravesar completamente el túnel de 250 m de longitud. ¿Con qué rapidez corre el tren y cuál es su longitud? A)60m/min, 150m B)60m/min, 180m C) 50m/min, 175m D)50m/min, 150m E)50m/min, 180m RESOLUCION: Para pasar por delante de un observador recorre su propia longitud (Ltr) \~~ www.Matematica1.com www com . . M atematica1 ~ Ltr Ltu Mt:TODO(1) Sea V la de rapidez del tren: Ltr=3V (1)}de(2):V=50 m/min Ltr+Ltu=8v(2) en(1):Ltr=150m 3V250;;, Mt:TODO(2) Le toma 3 min cubrir su longitud y 8 min cubrir su longitud y 250 m más, entonces 5 de los 8 min utilizó para cubrir los 250 m. Por tanto, corre a 250 + 5 = 50 m por minuto y su longitudes3x50= t50m. @ Coquín le comenta a su amigo: "Mi colegio queda muy lejos de mi casa, tardo 2 horas en llegar, viajo media hora a pie y hora y media en carro". ¿Cuántos kilómetros viaja Coqurn, si él camina a razón de 5 kmlh Y el carro lo lleva a 30 km/h? A)42,4km B)45,Okm C)47,Okm D)47,5km E)50km RESOLUCiÓN: Caminando: En 1 h recorre 5 km "" En 1/2 h recorre 2,5 km En carro: En 1 h recorre 30 km "" En 1 Y, hora recorre 45 km :. Viaja 45 + 1 Y,=47,5km rl Rp=--CtJJ-.-:D"1 @ Dos automóviles se encuentran en dos ciudades separadas por 160 km de carretera. Ambos parten simultáneamente a razón de 50 km/h Y 30 km/h respectivamente. ¿Luego de cuántas horas se encontrarán a) Si parten en sentidos contrarios (al encuentro)? b) Si parten en el mismo sentido siguiendo la misma canretera? A) a)2h B) a)2h C) a)3h b)8h b)6h b)6h D) a)3h E) a)2h b)8h b)10h RESOLUCiÓN: A) Momento de partida ~kmlh 30k~ Momento de encuentro c65>~) En una hora el l' se acerca 50 km al otro y éste 30 km al 1 '; en una hora se acercan 50 + 30 = 80 km. Para acercarse 160 km necesitan 160 + 80=2h. b) Momento de partida ... 2 • •• ~I 160 kmlh Momento de encuentro 160 kmlh En una hora el l' avanza 50 km, el 2', 30 km; entonces e11' descuenta al 2', 50 - 30 = 20 km en cada hora. Para alcanzarlo debe descontarle los 160 km que le separa; ésto le tomará 160 + 20 = 8 horas I Rpta. A I @ Cuatro hombres y dos muchachos tienen que cruzar un río en una canoa; en cada viaje puede ir uno de los hombres o los dos muchachos, pero no un hombre y un muchacho a la vez. ¿Cuál es el número de veces que la canoa tiene que cruzar el río. en cualquier sentido, para que pase a todos? A)4 B) 12 C)5 D) 16 E) 17 RESOLUCiÓN: 1 ' Cruzan 2 muchachos 2' Retoma uno de los muchachos 3' Cruza un hombre 4' Retoma el otro muchacho Hasta aqur, con 4 viajes ha cruzado un hombre, con 3 x 4 = 12 viajes, cruzan los 3 hombres restantes, quedando los dos muchachos en la primera orilla, que en 1 viaje más logran cruzar. :. Total=4+12+1=171 RptJJ.EI ® En un circuito cuadrado compiten dos ciclistas, ambos llevan rapidez uniforme. Se cruzan por primera vez en una esquina, el segundo cruce también ocurre en una esquina, pero diferente a la primera. El tercer cruce también ocurre en otra esquina. Si la rapidez del más lento es 5 metros por segundo ¿cuál es la rapidez del otro? A) 10 mis B)15m/s D)16m/s RESOLUCiÓN: C)20m/s E)25 mis La rapidez del otro debe ser tres veces la del más lento, I RptJJ. B I osea 15m/s. ® Una escalera cuelga de un bote, de modo que el último peldaño queda a 20 cm por encima del nivel del agua. Los peldaños están igualmente espaciados 40 cm. Si la marea sube 50 cm por hora, ¿cuánto tiempo demora el agua en cubrir 5 escalones? A)3h B)4h D)4,5h RESOLUCiÓN: C)3,5h E) Nunca Nunca, porque la escalera sube junto con el bote. I RptJJ. E I @ Pueda que la pregunta te parezca absurda, hasta puedas pensar que el autor está loco, r¡s.. pues ... tienes ra... ~ digo, no hay razón. Es un asunto de lo = más cienlffico. - ¿Cuándo te mueves más de prisa con respecto al Sol, de día o de noche? A) De día B) De noche RESOLUCiÓN: La tierra tiene dos movimientos con relación al Sol: traslación y rotación. En el hemisferio donde es de día, la velocidad de rotación se resta a la de traslación. En el hemisferio donde es de noche, ésta se suma. Por lo tanto, por la noche nos movemos más rápido con relación al Sol. I Rpta. B I @ La figura adjunta representa una habitación cuadrada de 6 m de lado. En las esquinas opuestas de la habitación aparecen un gato y un ratón que se divisan simultáneamente. Tanto el gato como el ralón pueden correr con la misma rapidez. ~r---- Orificio Ratón De las afirmaciones, indique la más acertada. A) El gato no atrapa el ratón B) El gato atrapa al ratón C) Ambos llegan simultáneamente al orificio. D) Los gatos no cazan ratones E) El ratón enfrenta al gato RESOLUCiÓN: En cuanto se divisan, el ratón corre hacia el orificio, mientras que el gato corre siempre dirigido al ratón, describiendo una trayectoria curva y más larga. 1 RptJJ. A I ® ¿De cuántas maneras puede ordenarse 6 hojas de examen, si deben quedar de tal manera que la hoja menor contestada y la peor contestada queden juntas? A) 120 B)240 C)360 D)720 E)540 RESOLUCiÓN: Considerando pegadas las dos hojas las tomaremos como un solo elemento. El número de permutaciones con 5 elementos tomándolos todos a la vez resulta: 5x4 x3 x2 x 1 = 120 Pero las dos hojas puedan estar pegadas en dos posiciones, entonces: # Maneras = 120x2 = 240 1 RptJJ. B I www.Matematica1.com @ ¿De cuántas maneras puede repartirse 12 objetos diferentes entre 4 personas? A) 720 B)1440 D)1188 RESOLUCION: C) 1200 E) 1278 Personas {A BCD .j. .j. .j. .j. # Formas {12xll xl0x9=1188 [Rpta. D I @ Cada país de los tres que forman un mapa es pintado de diferente color. ¿De cuántas maneras diferentes puede ser pintado el mapa si se dispone de cuatro colores? A)4 B) 12 C)24 D)36 E)48 RESOLUCION: MAPAS A B C .j. .j. .j. 4x3x2=24 [Rpta. el @ Con cinco colores: Blanco, Rojo, Negro, Azul y Amarillo (siempre utilizando el amarillo). ¿Cuántas banderas de tres franjas horizontales de distintos colores se podrá formar? A)12 B)24 C)36 D)48 E)18 RESOLUCION: Puede ""par 1\ AMARILLO cualquiera de ~ COLOR 1 los 4 colores restantes COLOR 2 Puede ocupar cualquiera de los 3 colores restantes I # Banderas =4 x 3 = 12 I Puesto que el amarillo puede ocupar cualquiera de las 3 franjas: # total de banderas = 12x3=36. [Rpta. el @ Un alumno tiene que ir 5 días al colegio y puede escoger cualquiera de 4 transportes. ¿De cuántas maneras puede realizar los viajes al colegio, durante los 5 días? A) 24 B)256 D)1024 RESOLUCION: C)120 E) 2048 ,---,....,------, Olas I 1· 1 2·1 3·14·15" 1 Trans- 2 2 2 2 2 { 1 1 1 1 1 portes 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 N" de maneras { 4x 4 x 4 x 4x4 = 1024 [Rpta. D I @ Se escriben al azar los dígitos 1; 2 Y 3. ¿En cuántos casos pueden estar desordenados? A)6 B)5 C)4 D)3 E)10 RESOLUCION: 999 3x2xl=6 Los números pueden ser escritos de 6 maneras, en las cuales s610 123 y 321 están ordenados. Luego: # de casos desordenados 6 - 2 = 4 [ Rpta. C [ @ ¿Cuántos números de 3 cifras se puede formar con los dígitos 3,5,7, 4 Y 8, sin repeMos en el mismo número? A)30 B)60 C)120 D)72 E)48 RESOLUCION: Son 5 dígitos a b c J. .j. J. 5x4x3=60 [Rpta.B I @ Seis niños participan en un concurso de ajedrez. Cada uno de ellos tiene que jugar una partida con cada uno de los demás ¿Cuántas partidas se jugarán en total? A)10 B)12 C)15 D)20 E)30 RESOLUCION: Cada uno de los 6 juega 5 partidas, en consecuencia son 6 x 5 = 30 partidas. Pero en el rozamiento estamos contando los partidos de ida y vuelta. Ya que se trata de partidos de una sola vuelta, son: 30 + 2 = 15 solamente. [ Rpta. e I @ Una de las personas que asistió a una reunión observó que los apretones de manos entre los asistentes fueron 78. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión? A)12 B)13 C)14 D)15 E) Ninguna RESOLUCION: Si "n" es el número de personas, cada una saludo a (n-l) personas, entonces hubieron n(n-l) apretones de mano; pero aquí estamos contando dos veces cada saludo; luego n(n-l) # apretones = = 78 2 ~n(n-l)=13xI2 In = 131 [Rpta.B I ® En una bicicleta hay 10 libros latinos y 6 griegos. ¿De cuántas maneras se puede colocar 5 libros en un estante, de los cuales 3 sean latinos y 2, griegos? A) 1200 B)1500 D)1800 RESOLUCION: C)1600 E) 600 C10 xC6 =ll0X9X8]16X5] = 1800 32L3x2L2 [r:R=-p.,...ta.--:D"1 ® Se tira un dadode6carasyun dado chino de cuatro caras. El número de maneras diferentes que pueden caer éstos es: A)6 B) 10 C)24 D)20 E)36 RESOLUCION: pado ;omún, padoychino, 6 x 4 =24 [Rpta. C I @ Pedro, Luis, José, Juan, Hugo, Jorge y Carlos; son candidatos para formar parte dela comisión de delegados del salón. Si esta comisión debe tener 3 miembros. ¿Cuántas comisiones diferentes se puede formar con dichos candidatos? A)42 B)35 C)32 D)30 E)70 RESOLUCION: Son 710s candidatos . Para formar una comisión, no interesa el orden, cada comisión es un grupo de 3 elementos, luego: #C .. 7x6x5 35 omisiones = 32 = r=-:--=-> x [Rpta.BI ® Hay 5 finalistas en el concurso de Aritmética, 6 en Biología y 4 en Lógica, de cada curso debe haber un ganador. ¿De cuántas maneras pueden clasificarse los ganadores, si todos están en la posibilidad de ocupar el primer lugar? A)24 B)30 C)60 D) 120 E) 180 RESOLUCION: Cursos: { A B L J. J. J. 5x6x4 =120 [Rpta.DI ® En una biblioteca hay tres libros de Geometría y seis libros de Algebra. ¿De cuántas maneras se puede seleccionar dos libros, uno de Geometría y el otro deAlgebra? A)9 B)15 C)16 D)18 E)21 RESOLUCION: Cursos: { Geom. Alg. ~ ~18[RPta.DI @ ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal de las letras de la palabra RAZONAMIENTO? A)10 B)15 C)20 D)24 E)18 RESOLUCION: ~~ 5 x 4=20 [Rpta.cl @ Estoy en una juguería. Veo papaya, plátanos, piña, durazno. Deseo un jugo de dos frutas; ¿cuántas opciones tengo para escoger? A)4 B)6 C) 12 D) 18 E) 15 RESOLUCION: Cada opción es la combinación de 2 frutas. No interesa el orden. Luego: #opciones= 4;3 =6 [Rpta.BI @ El mayor número de banderas diferentes que se puedan construir disponiendo de 3 colores y con máximo de 2 costuras es: A)18 B)6 C)12 D)9 E)15 RESOLUCION: SeanA, By C los colores: 1· Sin costura: A, ByC-+3 banderas 2· Con 1 costura: AB, AC y BC -> 3 banderas. 3· Con 2 costuras: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA,ABA, BAB,ACA, CAC, BCB, CBC-+ 12 banderas. www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Total=3+3+12=18 [Rpta.A I @ De una urna que contiene 20 pares de guantes rojos y 10 pares de guano tes blancos, se van extrayendo uno por uno sin reponerlos. ¿En cuántas extracciones se tendrá la plena seguridad de tener un par de guantes utilizables del mismo color? A)3 B)2 C) 10 0)21 E)31 RESOLUCiÓN: Para tener la seguridad, debemos ponernos en un caso extremo de infortunio. Las primeras extracciones pueden ser de puros guantes izquierdos, que con seguridad se acabarían en la 30ava. extracción. La 31 ava. debe ser un guante derecho del color que fuera, con uno de los izquierdos hacen un par utilizables del mismo color. [ Rpta. E I @ En una caja se tiene diez fichas numeradas de 1 al 10. De la caja se sacan tres fichas. ¿Cuántas posibilidades se tienen de conseguir que la suma de los números de las fichas sea9? A) exactamente 5 B)másde5 C) más de 5 y menos de 8 O) menos de cinco E) Ninguna RESOLUCiÓN: Anotando las posibilidades: 1 + 3 + 5 = 9 Hay 4 posibilidades 1 +2+6=9} 2+3+4=9 • 2+2+5=9 [Rpta.DI @ ¿Cuántas veces debemos lanzar un dado para obtener al menos 2 veces la misma puntuación? A)2 B)4 C)5 D)6 E)7 RESOLUCiÓN: En 6 lanzamientos hay la posibilidad de obtener puntos diferentes en cada lanzamiento, pero en el séptimo lanzamiento se repite con seguridad uno de los puntajes. [ Rpta. D I ® Calcular el número total de puntos de intersección de 100 circunferencias como se muestra en la figura (formando un anillo de 100 circunferencias). A)100 B)200 0)400 RESOLUCiÓN: C)150 E) 500 Por cada circunferencia hay 2 puntos de intersección: I # puntos = 100'2=200 I Rpta. B @ Definitivamente esta balanza está "chiflada". En una balanza "cuerda", ¿con cuántos conos se equilibra el ladrillo? t;I:(;4: -(#/ -f2L/ :::L Ó, / :::L A)1 B)2 C)3 0)2,5 C)3,5 RESOLUCiÓN: Platillo: Derecho Izquierdo 4 conos ++ liad liad ++ 1 cono 11 d= 1 cono'4conos ~ a liad (1 lad)2=4 conos2 111ad = 2 conos I [Rpta. B I @ Edmundo ve desde la ventana de su casa que las personas allí reunidas en la plaza, se han dado en total 210 apretones de manos. Diga Ud. ¿Cuántas personas ha visto? Cada una saluda una vez a cada una y todas se saludaron. A) 15 B) 14 C)20 0)21 E)24 RESOLUCiÓN: Si "n° es número de personas, cada una saluda a (n-l) personas, entonces el número de saludos es n(n-l); pero aqu i estamos considerando 2 veces cada saludo. Por tanto: #saludos = n(n-l)/2 = 210 n(n-l)=21'20 I n=211 [Rpta. D I @ Una arañita se encuentra en el vérticeAdelladrillo, como se indica en la figura. En el vértice B, se encuentra la entrada a su nido que está debajo del ladrillo. ¿Cuál es la longitud de la trayectoria más corta que describe la arañita para llegar a B? A)15 B)19 C)14,8 0)19,2 E) 14,5 RESOLUCiÓN: Desarrollando convenientemente: , A '"~,~~ Q 2 B 9 Q 2 B PorT. de Pitágoras: AB=VW+ 102= 14,8m [Rpta. C I @ Del aeropuerto de Juliaca sali~ un avión en dirección al Sur, recomendo 800 km; entonces viré al Este recorriendo 800 km, volvió a virar al Norte y recorrió otros 800 km. Por último viré al Oeste recorriendo 800 km, entonces se precipitó a Tierra. ¿Dónde cayó el avión? A) En Juliaca B)EnPuno C)AI Este de Juliaca D)AI Surde Juliaca E)AI Norte de Juliaca RESOLUCiÓN: ~ En 800 km debemos tener en cuenta la i, . ~ curvatura terrestre. El·,. - avión se precipitó al . - Este de Juliaca. JULlACA [Rpta. C I @ La reyna "Vanidosa 1" compré 27 perlas, todos del mismo color y tamaño. Días después de la compra, informaron a la reyna, que una de las perlas es falsa, la cual podría identificarla por pasar menos que las demás. Inmediatamente la reyna encargó a uno de sus ministros la identificación de la perla falsa. ¿Cuántas pesadas tuvo que efectuar el ministro, si para ello utilizó una balanza de 2 platillos? A)1 B)2 C)3 0)14 E)27 RESOLUCiÓN: Ira. Pesada ~r"i::';'j 2da. Pesada ~r"i::'';'j 3ra. Pesada ~ Perla Falsa ..... [RPta.cl @ - No hay duda. La vrctima se resistió al asalto. La esfera del reloj ha quedado partida en tres -dijo el poliera. - iQué casualidad! -hizo notar su compañero-- si sumamos los números de cada pedazo, resultan iguales. ¿Cómo quedó dividido el reloj? RESOLUCiÓN: Disponiendo los números del 1 al 12 tal como en el cuadro: 1 2 3 4 5 12 11 10 19 8 6 7 la suma de cada pareja resulta 13. Resulta fácil percatarse de cómo deben formar los 3 grupos. @ Estás preparando un exquisito pastel en tu horno microondas. Pero resulta que el reloj del horno está malogrado y lo único disponible son dos relojes de arena de 3 y 5 minutos. ¿Podrás medir con estos dos relojes de arena los 7 minutos de cocción que requiere el pastel? A)Sí B)No www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: Si, es posible. Pones a funcionar los dos relojes. Cuando acabe el reloj de 3, introduces al horno el pastel. Cuando el reloj de 5 haya acabado, el pastel habrá estado en el horno 2 minutos. Inmediatamente das media vuelta y cuando haya acabado este reloj de 5 retiras el pastel del horno. I Rpta.A I @ El hermano de Elisa tiene un hermano más que hermanas. ¿Cuántos hermanos más que hermanas tiene Elisa? A)O B) 1 C)2 D) 3 E) No se puede saber RESOLUCiÓN: /i Hno.de Elisa I Tengo un hermano I més que hermanas I L---'--_--' [ Rpta. D I @ Hay cinco copas de vino sobre la mesa, ordenadas en fila e intercaladas entre una vacla y otra a mitad. ¿Cuántas copas es suficiente mover para alterar el orden, de manera que queden tres vacias de un lado y dos a mitad del otro lado? A) 1 B)2 C)3 D)4 E)5 RESOLUCiÓN: Levanta una de las copas a mitad y vaclala en el vaso ubicado en el extremo opuesto. [ Rpta. A I ® Un cultivo de microbios se colocaron en un matraz a las 2 de la tarde. En cada minuto estos seres diminutos se duplican. ¿A qué horas el matraz estaba a la mitad de su contenido, si a las 3 de la tarde ya estaba lleno? A)14h20 B)14h30 C)14h40 D)14h48 E)14h59 RESOLUCiÓN: Puesto que se duplica en cada minuto, el minuto anterior a las 3 de la tarde estuvo a la mitad. I Rpta. E I @ Debemos colocar 6 litros de agua en un recipiente y tenemos un balde de 4 litros y otro de 9 litros de capacidad ninguno de los baldes tiene marcas que indique cantidades más pequeñas. Usando dos baldes. ¿es posible medir los 6 litros que necesitamos? A) es posible B) sólo en forma aproximada C) no se puede responder D) pregunta mal formulada E) no es posible RESOLUCiÓN: Sean: ,.----"'31¡ ,,, ,, , ,, ,, ,, ,,, ,, , ,, ' .. ~ ......... ' A B C 9 tenA. DeA4 ta B, =:> queda 5 en A. Vaciar B. De A a B, 4 t =:> queda 1 t en A. Vaciar B y pasar el litro de Aa C. llenarA. DeAa B 4 t=:>queda 5 t en A, los cuales vertír a C. I Rpta.A I @ Un mono trepa 30 pies al comienzo de cada hora y resbala 20 pies en el transcurso de la hora. Si comienza su ascenso a las 9:00 a.m. ¿A qué hora hará el primer contacto con un punto a 120 pies del terreno? A)4pm B)5pm C)6pm D)7pm E)8pm RESOLUCiÓN: En cada hora avanza 30 - 20 = 10 pies. En 9 horas o sea a las 18 h estará a 90 pies del terreno. Al iniciar esta hora, trepa 30 pies y hace contacto con un punto ubicado a 90 + 30 = 120 pies del terreno, es decir, al iniciarlas 18h(6p.m.) [Rpta. e I @ Estas anchovetas están cansadas de viajar en la formación A, para romper la monotonla quieren viajar en la formación B. Mrnimamente, ¿cuántos de ellos deben cambiar de posición? ~~~ ~~~~~ ~0~~ ~~ A B A)3 B)5 C)6 D)7 E)4 RESOLUCiÓN: ..o, ,;:;c~ 00~'0J10 ~e~~e ~ee~0 ~ ~ '!~.;10 [Rpta. el @ Un joyero llegó a un pueblo buscando posada para quedarse durante 7 dias. Una vez encontrado y como no disponia de efectivo ofreció pagarle con una barra de 7 cm de oro. El posadero aceptó la oferla, pero con la condición de que el pago se hiciera diariamente y por adelantado. ¿Cuántos cortes como mrnimo tuvo que realizar el joyero sobre la barra de oro, para efectuar el pago diario? A)7 B)6 C)4 D)2 E) 1 RESOLUCiÓN: Divide la barra en tres trozos de 1, de 2 y 4 cm. Eller. dia paga con el trozo de 1 cm; el 2do. dia con el de 2 cm y recibe de vuelto el de 1 cm con el que pagó el dra anterior, ... etc. Asr puede efectuar los 7 pagos diarios. [Rpta. D I @ El carpintero que construyó el corral para las ovejas de la señorita BoBeep descubrió que podia ahorrarse dos postes si el campo a cercar fuera cuadrado en lugar de rectangular. "De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas", dijo, ·pero si es cuadrado habrá un poste donde atar cada oveja". ¿Cuántas ovejas habra en el famoso rebaño? Se supone que en ambas formas los postes estaban separados por iguales distancias, que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas (SAM LOYD). A)8 B)9 C)12 D)16 E)15 RESOLUCiÓN: I I I I I D [RPta.A I @ En una habitación hay cierto número de niños. Cada uno de los niños ve 5 niños. ¿Cuántos niños hay en la habitación? A)5 B)6 C)20 D)25 E)30 RESOLUCiÓN: "Tomemos· uno de los niños. Este niño ve 5 niños en la habitación. Con él son 6 niños. Aplique el mismo razonamiento para cada uno. [Rpta. B I @ Aqur tienes una figura hecha con palitos de fósforo. A) Mueve 4 palitos y forma 2 cuadrados. (No vale dejar "cabos sueltos") B) Mueve 3 palitos y forma 3 cuadrados. C) Retira un palito y forma 3 cuadrados. RESOLUCiÓN: @ En este marco de letras se esconde un refrán conocido. Intenta leerlo. Empieza por una de las letras y, saltando siempre una, da dos veces la vuelta al marco. ¿Cuál es ese refirán? Indicar la última letra. www.Matematica1.com www com . . M atematica1 MRIALFPIA G C R L N O O A U V PSEALRAB A)A B)E C)S D)O E)R RESOLUCiÓN: El refrán es: UN GRÁFICO VALE POR MIL PALABRAS. La última letra esS. I Rpta. el @ Un niño tarda 2 horas en ver un programa de televisión. ¿Cuánto tardarán 3 niños en ver el mismo programa? A)4h B)6h C)8h D)2h E)3h RESOLUCiÓN: Dos horas. Por más niños que vean el programa, éste dura el mismo tiempo. I Rpta. D I ® Calcular el valor de "E" E=2+ 12+36+80+ ... + 1100 A)2710 B)2640 C)2810 D)2570 E)2610 RESOLUCiÓN: Desdoblando: E = (1'+1')+(2'+2')+(3'+3')+(4'+4')+ ... +(10'+10') E = (1'+2'+3'+ ... +10')+(1'+2'+3'+ ... +10') ~~ n=10 n=10 E=[fT- 10(~)21 IE-2Mol ~[Rp-ta-.B~I @ En un cuadrado cuya área es igual a su perímetro se Inscribe una circunferencia. Calcular la suma de todas las circunferencias concéntricas cuyo radio es la mitad de la mayor. A)B1t B) 14" C) 157< D) 12" E) 18" RESOLUCiÓN: Del gráfico: L Del gráfico: 2R=4 -> R=2 Por dato: L'=4L L=4 Sumando todas las circu nferencias: S = 2"(2)+~~(1)+2,, m+2"[¡}".]'=5984 1 S=S/. 59841 [RPta. B I @ Sobre el suelo se ha dibujado un pollgono de 24 m de lado. Un corredor se para sobre un vértice y recorre todo el polígono; luego repite el proceso sucesivamente recorriendo en cada vuelta un lado menos, si ha recorrido en total8M m. ¿Cuántos lados tiene el polígono? A)7 B)8 C)6 D)9 E) 10 RESOLUCiÓN: Sea: "n° -> n lados del polígono S = 24n + 24(n-l) + 24(n-2) + ... + + 24(3) + 24(2) + 24(1) S = 24[n+ (n-1)+ (n-2)+ ... + 3+ 2 + 1] 864 = 24n(n+1) 2 72 = n(n+l) 8(9) = n(n+l) L........I 18=nl I Rpta.B I @ Un móvil "A" sale con 600 m de ventaja sobre otro móvil "B". "A" anda 1 m en el primer segundo; 2 m en el segundo, 3 m en el tercero y asl sucesivamente; "B" anda 1 m en el primer segundo; 4 m en el segundo, 7 m en el tercero y asf sucesivamente ¿Cuánto tardará "B" en alcanzar a nA"? A) 16s B)24s D)25s RESOLUCiÓN: C)18s E)30s El móvil "A" en "n" segundos recorre n(n+l) 1 +2+3+ ... +n= --- metros 2 El móvil "B" en "n" segundos recorre n(l + t,) 1+4+7+ ... +t, 2 Pero: t,=1+(n-l)3=3n-2 Luego: n(3n-1) 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2) = --2- metros Finalmente en "n" segundos el móvil "B" le descontará los 600 m de ventajaa" A". n(3n-1) _ n(n+l) =600 2 2 3n2 -n-n2-n=12oo 2n2-2n=1200 n2-n=600 n(n-l)=25(24) T T 1 n = 25 segundos 1 I Rpta. D I @ En el trabajo de perforación de un pozo de cierla profundidad; el costo es de S/.6 para el primer metro y S/.4 más para cada metro adicional; si el costo de la perforación total es S/.720 ¿cuál es la profundidad del pozo? A)12m B)16m C)18m D)20m E)15m RESOLUCiÓN: Sea "n" metros la profundidad Metro: 10 2° 3° n° .j. .j..j. .j. Costo: 6+10+14+ ... +t,=720 Pero: t,=6 + (n -1)4 =4n +2 Luego: 6+ 10+ 14+ ... +(4n+2)=720 Sumando: n(6+4n+2) 2 720 n(8 + 4n) -720 2 Simplificando: n(2 + n) = 360 n(2+n)=18(20) T T 1n = 18 metros 1 r[R p:--ta-.c ~1 @ Sobre un terreno hay colocadas 10 piedras distantes una de otra 8 m. ¿Cuánto tendrá que recorrer una persona que tenga que llevarlas una a una a un camión colocado a 12 m de la primera piedra si la persona se baja del camión? A) 960 m B)840m D) 760 m RESOLUCiÓN: Graficando: C)920m E)1100m Si empieza desde el camión siempre recorrerá en traer cada piedra el doble de la distancia que hay en el camión ydicha piedra luego: n° piedra: 10 2° 3° n° .j. .j..j. .j. S=2(12+20+28+ ... +84) www.Matematica1.com S 2 10(12+84) = x =960m 2 IS=960ml I Rpta.A I @ En forma de una pirámide triangular regular se usaron 56 esferas ¿Cuán· tas esleras conlorman la base? A)20 B)21 C)18 D)16 E)24 RESOLUCiÓN: o 1 3 6 10 '--/f'--/f'---'" 2 3 4 SUCo de números triangulares (Suc. cuadrática) 1,3,6,10,15,21, ... Fórmula general: ~~-- [t,=~l Sumando hasta obtener 56 esferas en total. base ,¡. 1 +3+6+10+ 15+21 =56 Finalmente en la base habrá el mayor número de esferas quees21. I Rpta. B I @ Hallar"S" S=7x8x8x9x9x 10+ ... +24x25 A)5216 B)5318 C)5088 D)5415 E)5010 RESOLUCiÓN: Completando los productos binarios S=(1 x2x2x3+ ... +24x25) -(1 x2x2x3+ ... +6x7) S 24(25)26 _ 6(7)8 = 5088 3 3 ~-----, I Rpta. C I @ Resolver: 3 = 1 + a + a2 + .... 00; si: O < a < 1 A) 1/3 B)314 C) 1/2 D)2/3 E)3/5 RESOLUCiÓN: 3=1+8+82 + ... 00 '-xa" ''x-a'" 3= 1- 1-a 3-3a= 1 [23 =a [ I Rpta. D I ® Hallar el valor de "M" M = 1'_2'+ 3'-4'+ ... -20' A)-200 B)-210 D)-190 RESOLUCiÓN: Agrupando de 2 en 2: C)-180 E)-220 M = (1'_2')+ (3'_4') + (5'_6') + + ... +(19'-20') M = ~1-4)+(9-16)+(25-36)+ ... +(361.4001 ~ 101e!m. M = (-3) + (-7) + (-11) + ... + (-39) ~~ -4 -4 Sumando la progresión aritmética: 1 M = 10(-3-39) - 210 I ,....-- . 2 I Rpta.B I @ Calcular "M" M=..1..+~+--ª-+...!..+ 2 8 28 77 ... Hallarelvalorde"T"si: n 2n+ 5n T= 2-n+S-n RESOLUCION: Resolviendo tendremos: 2n+ 5n T =, 1 1 -+- 2n 5n 2'+ 5'5 T=' ---1' -- 5n+ 2n (10)' 2n+ 5n n 5n+ 2n (2')(5') Multiplicando medios por extremos: T=,ll0'~ ~-~ T = .y 1O ' r-TI -=-l0 -'1 Además por propiedad se tiene que: A=n xn+yn x'+y' IA=xyl A-~::~~ IA=xyl @ Hallarel valorde "X" si: 2x + 2x+2 + 2x+3 = 208 RESOLUCION: Descomponiendo: 2' + 2x.22 + 2x.23= 208 Faclorizando: 2'(1 +22+23)=208 2'(1 +4+8)=208 2x= 208 13 @ Si:Ww=3Hallar:A=WWw>' RESOLUCION: Sabemos que una suma en el exponente proviene de una multiplicación porlotanto:A=WWw,w Además una multiplicación en el exponente proviene de una potenciación, porlotanto:A= (WWW)W También sabemos que podemos permutar los exponentes de la base y de la expresión en potencia de potencia. A = fY'I"')ww Reemplazando: WW= 3 A=33 IA=27 1 Q. Vi ~ SI: xX=T Hallar:2x RESOLUCION: Tratando de buscar la sirnetria; tendremos: XX= ~ xx=~! xx=~ XX= [~J+ :.x=1/2 Piden: I 2x = 1 I www.Matematica1.com @ Sabiendo que: 33"= (33)" Calcular: A = ":v' Cn RESOLUCION: Operando: 33" = 3'" Igualando exponentes: 3" = 3n ... 33"= n n =3n-1 Reemplazando en "A": A="\t3"" IA=31 @ Hallarelvalorde"K"si:n= ! ,en: 22n+1 _ k318 = 22n RESOLUCION: Transponiendo términos: 22n+1 _ 22n = k318 22n. 2_22n= k3ls Faclorizando: 22"(2 -1) = k3/8 22n= k318 2[3J 3 Pero:n=% 2 4 =k" Dando forma: l[t][t] = kt [3J4 3 2" =k" 3 3 (24)8 =k8 k=24 1 k=161 5 @ Hallar"a"en: ~=52!¡\15 RESOLUCION: -"- Resolviendo: --"- 5'" = 5'"'" a3VS 5 5 = 525\15 Igualando exponente: a 3Ys =25Y5 5 a3= 125 8 3=53 @ Resolver: 9"'-8=XOx-12 RESOLUCION: Las bases no son iguales y tampoco los exponentes pero le damos la misma expresión a los exponentes si (32)"'<-8 = XOx-12 38x-12= Xax-12 :.1 x=31 @ Resolver: xxx= 16 RESOLUCION: Pero: 16=24 _222 Porlotanto: xxx=222 :,1 x=2 1 ® Hallar "x" si: 3"" = 9 RESOLUCION: Observamos que: 9 = 32 Enlonces: 3x+1 = 32 x+l =2 :.1 x= 1 1 (§) Hallar"x"si: 27x-2= [8 1 1]' RESOLUCION: Vemos que ambas bases son potencias de "3" (33)X-2= [~r 33x-8 = 3-4 Por lo tanto: 3x-6=-4 3x=2 1 x=213 1 (§) 43x-8 119 Resolver· --= X"x-12 . 272x-4 RESOLUCION: Transformando: (22)3x-8 X6x-12 (33)2x-4 26x - 12 = X6x-12 r 23 J6x-1: x&-12 36x-12 l Por lo tanto: 1 x=213 1 @ Hallarelvalorde"X"si: JX-1 + 7x-1 + 7x-1 + ..... + 7x-~ = 343 49~ RESOLUCION: Como sabemos que una suma repetida es igual a una multiplicación tenemos: 49(7X-1) = 343 Pero: 72 (7x-1) = 73 x-l = 1 @l) Hallarla suma de cifras de "M" si: M='(S;~:),2 RESOLUCION: Observaremos que n = 35, por lo tanto: Suma de cifras =9(35)= 315 1 @ Hallarla suma de cifras de "w"si: W = ('!!!!!.:.;.:!!2 -17 .. ; 778)2 79 cifras 77 cifras RESOLUCION: Observaremos que corno el sustraendo tiene 2 cifras menos que el minuendo estará dos lugares a la derecha de éste. 79 cifras ~ 1077 ... 777- 77 ... 778 ,999 .;.999, 78 cifras W=(99 ... 99)2 :.1 n=781 ~ Suma de cifras = 9(78) = 7021 @ Hallarelvalorde"W"si: W=Vl0305050301 +2040604020 RESOLUCION: Operando primero la cantidad subradical: 10305050301 + 2040604020 12345654321 Observamos que este número es el desarrollo de: 12345854321 =(111111)2 W= V(IIIIII)2= 11~ @ Hallarla suma de cifras de "M" si: M=Vl00xl0l xl02xl03+1 RESOLUCION: Operando: M = V;:c(cl :.O::":O-x~1~ 03~+~1= )2 M=10300+1 =10301 Suma de cifras de M = 1 +0+3+0+1 =5 [ @ Hallar"m+n" si: (lx3x5x7x ... )2= ... mn RESOLUCION: Observaremos que lo que esta elevado al cuadrado es un número formado por faclores impares, siendo uno de los faclores el número 5. Además recordemos que: ParxN=par Sin importar si N es par o impar Impar x Impar= impar También sabemos que al multiplicar un número por otro que termina en cifra 5 se observa: Parx( .... 5)= .... 0 Imparx( .... 5)= .... 5 Por lo tanto: (1 x3x5x7x ... )2=( .... 5)2 = .... 25 = .... mn Por lo tanto -+ m=2 n=5 m+n=71 @ Siendo a, b y c cifras; hallar "b+c" si: (a+b+c)2=a25 RESOLUCION: Observaremos que: a +b +c= .... 5 Puesto que: (a + b+ C)2= a25 Observamos que: 152=225 252=625 352 = 1225 (No puede ser ya que es ~:~I::en:~:: :i:: ~{~ltadO) 15 Evaluando: Si: a+b+c=25 _ .• . ~?~2=a25 ~ 252 625 a=6· si:a+b+c=25 , ~ '-y-' " 1. b + C = 19; lo cual no podra ser puesto que el mayor valor que puede tomar una cifra es 9; y dos cifras podrran sumar corno máximo 18. Entonces si: (a+b+c)=~ (a+b+c)=a25 '--y--' ~ 152 225 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 :. a=2;si:~+,b~c,=15 2 13 Rpta.:b+c=13I @ Hallar 'W" y dar como respuesta la suma de sus cifras, si: W=v'50x98x 198x97+ 1 A)16 B)18 C)17 D)15 E)19 También tenemos el caso del producto de dos números formados por la misma cantidad de cifras 9 y las cifras de las unidades suman 10. ~;~~;~=99 ... 900 ... 0axb "n"cihs "n" cifras (;;!1)(J.1)~ ctfraa dfras Además: a + b = 10 @ Hallar el resultado de "P' si: P = (999997)(999993) RESOLUCION: Observemos ,S-u-m-a-n -1,0 P =(~)=9999900000211 Igual cantidad de ctfras Kg" @ Hallar la cifra terminal de: P = (RAZONAMIENT019 + MATEMÁ TIC099 - 12)LO+MAXlMo RESOLUCION: Operando las cifras terminales: P = [( ... 9) + ( ... 9) - ( ... 2)j(lQ+MAXlMOJ P = [ .... 6jlO+MAXIMO y sabemos que un número que termina en 6 al elevarse a cualquier potencia termina en 6, por lo tanto: P = [ .... 6jlO+MAXIMO = ----4 @ Hallar la cifra terminal de: A= (21474)1217 + (32879)3148 RESOLUCION: (21474)1217= ( .... 4)'MPAR= .... 4 (32879)3148 = ( .... 9)"AR = .... 1 Entonces:A= ( .... 4) + ( .... 1)=.4 @ Hallar la cifra terminal de: A= (2143)4375 B = (3148)7473 C = (31427)21" D = (21422)4314 RESOLUCION: A= (214:D43~= ( .... 3)75 Dividiendo: 75~ 3518 @-- residuo~serepite3veces A= ! ... 3)( .. ~3)( ... 3l = =4- 3veces B = (3141!)74~= ( ... 3)'3 Dividiendo: 73~ 33 18 G)--residuo"" se repite 1 vez B=I .. ;8),=4 1 vez C = (3142Il21~= ( .... 7) .. Dividiendo: 48 ~ -a 12 ®-se repite O veces C= ( ... 7)( ... 7)( ... 7)( ... 7)= =+ D = (21422)4314= ( ... 2)14 Dividiendo: 14 ~ 3 ®-se repite 2 veces D=( ... 2)( ... 2)=4 @ Si "n" es un número natural, hallar la cifra terminal de: W= (4174)6"-3+ (2149)'6"+2 RESOLUCION: Debemos recordar que: PAR± PAR = PAR PAR±IMPAR=IMPAR IMPAR±IMPAR=PAR Además: PAR x N = PAR Por lo tanto: (4174)"'~= ( ... 4)P'''.'''''= ( ... 4)""'= ... 4 (2149)''''+2= ( ... 4)"'+""'= ( ... 9)""'= ... 1 w=( .. .4)+( ... 1)=4 @ Hallarla cifra terminal de "A" si: n = número natural. A= (3147)4"+2+(2173)""+1_(132)4"+3 RESOLUCION: Como "n" es un número natural donde a "n" cualquier valor natural se cumple el mismo residuo al dividir entre 4 puesto que este valor esta multiplicado por un múltiplo de 4. Observación: Por propiedad de divisibilidad: Si: N =A+ b;secumplequeb= reslduodedividirN+ A Si: N =A-c; secumplequec= residuo por exceso de N + A, además b+c=A, porlotantoc=A-b Entonces: Dando el valor n = 1 (3147)4"+2= ( ... 7)6 = ( ... 7)2 = ... 9 (2173)""+1 = ( ... 3)' = ( ... 3)' = 3 (132)""+3 = ( ... 2)' = ( ... 2)3 = ... 8 El valor de "A". sera: A= ( ... 9)+ ( ... 3)-( ... 8) =4 ~ Hallar la suma de las 3 últimas cifras de "N" si: N = (99)2+(999)2+ ... +~ 20 cifras RESOLUCION: Observamos: (99)2= 9801 (999)2 = 998001 (99~9)2 = 99980001 (~)2=~~1 20 cifras 19 cifras 19 cifras Operando tendremos: 998908001 1+} ~.~.~~~~~ 19 sumandos ......... 819 Sumada las3 últimas cifras: 8+1 +9 = 181 ~ Simplificar: ~ ~ 1111111088888889 123456787654322 - 1 RESOLUCION: (33333333)2 (11111111)2 r333333331 = 3 l: 11111111:J @ Hallar el resultado de "M" y dar como respuesta la suma de sus cifras: M=\244 ... .4,+~8 .;. 89)2 (3a+2b+1) (3a+2b) cifras cifras RESOLUCION: 244 ..... 44+ 88 ..... 89 ,333.; ... 33, (3a+2b+1) cifras M = (333 ... 33)2 "" Suma de cifras = '---y---' = 9(3a+2b+1) = (3.~2b+1) = 27a + 18b + 91 CifraS , @ Al calcular el MCD mediante el algoritmo de Euclides de los números: (2a)bb[~J y [~J O [~J<2a-2) se obtuvo por cocientes sucesivos 2; 3; 4; 2 Y 3 en ese orden. Determinar a2 + b2 si la tercera división se hizo por exceso. A)70 B)88 C)77 D)99 E)90 RESOLUCION: Sean: A= (2a)bb[~J B = [~J O [~J<2a-2) Divisiones sucesivas: 2 3 4 2 3 A B 25d 7d 3d ~d 25d 7d 3d d - O ~ ~ División por exceso D = 4(7d) - 3d ID=25dl • B = 82d • A = 2B+25d = 2(82d) + 25d = 189d de: (2a)bb [a;3 J ; a=)(;3 ..... la=31 www.Matematica1.com -->6bb3=189x@=6993-->lb=91 Verificando: [~J O m (2a-2)= 3034 = 82 x 37 _'. a2+b2=32+92=90 I Rpta. E I @ El mlnimo común múltiplo de 4 números consecutivos es 5460. Calcular la suma de los 4 nú meros, si el menor de dichos números es múltiplode3. A)38 B)54 C)58 D)60 E)52 RESOLUCION: Sean los 4 números consecutivos. @, a+1, a+2 ,@ .¡. .¡. Dato: MCM[a; a+1; a+2; a+3] = 5460 MCM(a;a+1)=m, MCD(a; a+1) = 1 MCM(a+2; a+3) = m2 MCD(a+2; a+3) = 1 --> MCM[m,;m>l=5460 MCM[a(a+1 );(a+2)(a+3)] = 5460 Observación: El producto de 2 números consecutivos es 2. MCD[~(a+1 ),(a+2)(a+3)] = 6 .¡. .¡. :3 :3 Propiedad: [a(a+1 )][(a+2)(a+3)] = 6 x 5460 a(a+1)(a+2)(a+3)= 12 x 13 x 14 x 15 TT TT T T T T Nos piden: 1 a = 121 a+a+1+a+2+a+3=4a+6=54 [Rpta. B I @ Se saba que la diferencia entre el MCM y MCD de 3 números es axbxc donde: a, b y c forman una progresión aritmética creciente de razón 10 yen ese orden. Calcular el mayor de ellos si se sabe que C~, = 78 Y además la diferencia entre mayor y el intermedio es 26 y del mayor con el menores 65. A)90 B)65 C) 105 D)93 E)91 RESOLUCION: Se tienen los númerosA, By C, siendoA< B la-b-101 ; IC-b+101 b b! • C11= 11! x (b-11)! 78 Identificando: Ir b-=-1C":3"'1 Observación: C13_C13 - 13x12 -78 11- 2 - 2! - Reemplazando: 1 a = 31 ; 1 c = 23 1 A=MCDxq, ; B=MCDxq2; C=MCDxq3 Dato: C-B=26 C-A=65 En (a): MCD[q,q2q3-1] = 3 x 13 x 23 Identificando: 1 MCD = 131 q,xq2x q3=2x5x7 ; TT¡TTT { A=13 X 2=26 ~ B=13x5=65 C=13x7=91 @ Se sabe que la diferencia entre el MCM y el MCD de tres números es 897, que la diferencia entre el mayory el intermedio es 26 yque la diferencia entre el mayor y el menor es 65. Dar como respuesta la suma de dichos tres números. A) 184 B)183 D)179 RESOLUCION: C)182 E) 176 Sean los números A, B Y C; Tal que A>B>C Datos: MCM-MCD=897 ....... (a) A-B=26 ....... (P) A-C=65 ....... (1) Si admitimos que: MCD(A;B;C) = d, entonces:A=d xa; B =d x byC= dxc,donde: MCM=dxaxbxc En (a): l!,x a x b x Col!, = 897 d(abc-1)=897 d(abc-1)=3x13x23 .... (e) En (~): d xa-d xb=26 d(a-b)=~ d(a-b)=2x13 ..... (IfI) En (r): l!,xa-lI,xc=65 d(a-c)=~ d(a-c)=5x13 ..... (ro) De las igualdades (e), (1fI) y (ro) concluimosque: ~ ~ :. axbxc-1=69 -->axbxc=70 axbxc=2x5x7 TfL.J'TT Para identificar valores observamosque: En (1fI): a-b=2 yen(ro):a-c=5 ~ 1 a=71 ; 1 b=51 1 c=21 Finalmente como: A=dXa} B=dxb + C=dxc A+B+C=d(a+b+c) A+B+C= 13(7+5+2) :.A+B+C=182 1 Rpta. CI @ Se calcula el MCD de los números 1 a6 yaba mediante el algoritmo de Euclides y se obtienen 4 cocientes iguales que suman 8. Si la penúltima división se realizó por exceso. Calculara + b A)4 B)6 C)7 D)5 E)8 RESOLUCION: Cálculo del MCD de: 1 a6 < aba mediante el algoritmo de Euclides q, q2 q3 q. aba 1a6 @-->MCD O Dato: q,=q2=q3=q.=q y: q,+q2+q3+q4=4q=8 -->lq=21 2 aba 1a6 3d 2d # 2 2 2 3d 2d d d O Por exceso ?=2x2d-d=3d • 1a6=2(3d)+2d=8d=8x17 .:::::>...d=17;1a6=136--> la=31 • aba=19d=19x17=323 -> 1 b=21 ,--_--, :. a+b=3+2=5 I Rpta. D I ® Si se cumple: MCM 113k . .§I<.. 8k t 520 l 7 ' 14' 7 J Calcular k + 1 A)6 B)4 C)8 D)7 E)9 RESOLUCION: Se tiene: MCM 113k . .§I<.. 8k l = 520 l 7 ' 14' 7 J Multiplicando x 14: kx MCM[13 x2; 5; 8 x2] = 520 x 14 kx1040=7280 -->lk=71 Nos piden: k+1=7+1=8 [RPta.cl ® Para 2 números se sabe que la suma de su MCD y su MCM es 770 y la diferencia de los mismos es 700. Hallar la suma de los 2 números. Sabiendo que no son divisibles entre sI. A) 350 B)320 D)300 RESOLUCION: SeanAy B los números MCD + MCM = 770 MCM - MCD = 700 De(l)y(lI) C)280 E) 360 ....... (1) ••••••• (11) 1 MCD=35 1 ; 1 MCM=735 1 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Sabemos que: 1 MCM=MCDxq,xq21 735 -->q,xq2= 35 =21=7x3 Identificando: Iq,=71 ; Iq2=31 '--PESI./'" q,=7;q2=3>( (A .. S) :. A=35x7=245 B=35x3=105 Nos piden: 1 A+B=350 1 [Rpta.A I 9 2 números al multiplicarse por un tereero se obtiene que su MCD es "M,.' Y cuando se dividen por dicho tercer número el MCD es "M,". Hallar el MCD de dichos números. A) ~ M, B) ~ C) M, M2 M2 M, D)~ M2 RESOLUCION: Sea a y b los números • MCD(A; B)=d E)YM,M2 Dato:' MCD(Axn;Bxn)=M, n x MCD(A; B)=M, ... (a) • MCD [nA '' ~nJ =M2 MCD(A; B) n =M2 .. ·(P) (a) x(P): n x MCD(A, B) x MCD(A; B) M, M2 n MCD2(A, B)= M, M2 :. MCD(A,B)=~ [Rpta.EI @ El MCD de (a+l )(a+3)(a+5) y el que resulta al invertir ello es 36. Hallar la suma de dichos números. A) 1321 B) 1332 C) 1334 D)1352 E) 1355 RESOLUCION: MCD[(a+l)[a+3)(a+5)+(a+5)[a+3)(a+l)]= 36 • (a+1 )(a+3)(a+5) = 36 c: ~ 9 Criterio por 9: a+1+a+3+a+5=9 3a+ 9=9 3a=9 a -3°-/""'"0 >< --'---3V :.la=31 Los números son: 468 ;864 : . La suma de dichos números es 1332 ~ Sisecumple: __ MCM(cb, (2a)0)= 120 MCD(cb; (2a)0) = a2 Hallar:a+b+c A)6 B) 12 C)8 D)4 E)5 RESOLUCION: Para 2 númerosAy B Secumple: 1 AxB=MCDxMCM 1 De: MCM [cb; (2a)0] = 120 MCD ]cb; (2a)0] = a2 --> cb x(2a)0 = 120 xa2 cb x10x2a=120xa2 1 cb=6a 1 Si: (2a)0 MCM=1 x2x3x4x5=120 120",1);16 ; cb",6x1: 1 cifra ~ cb=6(2)=12 :. 1 a = 21 ; 1 b = 21 ; 1 c =1 1 Nos piden: I~-~I a+ b+ c=2+2+ 1 =5 Rpta. E @ Dad03númerosA,ByC Secumple: MCD(A; B)=17; MCD(A;C)=17 MCD(B;C)=17; MCM(A;B; C)=1785 y A+B+C=255 Indicar el mayor de dichos números A)121 B)117 C)129 D)131 E)119 RESOLUCION: Se tiene: MCD(A;B) = 17} MCD(A;C)= 17 MCD(A;B;C)= 17 MCD(B;C) = 17 • MCM(A;B;C) = 1785 Dato: ~+Cf+~255 MCDxp MCDxq MCDxr P • q • r T T T PESI CMgVx(p+q+r)=255 J. p+q+r=255/17 17 :.1 p+g+r= 151 MCM=MCDxpxqxr 1785=17xpxqxr :. pxqxr=105=7x5x3 Identificando: Ip=71 ; Iq=51 ; 1 r=31 Nos piden el mayor de dichos números: A=17x7=119 [Rpta. E I ~ Hallar en que cifra termina el MCM de los números A=7"2_1 ;B=7'293_1 A)2 B) 1 C)3 D)4 E)5 RESOLUCION: Se tiene: A= 7862-1 B=7"93-1 Por propiedad: MCD(A; B) = 7MCD(862; '293) - 1 MCD(862; 1293)=431 : . 1 MCD(A;B)=743'-11 Para 2 números se cumple: 1 AxB=MCDxMCM 1 Despejando: _ (7882 - 1 )(7"93 - 1) MCM - (7431 _ 1) Por diferencia de cuadrados: (19k1J(7431 + 1 )(7'293 - 1) MCM ~ MCM = (743' + 1 )(7"93 -1) Analizando: 72 = 49 = 10 - 1 MCM = [7'x7430+ 1][7'x7'292-1] MCM = [7x(72)215+ 1][7'x(72)646_1] MCM=[7x(I°0-1 )215+ 1 ][7x(10+1 )646-1] MCM = [7x(10-1 )+1][7x(10+1 )-1] MCM = [10- 7 + 1][10 + 7 -1] MCM = (1°0-6)(10+6) = 1°0 - 36 = 10+4 La última 2'ifra del MCM: I I MCM - ..... 4 . Rpta. D . ~ Sabiendo que la suma del MCD y el MCM de 2 números es 703. Hallar la suma de estos números. Si se sabe además que el MCD es el mayor posible y los números no son divisibles entre sI. A) 327 B)409 C)407 D)409 E)410 RESOLUCION: SeanAy B los números Datos: (a): MCD + MCM = 703 (P): MCD--> es máximo (r):A",i'I Se sabe que: A=MCDx@~ PESI B=MCDx@---./ MCM=MCDxq,xq2 En (a): MCD+MCDxq, xq2=703 MCD(1 +q,xq2)=37x19 c-= I TT Identificando factores: 1 MCD=371; q,xq2=18 J. J. ° 18 1>< (MB) ®®V A=37x9=333 B=37x2=74 :. A+B=407 [Rpta. C I @ 3 corredores A, B Y C parten juntos de un mismo punto de un circuito de 3600 m de longitud, la velocidad deA, B y C es 75 m/min, 50 mlmin y 1 m/seg respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo volverán a pasar juntos, por la línea de partida? A)600min B)720min C)740min D)480min E)750min RESOLUCION: % V; v: P A R T , o A 3600 m www.Matematica1.com VA= 75 mlmin ; VB= 50 mlmin m m 6Qsg Ve=1sg =1x $!fx min =60mlmin El tiempo que demora cada corredor en dar 1 vuelta es: tA= 3600 =48min 75 3600 . tB=SO=72mln 3600 . te= ---¡¡¡¡- =60 mln Volverán a pasar juntos, por la linea departida --> MCM(tA; tB; te) --> MCM(48; 72; 60) --> 12MCM(4;6;5)=720 :. Dentro de 720 min "1 Rp----ta-.-s-,I @j) SI: A·B=5 yeIMCM(A,B)=150 Hallar(A+ B) A)40 B)50 C)60 D)45 E)55 RESOLUCI6N: Se tiene: A·B=5 MCM=150 ....... (1) ....... (11) Reemplazando: A=MCDxq,~ PESI B = MCD x q2 ..----./ MCM=MCDq,xq2 En(I): MCD (q,·q2) = 5 x 1 c= ==r= Tf I MCD-51 I q,·q2-11 En (11): MCDq,xq2=150 5xq,xq2=150 q,xq2=30=6x5 Identificado: Iq,=61 Iq2=51 ~ A=30 ; B=5 :. A+B=55 @ A=amx(a+1)2'xb7 ...... (D.C.) B=(a+1)'xam+'x72 ...... (D.C.) Si A Y B tiene 20 divisores comunes ¿Cuántos divisores impares tiene A, sabiendo que es mrnim07 D.C.: Descomposición Canónica A)55 B)56 C)50 D)54 E)58 RESOLUCI6N: Se tiene: A= amx (a+1)2'x b7 B = (a+1)'xam+' x72 O [MCD(A, B)] = 20 Cálculo del MCD: ...... (D.C.) ...... (D.C.) a ya+1 son números primos consecutivos. r:-=-;;-, ~ la+1=31 A=2mx32n xb7 8=2m+1x3nx72 MCD(A, B) = 2m x 3' D[MCD(A, B)] = (m+1 )(n+1) = 20 J. .j. ® @ :·lm=41;ln=31 Amrnimo=24 x3ex57 ; I b=51 D(A) = (4+1 )(6+1 )(7+1) = 280 0(2) = 2[23 x 36 x 5'] 0(2) = (3+1 X6+1 )(7+1) = 224 :. 280·224 = 56 Ir:R=-p""ta.-:s-'1 @ Daniel cuenta hacia atrás comen· zando por el 2001 y nombrando ca· da 7 años de 2001; 1994; 1987; 1980; ... uno de los números que ha nombrado Daniel en la sucesión es: A) 1768 B)1789 C)1790 0)1791 E) 1792 RESOLUCI6N: Los años que nombra Daniel son: 2001; 1994; 1987; .... ----7-- -- ----7-- -- Los cuales forman una progresión aritmética de razón 7 pero al dividir entre 7 se obtiene: 200117 199417 198717 6 l2s5 6 l2a4 6 r2a3 Donde observamos que: 2001 =7+6; 1994=7+6; 1987=7+6 Lo cual es deducible ya que el primer término es 7+6, los demás al restarles 7 unidades (7) serán también 7 más 6 por lo cual podernos afirmar que uno de los números mencionados deberá ser "7 más de 6, pero sabernos que: 1788~ 31255 ~ 1778=7+3 Observamos que a 1788 le falta 3 unidades para ser7 más 6. :. Daniel nombrará: 'r"'R-p-ta-.-D.. ..'. 1788+3= 1791 . . ~ Al dividir dos números entre 15 los residuos son 13y11. Hallar el residuo del producto de estos números entre 15. A) 16 B)32 C)42 0)48 E)8 RESOLUCI6N: Siendo Ay B los números: A~ 13 re¡;- ~ A=1'5+13 B~ 11 rq;- ~ B=1'5+11 Al multlplicarsetiene: AB= (1'5 + 13)(1'5 + 11) AB= 1'5+ 143 .j. AB= 1'5+B El residuoes8 @ En los 750 primeros números enteros pOSitivos: • ¿Cuántos son múltiplos de 27 • ¿Cuántos son múltiplos de 37 • ¿Cuántos son múltiplos de 15? Dar la suma de dichos resultados. A) 375 B)6oo C)300 0)275 E) 675 RESOLUCI6N: Los 750 prlmeros números enteros son: 1;2;3;4; ...... ;750 Los múltiplos de 2 son: ,2;4;6; ......... ;750/ 75~-2 +1 = ;75 números Pero como son números consecutivos que empiezan desde la unidad la regla práctica consiste en: "Dividir el mayor de los números consecutivos entre el módulo y el cociente entero de la división será la cantidad de múltiplos de dicho módulo. Aplicando en este problemita dicha regla: 750 • Cantidad de múltiplosde 2: "2 = 375 • Cantidad de múltiplos de 3: 7~0 = 250 • Cantidad de múltiplos de 15: ~ = 50 :. Lasumaes: , , 375+250+50 = 675#S Rpta. E. @ ¿Cuántos números del uno al mil son múltiplos de 5 pero no de 257 A)200 B)18 C)150 0)100 E)160 RESOLUCI6N: Los números mencionados son: 1;2;3; ........... ; 1000 Del cual los múltiplos de 5 son: 5; 10; 15; ....... ; 1000 Y los múltiplos de 25 serían: 25; 50; 75; ..... ; 1000 Graficando mediante los diagramas deVenn: Obsérvese que los múltiplos de 25 están contenidos en los múltiplos de 5, además nos interesa cuántos números hayen la región sombreada. Canl #S 5'. 1050 0 = 200 • 1000 Cant.#S 25:- 2 -=40 • 5 • :. Canl#S: 5 pero no 25 e-¡:.s:....: ---, 200-40=160 I Rpta.EI @ Del 1 al1 OO. ¿Cuantos son:2 ó 37 Dar como respuesta la suma de las cifras de dicho número. A)15 B)17 C)21 0)19 E)23 RESOLUCI6N: De acuerdo a los diagramas de Venn - Euler se tiene: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Oel cual nos interesa cuántos números hay en la reqió,! sombreada porque al pedir los 2 ó 3 nos interesa los números de la unión de los conjuntos. Si tenemos: 1; 2; 3; ....... ; 1000 Los:1 son: 1 ~OO = 500#S ° 1000 Los 3 son: -3-= 333#8 Los6son: 1~00 = 166#s Entonces tenemos: En total hay: 334+166+167 = 667#S .-. ~cifrases: 1 Rpta E 1 6+6+7=19 .' . @ ¿Cuántos números enteros positivos de 3 cifras son múltiplos del3? A)67 8)69 C)71 0)74 E)82 RESOLUCION: Los números de cifras son: 100; 101; 101; 102; ..... ;999 Pero si dicha sucesión lo completamos para que sean números consecutivos desde la unidad será lo siguiente: 1; 2; 3; ..... ; 99;,100; ... ~ .. ; 999, numeros que interesan Ahora para hallar los 1'3 que hay de 100 al 999 aplicamos la regla práctica, para hallar primero cuántos 1'3 hay del 1 al 999 y luego restamos la cantidad de 1°3 que se tiene del 1 al 99. 999 1°) 13dell al 999: 13 =776 99 2°)13dell al 99: 13 =7 ,". Del00al999hay: 76-7=69#S 1°3 1 Rpta. B 1 @!) ¿Cuántos múltiplos de 7 pero no de 13 existen entre 3000 y 5000? A) 254 8)258 C)286 0)324 E) 350 RESOLUCION: Números 7 Números 1°3 Para visualizar mejor el problema utilizamos el diagrama de VennEuler. Nos interesa los números de la región sombreada para lo cual primero debemos hallar los "7 y luego los 91. Como los números son: 3001;3002;3003; ..... ;4999 Completando resulta así: 1; 2; 3; ... ; 3000; ~001; 3002; ... ;4999, n(imaros que ~os interesan 1°) Los 7 son: 4999 _ 3000 = ~~ parte parta entera entera =714-428=286#S 2°) Los 91 ;on: 4999 _ 3000 = ~~ parte parta entera entera =54-32=22#s • ° ° •• Los#S7noI3son: 1 Rpta.A 1 286-22 = 264#S . . @ ¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 5000 son múltiplos de 5 y 6 a la vez pero no de 7? ~1~ ~la ql~ ~1~ ~ln RESOLUCION: Los números mencionados son: 1;2;3; ...... ;5000 Además como el enunciado indica múltiplos de 5 y 6 a la vez significa que deberá ser múltiplo de 30 (30 es el menor número que contiene a 5y6). Luego según el diagrama de Venn - Euler seria asr: 21° 0 Como nos piden los múltiplos de 5 y 6 a la vez o sea los múltiplos de 30 pero no "7 a los 30 habrá que quitar la intersección que son los múltiplos de: 30·7=210 Primero: Hallamos los 30. 5000 ~ ~ Ha 166#s 30 201166 Y Segundo: Calculamos los 21 O. 5000 1 210 ~ Ha 23#8210 170 23 Y ,". Lo que nos piden es: Ir---~I 1~-23= 143#S . Rpta. B . @j) Calcular cuántos números de 4 cifras son divisibles por9y por 15 pero no por25. A) 160 0)150 8)170 RESOLUCION: C)180 E) 130 Como el número es de 4 cifras debe cumplir la siguiente relación: 1000,;abcd<10000 ....... (1) Además al indicar que es divisible por 9 y por 15 será divisible por 45 (MCM de9y 15) pero no por25. Graficando sería así: 22° 5 (MCM(45;25)=225 La región sombreada representa lo que nos piden: Primero vamos a calcular los múltiplos de 45 para lo cual deberá cumplir que: abcd =45 k ........... (2) Al reemplazar (2) en (1): l000S45k< 10000 22,2,; k < 222,2 Luego k;,{23; 24; 25; .... ; 222) ~ Los45son:222-22=200#s Ahora nos falta hallar los múltiplos de 225. abcd = 225k' ........ (3) Al reemplazar (3) en (1): 1000 S 225k' < 10000 4,4,; k' < 44,4 k'=e{5;6;7; .... ;44} ~ Los2:15son:44-4=40#s ,". Los9y 15 pero no de 25;-: _ ...., 200 -40 = 160#s° [ Rpta. A I @ Al dividir 93 entre "n° el residuo es 2. Calcular cuántos valores puede tomar" n", A)2 8)8 C)3 0)15 E)35 RESOLUCION: Según el enunciado: 93~ 2 q (2xy=66 ,', Solamente el número .---_----, 2366 es91 I Rptll. D I ~ Alguien habla escrito un número de cuatro cifras en una hoja de papel, Vladimir regó tinta en la hoja de tal forma que los últimos digitos ya no se pueden ver: 8 6 CL:1J Si el número es divisible por tres por cuatro y por cinco. entonces la suma de los digitos tapados por la tintaes: A)3 B)4 C)9 D)6 E) 13 RESOLUCION: Hagamos que el número escrito sea: 86ab Del enunciado tenemos: .66ab=3} '86ab=1 ...... (a) '86ab=5 De (a) determinando el múltiplo común de 3y 14 es 12, luego de 12 y5 es60. =:> 86ab = 60' Descomponiendo por bloques: polinómicamente 8600 + ab = 60' Como: 8600 l.§L ,¡. 20+ab=60' Por lo cual: ab = 40 :. a+b=4+0=4 60 143 260 240 200 180 20 I Rpta. B I @ Calcular la suma de todos los términos de: 1 1 1 1 2 1 133 1 1 4 6 4 1 1 5 1010 5 1 1 6 15 2015 6 1 1 ¡, ..... A)2'-1 B)2""-1 D)2°-'-1 RESOLUCION: 1 --+1=2· 1 1 --+2=2' 1 2 1 --+ 4=2' 1 3 3 1 --+8=23 n '1 C)2'·' + 1 D)2'·'-2 1 ~. 6 4 1,--+ 16=2' , ,. 1 n·: .... · .. ·n1--+2' .'. La suma de todos los términos es: 2n+1·1 1+21+22+23+ ... +2n=- 2 --=2n+1·1 1~-,----:-, @> Hallar. I Rpta. B I ~ 2(3+1 )(32+1 )(34+1 )(3"'1 )(3''''1 )+1 A) 1 B)2 C)3 D)8 E)9 RESOLUCION: E = ~ 2(3+1){32+1)(34+1)(3"1)(318+t)+1 E = ~(3-1)(3+t){3 .. t)(3.+1){3.+1){318+t)+1 E = ~ (3'-1)(32+1)(34+1)(3"1)(3'''t)+1 , (34-,) J j (38.1) . ,. (332 _1) =:> E= 'V332=32=9 @ Hallar el resu~do de la siguiente multiplicación: (79-1)(78-2){77 -3) ... (3-77)(2 -78){t -79) A) 80'· B)-80'· C)73 D)1 E)O RESOLUCION: (79-t)(78-2) ... (41-39)(40-40)(39-4) ... (1-70) Hay un factor cero en la múltiplicación, en consecuencia el resultado es cero. I Rpta. E I www.Matematica1.com www com . . M atematica1 ~ an+1_1 ~ SiaO+a1+a2+a3+ ... +an=~ Hallar: E=II+101+1001+10001+ .. +~ 10100+88 10'0_1 100cfs. A) 9 B)-9- 10'00+881 10'00_81 C) 9 D) 9 10'00+81 E) 9 E = 11+101+1001+10001+ ... +100 ... 01 ~ E = (10'+1)(10"+1)+(10'+1)+(10'+1)+ ... (10"+1) E = (1+10'+10"+10'+10'4 ... +10""+98) 10'00_1 + 98 E = 10_--oI~ 10'00_1 10'00+881 E= 9 +98= 9 'r-RI p--ta-.c -'I ~ Calcular la suma de las cifras del resultado de: 2mn cifras ,------J-----., ab + abab + 8ba6a6 + abab ... ab mn mnmn mnmnmn mnmn ... mn '-----.r------' ~ ~n cifras ab + ab + ab + ... + ab =m.,fabl ... mn mn mn mn..; lJrn9 mn Su~ndos = ab @ Resolver 1 Rpta. D I 11 xl 01 xl 0001 xl 00000001 x ... xl 000 ... 01 '---r---' 2n+1 cifras Calcular la suma de las cifras del resultado. A)2(n+l) 0)2' RESOLUCiÓN: B)2n 2cfs.--> 11 xl 01 xl 0001 xl 00000001 x ... xl 000 ... 01 22cfs.-'1!'11'. J j ~ 2' cfs.--> Jlll'.:..:"-,-' ~v-----' 2' cfs.--> 1111111111111111 I 111111 ....... 11111111 :. La suma cifras del resultado: 2'+' @ Calcular la suma de las cifras del resultado: (~)2 (n2+ 2n + 3) cifras A)(n2 + 2n + 3) B) 9(n2 + 2n + 3) C)9(n2+2n+2) D)9(n2+2n+2)+8 E)9(n2+2n + 1)+8 RESOLUCiÓN: 92=81 992=9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 ~?~2=~~PO~o,l 544 i i ¡999? ... 912 = 999 ... 98000 ... 01 '----,...---' '----,...---' (n2+2n+3) (n2+2n+2) (n2+2n+2) :. Suma de cifras: 9(2n"+2n+2)+9 = 9(n"+2n+3) 1 Rpta.S I @ Hallar la suma de las 4 últimas cifras del resultado de efectuar: [1 x2x3x4x5 .... x97x98j2 A)4 B) 1 C)5 D) 10 E)O RESULTADO: (2n+1)cfs (2n+1)cfs ,--------"---- ,--------A----- ,12xl 010 ... 1 01 O~ +,21 xl 01 0 ... 10101, v v ,12122".;.121212, + ,21211.:}12121, 2(n+2)cfs 2(n+2)cfs ~ 1212 ... 1212+ <--(2n+2)cfs 2121...2121 <-- (2n+2)cfs Resultado: 3333 ... 3333 <-- (2n+2)cfs :. Suma de cifras: I Rpta. S I 3(2n+2) = 6n+6 . . @ Calcular: ~~2=55~x-2~5=7-x~6=55=3=7~+~1 A) 1 B)2 C)4 D)5 E)3 RESOLUCiÓN: E= ~255x257x65537+ 1 E = ~ (256-1 )(256+1 )(65535+1) E = ~ (2562-1 )(65536+1) + 1 E = ~ (2562-1)(2562+1) + 1 E=~(2564-1)+I- ~2564=~ E=W>=2 1 Rpta.S I @ Hallar la suma de los ténminos de una fracción equivalente a 400 cifras ,--------'----- 222 ...... 222 ~ 400 cifras Sabiendo que la diferencia de los ténminos es 3. A) 10 B) 15 C)200 0)400 E)20 RESOLUCiÓN: m Sea n -m= n 400cfs ,--------'----- 222 ...... 222 ~ 400cfs ,400,cfs, 2x111.. .. 11 3x~~d·~' m 2 4 6 =-=-=- n 3 6 9 9-6=3~9+6=@ 1 Rpta.S I @ Calcular el valor de: 4 15267x15623+4 622x628+9 A)V2 B)Ys C) 1 O) 5 E) 25 RESOLUCiÓN: 4 15267x15623+4 = 622x628+9 _ 4 (15625+2)(15625-2)+4 - (625-3)(625+3)+9 = 4 (156252 -22)+4 (6252 -32)+9 = ~ ~15625J> =Y"W=Y'54=5 l625 j [Rpta.DI @ Efectuar: 2+4+6+8+ ... +4444 1 +3+5+7+ ... +4443 A) 4444 4443 B) 2222 2221 C) 2223 2222 D) 2221 2220 RESOLUCiÓN: E).1. 2 l' --> .1. = .1. 2 2 2' --> 2+4 =.1. 1+3 2 3' --> 2+4+6 = .! 1+3+5 3 ; ! 2222' --> 2+4+6+ ... +4444 =.! 1 +3+5+ ... +4443 r-3=-------. [Rpta. C I @ Resolver: V~I=23~4~5=78~9--=24~6~8 Indicar la suma de cifras de la raíz cuadrada. A)10 B)8 C)9 0)6 E)5 RESOLUCiÓN: • Se sabe que: 11 2= 121 111 2= 12321 11112= 1234321 111112= 123454321 • V~12=3~45=6=7=89~-';24~6~8 = V 123454321 =V111112 = 11111 <--Suma de cfs.5 [ Rpta. E I @ ¿Cuáleselrestodedividir 14 x24 x34 x44 x ... x 324 entre 5? A)4 B)3 C)O D)1 E)2 RESOLUCiÓN: Todo número que lenmina en 4 es 5-1 (5-1)(5-1)=5+1 (5-1 )(5-,1 )(5.1) = 5-1 • .! . {5+1sinespar J5-1)(5-~) ... (5-1),= 5-1 si n es impar nn" factores Sea: E= 14x24x34x ... x324 E =.(5-1 )(5.1 )(5-1 ) ... (5-1>,= 5+1 v par 32 factores :. AldividirEentre5, el resto es 1. [ Rpta. D I @ Efectuar: V~II=2=+~1-23-x-l0~4-+-4-2-x-l0~2 e indicar la suma de cifras del resultado. A)3 B)4 C)5 D)8 E)11 RESOLUCiÓN: www.Matematica1.com V11 2+123x104+42x102 = = V 121 +1230000 + 4200 =V1234321 = 'V'1i1i2 = 1111 :. Suma de cifras: 1+1+1+1=4 @ Hallar la rarz cuadrada de V9 x 1014+ 12 x 10'O+4x 106 e indicar la suma de cifras del resul· tado. A)5 B)10 C)12 D)15 E)21 RESOLUCiÓN: V 9x 1014+ 12 x 10'°+4 x 106 = = V106 (9 X 1014+ 12 x 10'°+4) I I a42ab+b21 = V106 x [3 X 10'+ 2]2 '~~I~~---[J(~a+~bf)2::J =10'(3x104 +2) =3x107 +2x10' =30002000 :. Sumadecifras=3+2=5 [Rpta. E I 'Í86' Efectuar: ~3150285+225J4 \!!!Y L6140586+196 A)~ B) 315 65 614 D)_1 64 RESOLUCiÓN: S . E = 1315X285+225]4 ea. [S14x586+196 C)_1_ 256 1 E) 16 E J(300+15)(300-15)+225l 4 J: (600+14)(600-14)+196] }3002-15'+225J4 E L600'-14'+196 ~3002J4 ~300J· r 1:1· 1 E=Ls002 =Lsoo +l2Y25il [Rpta. C I @ ¿En qué cifra termina: 34'""'7 A)4 B)S C)2 D)8 E)O RESOLUCiÓN: 34' = .. .4 <--"Terminaen4" 34:: ",S}34"= .. .4si n es impar ~:4::::: 34"= ... Ssinnespar ; :. a4400= ... S <--"TerminaenS" [Rpta. B I @ ¿Cuál es el menor número que multiplicado por 77 nos da un producto formado solamente por cifras 3? A) 4329 B)4339 C)4379 D)4229 E) 4329 RESOLUCiÓN: SeaN=333 ....... ~ 30811 4329 253 =--===---, 231 N-33333 223 = 77 x 4329 154 S93 693 000 @ Resolver: I09x [:~~J > 1 A) B)<0;1> D)<1;3> RESOLUCiÓN: C)<2; 3> E)<2;4> I09t [x'-X- !J ~ IOS{:J ~ ~ 10gt r'-X- !J ~ 10gtl!J t-t X2 -x- --ª- > O A X2 -x- --ª- ~ -ª- 4 4 4 ~ [x+ ax- ~J > O A (x+1 )(x-2) ,; O ~{x<- ~vx> ~}A-1 ,;x,;2 ~ -1 ,; x < - ~ v-ª-< x'; 2 2 2 Ix e [-1; -1> u <%; 211[ Rpta. E I @ Las estrellas se clasifican de acuerdo a categorras de brillo "m" llamadas magnitudes yflujo luminoso "L". A las estrellas más débiles (con flujo luminoso Lo) se les asigna magnitud 6. La relación entre la magnitud de brillo "m" y el flujo luminoso "L" está dada por la fórmula: m = ko-.§. log [-"-1 2 Loj Hallar ko y m si: L= 10°,·, Lo A)ko=5;m=6 C)ko=4;m=S E)ko=5;m=7 RESOLUCiÓN: B)ko=6;m=5 D)ko=S;m=4 Recuerde que para el módulo de Izl~O. V Ze C. De la desigualdad, se obtiene: rlzl'-lzl+1] IzI2-lzI+1 -= I09"'l Izl+2 <2~0< Izl+2 {(0,4 )Iag"'')' A)x e < 10-3; 105> B)xe<105;+00> C)xe<0;10-3> D)xe E)x e < 10-3; +00> RESOLUCiÓN: Si: O < a9 < a6 --+ O < a < 1 --+ O < ak< 1, V keZ+ Entonces. la desigualdad se puede expresar así: log S(X-1)4<1og s[(x-1)ffil' • • ~ (x-1 )ffi< O A(x-1 )4>[(x-1 )ffil' ~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )4>(x-1 )'(3-x) ~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )'(2x-4) > O ~ (x-1 )(x-3)< O A(x-1 )(x-2) > O ~1 21 12 B)<-4+V5;-1+V5> C) <-1+V5;4+V5> D) E)< V6+V5-1; 2+V5> RESOLUCiÓN: Recuerde que, si O < a < 1, se cumple que: aF(x»aG(x)~ F(x) < G(x) Dándole forma a la desigualdad: {[~~J'r0g2x >{[tt"'T~ ~{[HrX-1 >{[tJT(~,,,,n ~ log' x-1 < 2(log x+ 7) ~ log2 x-2 log x-15<0 ~ (I09x+3)(log x-5)< O ~-3< 109 x< 5 ~10-31 I Rpta.A I @ Luego de resolver: logx2 .log2x2 .log2(4x) > 1 Señale un intervalo de su conjunto solución, A)<1;2> B) <3; 4> D)<1;2V2> RESOLUCiÓN: C)<2v:2; 1> E)<0;2 V2> De la primera desigualdad resulta: x-I09 S';;x-xlog 2-log(1+2X) --+x log 2 + log(1+2X)';log 6 --+ log [2X (2)+1),; log S --+2X(2)+1),;S --+ (2x+3)(2X-2)';;0, como: 2x+ 3 > O --+2x-2';O--+2x';2x'; 1 "".(a) De la segunda, se tiene que: logNx'-4x-1 +3»0 ~ Yx'-4x-1 +3>1 x'-4x-1~0~x';2-V5x~2+V5,,·(P) Luego, interseclando (a) y (Jl) para obtener el conjunto solución del sistema de desigualdades se obtiene: I xe<-oo;2-V511 I Rpta. B I www.Matematica1.com www com . . M atematica1 ~ Luego de resolver: Y21~~.Vx-') 4 = 26Iog9¡q,~·Vx-')) +48 Oar el valor de: x + x + 2 Y'X3 A)4 B)9 C) 16 0)25 E)36 RESOLUCiÓN: Oe la primera ecuación: loge(x» = loge(yb) --> a logex = logex b = b logeY --> loge y = a En la segunda ecuación: 10ge[~J= ~ --> ~ =c~ b --+x=y.c& Reemplazando en la primera: b (y. ca )a= yb --> ya.cb= yb--> cb= yb-a I y=cb~al 1 Rpta.A I @ Resolver: 2,ogJ~) . [~:Jk>ox' ~x A)x e u<1;2) C)xe0 E)xu<1;2> RESOLUCiÓN: B)x e 121 O)xeR Oado que no es posible determinar, directamente, el intervalo al cual pertenece la base, entonces, se debe asumir las dos posibilidades para ésta: r24-2x-x'l f. 25-x' 109~'~:'JC 14 ,tl .... 1°<16< <1A 24-2x-x' <2-5--X'} 14 16 { v -25-->x' 1 A 24-2x-x' >25---X'} 16 14 16 .... {0<25-x'<16 1\ 192-16x-8x'<175-7x'} v v {25-x'>16 1\ 192-16x-8x'>175-7x'} .... {90}v v {x'<91\ x'+16x-17l}} v v {-3u<3;5> I ("'1R p::-cta,-.-::s:"ll @ Resolver:IOgf[X'-x- :J~2-109,5 A)[-2;- ~ >u<2;3) 1 B)[-3;-1>u<2; 1) 1 C)[-2;-1>u<2; 1[ 0)[-3;- ~ >u<1;2] E)[-1'-~>u<-ª-'2) • 2 2 ' RESOLUCiÓN: Considerando la condición y la base del logaritmo, se tiene que: a>0I\a .. lI\12a'+4a-31 <3 --> 0>0 1\ 0 .. 11\ ·3<20'+40-3 1\20'+40-3< 3 --> {0>0 1\ 0,,11\20'+4a>0} A (0+3)(0·1)<0 "+" -->a>Ol\a .. ll\a-l O < a < 1, entonces, de la desigualdad se tiene: logYx-Y2x-3';0 --> YX-Y 2x-3~1 -->2x-3;"OAX- Y2x-3;" 1 -->x -2ª- I\x-l ->Y2x-3-->x~ -2ª- AX'- 2x+l ;,,2x-3 3 3 --+X~ 2 Ax2-4X+4~O--+x~ 2 A (x-2)';,,0 1 x;" 32 1 1 Rpta. E I @ Hallar el valor de y en el sistema: { xa=Yb;a>b>O [ xJ logex loge y = logeY ;c>Oc .. l b b e A)c"" B)cb• a e C)a"" b O) a'" RESOLUCiÓN: E) a"" Expresando el número complejo z en forma exponencial, se tiene: (~+2k:n;J; Z=l+i=Y2.e 4 ,VkeZ Luego reemplazando: InZ = In(V'2 e(¡·''''h= = InY2+ln e("';')· 1 InZ= InY2+ [8~lJ "i Parak=2:lnZ=lnY2+ 1~" i Que no es el mismo valor que aparece en la alternativa O; pero las otras si contienen valores para la In Z, como el lector podrá comprobar de inmediato. ! Rpta. D I @ La desigualdad: log 124-2x-x'l > 1 ~~:'J[ 14 :J se verifica para: A)xe<1;4> B)xe <-3; 1>u<3; 5> C)x e <-3; -1>u<3;4> O)x e <-3; 3> E)xe <-3; 1>u<3;4> RESOLUCiÓN: Se sabe que, por trigonometría: Vx e R: Isen xl E [O; 1) pero, la desigualdad, por ser base de un sistema de logaritmos. Entonces: Isenxl e -->x e R-{~}Vkez Luego, la desigualdad se obtiene: xeR-{ ~ }AX>01\7X-6>0 Alog¡oo,,¡x3 > log¡ .. ,,¡ (7x-6) -->xeR-{~H X>OAX> ~ }l\x3< < (7x-6) --> XER-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)(x-3)<0 comox> ~ -->x+3>O, entonces: xeR-{~}I\X> ~ l\(x-l)(x-2)<0 -->xeR-{~}+> ~ 1\ 1 < x < 2} -->xeR-{~}I\{l -{~} @ Hallar el conjunto solución de la desigualdad logarltmica: log~[log6(x'-3») > log61 3 A) <-3; -2> u [2; 3> B)[-3; 2> u <2; 3) C) <-3; -2> u <2; 3) O) <-3;-Y3>u E) <-3; 1>u<2;3> RESOLUCiÓN: loglog.[~J.C 27~,x' J > x .... x>OAX .. ll\ L x6 1CJUx2 J- 2'''''''' ·2 7I ogx' 1\ 26 ~x .... x>OAX .. l A28Iogx'.7 ~ 2~x' .... x>OAX .. lI\8 logx 2-7 ~ log, x .... x>OAX .. ll\log,x+7-6logx2'; O O 1 (Iog,x-l )(Iog, x+8) O ++ x> I\X:::J:. A < log,x .... x>OAX .. ll\{log, x,; -8vOOAX .. ll\-- >O .... x>OAX"lAX-l >0 x+l .... x>OAX"lAX-l .... x>O y con esto, la desigualdad la desarrolIamosasf: [ IOQx -X+-3J >1 ++ x> 1 Ax-+3- >x' x+l x+l .... x> 1 I\x+3> x(x-l) Es posible esto, pues como x > 1 --> (x-l) >O,luego: .... x>lAX'-2x-3x>1 A(x-3)(x+ 1 )<0 .... x>lAX-3<0<->11 1 Rpta.DI www.Matematica1.com @ Considerandoque:e=2,718281 Resolver: logx2+~logx=-O,718,281 { '014 .. ;'" xc-:::-: logx3-logy2= 1,718281 Oar el valor de: I09(XY) A) 8-3e B) 8-3e 16 8 O) 6-5e 16 RESOLUCION: C) 3e-8 16 E) 6-5e 8 Según el enunciado del problema, por cada fósil encontrado, el pago será: 1'1 2'1 3'1 4·1·····1 x m 2m 4m 8m ..... 2x.1.m El pago total, por todos los fósiles encontrados fue "1", Luego: m+2m+4m+8m+ o •• +2x-1.m = t --> m(I+2+22+23+ ... +2x-1) =t t t -->m(2X-l)=t2x-l =m--> 2x=m+1 -->x=log [~+IJ x=log2 [t+mmJ [Rpta. el @ Hallar todos los valores reales de x para los cuales la expresión: 10g1' [X~IJ es un número real. A)x e < 1-Ys;0 > u< 1+-v5; +00> 2 2 B)x e [1-;'5; 1+j5] C) X e [1-Ys '0> u [1+-v5. +00> 2' 2' O) X e [1+j5; +00> E)Xe[I-;'5 ;0> RESOLUCION: Consideremos las funciones reales: F(x) = 1092 (x-2) G(x) =...;2X-4 Oonde: Oom(F)= <2; +00> Oom(G)= R y cuyas gráficas son: Entonces, del gráfico, se observa que: F(x) u<6;+00> ... (a) Oe la segunda desigualdad, teniendo en cuenta (a), se tiene: log.(x2»I .... x2>9-->x>3 ..... (~) Luego intersectando: (a) y (~) para hallar el conjunto solución del sistema: I xe<3; 4> u <6; +00> I [ Rpta. D I @ Sea x>Ol\x .. l, talque: -nM sumandos ~ x";-""'= {I09,.(1 +3+5+7+ .. )}'''''x'' , MnM su~andos' Hallarel equivalente de: E=I092I09xn A)n2(n+l)' C) n2(n+l )2_1 E)n'+n-l RESOLUCION: B)n'(n+l)'+1 0)n2+n+l Según la fórmula: m=ko- ~ log t~~J m, es la magnitud de brillo L, es el flujo luminoso, de una estrella. En primer lugar, para las estrellas más débiles: L = Lo 1\ m = 6, reemplazando: 6= ko-.§. 109 rLOJ -->ko=6 2 [Lo para una estrella con flujo luminoso: L=10o,·.Lo su magnitud de brillo m resulta: m=6- .§.109~0~.LJ --> m=6-.§..109l0~ 2 t Lo ) 2 --> m = 6 -.§. . ..! ,---..,.., 2 5 I m=41 [Rpta. D I @ Para la función real de variable real: F(x) = I092109210g2x el dominio es: A) <2; +00> B) <4; +00> C) 0)<0,125;+00> E)R+ RESOLUCION: La desigualdad se puede colocar así: I09x 2.10g2x (4x»1 .... x>O 1\ x .. 1; J...I\ 1092 (4x) x> l' 2 log2x.log2(2x) , 1 2+I092x of+x>OI\X:#1;-/\ >1 2 log2 x[1 +I092x] 1 2+1092 X .... x>OI\X .. 1 ; -1\1- AA'#:- ; -/\ OI\X"I; t 1\{-V2OI\X"I; f 1\{2·V2 u [Rpta. D I @ Resolver: { log2 (x-2)< Y2 x-4 logx(log.x2) > O A) <2; 4> u <6; +00> B) <2; 4> C) <4; 6> O) <3; 4> u <6; +00> E) <3; 4> RESOLUCION: Para la función: F(x) = log2(109210g2x) F(x) e R .... I09210g2x>0 .... log2x>2° .... Iogx> l .... x>2 I Oom(F]= <2; +00> I ~[R -p-ta-.A~I 8 Resolver: { x-IOg 6,;xlog 5-log(I+2X) log(-Yx2-4x-l +3) > O A)xe <-00; 1] B)xe<-00;2--v5] C)x e <1;2+-v5] O)x e <2+Ys;+00> E)x e [2-Ys;I> RESOLUCION: Transformando la inecuación, se tiene: 10932 .109,X·1092X>1 --> I09,x(I0932 ·1) > 1 1092X.1093[~J >1 Multiplicando ambos miembros por 10g[fJ 3, el cual es negativo resulta: log2 x. 10g'[~J. 10gf 3 < I09f 3 --> 1092 X < log~ 3 3 "",[2J3 0 C)x e <- O)xe <-<0;2> E)x e RESOLUCION: log2[x(x+3)]x(x+3»0 1\ x(x+3)<2 -->{x< -3)vx>0) I\x2+3x-2<0 .3-Vff ·3+Vff -->{x< -3)vx>0) 1\ {-2 -< x< -2-) Haciendo la intersección en la recta numérica real: o O • O O • I I I I I - u 2' '2 @ SobreC,si: [Rpta. El {: ::~I~:~:~.~,i~:~r2~XJ Calcular: [ J Y1 "P R=log. 1+ 1 2 cos kx n A)p1ti B)2knpxi 0)2kp1ti RESOLUCION: C)knp1ti E)kp1ti 10g.1. [log.(x2-3)] >0 .... 0 O 1\60< x2·3 < 61 .... {x <-V-3 v X >-v'3} 1\ {4 < x2< 9) www.Matematica1.com www com . . M atematica1 .... {xV3} A {-3 u <2; 3> 1 I Rpta. el @ Calcular el área de la región que describen, en el plano Gausseano, los números complejos z que verIfican la desigualdad: nzl2 -lzl+1 J I09y'3 l: 2+lzl < 2 A) 3" u2 B) 16" u2 2 D)25"u2 RESOLUCiÓN: La desigualdad se puede colocar así -1 (x+1-v5)2>6 .... 6 < (x+1-v5)2< 9 .... -3 < x+1-v5 < -Ve vVe < x+1-v5 < 3 .... -4 +v5< x -1 -Ve+Y5 v -1+Ve+ +v5 ~-~ u <-1+Ve+v5;2+v5> I Rpta. E I @ Se contrata un obrero para cavar en busca de fósiles al que se le promete pagar "m" soles por el pri mer fósil encontrado y por cada nuevo fósil que encuentre; se le pagará el doble de lo que se le pagó por el anterior. ¿Cuántos fósiles encontró sabiendo que en total recibió "1" soles? A) 109m [t: J B) 1ag2 [t: J C) 1ag2 [m;tJ D) logm [m;1 E) 1092 [~J RESOLUCiÓN: Primero, hallemos un equivalente para la expresión que está entre paréntesis: 1+~ = 1+cos[2~"J+i sen[2~"J 1 +~ = 2cos2 t~ }i.2sen t k : Jcost~ J 1+~ = 2cos2t~JFtk:}isentk:JJ 2~:;J costk:}isent~J = e~1 Luego, reemplazando en R, se obtiene: @ El producto de los 4 ténninos de una proporción geométrica contInua 192 veces el promedio aritmético de los mismos sabiendo que el cuarto término es par y la razón es mayor que 1. Hallar la media armónica de los términos extremos. A)3,6 B)4,8 C)2,4 E)7,2 E)10 RESOLUCiÓN: Sea la proporción geométrica continua: ,.....¡ a _ ck21 -ª-=J>.-=kl I Dato: b c ~ a x b x b x c = 192 x (a+b+b+c) 4 a x b2 x C = 48(a+2b+c) Reemplazando: ck2 x c2k2 X C = 48c(k+2k2+1) ~x ~ = ~ x 3(k+1) TTT=rIdentificando: Ik=21; ~ -+a=3x22 -+ la=121 . - 2xac Nos piden: mh(a; c) = a+c • - 2x12x3 r--~ •• mh 12+3 4,8 I Rpta. B I @ Hallar la ma de los "n° números 1 1 1 1 "6 ' 12 ' 20 ' ........ (n+1 Xn+2) A) ~ B) 2n+3 C)(1 +n)2 n D) 1 E) 1 2(n+2) 2(n+1) RESOLUCiÓN: 1 1 1 1 ma = "6' 12 ' 20 ' ..... (n+1 )(n+2) n ~J1.~1 J 1 L 2 n+2 ma n ma = n+~-~ = ~...!.)'Í-'c--_ 2(n+2)xn 2(n+2)x)'Í . 1 •• ma = 2(n+2) I Rpta. D I ~ La media aritmética de 3 números es 7. La media geométrica es par e igual a uno de los números y su media armónica es 36/7. Hallarel menor de dichos números. A)3 B)6 C)4 D)7 E)8 RESOLUCiÓN: Sean (a < b < c) los números - a+b+c • maCa, b, c)= 3 7 -+ 1 a+b+c=21 1 ...... (1) • mg(a,b,c)=b {'abe=b -+ I\Iíc = p" -+1 ac=b21 ....... (11) • mh(a b c)= 36 " 7 3abe =3-6 ab+bc+ac 7 Reemplazando: 3xb2xb -+ ab+be+b2 3b2xa "b(a+b+c) .... 3x-b-2 =3-6 21 7 -+lb=61 Reemplazando: En(l) a+c=15-+a+c=3+12 En(lI) axc=36-+axc=3x12 -+ la=31v'; IC=121 r:IR::-p-ta-.A~1 ª Tres números a, by c tienen una media aritmética de 14 y una media geométrica de :f¡ 1680. Además se sabe que el producto axc = 105. Determinar el menor de dichos números. A)4 B)21 C)5 D) 10 E) 16 RESOLUCiÓN: Se tienen los números: a, byc Dato: ma(a;b;c)=14 ......... (1) mg=~1680 ......... (11) ac=105 ......... (111) a+b+c ~--~ De(l) -3~=14 -+1 a+b+c=42 1 De (11) -?'8bC= {' 1680 -+ 1 abe-1680 1 .......... (IV) (111) en (IV): bx105 = 1680-+b = 16 :. a+c=26-+a+c=21 +5 axc= 105-+axc=21x5 -+ la=211; Ic=51v' I Rpta. el www.Matematica1.com @ En un salón de 1/4 alumnos tiene 15 anos; 2/5 del resto tiene 13 anos y los 27 restantes tienen 11 anos. Si entran luego 3 alumnos cuya suma deedadeses63. ¿Cuál es el promedio de edad del alumnado? A)13 B)12 C)14 D)15 E)16 RESOLUCION: Sea N el número de alumnos de una aula. al~~;:os fl fl rl rl P!~~~iO ~ lEJ Ld Ld , ¿ v Promedio ponderado: E= 15xI5+18xI3+27xll+3x21 15+18+27+:.:3~_~ :. E=13 [Rpta.AI 8 Dos números son proporcionales a dos pares consecutivos cuya mh es 4,8. Hallar el mayor de los números si la suma de los números excede a la diferencia de los mismos en 32. A)24 B)32 C)28 D)18 E)26 RESOLUCION: Sean M y N los números que son proporcionales a los números a y a+2 (a: número par). Dato: mh (a; a+2) = 4,8 --> 2a(a+2) 4 8 a+a+2 • a(a+2) 24 -->~=5 --> 5xax(a+2) = 24(a+l) Identificando factores: ax5x(a+2) = 4x(a+l )x6 1fT TTT Dato: (M+N) - (N-M) = 32 10k -2k=32 8k=32--> ~ :. N=6x4=24 [RPta.A I @ El promedio deAy 10 es 15. El promedio de C y 15 es 10 y el promedio de lOA, 35 By 15Ces 185. Hallar el valordeA+B+C. A)32 B)33 C)29 D)31 E)30 RESOLUCION: Datos: A+l0 o ma(A;10)=15-->-2-=15 --> 1 A=20 1 o ma(C;15)=10--> A~10 =10 -->IC=51 o ma(10A; 35B; 15C)= 185 10A+35B+15C = 185 3 1 0(20)+35B+15C = 555 35B=280 -->IB=81 Nos piden: A+B+C = 20+8+5 = 53 [ Rpta. B I 8 La diferencia de 2 números enteros y positivos es 3n. Hallar el mayor de ellos, si se sabe que la media aritmética y media geométrica de ambos son 2 números pares consecutivos. A)89 B)99 C)93 D) 100 E)97 RESOLUCION: Sean a y b los números (b < a) Datos: o a-b=3n o maymg--> son dos números pares consecutivos -->ma=x+l ; mg=x-l donde x: número impar Propiedad: I (a-b)2 = 4(ma+m¡j)(ma-m¡j) I Reemplazando: (a-b)2 =4(x+l +x-l )(x+l-x+l) (a-b)2=4.(2x)-2 = 16x --> 3n2= 16x 3n= Y16x=4Vx x:impar:3n=4x@=36 01 n=61 o Vx=9--> 1 x=811 o ma=81+1=82 a+b -2-=82-->a+b=164 ....... (a) a-b=36 ....... (~) De(a)y(~): :.a=100 [Rpta. D I @ En un curso, la nota promedio de las secciones A y B son 14 y 18 respectivamente. La sección B tiene 1/3 del número de alumnos que tiene A. Si la relación del número de alumnos se invierte. ¿En cuánto aumenta la nota promedio al juntar las dos secciones? A)4 B) 1 C)5 D)3 E)2 RESOLUCION: [ ler.caso: I Aula A Aula B Aula única ialfbl ..... ~ ~ ~ ~ ~ Dato: b= ~ -->la=3bl Por promedio ponderado: P = 14a+18b 14(3b)+18b 15 a+b 3b+b 1 p = 151 [ 2do. caso: I AulaA Aula B fblial ..... ~ ~~ ~ ~ Por promedio ponderado: P = 14a+18b 14b+18(3b) b+a b+3b :. 1 P, = 17 1 El promedio aumenta en: 17 -15 = 2 @ Hallarel promediode~O, 40, ~0, ... ,40, "n"veces Y ,50, 50, ~0, ... ,50, "4n" veces A)48 B)46 C)47 D)45 E)44 RESOLUCION: Se tiene los números: ~0,40,~0, ... ,40" ,50,50,~0, ... ,50, "n-veces "4n"veces 40+40+ ... +40+50+ ... 50 ma= n+4n 40+40x4n 240n ma= 5n 5n :. ma=48 InlA ..... R WW ~ ~ Por promedio ponderado: x 40.n+50.4n = 48 n+4n [Rpta.A I @ La mg de dos números es 4 y la iTiIi es 32/17. ¿Cuál es el menor de los números? N4 ~2 q3 ~5 ~1 RESOLUCION: Sean a y b los números. Dato: mg(a; b) =4 - 32 mh(a;b)=17 Reemplazan,-;:do:::,: ----:-::0 o Val) =4 ~ lab=161 ..... (1) 2ab 32 o a+b = 17 ..... (11) (1) en (11): 2x16 32 a+b = 17 --> a+b = 17 ..... (111) De (1) en (111): a+b= 16+1--> 1 a= 161 axb=16xl--> 1 b=11 :. El menor de dichos números es 1. I Rpta. E I @ De una muestra de "P" personas, el promedio de las edades de los que bailan es 0q" años, de los que no bailan es "1" y el promedio de las edades de todas las personas es "E" años. ¿Cuántas personas bailan? www.Matematica1.com www com . . M atematica1 A) P(q+r) B) P(E-r) E r-q D) P(r-E) r+q RESOLUCiÓN: C) P(r-E) r-q E) P(r+E) r-q Se tiene "pO personas de las cuales "a" bailan y "bll' no bailan :. la+b-pl [J [J ~ [:J+b pe~~as .,. ® Edad q r promedio Bailan No bailan Aplicando Regla del aspa: (q 1 D = 71 . 49 D • l' 6040 = ~ --> 11_ 30 1 . 40-1 I . . C)142 E)145 'A 60-A=~-->IA=401 . A-30 I . . 49 N • N:N=16~N=V49x16 1 N = 281 Nos piden: H = D+I+A+N+A= 7+30+40+28+40 :. H = 145 [ Rpta. E I @ En un instante de una fiesta, el número de hombres que no bailan es al número de personas que están bailando como 5 es a 6. Además el número de damas que no bailan es al número de hombres como 7 es a 8. Encontrar el número de hombres que no asisten a dicha fiesta. si el total de personases 180. A)60 B)70 C)55 D)90 E)180 RESOLUCiÓN: Sea "n" el número de hombres que están bailando, osea H. = n en consecuencia M. = n H M n n BAILAN I a b NO BAILAN I a 5 C5nl Dato(1) n+n =6 --> ~ b 7 b 7 Dato (2) n+a = 11 --> ------sn = 11 n+3 -+ -ªº-=L -+ lb = 7n I 8n 8 3 Dato(3) H+M=180 (n+a)(n+b)= 180 5n 7n 2n+-+ -=6n=180 3 3 -+ln= 30 1 Nos piden: 5n 8n 8x30 H = n+a = n+-=-=-- 3 3 3 :.H=80 [Rpta.EI @ Un motociclista parte de un punto "A". simultáneamente un ciclista sale de un punto "B" distante 800 mt del punto "A". Ambos recorren el camino ABX en el mismo sentido, con velocidades iniciales que son entre si como 11 es a 3; pero una vez que el motociclista alcanza al ciclista. la razÓn de velocidades es como 7 es a 2. Calcular la distancia del puntoA al punto en el cuál el ciclista está atrazado 2500 mt respeclo al motociclista. A)2100mt B)2300mt C)1800mt D)1870mt E) 1500mt RESOLUCiÓN: ® Pto.de @ .~ A B D E M- 800 mt --->1 M-2500 ml--->l Dato: V_o. =11; IAB =800 mt I Vddlsla 3 . . ObservacIón: Cuando el tiempo es común se cumple que la relación de espacios recorridos es a la relación de sus velocidades. -+AC- =11- -->BC- -=BC- =-3 - BC 3 AC-BC 800 11-3 -+ I BC = 300mt I Dato: V_o. =L; DE = 2500 mt Vddlsla 2 - -+CE- =7- -->CD- -=2- CD 2 CE-CD 7-2 -+2~~0 = ~ --> ICD=1000mtl Nos piden: - - -- AD=AB+BC+CD AD=800+300+1000 ~-,----, AD=2100mt [Rpta.A I @ Se han sacado 24 litros de un barril lleno de alcohol, después se ha llenado con agua y de esta mezcla se han sacado otros 24 litros y el barril es nuevamente llenado con agua. Si la cantidad de alcohol que queda en el barril es a la cantidad de agua que hay en el barril como 25 es a 24. ¿Qué capacidad tiene el barril? A)901t B)721t C)841t D)861t E)801t RESOLUCiÓN: V: Volúmen del barril (1) (11) Seextrae@ y se reemplaza por agua (111) ~ Agua 24 Alcohol ~-24~ Agua = Alcohol Proporción de 24 V-24 los componentes L..:"----_-=--=-'------' (IV) Seextrae@ de la mezcla Agua 24 Alcohol V-24 de los cuales: Agua+Alcohol _ 24 V - V ~ I Alcohol = ~ (V-24) I Luego la cantidad de alcohol que quedaes: 24 (V-24) -V (V-24) (V-24)2 => Valcohol final = -V-= A => Vaguafinal = V-d Dato:~= 25 -+~=~= 25 V-A 24 V 25+24 24 Reemplazando: (V-24)2 V = (V-24)2 = r V-24J2J 5J2 V V2 l V l7 V-245 V 77 -+--=---+-=-=- V 7 24 7-5 2 :.V= ~X24-+V=84 [Rpta.cl @ Si los términos: a; b; e y d forman una proporción geométrica y además: 6859x(a2c+ac2) = 4913x(b2d+bd2) Hallar: Q= c2+ a2 +YaC d2+ b2 + v'bd www.Matematica1.com A)~ 19 D)~ 19 B)~ 19 RESOLUCiÓN: Se tiene: ~ = ~ = k De: ~ = k~ 1 ~~ = k'l ~ a'.c = k' k = k' b'.d . De: ~ = k~ 1 ~~ = k'l ~ c'.a = k' k = k' d'.b . a2e ac2 De: b2d = b(j2 = k' a'c+ac2 _ , ~ b'd+bd' - k Dato: C)11 19 E)~ 23 6859(a'c+ac2) = 4913(b'd+bd') a'c+ac' 4913 = r 17J' ~ k' = b' d+bd' 6859 l. 19 l~k=171 19 De' .l'.=..c:. = k~ axc = k' . b d bxd ~IYaC=kl y'bcf Igualando: vc'+a' YaC c2+a'+YaC '"c-=C'--"i~= k Vd' +b' y'bcf d' +b' +y'bcf :.Q=k~Q=~; I Rpta.sl @ Si: ~ = ~ = ~ Hallar: r"C8""c"-;dC"+e-;"a""C_9""ea---' 'b ---;b""c+""'d"+cop' H= x~~~ 8d4 +f2 t>-9db' a' +c' +e' A) 1 B) 2 C) 3 D)..!.. E)..!.. RESOLUCiÓN: 2 8 Se tiene: ~=..cl..= JI. = k b d f r--"~ a e / ~ De'-=-=k . b f "'-1 ~ =k'l ~ Itx~=k'l ....... (1) c c' 8c'xd De: (j= k~(j3= k'~ 8d'xd' 8c'd ~ 8d'd3 = k 3 .... (111) a e 9 a2 +c3 +e3 ° I)=(j=f= k~ b3+d3+P k 3 Igualando (1); (11) Y (111): 8c3d = e'a = 9ea'b = k' 8d4 f2b 9db3 Por propiedad: 8c' d+e' a-9ea' b 8d4 +f2 b-9db3 = k 3 Reemplazando en H: H=~J<áx ;.=v'1 :. H = 1 Ir:Rp::-:-ta.--'A"1 @ Se cumple que: a c e I)=(j=f b d f a c e Y· -+-+-=48' -+-+-=27 'mnP 'mnp Hallar: A)..1.. 3 D)-ª- 4 M= ax+cy+ez bx+dy+fz B)J!.. 5 RESOLUCiÓN: S e f lene: Ia) =c( j=ef = k C) ..11!. 13 E)-ª- 8 Dividiendo cada ténnino convenientemente: a c e -=-=- m n p -b+ -d +f m n p Por propiedad: -a =-c =ek = _m_ _n_ -:.p_ -b+ -d +f m n p Por dato: ~ +-"- + -"-= 27 m n p ..tl..+..cl..+...!..=48 m n p k 27 9 Reemplazando: k = 4s = 16 . . _ ax+cy+ez Nos piden. M - bx+dy+fz a c e De: I)=(j=f=k Multiplicando convenientemente cada término: ~ _ .EL _ ~ _ ax+cy+ez k bx - dy - fz - bx+dy+fz :. M =Vk=~ 1 9 6 ~M 3 4 I Rpta.DI @ Secumpleque: ~=..tl.. =-"b n p m'+n' _.É... p'+n' _11' y m'-n' - 4' p'-n' - 8 Hallar: E ab+bc+ac a2 +b2 +c2 82 A) 115 B).!1! 117 87 C) 115 81 D) 103 85 E) 103 RESOLUCiÓN: Por proporciones: Se tiene: m2 +n2 5 4 m2 +"2 +m2 _n2 5+4 ~ = m'-n'-(m'-n') 5-1 ~m'=~~lm=31 n' l' n 1 p'+n'+p'-n' 17+8 25 p'+n'-(p'-n') = 17-8 =9 ~...!"...=...§'...~I p = 51 n' 3' n 3 ~ -"'- _ 3x3 ~ 1 m _ 9 1.1 P _ 51 n - 1x3 n - 3 • n - 3 • m n p • • g=""3=S=k :. 1m = 9k 1; I n = 3k 1; I p = 5k I Reemplazando: -a --b c - 9k-3k-5k a-9 a b c r- q ~-=-=-=q -b=3q 9 3 5 \""""'C=5q Nos piden: axb+bc+ac E= a2 +b2 +c2 E = 9x3q' +3x5q'+9x5q' _ 87q' 81q'+9q'+25q' 115q' • 87 .. E = """i15 I Rpta. C I @ Se tienen 3 recipientes de vino cuyos contenidos están en la relación de 9; 6 Y 10. Se pasa °a"litros del primer al segundo recipiente y luego °b" litros del tercero al segundo. siendo la nueva relación de 4; 6 Y 5 respectivamente. Calcular el volumen final del tercer recipiente. Si: a - b = 14 A) 120 B)135 D)138 RESOLUCiÓN: C)175 E)177 Se tiene 3 recipientes cuyos volúmenesson: V1 ;V2;V3 V,= V'=~=k 9 6 10 ~-, ~ Iv,= 9kl; IV,=6kl; IV3=5kl www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Nuevos volúmenes: (V,-a): (V2+a+b); (V.-b) Dalo: 9k-a = 6k+a+b = 10k-b 465 9k+6k+10k 25k .... = 4+6+5 15 De: 9k-a = ~ .... 27k-3b = 20k 4 3 .... Ia=7 3 kI De: 1 Ok-b = ~ .... 30k-3b = 25k 5 3 .... Ib=5 3 kI Dalo: a-b = 14 Reemplazando: ~k _ ~k _ 23 k = 14"" 1 k = 211 Nos piden: V3=V",,(.)=V.-b = 10k- ~ = 25k 3 3 :_ V,= 2~k x21 = 175 1 Rpta. el ª Se cumple que: a 2 b 2 c 10 b=3; "=5 y (j=a además: a2 +b2 +c2 +d2 = 3789 Hallar: 392(a+b+c+d) 185(ab+bc+cd) 3 B) 47 D)~ 45 RESOLUCION: Se tiene: -a=2-'b -=2- y -c=5- b 3'c 5 d 4 Convenientemente: 1ro.: 2do.: Se completa: a:2 a:2@@ b:32 b:32@ c: 5 5 c:@ 5 5 d: 4 d:@@ 4 3ro.: Se multiplican y luego se simplifican: a:2x2x6 ~ 4 b:3x2x6~ 6 c:3x5x6~ 15 b:3x6x4 ~ 12 Dalo: a2 +b2 +c2 +d = 3789 . a2 +b2 +c2 +d2 Por propiedad: 42+62+152+122 k2 :. k2 = 3789 = 9 .... 1 k = 31 421 . . _ 392(a+b+c+d) Nos piden. H - 185(ab+bc+cd) a+b+c+d Sabemos: 4+6+15+12 = k = 3 axb bxc cxd .... 4x6 = 6x15 = 15x12 .... axb+bxc+cxd = k2 = 9 24+90+180 ab+bc+cd = 9x294 = 2646 392x111 Reemplazando: H = 185x2646 4 H=45 1 Rpta.A I ~ Si' ~=~=~=~ ~ . 2 b d f Además: y: Hallar: A) 120 axb+cf= 168 c+de+f=90 c2 +f2 B)144 D)320 RESOLUCION: Se tiene: a 48 c e 2=b=(j=f C)225 E) 180 De: ~ =~ .... axb = 2x48 = 96 2 b Dato: axb+cxf = 168 T 96+cxl = 168 .... 1 cxl = 721 Dato: c+de+f = 90 De: ~=~~de=cf=72 d f Reemplazando: c+1+72=90 .... 1 c+1=18 1 Nos piden: c2+ f2 = (c+f)- 2cf= 18-2r:x~7::,2--;:,-, :. c2+f2= 180 1 Rpta. E I @ Se tiene una serie de razones geométricas continuas equivalentes, donde cada consecuente es el doble de su antecedente, además la suma de sus extremos es 260. Indicar el mayor término. A) 246 B)256 D)128 RESOLUCION: C)140 E) 220 Se la serie de razones geométricas equivalentes continuas: a 2a 22.a 2'·1.a •• 2a=22:8=22:8="'=2ii:B=k Dato: a+2'.a = 260 ...... (1) a(2' +1) = 4x65 TT TT Identificando factores: la=41; 2'+1=26+1 .... ln=61 En(I): 4+2'.a = 260 El mayor término es: 2'.a = 256 1 Rpta.B I @ Se cumple que: ~ = 1~ = : y además: 7ac+5ae-21b = 12bd c2 ·e2 Hallar: - •• c -e A)21/219 B)31/219 D) 17/219 RESOLUCION: Seliene: ~=~=~ b c e C) 17/231 E) 17/319 De: ~ = ~ .... 1 ac = 10b 1 b c ~=: .... Iac=bdl Dalo: 7xac+5xae-21 xb = 12xbd Reeemplazando: 7x10b+5xbd-21xb= 12xbd 49~=1qd~ 1 d=71 De: ~=~""1~=1701 Nos piden: c2_e2 102_72 51 17 --=--=--=-- c'_e' 10'_7' 657 219 '=:1 Rp:"='ta-. D~I @ Las edades de Margot y Carolina están en la relación de 9 a 8, dentro de 12 años estarán en la relación de 13 a 12. ¿Calcular la suma de las edades quetenian hace 7 años? A)37 B)29 C)41 D)39 E)43 RESOLUCION: Sean las edades de Margol y Caroli- ~:t~YClHJ ~=~ {M=9k C 8 C=8k Dentro de 12 años sus edades serán: (M+12) y (C+12) Dato: M+12 13 C+12 = 12 .... 12(M+12)= 13(C+12) 12M+144 = 13C+156 ,12(9k) ~ 13(8k),= 12 4k =12 .... 1 k=31 Reemplazando:;.-_, M=9x3 ~ 1 M=271 C=8x3 ~ 1 C=241 Hace 7 años sus edades eran: 20 y 17 __ • Suma de sus edades: [ [ 20+17=37 Rpta. e @ Los números A, ByCson entre si como los números 18; 9 Y 12 sabiendo que la cuarta diferencial de A, B Y C es igual a 15. Hallar la cuarta proporcional deA; By C. A) 25 B)32 C)48 D)30 E)35 RESOLUCION: Setiene:A=~=~ 18 9 12 Reduciendo: ~=~=~=k 6 3 4 .... I~A-=-6k'l ; 1 B = 3k 1 ; 1 C = 4k 1 Dato: La cuarta diferencial de A, B Y Ces 15. A - B = C - 15 6k-3k- 4k-15 .... lk= 151 www.Matematica1.com A C Nos piden: B = ® B.C ~x=A= 3.k.4.k = 2k = 2x15 6.k :. IX=301 [Rpta. D 1 @ Se tiene una serie de 4 razones geo· métricas equivalentes donde el se· gundo y cuarto antecedente son 65 y 117. El primer y tercer consecuente son 14 y49. Hallar la media aritméti· ca del segundo y cuarto consecuen· te sabiendo que la suma del primer y tercer antecedente es 117. A)98 B)49 C)30 0)27 E)52 RESOLUCiÓN: Sea la serie: ~=~= -"-=Jl = k b d f h Datos: c=65;g=117;b=14; f=49;a+e= 117 a e a+e 65+117 13 De: I)--¡--ti+f d+h 17 ~I d+h =981 Nos piden: d;h = 9: = 49 "'=[ Rp:-:ta-. 8=->1 @ Se tiene una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero. Sabiendo que la suma de ex· tremos menos la suma de los me· dios es 450. Hallar el máximo valor que puede adoptar el primer antece· dente. A) 1800 B)512 D)324 RESOLUCiÓN: C)820 E) 2000 Sea la proporción: a b ~la-ck21 I)=c=k, "---1r.-b-_--cck"l Nos piden: a =?? (máximo valor) Dato: (a+c)- (b+b) =450; ck2+c-( ck+ck) = ck2-2ck+c = 450 t(k2·2k+1) = 450 c(k-1)2 = 450x12 TT TT Identificando factores conveniente· mente: '1c --4;-;;50"'1 ; 1k = 21 :. a = 450x22 = 1800 I~R=-P-:ta-.-:A"I Q S'. ~= c+a = b+c = P 'el' l. b b+d c+d Hallar: ab+bc+ac c(a+b+c) A)p B)p+1 D) p2+p RESOLUCiÓN: C) p2 E)dxp . a c+a b+c Se Hene' -=--=-- = p . b b+d c+d Por propiedad: • ~= c+a = (c+a)-a ~ ~=Jl. b b+d (b+d)-b b c • ~ = ~ = b+c = (b+-"J-,é b b d c+d (c+CI}ll c Ordenando convenientemente: a b c l)=c=(j=P ~ '1a- -":'dP":-,31 ; 1b - dP21 ; '1c ----:dp'l Nos piden: ab+bc+ac H = -=0--=0'-= c(a+b+c) Reemplazando: H = dp3.dp2 +dp2.dp.dp.dp dp(dp3 +dp2 +dp) H = .d2pZ.p~ P ~~ Ir =:-:--:-I Rpta.A ~ Si' ~=~=-º-=~. lClI 'a b c 3' Hallar el valor de: A+B+C+18 a2+b2+c2+27 A"+B2+C2+40 a+b+c+27 x A2+B2+C2+27 x a"+b2+c2+135 A) 2/3 B) 1 D)4/9 RESOLUCiÓN: C) 8/27 E) 3/7 ABC11í2 De: a=l)=c=a¡=3 A+B+C+18 2 ~ = a+b+c+27 3 A B C 2 De.' -a =-b =-c =3- A2+B2+C2+18 12 4 ~ -=- a'+b2+c'+27 27 9 A2+B'+C'+12 4 ~ a2+b'+c2+27 9 De' ~=~=-º-=~ . a b c 3 A3 _ B3 _ C3 _ 40 _ 8 ~ a3-b3-C3-135-V A2+B'+C'+40 8 ~ a2+b'+c2+135 27 Nos piden: A+B+C+18 a2+b2+c2+27 A"+B2+C2+40 '-'-Cc--=~ x x 7~-';;-~ a+b+c+27 A2+B2+C2+27 a"+b2+c2+135 Reemplazando: 2 9 8 4 S-x 4 x-V=g @ Si: ~ = : = ~ = ~ además: [RPta. D 1 (a+c)(b+d) [VAC+v'B5l" - [yac+ y'lid14 x (A+C)(B+D) pq Calcular el menor valor de p+q: A) 6 B) 5 C) 9 D) 5 E) 2 RESOLUCiÓN: A BCD Dado: -=-=-=-=k a bcd De: ~=-º-= A+C = k } a e a+c ~=.Cl.= B+D = k b d b+d A+C B+D ~--=--=k a+c b+d ~ (A+C)(B+D) _ 2 (a+c)(b+d) - k De: ~=-º- =k~ AC =k2 } a c ac ~=.Cl. =k~ BD =k2 b d bd ~ ...¡¡¡¡; = v'B5 = k YaC y'6C Dato: (a+c)(b+d) [VAC+v'B5l"[ yac+ y'lid14 x (A+C)(B+D) = pq Reemplazando: (p+q) minlmo 1 ,,--@ -xk4 =k2=pq k2 '---@ .-. (p+q) mlnimo es: 7 [ Rpta. 8 1 @ En la siguiente serie de razones geométricas equivalentes: a c e Jl I)=(j=¡= h Se cumple: ad +fg = 324 Hallarel valor de: H = ";C:a:C:bcd~+:::Cacfh~+-ob-Cdc-eg-+-e~fg-o-h A) 260 B)324 C)l80 D)260 E) 230 RESOLUCiÓN: Se tiene: ~ = ~ = ~ = ~ =k ... (I) Nos piden: H = ";"a~bcd~+-a-cfh~+~bd~eg-+-efg~h Factoriza;"n"'do ______ H =" ac(bd+fh)+ eg(bd+fh) H = " (bd+fh)(ac+eg) De(I): Eil EIl Ic=dxkl le=fxkl Reemplaza~_nd_o_: ____ _ H = ~ [f .d+f. t J(a .dk+fk.g) H = Y (ad+fg),k(ad+fg) H = ,(ad+fg)2 - ad+fg ~_-, Dato: ad+fg = 324 [ Rpta. 8 1 1 8 Hallar el ténnino de lugar 22 en: 2;4;6;20;58; 132; ........ www.Matematica1.com www com . . M atematica1 A) 8002 B)14328 D)24032 RESOLUCiÓN: C) 16004 E) 7229 2JJJU~32; ... Raz6n:r+21 +2 +14 +38 +74 ~.........."..........,,'-" O +12 +24 +36 '--" '--" '--" +12 +12 +12 Sucesión de tercer orden (cúbica) considerando el método práctico directamente: T ,= 2+(n-l ).2+k(n-l )(n-2)(n-3) Paran=4: T4=,2-(4-1).2+k.3.2.1 =20, v k=2 T22= 2+22(22-1).2+2.21.20.19 = 16004 1 Rpta. C I @ Dar el ténnino enésimo en: _1 .~. 27. 256 3 • 6 ' 9' 12 , ......... . A) _1 B)_n_ 3' n+2 C)--"'- n+2 D)-"" 3 nn-1 E)- 3 RESOLUCiÓN: (Método analítico) Analizando los numeradores y denominadores, tratando de hallar una ley de formación. Luego se encontraráque: Numerador: 1; 4; 27; .j. .j. .j. l' 22 33 256; .......... ; enésimo .j. .j. 44 nn Denominador: 3; 6; 9; 12; .......... ; enésimo .j. .j. .j. .j. .j. 3.1 3.2 3.3 3.4 3.n . nn nn-1 .. T,= 3n =-3- ª Hallar el término que ocupa el lugar 18 de la siguiente PA +20; 16; 12; ......... A)48 B)-52 C)-48 D)52 E)-44 RESOLUCiÓN: Como es una sucesión aritmética, ya que: 2'tJ.6J2; ..... }T,=20 -4 -4 r=-4 Como: T ,=T,+(n-l)r Q T= 20+(n-l)(-4) T=24-4n Luego: Para n = 18-+ T,.=24-4(1;.8)~_~ T,.=-48 1 Rpta. C I @ Hallar"n"en: _1 .-ª-.-ª-. Ji. 2 ' 12' 6 ' 16' ........ S . 29 1: a, = 30 A) 10 B) 16 C) 15 D) 14 E) 12 RESOLUCiÓN: Como: 9 1 14 5 12=2 Y 16=e Luego la sucesión será: Números impares se enésimo ~ deduce -).. 1 . 1 . 5 . 7' _ I2n-l \ ,2; 4 ~ 6; 8 j .... _ ~ Números pares Q 2n-l a,=-- 2n -+ n = 15 I Rpta. C I Hallar el vigésimo término en: 1;5;19;49;101; ........ A) 7600 B)8001 D)4421 RESOLUCiÓN: C)7601 E) 7281 Observando las diferencias sucesivas. T'=t_A.J9z..J9Jl; ....... a=+4 +14 +30 +52 "--" "--" "----" m=+10 +16 +22 "--""--" r=+6 +6 Luego: T - T (n·l)a (n-1)(n-2)m (n-1)(n·2)(n·3)r n- 1+--+ + 1 1.2 1.2.3 Para n = 20 T -1 194 19.18.10 19.18.17.6 20- + . + 2 + 6 Too = 7601 I Rpta. C I ~ ¿Cuántos términos de la sucesión: 13; 16; 19; ...... ;613 resultan tener raíz cuadrada exaota al sumarle 2 unidades? A)l B)7 C)ll D)10 E)53 RESOLUCiÓN: El término enésimo será: T=3n + 10 Según enunciado: VT ,+2=k; k: entero positivo .j. 3n+l0+2=k2 3(n+4)=kn+4=3p 3.3p2= k2 Pero: 13<9p2<613 1, .... n E {6; 7; 8;9; 10} @ Hallaraosi: 8 n+1 = 8 n+;2+an; n;;:: 1 a" = -11 [Rpta. B I A)8 B)-8 C)11 D)-11 E)64 RESOLUCION: Como: 8n+1 = an+~an -+8n=8n+1-8n+2 Para n = 8 -+88=89-810 Para n = 9 ->a9=a,,-a,,) (+) ao+~=~-a11 88=811 ao=(-11) (dato) ao = 11 r.R[ p=--:-ta--:c. :-ll @ En el siguiente arreglo: S,->1 S2->4;9 S,-+16;25;36 S4-+49; 64; 81; 100 • ••• • • ••• • • ••• • • ••• • • ••• • • ••• • Hallar la raiz cuadrada del término central de S25 A)315 B)325 D)328 RESOLUCION: S 1-> 12=t 1 22r C)313 E)411 S2 -+ 22; 32 = t 2 2 3 r S,->42; 52; 62-> (1+2+3)2=t 3 2 4r Luego: +12 +12 1 S ~~r25.2612 25 -+ 81 •••••• x , ...... -e 2 ) , ~~------~/ "25 términos" Término central: X2 25.26 donde: x+12 = -2- x = 313 La expresión a calcular será: v'X2 = x = 313 ¡r.Rp:-:-ta.--:c:-l1 ª Según el siguiente arreglo: D, /1 D2 1 .l D I 1 I 1 3 1 # I D I / I 4 '1'2'1 # ,/"1 ,'"3 ,1" 3,1, ,'1 ,1D s ~" .. "///,, " 1,'4,' 6,'4 ,'1,1 '''. I I ' I I I /1/5/10/10/5/1 Calcular el valor de t'5en la diagonal número cuatro (D4) A) 720 B)460 D)912 RESOLUCION: Observación: ·02:1;2;3; .......... ;n C)564 E) 680 primeros números naturales .D,:1;3;6; ......... n(n 2 +1) primeros números triangulares • D.; 1;4; 10; ........ n(n+1)(n+2) 6 primeros números cuadrangulares Luego piden el término 15 de la secuencia de los cuadrangulares el cual será: 15.~.17 680 [Rpta.EI Q Hallarellérmino enésimo en: é 5; 11; 19;29;41; ........ A) n2+3 B) n2+4n C) n2+2n+2 D)n'+3n+1 E)4n+1 RESOLUCION: 5010 9U 90 1; ...... +6 +8 +10 +12 '--'" '-..-/ '-..-/ +2 +2 +2 M~TODO PRÁCTICO: PRIMERO: Se considera como si fuera una sucesión aritmética del 1 ero orden: 501; ........ +6 T 0= 5+(n-1)= 6n-1 SEGUNDO: Pero como es de 2do. orden, le aumentamos k(n-1)(n-2) para que de este modo salga cuadrático y además que esta última expresión se debe eliminar para n=1 y n=2. Para hallar "k" se utiliza el tercer término, dandoan=3. T 0= 6n-1 +k(n-1 )(n-2) paran=3 T= ~(3)-1 +k(3-1 )(3-2) = 1!!, k;1 Luego. T 0= 6n-1 +(n-1 )(n-2) T 0= 6n-1 +n2-3n+2 Tn=n2+3n+1 [Rpta. D I @ Dada la sucesión numérica: {T,)n;' 1 ={; ; ~ ; ~; ~~; .... } ¿a partir de qué lugar los términos de la sucesión son menores que 3/4? A) 10mo B) 11""" D) 13·"" RESOLUCION: C)12""" E) 14""" Cálculo del término enésimo de los numeradores: U09; 11; ........ +2 +2 To=5 r=2 T 0= 5+(n-1).2 =2n+3 Para los denominadores por simple inspección: 3' 6' ,¡.' ,¡.' 9; ....... enésimo ,¡. ,¡. 3(1) 3(2) 3(3) 3(n) Luego el enésimo de la sucesión: T= \ 2~~3 y < ! I (COndiCiÓrn_) _~ 12 Y1=6 )+2 n=2 -> Y2=8 n=3 -> y,=10)+2 Observamos: Y1; Y'l. ya; ........ Forman una progresión r=---~ aritmética de razón 2. ¡ Rpta. D ¡ @ Dadas las sucesiones S, y S", hallar cuántos ténninos comunes tienen ambas sucesiones: S,=5; 8; 11; 14; ....... ; 122 S2=3; 7; 11; 15; ....... ; 159 A)20 B) 11 C) 12 D) 10 E)41 RESOLUCION: Hallando los términos enésimos para: S, =T 0= 3n+2 =3+2 =3-3+2 = 3-1 para: S2=To=4n-1 =4-1 Los ténninos comunes deberán ser múltiplos de: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 3:4-1 = 1'2-1 y tendrán la siguiente forma: tk=,12k-\< 122Ásegún 8,) k<10; ......... . -+ke{l;2;3; .......... ; lO} Quieredecirqueexisten [ Rpta. D [ 10 términos comunes.. . @ En el siguiente triángulo numérico, hallar la suma del primer y último término de la fila 25. 1 3 F2 7 9 11 Fa 13 15 17 18 21 23 25 27 / A) 625 B)325 D)1250 RESOLUCION: F. C)650 E) 3000 Observando las filas impares: Suma de extremos F1:1=1~2 x2 Fa: 7 9=32 11-7+11=18 ~~ ( )2 x2 F.:21 .25=5~ 29-21+29=50 ~~ ( )2 x2 Se deduce que en la fila 25, la suma de extremos será: 2.252= 1250 I Rpta. D I ~ Hallar una fracción tal que si se le suma su cubo se obtiene el cubo de la misma fracción multiplicada por: A)3/4 B)514 C)7/4 D)1/3 E)2/7 RESOLUCION: Sea la fracción "r'. 41 Del problema: f + f3 = f3. 25 -+f+f3=f3·~f3 -+f=..1EI.f3 25 25 :.f=: [Rpta.sl @ ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta quintuplicada si se agrega a sus 2 términos su denominador? A)1/3 B)1/5 C)3/4 D)1/9 E)5/9 RESOLUCION: Sea la fracción: ~; Por condición: a+b = 5......... -+ a+b = 5 ......... b+b b b+b b -+ a+b = lOa -+b=9a . a 1 001)=9 I Rpta. D I ~ Una casa es de 2 hermanos. La parte del primero es los 5/13 de la casa y esta valorada en 800 soles. Hallar el valor de la parte del otro hermano A)208oo B) 10020 C) 11200 D)12800 E) 13000 RESOLUCION: I C I 15/13 C 1 5/8 C 1 '---y----' Le toca al primero Por condición: 1 5 3 C = 8000 -+ C = 8000 La otra parte costará: 5 8 -C =- (20800) = 12800 13 13 [Rpta. D I @ ¿Cuánto se le debe de quitar a los 2/3 de los 517 de los 6/5 de los 3/4 de 21 para que sea igual a la mitad de 113 de 2/5 de 3/4 de 14? A) 5311 00 B)69/10 C)79/10 D)83/10 E) 97/1 O RESOLUCION: 2 5 6 3 3 '7"5'"4'21 = 9; 1 1 2 3 7 2"3'5-"4'14=10 Por condición: 9-x = 1 7 0 :. x = ~~ [r:R""'p-ta.--:D--1 ~ ¿Cuál es la cantidad que debe agregarse al numerador y denominador de la fracción 4/7 para que la fracción resultante este comprendldaenlreO, 7yO,75? A)2 B)3 C)4 D)5 E)6 RESOLUCION: Sea la cantidad "x". Por condición: - 7 < -4+-x < -3 ~4 ~ 11 Del: 35 •• x [Rpta. el @ Dos grifos A y B pueden llenar un tanque en 12h. El grifoAfuncionando solo puede llenarlo en 28h. Estando vacio el tanque se abre el grifo B. ¿En cuántas horas lo llenará? A) 18h B)20 C)21 D)24 E)27 RESOLUCION: AyBlollenanen12h Alo llena en 28h nB" en una hora hará: 1 1 V 12 V - 28 V=21 ENUNAHORA lIenan:....LV 12 llena: _l_v 28 lh V 21 V t = 21 I Rpta. e I @ ¿Cuál es la menor fracción mayor que 5/12 tal que al sumar veces el denominador al numerador y veces el numerador al denominador, se obtiene corno numero 2? A) 6/13 B) 10/17 D)8/19 RESOLUCION: C)9/16 E) 7/19 Sea la fracción: -"- . donde -"- > 2. b ' b 12' P or con d"ó a+nb 2 ICI n: b+na = -+ a+nb = 2b+na a 2-nb -+ a(I-2n) = b(2-n) -+ 1)= 1-2n 2-n Del problema: 1-2n > -+ n > 95; nml, = 10 :.~ = 1 8 9 I Rpta. D I @ Al mirar un reloj observo que los 7/5 de lo quedaba del dla era igual al tiempo transcurrido ¿Qué hora es? A)6a.m. B)12a.m. C)9p.m. D)10p.m. E)2p.m. RESOLUCION: H 124-HI '---y----' '---v---' Transcurren Falta Transcurrir Por condición: ~ (24-H) = H 168-7H =54 168= 124 H=14h [Rpta.EI @ Los 2/5 de un barril mas 3 litros son de petróleo y 6/7 menos 39 litros son de H2 O ¿Cuántos litros son de petróleo? A) 48 B)56 C)59 D)60 E)72 RESOLUCION: t Petróleo: ~ V+3 V 1----:-"------1 ~ H20: -} V+39 Se observa que: ~ V+3+ -ª-V-39 = V 5 7 -+ ~~ -36=V -+V= 140 -+ 9V =36 35 Me piden: Petróleo ~ (140)+3 = 59 [Rpta. el @ Encontrar una fracción entre 2/18 y 41/52 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. A) J.1... B).R C) 49 52 52 104 D) ..!El. E) JI.. 26 13 www.Matematica1.com 2 x 13 52 -+X-~=2[n-xl 13 52:J -+3x=~+n-2x 13 26 45 . 15 -+3x=Te .. x=Te [Rpta.O ~ Un vendedor compro manzanas , 2,5 cada una. Si vende los 317 d. ellas a 2,8 y luego los 3/5 de lo que l. queda a 3,0; perderia hasta ese mo mento 114 soles ¿Cuántas manzanascompro? A) 300 B)320 D)420 RESOLUCiÓN: Total de manzanas: "T" VENDE AL .ffiEC!Q -ª-T 7 2,8 -ª-[~+~T 5 7 35 3,0 El vendedor invirtió: 2,5 T C)400 E)480 OBTUVO EN DIHEBQ ~T 35 ~T 35 Pierde: 2,5'T{~~ T+ : T]= 114 :. T=420 [Rpta.ol @ Una vendedora lleva paltas al mercado y vende la mitad de las que Ienla mas media palta; deja encargada la mitad de las que quedan mas media palta; obsequia la mitad del nuevo resto mas media palta y le sobra todavía una ¿Cuántas paltas llevo al mercado si no partió ninguna? A)12 B)14 C)15 D)17 E)18 RESOLUCiÓN: VENDE· LE QUEDA ENCARGA ETC. 1 ro. -N+ -1 -N --1 =N--l 2 2 2 2 2 2do. -N-+l -1 -N-.l -1= N--3 4 2 4 2 4 3ro. -N-+3 -1 -N-.3 -1= N--7 3 2 8 2 8 Por condición: N~7 = 1 ª :. N=15 [Rpta.cl Juan es el doble de rápido que Pedro. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 8 días ¿Cuánto tiempo le tomará a Juan hacerlo solo? A)9dias B) 10 D)15 RESOLUCiÓN: Juan hace la obra en 'n' dias: Pedro hace la obra en '2n" días: C) 12 E)16 EN UN DÍA l:W&tl 1 n 1 2n Juntos en 1 día harán: ~ + _1_ =--ª- n 2n 2n 1 dia ----ª- obra 2n 8 dias-- 1 obra; :. n = 12; A Juan le lomará 12 dias [Rpta. C 1 @ Cuál es el primer término positivo: -641; -628; -615; ........ A) 13 B)8 C)9 D)6 E)4 RESOLUCiÓN: -641; -628; -615; ...... ----1-3-- -------1-3-- --- Si lodos fueran múltiplos de 131endria: -637; -624; 611; ..... ; O; 13 Restando 4 a cada lénmino lendria: -641; -628; 615; .... ; -4; 9 ! Prim.r~iliVO [ Rpta. e 1 @ Hallarel número de lénminos: 6; 15;28;45; ..... ; 1891 A)26 B)30 C)36 D)24 E)25 RESOLUCiÓN: C=~"6'15'28' 45 '--"~~ (~)-+a+b= 5 9 13 17 '--'" '-..-/' (a)-+2a= 4 4 4 SUCo Cuadrática: ;:==------, I tn = an2 +bn+c I De(I1):a=2 De(p):b=3 l,=2n'+3n+l Igualando: ~ 2n'+3n+l = 1891 2n'+3n= 1890 n(2n+3) = 30(63) T T ª [Rpta.B 1 Hallarel t.oen la sucesión: 6; 11; 18;27; ...... A) 1572 B)1618 C)1683 D)1596 E)1719 RESOLUCiÓN: c=3\ 6; 11 ;18; 27; ... ~'--'" '--'" '--'" (~)-+a+b= 3 5 7 9 , '--'" '--'" (a)-+2a= 2 \ 2 2 Suco Cuadrática: ~=--~ I tn = an2 +bn+c I De (11): a=len(~):b=2 tn=n2+2n+3 40 = (40)'+2(40)+3 = 1683 [ Rpta. B 1 @ Cuál es el ténmino más cercano a 1000 en la sucesión: + 7; 13; 19; ...... A) 1001 B)997 D)998 RESOLUCiÓN: C) 1002 E) 996 7 . 13 . 19 ~--:.........- 6 6 Como el salto (razón) va de 6 en 6; veamos si 1000 es divisible entre 6. 1000 ~ 4 166 Veamos; que no lo es, pero si es divisible 996. Luego; la sucesión que va de 6 en 6 y son múltiplos de 6 es: 6;12;18; .... ;996;1002 si le agregamos 1 nos dará la sucesión original: 7;13;19; .... ;997;1003 Enlonces ambos valores 997 y 1003 son igualmente cercanos al 000. Como en las claves sólo hay uno de ellos la respuesta será: 19971 [RPta.BI @ Qué ténmino continua: 1 .. 3. 3 . 9. 4.7'2 ..... . A)~ B) 1 C)~ D)2 4 5 3 RESOLUCiÓN: E)-ª- 5 ~X8X~X6X~ 9 2 7 4 5~_~ [j] [ Rpta. B 1 @ Hallar el ténmino que continúa: _3 ._4 .1_3 .-9 S • 5' 12 ' 7 •.... A)~ B)~ C)20 13 12 17 D) 23 E) 24 16 16 RESOLUCiÓN: ,..-5- ...,..-5-. ..,..--5- .,. ,..-5- ... -ª-.--ª-.Q.~.~ 8 ' 10 ' 12 ' 14 ' 16 '----"" '---'" '---"'" '---'" 2 2 2 2 'r-R[ p-ta-. 0-'1 @ Calcular el término que continúa: ~.~.~.~. 2 • 6' 4 ' 10 , .... A)1l B)~ C)~ 6 8 10 D)1II E)~ 13 7 RESOLUCiÓN: _2 ._5 .10_ .7- 4 • 6' 8 ' 10 , .... (1'+1>.<2'+1). (3'+1). (4'+1). (5'+1) -4-'-6-'-8-'----;¡¡¡-'~ "---'"""---'"""---'"""---'"" 2 2 2 2 1 26 = 13 1 12 6 [Rpta.ol ~ Cuál es el primer término negativo: 695; 689; 683; 677; ..... A)-l B)-5 C)-6 D)-3 E)-4 RESOLUCiÓN: 695 ; 689 ; 683 ; 677 ; ..... ~~~ -6 -6 -6 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Si todos fueran mú~iplos de 6 tendríamos: 696; 690; 684; 678; .... ; 6; O; -6; .... Restando 1 a cada término tendría: 695; 689; 683; 677; .... ; 5; -1;-7 I Prim.r~og.1ivo [ Rpta. A 1 @ Qué letra continúa: R;M;Q;N;P; ..... A)O B)Ñ C)Q O)L E)K RESOLUCiÓN: ~r--.. R·M·Q·N·P·Ñ ~~. ~ Qué letra continúa: U;S;O;D;V; ..... [Rpta. S 1 A)U B)B C)Z O)X E)V RESOLUCiÓN: 5 5 5 5 5 ~~~,..-.,.~ 1 6 11 16 U S O O N E N I O I C E S E C I S I S @ Hallar la letra que sigue: B;F;I;M;O; ..... . 21 27 V V E E I I N N T T U S N I O E T E A)S B)X C)P O)Q E)T RESOLUCiÓN: B;F;I;M·O·S 7 ' 7 ' t 2~~ 7 7 '"'R[ p:=:=-:-ta--D:. :-II @ Quéletrasigue: G; H;I;G; I;K;G;J; ...... . A)N B)P C)R O)M E)S RESOLUCiÓN: I G;H; II ; 'IG-; 1-; K-'I ; IG; J; MI 7 8 9 ~~ 1 1 7 9 11 ~~ 2 2 @ Qué término continua: BA; DI; FU; HE; ...... . 7 10 13 ~~ 3 3 [Rpta. D 1 A)JE B)JO C)FU OlMO RESOLUCiÓN: E)LE vocales BA~ ~0u¿t::~-=-""""':-I C E G I [Rpta.S[ @ Qué letra COI)tinúa: W;U;R;N; .... A)K B)G C)I D)J E)H RESOLUCiÓN: W;U;R;Ñ;Q) 24 22 19 15 10 ~'---"'---" -2 -3 -4 -5 [r:R=-P"-ta.--=D"1 @ Quéletracontinúa: X;P;K;G; .... A)O B)F C)G O)E E)B RESOLUCiÓN: X;P;K;G;@ 25 17 11 7 5 '---"'---" '---"'---" -8 -6 -4 -2 ['-R=-p.,....ta.--=D"I @ Qué letra continúa: A;B;C;F;K; .... A)R B)S C)T O)P E)Q RESOLUCiÓN: A;B;C;F; K;S .j. .j. .j. .j. .j. .j. 1 2 3 6 11 20 (Suc. de Tribonacci) [r.R-=-p='ta-.-=s"l @ Hallarellérmlnoqueslgue: (A; B; 2); (C; O; 12); (E; F; 30); .... A)(G; H; 42) B)(G; H; 56) C)(G; H; 36) O)(G; 1; 40) E)(G;K;42) RESOLUCiÓN: (A·B·2)·(C·0·12)·(E·F·30)· (G·H·56) 1x~.J '3: 4'J I 5:~J ' 7~8J [Rpta. E 1 @ Qué letra continúa: U; T; C; S; ..... A)V B)N C)O O)X E)O RESOLUCiÓN: U T C S N N R I I U O E N E E S C T V [Rpta.sl @ Qué término continúa: A.E.C.K s·s'H·O····· A) ~ B) ~ C).É. O)-º- E) J::I. M N N T S RESOLUCiÓN: .!-.X.É.XCXKX.É. B B H D N éQ SI.: X2 = O,-a-b--c-d--ef x5= O,de--f--a--b-c - -- [Rpta. C 1 Además: def -abe = 429; Hallar "x· A)13 B)21 C)7 0)39 E)41 RESOLUCiÓN: Transformando a fracción se tiene: 2 abcdef rr 2 abcdef x = 99999 H 5" = delabc ' 5 abcdel x 99999 luego por O.P. -> _2 = _1. 0 .3_ _ a .. b.. c..-' -+ ..d.., ..,e_l _ 5 2 -= 5 103 del + abc 1038bc + [429+8bC] 103 [429+abe]+abe 2 1001abc + 429 ->-= 5 429.103+100abe 858.103 +2002abe = 5005abc+2145 855855 = 3003abc -> abc = 285 Luego: del = abe+429 -> del = 714; Reemplazando 5 = 714285 999999 = x.142857 x 999999 :. x=7 [Rpta.cl @ Si:O,MIL(A)=O,AAM; Hallar: M+I+L +A A)12 B)13 C)14 0)15 E)16 RESOLUCiÓN: Transformando a fracción: MIL(A) AAM. Por descomposición 1000(A) 1000' Polinómica N.M+A.I+L AAM A3 1000 ~=A3.(AAM) # en\ero 1000 Por teoría: M < A < 10, además A3.(AAM) es un múltiplo de 103, solo cumple para: A = 5 ; M = 2 ; reemplazando: 52.M+5.1+L = 5 3 .(552) 1000 125.552 -> 52.M+5.1+L = 1000 25(2)+5..I¡+..L¡. = 69 -> -I = 3- ; L -= 4 34 :.IM+I+L+A=141 [Rpta.cl @ Oos trenes tardan "a" segundos para cruzarse cuando marchan en direcciones opuestas, siendo sus velocidades de ab y ba en km/h y la longitud de cada uno es igual a 110m. ¿Cuál es la velocidad del más lenlo en mis? A)18 ~ B)72 ~ C)28 ~ 0)45 ~ RESOLUCiÓN: E)54 ~ Por teoría: Longitud del tren "rdecruce Suma de Velocidades VA=ab~ ::j::::j::1 A I I I I 1+-110m-M Ve= ba ~ I I I I I I B f:j::: www.Matematica1.com a 110 ~a= 396 ~(ab+ba) ab+ba 18 ~ a.(a+b).11 =396 {a=4 a.(a+b) =36=4.(4+5) b=5 Velocidad del más lento: I ab= 45 -'l'-1 ¡ Rpta. D I @ Un ciclista viaja por una carretera a la velocidad constante. Parte del km. aOb Y..'lna hora después está en el km. aab. Si en la primera media hora llegó al km. abO. Hallar (a+b) A)15 B)13 C)12 D)14 E)16 RESOLUCiÓN: e V = t ; V cte. (M.R.U.) Por dato: V=abO-aOb 1/2 aab - abO 1/2 ~ 2.abO = aab+aOb; Por descomposición Polinómica. 200a+20b = l00a+l0a+b+l00a+b 18b= 1oa~ltH{~~~ :. Ia + b - 14 I ""1R p=--ta-'D. '""'I @ En una fiesta en la que asistieron mn chicos y nm chicas en un momento dado el número de chicos que no bailan es "2m-n" y el número de mujeres que no bailan es "m+n". Hallar el número de asistentes. A) 341 B)143 D)165 RESOLUCiÓN: C)132 E)176 Se deduce que # chicos que bailan = # de chicas que bailan. mn-(2m-n)= nm-(m+n); Por Descomposición Polinómica: 1 Om+n-2m+n = 10n+m-m-n { m=7 8.m=7.n~ n=8 Luego: mn = 78 chicos nm = 87 chicas :.1 #deAsistentes=165personas 1 @ Sisecumpleque: abab, Sb(7)= cdef, ba(,) Hallar: a+b+c+d+e+f ¡ Rpta. D I A)19 B)20 C)21 D)22 RESOLUCiÓN: E)24 Igualando parte decimal y parte entera en su respectiva base se tiene: ~ ab(7) ba(7) O,ab(7) = O,ba(,) .... 66(7) = 100(7) -+ 7a+b 8b+a ~48=64 4(7a+b) = 3(8b+a) .... 28a+4b = 24b+3a 25a=20b-+5a=4b~a=4' b=5 TLJT ' Luego: abab(7) = cdef(,)~4545(7)= cdef(,) Por Descomposición Polinómica 1650 = cdef(,~ Por Divisiones Sucesivas '~i&'~·--· c = 3 ; º-=-1 ; !l.-=-!l ; f = 2 :.1 a+b+c+d+e+f=21 1 ¡rR-p-ta•-.. .,c....,1 @ Hallar un número capicúa de 6 cifras que cumple los siguientes requisitos: Si la primera cifra se multiplica por 11, se le añade la segunda; luego todo se multiplica por 11; finalmente se añade la tercera cifra y se obtiene 985. A)985589 B)640046 C)816618 D)327723 E) 648846 RESOLUCiÓN: Sea el número capicúa: abccba (a.ll+b)ll+c= 985 a.11 2+11b+c=985 abc(11)= 985; Por Divisiones Sucesivas 985 ~ ~985=816(11) ® 89l...!!..- ~® abc(11)= 816(11)~{a = 8 b=1 c = 6 ~-,---=--:. Irca=bcc=ba~=-8-166-"--18-'1 ¡ Rpta. C I @ Un vendedor tiene pesas de 1 gr; 4 gr. 16gr. 64 gr •.... etc. ¿Cuántas pesas se utilizan para pesar una masa de 831 gr si no se posee más de 3 del mismo tipo? A)6 B)9 C)12 D)16 E)13 RESOLUCiÓN: Llevando 831 a base 4 se obtiene: 831 4 @207 4 ~3514 @ 12 4 ®@ ~ 831 = 30333(4) Luego: 3.~4+0.~3+3.~23.~ '+3 Se utilizan: 3 pesas de 256 gr 3pesasde 16gr 3pesasde 4gr 3 pesas de 1 gr I 1: # de pesas = 12 I ¡r:R""'p""'ta.-'c'"""'l @ Se desea equilibrar un peso de 5871 kg. con pesas de 1 kg. 8 kg. 64 kg. 512 kg •...... Si las pesas han de colocarse en un solo platillo y no se tienen pesas de 8 kg ¿Cuál seria el menor número de pesas a usarse? A)44 B)23 C)16 D)43 E)15 RESOLUCiÓN: Llevando 58718 a base 8 por Divisiones Sucesivas: 58718 8 ®7339 8 @ 917 8 ® 114 8 @ 14 8 ®G) 58718 = 1.85 +6.84+2.83+5.82+3.8' + +6.8" Se utilizan: 1 pesa de 32768 kg 6 pesas de 4096 kg 2pesasde 512kg 5 pesas de 64 kg 30 pesas de 1 kg Obs. No hay pesas de 8 kg. entonces se reemp/azanporpesas de 1 kg. 3.8kg<>24.1kg I Mfnimo#de pesas =44 pesas I ¡RPta.A I @ Utilizando una balanza de 2 platillos y la siguiente colección de pesas: 1 gr, 10 gr. 100 gr •.... 10 gro. se pregunta: ¿Cuál es el menor número de pesas que se pueden emplear para pesar un paquete de 8891 gr? A)5 B) 10 C) 18 D) 15 E)26 RESOLUCiÓN: Llevando 8891 a base 10. 8891 =8.103+8.102+9.10'+1.10" Llevando 8891 a cifras mínimas: 1 = 1 9-10 = 1 8+1=9-+9-10=1 8+1=9-+9-10=1 0+1 = 1 8891 = 1111 1 = 1.104-1.103-1.102- - - - Se utilizan: , 1 pesa de 10000 gr.} 1.' I till 'lpesadelgr. pa o , 1 pesa de 1000 gr. } , 1 pesa de 100 gr. 2doplatillo , 1 pesa de 10gr. :.1 Mínimo#depesas=511 Rpta.A I 8 Un automóvil sale a las 8 a.m. de una ciudad "A" rumbo a 'B" con una velocidad de a(b+2) km/h. a las 9 a.m. Sale otro automóvil de la ciudad 'B" hacia 'A" a una velocidad de ba km/h. Encontrándose ambos automóviles a medio dla en un punto equidistante de las 2 ciudades. Hallar la distancia entrenA". A)192km B)284km D)384 km RESOLUCiÓN: Porteoría:e=V.t (M.R.U.) C)342 km E)374 km ~-km -km V.=a(b+2)T VB=baT A B O ~OO~ O 8:00am 12:00am 9:00am 1---e --+---e ----1 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 -+ e = a(b+2).4 = ba.3; Por Descomposición Polinómica: (1 0.a+b+2)4 = (10b+a).3 40.a+4b+8 = 3Ob+3a 37a+8=26.b b = 37a+8 {a =4 26 -+ b=6 Luego: 2e = 2.64.3 :. I 2e =364 km I I Rpta. D I @ En u"..Ilenal hay abe reos de kls cua· les aOc son narcos, ab criminales, "a" inocenles y "c'locos. SI el núme· ro de reos esta comprendido entre 100 y200 ¿cuántos son los reos? A)127 B)175 C)131 0)185 E)172 RESOLUCION: Pordato: 100 a=1 d=8 b=2 e=6 c=O f=2 :.1 N=120862 1 8 Las magnitudesAy B se comparten como muestra el gráfico: RA.I.P.B. 6 .___ _______ _AD.P.B. :, :, : : b ----i----. ! ¡Sx! ! a 8 e Hallar (a+b+c) si Sx= 24 u2 A) 17 B) 18 C)20 0)23 E)25 RESOLUCION: Del área: Sx= 24 = 8' b Se va obtener. ~ b = 3 En la relación directa: 3 6 8=c~c=6 En la nación inversa: 6-a=3-8=>8=4 :. a+b+c=23 [Rpta. D I ® En un fenómeno donde intervienen las magn~udes A y B se ha descubierto cuando B ;, 72 se cumple que A es D.P.B2, pero cuando B " 72 A es I.P. ~ (B = 72 es un punto de enlace o continuidad) si cuando B = 9;A=40. HallarAcuandoB =216. A)20 B)320 C)80 O) 180 E)216 RESOLUCION: Buscando el gráfico según el enunciado tenemos: A AaB' x ___ ..~.~:~_. __ ~.) 40 --- ,, :: , ,, y -----,t --., !, , , , -+--~~~~~--~2~;~6-+B Primerode:A.I.P.{rB ~y=20 :.x=20·32=180 ® El sueldo de un empleado es directamente proporcional hasta los 32 anos y de los 32 anos hasta los 40 años su sueldo es inversamente proporcional a su edad en adelante será del 5% menos por cada año. Calcular cuál será el sueldo de un empleado de 42 años si uno de 26 años gana S/.390. A) SI. 432,56 B) SI. 346,56 C) SI. 347,56 O) SI. 345,6 E)SJ. 364,80 RESOLUCION: Vamos a elaborar el gráfico de acuerdo al enunciado. Sueldo --+~-2"'6--3i...2--40.l.-.... Edad De la recta (O.P.): -x= -39-0 32 26 De la relación (I.P.): 40'y=32'x 40'y=32'480 y=384 A los 41 años tendrá 5% menos, o sea: 95 100 (384) = 364,80 A los 42 años tendrá 5% menos. :. 19~ (384,80) = 346,56 [ Rpta. B I ® El gráfico muestra la variación de la fuerza (F) que se debe aplicar para producir un estiramiento (X) de un resorte. Determinarel trabajo realizado para estirar el resorte 16cm en Joules si sabemos que este es directamente proporcional a la fuerza y al estiramiento con su respectiva constante 1/2. F(N) 4 16 x(cm) X1 A)16J B) 1,6J C)160J O) 1600J E)3,2J RESOLUCION: Del gráfico: ~ = ~ 16 4 F2=20N De acuerdo a la información del enunciado se tiene: (trabajo) = k (fuerza)(estlramiento) www.Matematica1.com Tenemos: W =? F2=20N x2=16cm=0,16m. Los cuales reemplazamos en la fórmula: W =-:-'-:c-=- = 20N - 0,16m :.1 W = 1,6 Joules 1 2 '""R"[ p-ta-.s -'I 8 Las magnitudes A y B son D.P. para todos los valores A y B excepto cuando B está entre 4 a 8 donde son 1. P. Hallar el valor de A cuando B es 24 si cuandoAes 4, B es 2 y las magnitudes son continuas. A)4 B)8 C)12 D)16 E)24 RESOLUCiÓN: Ubicando los valores en un tabla se tiene: Graficando tenemos: A x ._------------------ ~~2~4~~8---2~4~--'B Se tiene: ..1'1. = -±.. ~ m = 8 4 2 Luego: m - 4 = 8 - n ~ n = 4 Finalmente: --"-- = --"- 24 8 x 4 "24=9 :.Ix= 121 @ En un examen de admisión a un instituto superior donde se inscribieron 1089 postulantes se observa que la cantidad de inscritos diariamente era inversamente proporcional a la cantidad de días que faltaba para el cierre de la inscripción (excepto el último dla en que se inscribieron 60). Si la inscripción dura 7 dlas ¿Cuántos se inscribieron el tercerdla? A)72 B)87 C)105D)120 E)232 RESOLUCiÓN: Datos: - Inscrilospordlal.P.dlasquefaltan .... (1) - Total de inscrilos = t 089 .... (1) - InscriloseI7mo.dia=60 .... (11) De(I): (# inscrilos por dial = k # dlas que faltan Como la inscripción duró 7 dias, entonces: k k k k k k 1, =6;125 ;1,4;14 "3; 15 "2; 1.=...,- ..... (111) Sabemos que el tolal es: r, +12+1.+ .... +1, = 1089 ............. (",) J<. + J<. + J<. + J<. + J<. +k+60 = 1089 6 5 4 3 2 147k = 1089 60 k=420 .'. Inscritos el tercer día: k 420 1,=4=4=105 [Rpta.cl @ Una obra se empezó con "m" obreros, a partir del segundo día se fue despidiendo un obrero cada día, hasla que no quedó ninguno para que se temninara la obra. ¿En cuántos d las se terminó la obra si la primera parte correspondiente al primer día uno se hizo un noveno de la obra? A)15 B)17 C)19 D)21 E)25 RESOLUCiÓN: Se conoce que: obra a # obreros obra a tiempo Entonces: obra k ..... (1) # obreros-tiempo Sea la obra: fal1a =-ª- ~_~A9 1/9 'A B C ........ PQ' Tiempo: 1" 2" 3" 4" ...... (t-1)" t días Obrero: m(m-1 )(m-2)(m-3) ... 2 1 obrero Reemplazando en la Fómnula (1): 1 9 A B C m-1 = (m-1 )-2 = (m-2)-1 = (m-3)-1 9 m-1 1 9 m --"-=--º- - ..... - 2-1 1-1 = = A+B+C+ .... +P+Q (m-1 )+(m-2)+(m-3)+ ... +2+1 8 9 ~1=~ (m-1)m (m-1) 2 ~ m-1 = r16~---:::-\ :. #días=t=m=17 [Rpta.sl @ Una ruedaAde 50 dientes engrana con otra B de 40 dientes, fijo al eje de B hay una rueda C de 15 dientes que engrana con una rueda D de 25 dientes. Si la rueda Ada 120 RPM. ¿Cuánto tiempo demora la rueda D en dar9900 revoluciones? A)75 B)80 C)85 D)90 E) 100 RESOLUCiÓN: 25 Graficando: A 50 dientes ".....,.", dientes ./ e 40 B 9-1:::1 D dientes- '15 ParaAy B: dientes #VA-50=#V.-40 ..... (1) Para ByC: #V.=#Vc ParaCyD: ...... (2) #Vc -15 =#Vo -25 ...... (3) Al multiplicar miembro a miembro (1); (2) Y (3): #VA -#V. -#Vc - 50 -15 = =#V. -#Vc-#Vo -40-25 #VA-3=#Vo-4 Sabemosque:#VA= 120 ~120-3=#VA-4 90=#~r.0==~ _____ -, 9900 . :. Tiempo es: 90 = 110 minutos [Rpta. El @ La atracción de un planeta sobre su satélite varia proporcionalmente a la masa del planeta e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. El cuadrado del tiempo de una revolución de un satélite sería proporcionalmente a la dislancia e inversamente proporcional a la fuerza de atracción. Hallar el tiempo de una revolución del satélite de Júpiter cuya distancia de Júpiter es a la distancia de la luna a la Tierra como 35 a 31 y la masa de Júpiter es 343 veces la de la Tierra y el período de revolución de la luna es 27 días. Dar como respuesla la parte entera del tiempo perdido. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 RESOLUCiÓN: Del enunciado: Primero: FaM F.I.P.D2 F·02 ~~=K, ................ (1) Segundo: T2aD T2I.P.F. T2_F ~ ---¡) = K2 ................ (2) De (1)y (2) al dividir miembro a miembro se tiene: FD2 ~=...& T2F K2 D D' ~ T2 M = constante ..... (",) De acuerdo al problema tenemos los siguientes datos: --º'-=-ªª- => DJ = 35d Y DT= 31d ... (3) DT 31 _.M.t=343 => MJ= 343m y MT= m ... (4) MT 1 - T L = 27 días. Nos piden TJ = x .... (5) Reemplazamos (3) (4) Y (5) en: Para la 1ierra Para Júpiter ~ ~ (31 d)' = _(;;-:3:-:5d-ó-)'_ (27)2 m x2.343m y despejando: x = ~ t ~~ J' : .1 x aprox. = 1 1 r:[ R=-p""'ta-A. =->I ~ Un camión que transporta cierta cantidad de bolsas de cemento de igual peso tarda 16 horas en hacer su recorrido. Con igual número de bolsas, www.Matematica1.com www com . . M atematica1 pero, teniendo cada bolsa 2 kg más se demorará 17 horas. Si cada bolsa es 8 kgs menos y se aumenta en 5 el número de bolsas tarda 15 horas. ¿Calcular el número de bolsas sabiendo que los tiempos son proporcionales a las cargas? A) 15 B)20 C)28 D)25 E)30 RESOLUCiÓN: Del enunciado: • tiempo a carga ~ tiempo = K ... (1) carga También: • "x" bolsas de peso 'p' tarda 16 horas. • "x" bolsas de peso 'P+2" tarda 17 horas ...... (2) • "x+5" bolsas de peso "P~' tarda 15 horas. Pero también podemos deducir que: carga = (#bolsas )(peso de c/u) .... (3) Reemplazando (3) en (1 ): tiempo .... Fórmula (#bolsas)(peso de c/u) (11) ~= '17 =A 15' =k x'p x(p+2) (x+5)(p-8) ~ (1) De (1):.1§.=...!L "".1§.= 17-16 P p+2 P 2 En (1) reemplazando el valor de (P = 32) 17 _ 15 x(34) - (x+5)(24) -1 =-5 - 2x 8(x+5) 4x+20 = 5x ·-·120=xl I Rpta. B 1 @ A es D.P. a la diferencia de B y C. B es proporcional a D. C es proporcional a D'. Si D = 2 cuandoAes igual a 48 D = 5 cuandoA= 30 ¿Para cuántos valores de D,Ase hace cero? A) 1 valor B) 2 valores C) 3 valores D) 4 valores E) 5 valores RESOLUCiÓN: Deldalo: • Aa(B-C)~A=(B-C)K ........ (1) • BaD ~B= DK, ....... (2) • CaD' ""C=D'K, ....... (3) • Cuando:D=2;A=48 ....... (p) • Cuando:D=5;A=30 Reemplazando (2)y (3) en (1): A= (DK,- D'K,)K A= DK,- D'K,K A= Dq,- D'q, ....... (o/) Sustituyendo los valores de (p) en (o/) 48=2q,-4q, 30=5q,-25q, Al resolver el sistema se obtiene: q,=36;q,=6 Dichos valores reemplazamos en (o/)ysetendrá: A=36D-6D' A=6D(6-D) Haciendo queAsea cero: 0=6D(6-D) Paralocual:D=OyD=6~_~ :.1 Dtoma2valores 1 I Rpta. B l' @ Sabiendo que "S" es la suma de tres cantidades, la 1 ra. y 2da. Son directamente proporcional a x y a x' respectivamente y la 3ra. es inversamente proporcional a x3. Si:x=2;S=6,125 x=O,5;S=8,750 Hallarel mínimovalorde "S". A)lf3 B)2 C)3 D)4 E)5 RESOLUCiÓN: Asumamos que: S =A+B+C ..... (~) Donde A; B Y C son la 1 ra., 2da. y 3ra. Parte respectivamente. Pordalo: . xA B =)(2 = K"" (A+B)=(x+x')K1 .. (1) K, 'C'x3=K,,,,,C=-3 .... (2) x Reemplazando (1) Y (2) en (~): Parax= 1: K, S = 6K, +8 = 6,25 .... (3) Parax= 2: 3 S = "K1 + 8K, = 8,75 .... (4) Al resolver (3) y (4) se obtiene: K, = 1; K, = 1 Reemplazando en (o/): 1 S = X2 +X+ 3 x Sabemos que por teorra de promedios: ma;'mg. x2+x+1- ,--~ x3 ----"-> ~ x2 ·x·1- 3 x3 1 x'+x+-;'3 S;,3 ~....:.:.X3~ ,..-__ , :.1 Sm;" = 31 I Rpta. C 1 @ p * q = 4p'-q Hallar. (2*7)*(3*20) RESOLUCiÓN: Trabajando lo que esta entre parentesis: (2*7) * (3*20) '-y--" ~ i ii i) 2*7=4(2)'-7=16-7=9 .¡ .¡ p q ii) 3 * 20 = 4(3)3-20 = 36-20 = 16 .¡ .¡ p q Operando los resultados: i *ii = 9* 16 =4(9)'-16 .¡ .¡ =324-16= 3081 p q @ Si:aAb=2a+3b. Además: x % y = 3x-4y Hallar(2A3) % (3.1.2) RESOLUCiÓN: Trabajando lo que esta afectado por el paréntesis: (2.1.3) % (3.1.2) "--y-" "--y-" i % ii i) 2.1.3 = 2(2)+3(3) = 4+9 = 13 .¡ .¡ • b ii) 3.1.2=2(3)+3(2)=6+6= 12 .¡ .¡ • b i % ii = 13# 12= 3(13)-4(12) = .¡.¡ =39-48=-91 x y @ Si:(2x-3)*(5y+2)=4xy Hallar:7*17 RESOLUCiÓN: Identificando valores tendremos: (2x-3) * (5y+2) = 4xy "-y--" ~ 7 17 :.2x-3=7 5y+2=17 2x= 10 5y= 15 IX=51 ly=31 Reemplazando: 7*17 = 4(5)(3) = 60 1 @ Si:a*b=3a+b;sia;,b a*b=a+2b;siab ii) 1*8= 1+2(8)= 17 a ·b· es el inverso de "a-<> b=a-1 b' a = d ~ '8' es el inverso de "b' <> a = b·' c'c=d ~ "e' es el inversa de 'c' <> e=c·' d' d = d ~ 'd' es el inverso de "d' <> d =d·' e jo e = d => ·c· es el inverso de -su <> e = 9,1 @) Si: .&, =3a-1 ~ =2b+1 @ =4c-3 RESOLUCiÓN: Hallar:~ Trabajando de adentro hacia afuera ~ (1)= 4(1)-3 = 1 ~ W=2(1)+1 =3 ~= 3(3)-1 = 81 @ Si S esta definida en la tabla: Hallar: (AS B) q (C SA) S A B C A A B C B B A C C C C A RESOLUCiÓN: Operando: A S B .¡ .¡ columna fila El resultado será la intersección de los valores de ambos. S A B e S A B e lA A B el A A B e B B A e B B A e e e ~ A e e e Al ASB=B CSA=C (AS B) S (C SA) = B S C 9 A B e A A B C lB B A e e e e ~ B9C=C I @Si: ' 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9 1 3 5 7 e 1 3 5 7 9 Hallar:"Y:O en: (3 '5)" (1 "x) =7"9 RESOLUCiÓN: (3*5)'(1*x)=7'9 ~'''--y--' 9 * (1 ·x) = 7 Observamos que el único valor operad con 9 que nos de como resultado esel7, parlo tanto: 1"x=7 Volvemos a hacer un análisis similar y observamos que el único valor que operando con 1 nos da 7 es 5, por lo tanto: x=51 @ Si consideramos "a·'" como inverso de "a" en la tabla adjunta. Calcular: P = [(2-1"3-1)"4-1]-1 " 1 2 3 4 1 3 4 1 2 2 4 1 2 3 3 1 2 3 4 4 2 3 4 1 RESOLUCiÓN: Hallando primero el elemento neutro observamos que este es 3, asr tendremosque: 1 = 1-1; 4=2·'; 3 =3-'; 2 =4·' Operando: P = [(2·'" 3·')·'" 4-']-' P = [(4 "3)-'" 2]·1 P= [4.1 "2]-1 P= (2 "2)-' P=l·' =ll ~ Si: t.j. 2 5 3 2 20 5 3 5 5 20 23 3 2 23 50 Calcular: 253 t.j. 523 RESOLUCiÓN: Operando: 2531'.j. 523 523 t.j. Se opera de abajo hacia arriba 253 3 t.j. 3 = 50, se pone 01'0' se lleva 5 5 5231'.j. 253 O 2 523t.j. 253 00 253t.j. 523 500 5 t.j. 2 = 5, se opera ahora con el5 que se lleva 5 t.j. 5 = 20, se pone el 'O' se lleva 2 Se opera 2 t.j. 5 = 5, se opera ahora con el 2 que se lleva 5U2 =5 @ Si: 0 =a2-9 l&I=a(a+6) Calcularelvalorde: R=&+~ +[±]& RESOLUCiÓN: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Si: [!] =a-9 Entonces: 1&]=&2-9 Perosabemosque: 1&]= a(a+6) = a2+6a Por lo tanto: ~2_9 =a2+6a ~2=a2+6a+9 ~2=(a+3)2 ~=a+3 Resolviendo: & = 3+3 = 6 ~ =22-9=4-9=-5 [!] =42-9=16-9=7 &=-1+3=2 Reemplazando: R= 6+(-5)+72= 6-5+49 =50 1 @§) Si:aa#bb=bAa xyAyx=2x+y Calcular: (4 # 1 )+(3'8# 224) RESOLUCION: Operando:4 #1 = 1 A 2 Jj Jj 11 11 a8#bb=bAa a"=4 bb= 1 a"=22 bb=1 ' Ahora: 1A2=2(1)+2=4 11 11 xy Ayx=2x+y xY=1; yX=2' Ix=11 ly=21 3'8#224=8A 9 Jj Jj 11 11 a8#bb=b a a8=318 bb=224 a8=(32)9 bb=(2')'8 a8=99 bb=88 la=91Ib=81 Ahora: 8 A9=2(2)+3=7 Jj Jj 11 xyAyx=2x+y xY=8; yX=9 xY=2' yX=32 Ix=21 1 y=31 Entonces: (4# 1)+ (3'8# 224) ~ "------y------ 4 + 7 = 111 @ Si: P#Q=3P'+4 Hallar: E = (5#(6#(7#(8# .... »))) RESOLUCION: Observamos que si: P # Q = 3p2 +4 El valor de "Q" no interviene en el resultado, por lo tanto: E= E = (5#(6#(7#(8# .... )))) JJ. ' v " P Q :. E= 3(5)2+4= 75+4 =79 1 @ Si:a*b=a2+b2 Además:x*y=4 (x+1) * (y+1) = 8 Hallar: M = (x+2) * (y+2) RESOLUCION: Observamos que por definición del operador: X*Y=X2+y2 Perotambién:x*y=4 Por lo tanto: X2+y2 = 4 Entonces: (x+1) * (y+1) = (x+1 )2(y+1)2 (x+1)*(y+1)=8 Por lo tanto: (X+1)2+(y+1)2=8 x2+2x+1 +y2+2y+1 = 8 Operando yordenando: X2+y2+2x+2y=6 ~ 4 +2x+2y=6 2(x+y)=2 ~ I x+y=11 Nos piden: M = (x+2)*(y+2) = (X+2)2+(y+2)2 M = x2+4x+4+y2+4y+4 M = X2+y2+4(x+y)+8 '----r-' '-'-y-'-" 4 4 M=4+4+9=161 @ Si: [!!]=n2+n Hallar Y en la siguiente expresión six>O: Ilx2-111 =156 RESOLUCION: Observamos que: [!D = n(n+1) Por lo tanto deduciremos que: 30=5(6)=5(5+1)= ~ 56 = 7(8) = 7(7+1) = ITl Por lo tanto: 156=12(13)=12(12+1)= [j]] Tenemos en la Igualdad: Ilx2-111 =156= [j]] Porlotanto: Ilx2-111=12 Pero: 12=3(4)=3(3+1)= W Entonces: x2-1 = @] x2-1 =3 x2=4 X=2] @9) Si: a*b=(b*a)2a.b Hallar: (5 * 7)*(7 * 5) RESOLUCION: Operando en la condición tenemos: a*b=(b*a)2a.b Entonces: b* a = (a*b)2b.a Reemplazando: a* b = [(a *b)2b.a]2a.b a* b = (a *b)4b2.a2.a.b . . 1 _ (a * b)4 RedUCiendo. a3 b3 - 8*i-l [a~J'= (a * b)' a*b=-1- ab 1 1 Ahora operamos: 5 * 7 = 57 = 35 7 *5-_1 ___ 1_ - 75 - 35 (5*7)(7*5)= 3~ • 3~ = 12~51 @ Sedefine(alb)2=c .... a=b b>0"b,,1 Calcular: (7)(517) RESOLUCION: Por definición de logaritmo: Si:Logba=c~b'=a En el operador tenemos: = c .... a = b' :. = Logba Operando: (7)517 = 7Log75 = 5 ] ® Sisecumple:aJ.b=,1+3+~+7 ..... , (a+b) sumandos H 11 (15J.13)-(12J.13) a ar: 3 RESOLUCION: Por definición de sumatoria: aJ.b = 1+3+5+7 .... = (a+b)2 '------,.------ Imparas=n2 aJ.b = = (a+b)2 Entonces tenemos: 15J.13 = (15+13)2=282 12J.13 = (12+13)2=252 Reemplazando: 282 -252 (28+25)(28-251 = 53] 3 Z ® Si "x" es N, se define: ® =2x+5; ]®] =x2+2 Hallar"a" en [!] = a RESOLUCION: Por definición: ® =2x+5 ~=2~+5 Pero: ~ =x2+x Entonces: 2 ~ +5 = x2+2 ~ ~ X2~ 2~=X2_3 ~=-2- Por lo tanto: [!] = a a2 -3 -2-=a a2-3=2a a2-2a-3=0 a-3=0 a+1 =0 (a-3)(a+1)=0 a=3 a=-1 Rpta. correcta a = 3 (a E N) a-3=0 a+1 =0 a=3 a=-1 Rpta.correcta a=3] (a E N) ~ Si ~=m2+m+1,hallareltérmino independiente de@ A)2 8)3 C)-3 0)-5 E)-6 RESOLUCION: @ = Cli<-2)+Y = (X-2)2+(x-2)+1 www.Matematica1.com = (x2-4x+4) + (x-2)+1 =x2-3x+@ t término I Rpta_ B I Independiente Si: 294 Calcular: 753 ~+n+í 6 1 8 n+U-í A)~ 2 B)10 C)1! D)12 E)~ 2 2 RESOLUCiÓN: 2+1+8 11 I Rpta_ C I 1 + 9 - 8 2 Si m* = m+ ~ para m;«), hallar (2*)* A)~ 2 B)~ 5 C) 25 4 D)~ 19 E) 29 10 RESOLUCiÓN: • 2* = 2+1/2 ~ 2* = 5/2 • (2*)* = (5/2)* = 5/2 + _1_ = 29/10 I t 5/2 ! Rpta. El En el conjunto P ={par, impar}, la adición es una operación intema, puesto que al sumar dos elementos cualesquiera de P resulta un elemento de P. Puedes verificarlo en la primera tabla. ¿Puedes completar la siguiente Tabla? + par impar x par impar par par impar par impar impar par impar RESOLUCiÓN: x par impar par par par impar par impar 1 Si: [2~J· = XX 1 También [±J4=mm y±"m Calcular: 0,100,200,3 0,400,500,6 Sabiendo que: x O m = : A}~ B)~ C)-ª- 5 5 5 D)~ 5 E} 0,9 RESOLUCiÓN: Si: [tr!= [[H]i=[1Jf~[1Jf=xx~x=1 Formar: != [[H]f=[tJ+~[tJ+= mx~m=t . 5 1 1 5 S,xOm=-~-O-=- 6 3 2 6 Se deduce que O = + (Adición) Por lo tanto la respuesta: 0,100,200,3 0,6 =~ 0,400,500,6 1,5 ,:5~_...., ! Rpta.B I ~ SeaF(x)=2F(x-l)Vxe Z:: ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa, si F(O} = 1? A) F(3) = F(l)' F(2) B) F(l) = F(3)' F(2) C) F(3) = F(4}+F(l} D) F(2) = F(O} + F(l} E} F(4} = [F(1)]4 RESOLUCiÓN: F(O)= 1 F(l) = 2F(0) = 2(1) = 2 F(2) = 2F(1) = 2(2) = 4 F(3)= 2F(2) = 2(4) = 8 F(4) = 2F(3)=2(B) = 16 A)8=2'4/ B)2=8+4/ C)B=16+2/ D)4=1 +2 >< E)16=24/ ! Rpta. ° I @ Sea A = {D, L, M, m, J, V, S} el conjunto de días de la semana donde cada día está representado por su inicial. Definimos una operación de Ax N ..... A mediante la siguiente regia: A* n = b, donde besel día de la semana n días posterior a a. Hallar el resultado de la siguiente operación: [(L*24)*39]*100 A)L B)M C)m D)J E)S RESOLUCiÓN: • L*24=L*Ó'+3)=L*3=J (24 = '7 + 3), esto es en 24 días han pasado un número exacto de semanas y 3 días más, de modo que de L, han pasado los días M, m y J. • (L*24)*39=J*39=J*(7+4)= ~ 1 =J*4=L • [(L*24)*39]*100=L*Ó'+2)= '---------i t = L * 2 = m ! Rpta. C I @ Se define en Q una operación simbólizada por y. Se muestra algunas de las operaciones: 18y12=6 15y40=5 32y20=4 21y56= ... . 13y7=1 44y132= ... . Señalar la suma de los números que completan la tabla. A)15 B)16 C)17 D)18 E)19 RESOLUCiÓN: El operador y representa el M.C.D. de dos números. En consecuencia: 21y56=7 y 44y132=11;....._~ ~7+11=lB !Rpta. 01 § Para todo entero A, B Y para todo entero positivo M, se define: A=B(mód. M)A= M+rI\B=M+r De las siguientes afirmaciones indique la que es falsa. A)20~B(mód.6) B) 100= 1000 (mód. 9) C) 35 = 125 (mód. 5) D)15=1 (mód. 7) E)16=B(mód.5) RESOLUCiÓN: A)20=6+2 y 8=6+2~20=8(mOd.6) B) 100=9+1 yl000=9+1~ lOO" 1 (mód.9) C) 35 = 5+0y 125 = 5+0 ~35 = 125 (mOd. 5) D)15=7+1 Y 1=7+1~15=1(mOd.7) E)16=5+1 y 8=5+3~16,,8(m6d.5) I Rpta. El @353 S., m8.n=m--+,nh allar258.24 m-n A) 25 B) 24 C) 2 D) 49 E) 49/2 RESOLUCiÓN: 258.24 = 25+24 = 49 25-24 I Rpta. ° I ~ Para todo n e Z:: ; definimos la operación: Di:: = 1-2+3-4+ .... -nsi n es par Di:: = 1-2+3-4+ .... +n si n es impar Hallar. ~ + 1100 A) 100 B)50 C)-50 D)O E) 199 RESOLUCiÓN: • ~ = 1-2+3-4+ ... +97-98+99 '--,r ' '--,r ' '---y, --' ~~ =-1-1-1-... -1+99=-49+99=50 • 1100 =1-2+3-4+ ... +99-100=-50 '--,r ' '--,r ' '-----,,- ---' ,..----, .-'~+ll00 =50-50=0 I Rpta.ol @ En el conjunto de los enteros se define la operación: o ~ =ma'b=(a+b)+m Siendom12x13= 12+13+m 156 = 25+m "'--r-' " 25+6=25+m L............I :.lm=61~~=6 I Rpta.ol 156' si0=~,caICUlar®si@=3 ~ x+2 A)2 B) 1 C)~ D)~ E)~ RESOLUCiÓN: 2 4 6 ® =.ill2 .... (1) 6 si0=~ ~ @=.W:l .... (2) x+2 4 G)=2 02 .... (3) 2 Para @ = 3 en (3): G)= 2~) = 3 Para G) = 3 en (2): @= 2~3) = 3/2 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Para ®= 3/2 en (1):®=~=1/2 I Rpta. el @ En el conjunto M = {1; 2; 3; 4} definimos una operación mediante la siguiente tabla: + 1 2 1 2 3 2 3 4 3 1 2 4 4 1 3 4 2 3 2 4 1 1 4 3 Según esta tabla calcular: E = (11j>2)~[~(41j>1)] A)41j>4 B) 1 C)2 D)3 E)4 RESOLUCION: E = 51 ~2),+[3~¡4~1 ~ E= 3 + [3+ 4] E= .3 ~ ~ E= 4 I Rpta.EI @ Para los conjuntos A, ={1}. A2 = {1. 2}.A= {1; 2; 3}.A.= {1; 2; 3; 4} ...... se define la operación AaB = (AuB) - (MB). Hallar: (A3aA.) n (A.aA.) A){1; 2; 3; 4; 5; 6} B){2; 3; 4; 5; 6} C){4; 5; 6} D){4; 5} E){5} RESOLUCION: A3aA.= (A3UA.) - (A3nA.) '----.,----' '----.,----' A3aA.= A. - A3 = {4; 5) A.aA. = (A.uA.) - (A. nA.) '----.,----' '----.,----' A.aA.= A. - A. = {5; 6) .'. (A3aA.) n (A. nAo) = ={4;5}n{5;6}={5} I Rpta. E 1 @ Six3 o y2=X2+y3. hallarzen: z 025= 134.(Ze ¡p¡+) A)3 B)9 C)27 D) + E)~ 9 RESOLUCION: Z 025=134 ({rZ)3 o 52 = 134 '--c--'v----' ({rZ)3+53= 134~({rZ)2=-;.:9~_~ ~IZ=271 [Rpta.cl @ En el conjunto M = {a. b. c} definimos la operación interna de MxM -> M simbólicamente por.L La tabla de la operación .l se muestra a continuación: .l a b c a a b c ¿Cuál es el resultado de la expresión b b c a M _ a.l[b.l(c.la)] c c a b [(c.la).lb].lc RESOLUCION: M a.l[b.l(c.la)] [( c.la ).lb ].lc M = a.l[b.lc] ~ [c.lb].lc M = :~ = ~ I Rpta.A 1 @ Si Z:;+definimos [!j] como el número de múltiplos positivos de 5 menores quen. Hallar 1901+ 11501 A)40 B)46 C)240 D) 180 E) 100 RESOLUCION: • Cálculo de ~: Mú~iplos de 5 menores que 90 5; 10; 15; ....... ; 85 .j. .j..j. .j. 1 x5 2x5 3x5 ....... 17x5 ~ 17#s ~~=17 • Cálculo de 11501: 5; 10; 15; ....... ; 145 .j. .j..j. .j. 1 x5 2x5 3x5 ....... 29x5 ~ 29#s ~ 11501=29 :. 1901 +11501 = 17+29=;..:4~6_-.. I Rpta.B 1 § Si Ilaobll=X+4 Además: IX-11=x+1 Calcular: (a.b)la'b) 1 x A)x B)x2 C)" D)xX E)2 RESOLUCION: Si 1 x-11 =x+1 ~ 1 x-11=(x-1)+2 ~=x+2 Se sabe que 11 a.b II=x+4 ~=a.b+2 1 a.b+21 = aob+2+2 Ilaobll=Ja~b),+4 Por dato: .j. .j..j. Ila.bll= x + 4 Poranalogla. Se deduce: a.b = x De donde: (a.b)la'b) = x I Rpta. D 1 @ Para todo n e Z+. definimos SIn) como la cantidad de cifras que se necesita para escribir desde 1 hasta n. HallarS(300). A) 900 B)720 D)741 RESOLUCION: C)600 E)792 S(300)~ 1;2; ... 9; 10; ... 99; 100; ... ;300 '---y---' '---y---' • , • 9#s 9O#s 201#S U U U 9cfs. 180cfs. 603cfs. :. S(300) = 9+180+603 =;.7..::9=-2~ [ Rpta. E 1 @ Dos técnicosAy B han cobrado 512 soles y 200 soles respectivamente. habiendo reparado B tres computadores menos que A. Después se les contrató de nuevo. de modo que A reparó las máquinas reparadas por B en la vez anterior y B reparó las de A. cobrando esta vez ambos la misma suma.¿Cuánto cobran estos técnicos por la reparación de una computadora? A) 64 soles y 50 soles B) 64 soles y40 soles C) 60 soles y 50 soles D) 66 solesy40 soles E) 64 soles y 56 soles RESOLUCION: Sea Y el número de computadoras que reparó A. entonces B reparó (x-3). A cobra por cada reparación 512/x y B. 200/(x-3). Al otro día A reparó (x-3). entonces cobró 512 (x-3); x mientras que B reparó "J(" y cobró entonces 20 3 0 ·X. Puesto que esta vez xambos cobraron lo mismo. entonces: 512 200x X2 64 x (x-3) = (x-3) ~ (X-3)2 = 25 ~--"--=-ª-~ 1 x=81 x-3 5 :. A cobra 512 + 8 = 64 soles por cadaunayB. 200+5=40soles. [Rpta. B 1 @ Un comprador va a tomar un lote de terreno con el frente a una calle; el 10- te va a ser rectangular. y el triple de su frente sumado al doble de su fon-120'3 = 2x(x+3) x(x+3) => 12'15 = x(x+3) => 1 x - 121 I Rpta. el @ Se compraron dos piezas de alam· bre que juntas miden 120 metros. Cada pieza de alambre costó tantos soles como metros tiene la pieza. Una de ellas cosió 240 soles más que la otra. ¿Cuál es la longitud de la pieza más grande? A)58m B)60m 0)62m RESOLUCION: C)61 m E)72m Si Y e "y" son las longitudes en me· tros, los costos son x2e y2, donde: x2_y2=240 (x+y)(x·y) = 240 => x-y = 2 Yo Luego: x+y = 120 ....... (1) x·y=2 ........... (2) (1 )+(2): 2x= 122=>x=61m I Rpta. el @!> Femando tiene en el bolsillo cierta suma de dinero. Compra una lámpa· ra y una cafetera, entonces le que· dan tantos soles como cosió la lám· para. SI quisiera comprar una cafe· tera más, lefaltarra 10 soles. ¿Cuán· to costó la lámpara, sabiendo que si hubiera obtenido una rebaja de 10 soles en cada objeto, sólo hubiera gastado 48 soles? A) 39 soles B)29soles C)30soles O) 58 soles E) 34 soles RESOLUCION: Lámpara: x x+l0=y ................ (1) Cafetera: y =>(x·l O)+(y·l O) = 48 ... (2) Queda:x (1)+(2) 2x-l0=48 Ix=291 [Rpta.sl €!> Si los participantes en la reunión se sienten de 3 en 3 sobrarían 4 bancas en cambio si se sientan de 2 en 2, quedarían de pie 18 integrantes. ¿Cuántos son los participantes? A)30 B)60 C)70 0)78 E)87 RESOLUCION: Sea "x" el número de participantes e "y" el número de bancas. Oelos datos tenemos: x=(y4)3 ............... (I) x=2y+18 ............... (2) (1)= (2): (y4)3 =2y+18=>y= 30 En (2): x=2(30)+18=>x=78 [Rpta. D 1 ~ Aun alambre de 122 cm de longitud se le ha hecho dos cortes. La longitud de cada trozo es igual a la del inmediato anterior más 1/4 de esta longitud. ¿Cuál es la longitud del trozo más grande? A) 50 cm B) 60 cm 0)54 cm RESOLUCION: C) 62 cm E)48cm Cuando una cantidad es aumentada en su cuarta parte resulta los 5/4 dela cantidad original. 5 5 r 5 J x I 4 x I 4l4x 5 25x =>x+4 x+16 = 122 16x+20x+25x = 122 16 61x = 122x16 1 x= 321 :. ¡ [¡ xJ= ~~ (32)= 50 cm [Rpta.A 1 @ En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor excade en una unidad al cateto mayor pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud del cateto mayor? A)35 B)25 C)37 O) 12 E)24 RESOLUCION: ~ TEOREMA Hipotenusa DE Cateto "c' PlTAGORAS Menor e2 = a2 +b2 "a' ~.:-:-:-~:::::::".'-=-----=--:":'--.J Cateto Mayor 'b" Según el problema: (Cateto menor)2 + (Cateto mayor)2 = (Hipotenusa)2 x2+(3-1)2 = (3x+l)2 x'+9x2·6x+l = 9x2+6x+l X2= 12x X.x= 12x x = 12 (Menor) : . Mayor = 3(12)-1 =35 If-:Rp:--ta-.A,....I @ Un abuelo, el hijoyel nietotienenjuntos 100 anos. El abuelo dice: "Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto y mi nieto tiene tantos meses como yo años" la edad del abuelo es: A)40 B)50 C)60 0)70 E)80 RESOLUCION: #desemanas = #dedias (HIJO) (NIETO) 1 semane=7dles 1 die ~ # de meses = # de años (NIETO) (ABUELO) 1 mes 1 año = 12 meses ~ 7 Veces 12 Veces ~~ .. EDAD HIJO + EDAD NIETO + EDAD ABUELO = 100 7x + x + 12x = 100 x=5 :. Edad (ABUELO) = 12(5) = 60 años [Rpta, el @ En un conral se observan 3 gallinas por cada 5 patos y 4 conejos por cada 3 patos. Si en total se cuentan 176 cabezas ¿Cuál es el número total de patas? A)412 B)484 0)521 RESOLUCION: C)512 E) 544 t#de Gallinas: 9x } 3 .. #~pa¡osdabe + #de Patos : 15x 'ID}» .. r~y3es~" # de Conejos: 20x 4 MCM(5,3) = 15 Total de Cabezas=44x = 176 = 15x x=4 .. # de gallinas # de patos # de conejos ~ =-"-= =-"-= 9x4 = 36 15x4 = 60 20x4 = 80 ::. 36x!J =72 60x!J =120 80x !)=320 DONDE: cJ .. # de patas de cada animal :. Total de patas: I I 72+120+320 = 512 Rpta, ~ ~ En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves, sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves ¿Cuál es el número de palomas en dicha granja? A) 1 B)2 C)3 0)4 E)5 RESOLUCION: T .-'---, Jc. # de Palomas = P ~ Todos-P = 6 + # de Loros = L + Todos-L = 9 # de Gallinas = G Todos-G = 7 Sagún, enun- + ciado Todos = T = P+L +G Y 3T·P-L·G = 22 3T- (P+L +G) = 22 "---y--" T .. 2T=22 Pero: T-P = 6 l1-P = 6 P = 5 (Palomas) T= 11 @ En un campeonato de ajedrez, donde intervienen 60 jugadores, compitiendo cada uno de ellos una sola vez, se www.Matematica1.com observa que el número de ganadores era igual al número de empates ¿Cuántos jugadores perdieron? RESOLUCiÓN: [ Por cada ganadO~ hay un perdedor (Dato) t ~ # jugadores ganadores: x ~ + # jugadores perdedores: x # jugadores empatados: x Total de jugadores: 6O=3x 20=x (perdedores) [Rpta. D I 8 Un estante puede guardar 24 libros de RMy20 libros de RVo 36 de RMy 15 de RV ¿Cuántos libros de RM puede contener el estante? RESOLUCiÓN: Las magnHudes son el ancho de: . 24 libros ~ 36 libros ~ '1 libro (RM)=a. 24a(RM) + • 36a(RM) + . 24 libros 15 libros • 1 libro (RV)=b. 20b(RV) • 15b(RV) • Estante = x = 24a+20b = 36a+15b ~ ~ 20b-15b ;;; 36a-24a 5b = 12a Pero lo que nos piden "J{' en función de"a"(RM) .. x = 24a+2Ob = 24a+5x 5b x=24a+4xI2a x= 72a (RM) Otro método: RM BY I Rpta. D I Aumenta{ 24 20} Oisminuye 9n"12" 36 15 9n"15- +12 (48 10)-5 +12( )-5 60 5 +12( )-5 ~ Rpta.: 72(RM)y(Ningunode RV) [Rpta. D I @ Elena paga por 2 pollos Y 5 pavos un 10tal de 495 pesos. Si cada pavo cuesta 15 pesos más que un pollo ¿Cuántos pesos cuestan un pollo y un pavo juntos? A)120 B)105 0)95 RESOLUCiÓN: Ponas x x C)145 E)135 Gasto TotaI.n: -+--f;+15)-f----f---(,+ Pavos x+15 x+15 .. Gasto Total =495 A , 2x+5(x+15) - 495 ' 2x+5x+75 =495 7x = 420 5(x+15) -loIIJ x = 60 (Precio 1 pollo) "60+15=75(Preciol pavo) Rpta.: 60+75 = 135 r[R p'!--:-ta--:E. =--I @ A los habitantes de un pueblo le corresponde 60 litros de agua diarios, al aumentar la pobiaclón en 4 habltantes, a cada uno le corresponde 2 litros ¿Cuántos habitantes tiene ahora el pueblo? RESOLUCiÓN: # de x Raci6n = (No--) Total hal>tantes por persona de agua: Inio, x '\ 60 Después ... (ahora) x'" 56 .. 60x = 58(+44) x= 1276 (Inicio) :. Ahora: 1276+44 = 1320 SOx'\ [Rpta.B I ~ La hleroa crece en el prado con igual rapidez y espesura, se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 dras y 40 en 45 días ¿Cuántas vacas se comerían toda la hieroa en 75 días? RESOLUCiÓN: 'devacas 'dedías 60 25 40 45 x 75 I : Hierba inicial C: Crecimiento diario Total da hierba 1+25C 1+45C 1+75C Hierba consumida en 1 dra por una vaca: -1+-25C= 1-+4-5C= 1+-75-C 60x25 40x45 75x Reemplazando: I Rpta. E I .. x= 30 .. 8 Con 5/.16464 se han comprado latas de sardinas, en cierto número de cajones, cada uno de los cuales contiene un número de latas triples de cajones. Cada lata de sardinas, cuesta un número de soles doble del número de cajones. ¿Cuántas son latas de sardinas? A) 14 B)438 C)588 0)42 E) 196 RESOLUCiÓN: Oato: ~[::J=x 1~2~~§.~:[~J ~~a~d=3xf x 3x - 3x (~reOJ.J= 2xJrF.tHd~J=[~: J [ ndúombelero d dee ~ ;---2<-x-, ' ~3x' = 6x' cajOnes Pero el Costo Total = 16464 "6x3 =16464 x3 = 2744 x=14 :. TolaldeLatas 3x2=3(14)2=588 [Rpta. C I @ ¿Cuál es el número cuyo cuádruplo sumando al mismo el igual al doble del número, más el triple del mismo? A)2 B)3 C) 1/4 0)0,5 E) Todo valor RESOLUCiÓN: Sea "x" el número: .. 4x+x = 2x+3x (enunciado) .. 5x = 5x (Igualdad) Como la expresión 5x = 5x es una igualdad entonces se cumplirá para cualquiervalorde"x". I Rpta. E I @ Preguntando a un alumno por su nota en un examen responde: si cuadruplico mi nota y resto 40 tendrra lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene? A)12 B)14 C)17 0)16 E)15 RESOLUCiÓN: Su lo que lo I Sea su nota: x para 20 { nota faltaaY 3( Cuadrupicar:4xy l~~~ A {OlsminUiren40:4X-40 lt-X M K l Laque le falta pare 20: 20-x ~ .. 4x-40 = 20-x lt-- 20----i( 5x=60 x=12 [Rpta.AI @ Lo que cobra y gasta un profesor suman 600 y están en la relación de 3 a 2. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 5a3? A)16 B)24 C)32 0)15 E)20 RESOLUCiÓN: Luego debe disminuir el gasto en 'x': ~ Cobra = 3k .. Cobra _ Gasta (después) + Gasta=2k 5 - 3 600 = 5k (Enundado al final) 120=k 31(20) 2(120)-x 5 3 3x360 = 5(240-x) 1080 = 1200-5x 5x= 1200-1080 5x= 120 x=24 I Rpta. B I 8 En un banquete, habran sentados 8 invHados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos Invitados habían? A)32 B)64 C)36 0)21 E)96 RESOLUCiÓN: Número de Inicio #de personas por mesa 8 = (Nocambil) Total de Invitados: Bn'\ }t----+-4 = Después n+4 6 6(n+4) "8n=6(n+4) 8n=6n+24 2n=24 n=12 :. TotaldeinvHados:8n=96 I Rpta. E I ~ Son sistemas lineales: { { { ex'+X"X"X'=1 3x+4y=17; 2X,..2'X~; x,+ex .. x .. x.=a 2x-5y=-4 x ,-2x .. x .... 8 x ,+x .. ax .. x.=a' www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Un sistema. con m ecuaciones lineales y n variables o incógnitas. tiene la siguiente forma general: { 8nXn+812X;2+813X3+ ••• +81nXn = h1 a21X1+a22X~a23Xa+ ... +a2nXn = h2 a31X1+a32X~a33Xg+ ... +a3nXn = h3 a~1X1+am2Xz+-am3Xa+ ••• +amnXn= ~m donde Xi; X;Z; X3; ... ; Xn son las variables o incógnitas del sistema. - - ay(Vi = 1;m. j = 1;n) son los coeficientes. y: h,; h2; h,; ... ; h".; son los términos independientes en cada ecuación. { 2X+Y-3Z=7 8 Para el sistema: y+2z=5 x-4y+z=2 su representación será: [~ ~ ~]. [~] =[~] ó 1-41 z=2 [A:H]= [~ j -~ I i] SISTEMAS EQUIVALENTES Dos sistemas lineales. exactamente con las mismas incógnitas. se dice que son equivalentes si y sólo si la solución de una es también la solución de la otra. @ Resolverelsistema: { x-2y+z=7 3x-y-z=8 2x+y =5 Usando la matriz ampliada: [A:H] =[~ =~ -~ 1 ~]-[6 -~ ll-~J- 210505-2-9J -[~ -~ -~ -~l- O 5 -2 -9 1 -2 -3- ,i 9 5 i 5 4 i 13 - O 1 -5 i-s O 5 2 1 4 1 O O 0-3- 9 -[~ 5 5 O 4 13 O i 3] 1 ~ I-~ 5 5 O 5 1 2 Esta última matriz nos da la solución del sistema: x = 3; Y = -1; z = 2 (para lo cual. lea cada fila como si fuese una ecuación del sistema). @§) Resolverel sistema: { Xi +X2+X3+X4= O X1+X2+Xa-X4=4 X1+X2-X3+X4=-4 X1-X2+X3+X4=2 De la matriz ampliada: [A:H] =[~ ~ ~ -~ ~]- . 1 1 -1 1 -4 1 -1 1 1 2 [ 1 1 1 1 _ O O O -2 O O -2 O O -2 O O O4] _[01 -12 01 01 -400-20 2 O O O -2 Luego: x, = 1; x2=-1; x,=2;x.=-2 SISTEMA LINEAL NO HOMOGENEO El sistema lineal: A.X = H; H '" O es no homogéneo; es decir cuando la matriz de los términos independientes H no es nula. @ Resolver: {x,+ X2-X, = 1 2x1+ X2+X3=O 3x,+2x2 =1 Usando la matriz ampliada: [ 1 1-1i1]f2-2I,[1 1-1i1] [A:H]= 2 1 1 i O - 2 -1 3i-2 3 2 O i 1 fa-3f, O -1 3 i-2 (-1)f2[1 1 -111] f,-f2 [1 O 2 1- 1 ] 01-3,2 - 01-3,2 - O -1 3 i-2 f,+f2 O O O i O De ésta última. A y [A: H] tienen la misma caraclerlstica r = 2 y además n = 3 (tres variables). entonces el sistema tiene infinitas soluciones (r < n) con n - r = 1 variable arbitraria También, de las dos primeras filas, obtenemos que: x,+2x,=-1; x2-3x, = 2; haciendox,=a. resulta: x,=-2a-1 y x2=3a+2 Luego la solución general del sistemaes: x= [x,; X2; xa]'= [-2a-1; 3a+2; a]' { X1+ X2+X3 =4 @ Resolver: 2x, +5X2-2x, = 3 x,+7x2-7x,=5 Con la matriz ampliada: [ [A:H]= 21 51 -21 143 ]f2--2I,[12 1 7 -7 5 f,-f, O 31 -14 1-15 ] 6 -8 1 t~ [: 1 -¡ 1 4 5 6 -8 1 O 7 17 f,-f2 3 3 fa-6f2 O 1 4 5 5 3 O O O 9 De donde se observa que la caraoteristica de la matriz de coeficientes A en 2 y la característica de la matriz ampliada [A: H] es 3; en consecuencia el sistema no tiene solución (es INCOMPATIBLE). De la última fila se desprende que: O.x, + 0.X2+ O.x,= 9. es una ecuación que no tiene sentido. no se satisface para ningúnX={x,; X2;X,}. SISTEMA LINEAL HOMOGENEO El sistema lineal:A.x = O Es homogéneo. es decir. cuando la matriz de los términos independientes H es nula (H = O). Siendo el sistema de n incógnitas. es fácil deducir que la matriz de coeficientes A y la matriz ampliada [A : O] tienen la misma caracteristica y por lo tanto el sistema siempre es compatible. { x1+2x2+3x3=O @ Resolver: 2x,+ X2 +3x, = O 3X1+2X2+ X3=O Usando solamente la matriz de coeficientesA: A = [~ 1 ~] ;:~;: [~ ~ =1] -tf2[1 2 -+- O 1 f, O 1 31 ]f'-2- f2[1O 2 f,-f2 O de donde la característica es r = 3 Y también n = 3. luego el sistema tiene solución única. la trivial: X1=X2=X3=O. REGLA DE CRAMER Dado el sistema lineal no homogéneo de n ecuaciones y n incógnitas: A.x= H (6.9) Es decir. Aes una matriz cuadrada de orden n; la condición necesaria y suficiente para que dicho sistema tenga solución única es queAsea de caraoterlstica r = n. es decir: I Al'" o. y la solución del sistema esta dada por: x -.l.&l·x _IA21. ,- IAI • 2- IAI • .X _IA,I .. X _IA,I . '-IAT····· '-IAT (6.10) { 4X1- X2+ 2X3+ X4=O 2x,+3x2- x,-2x.=O @ Resolver: 7X2- 4x,- 5x. = O 2x,-11x2+ 7x,+8x.= O Con la matriz de coeficientes: [ 4 -1 2 1] = 2 3 -1 -2 A O 7-4-5 2 -11 7 8 [ 2 3 -1 -2] f'2 4 -1 2 1 - O 7-4-5 2 -11 7 8 [ 1 -3-1- -1] [1 3- -1- -]1 , 2 2 fz-4f, 2 2 ,f, 4 -1 2 1 - O -7 4 5 - O 7 -4 -5 f.-2f, O 7 -4 -5 2 -11 7 8 O -14 8 10 www.Matematica1.com , -,1, -3 -1- -1 I,-tl, 1 O 5 1 2 2 14 14 4 5 4 5 O 1 ---- 1,-71, O 1 ---- 7 7 7 7 O 7 -4 -5 1.+141, O O O O O -14 8 10 O O O O De aquí, la característica de A es r = 2y n =4; entonces, como r< n, el sistema tiene infinitas soluciones. Además el sistema tiene n - r = 4 - 2 = 2 variables aribitrarias. Luego, de la matriz equivalente aA, se tiene que: 5 1 x,+-;¡¡-x3+-;¡¡-x,=0 y x,- ~ X3- ~ x,= O, haciendo: X3= a y x, = b resulta que: 5 1 4 5 x, = -14a --;¡¡-b yx,= 7a+7b Luego la solución general es: x= [- ~a -.! b·.i.a+~b· a· bl ' 14 4' 7 7" 'J { X1+X2+2xa=-1 @ Resolver: 2x, -X,+2X3=-4 4x1+x2+4x3=-2 Por la regla de Cramer: IAI=I~ -~ ~1=6; 4 1 4 Como lA I '" O, el sistema tiene soluciónúnica. Luego: IA,I = 1 ~ -~ -2 1 IA'I=I~ ~ IA31=1~ ~ ~ 1=6; ~ 1=12; --14 1 = -12; -2 Observe que A, se obtuvo de A reemplazando su primera columna por la de los términos independientes (H); A, al reemplazar la segunda columna por H y A3 la tercera columna también por H. Entonces· x, = -IA-,I = - 6 = 1 . IAI 6 IA,I 12 IA31 -12 X'=IAT=S=2 X3=IAT=a=-2 ~ Hallar: 1+2+3+ .................. +79 RESOLUCiÓN: Resolviendo: 1+2+3+ .................... +@ Si: Cii=7~ ~n 40 S = 79(7:+1) 7srr = 3160 1 @ Hallar: 2+4+6+ ............. +90 RESOLUCiÓN: Resolviendo: 2+4+6+ .................... +@ 2n=90 ~n ~=4i> S =45(46)=2070 1 @ Hallar: 1+3+5+ ............. +49 RESOLUCiÓN: S=1+3+5+ ............... +@ 2n-1 =49 ~2n-l Qn=5]) n= 25 1 S = (25)'= 625 @ Hallar: 20+21+22+ .......... +49 RESOLUCiÓN: Vemos que para hallar la suma pedida no podemos usar la lórmula de suma de números naturales puesto que no empieza en el número 1; por lo cual le aumentaremos al principio la suma del 1 al 19 y si le restaremos lo mismo para que no varie el resultado.AsI: ~+20+21+22+ ... . se suma ... +49-(1+2+3+ ... +19) "-------v----- se re ... Por lo tanto tenemos dos sumas notables de números naturales: (1+2+3+ .... +@}-(1+2+ ... +@) .j. .j. n n 25 10 49(50) _ 19(20) 2 - 2 1225 - 190 = 10351 @ Hallar: 1'+2'+3'+ ............. +30' RESOLUCiÓN: S=l'+2'+3'+ ............ +@ n'=30' ~n' ~=3Q) 5 S = 30(31)(61) 6 409 Hallar: 13+23+33+ ............. +303 RESOLUCiÓN: S=13+23+33+ ......... +@ n3=203 ~2n-l ~=2Q) S=[~1)J:210'=44100 1 @9) Hallar: lx2+2x3+3x4+ ..... +20x21 RESOLUCiÓN: Vemos que: 1 x2+2x3+3x4+ ... +20x21 7 20~x22 = 3080 1 @ Hallar: 3+6+9+12+ ........ +72 RESOLUCiÓN: Vemos que es igual a: 3xl +3x2+3x3+3x4+ ... +3x24 ,3(1+2+3+ ..... +24), v númerodenabJralH donde: G = 2-D {2}:5}~ ® Hallar: 0,01+0,02+0,03+ ...... +0,40 RESOLUCiÓN: Escribiendo en forma de fracción: -1+ -2+ -3+ +4-0 100 100 100 ..... 100 Sume d. - ..... 1""'"' I 40(41) ,------->-----. -- Operando 1+2+;;0 .. +40 = 1~ = 820 = 100 =~ ® Hallar: 512+256+128+64+ ..... 00 RESOLUCiÓN: Vemos que: r= 1/2; a=512 512 S=~=_1_=1024 1_1.. 1 2 2 a a a S=a+"2+4+8+······ 00 a a 1 S=--1-=-1-=2a I 1-- ---+ 2 2 Por lo tanto en la suma anterior: S = 512+256+128+64+ ..... +00 S = 2(512) = 10241 @ Hallar: 1 1 1 1 P=4+-¡2+-¡2+ 4' + ...... 00 RESOLUCiÓN: Aplicando la propiedad tendremos: 1 1 P = 4-1 = 3 1 @ Sintetizaren lorma de sumatoria: 4+7+10+13+ ....... +43 RESOLUCiÓN: Observarnos que varran de 3 en 3 por lo tanto sera de la 10rmaAx+B 4+7+10+13+ ....... +43 vV'-J'-J 3 3 3 (3xl +1 )+(3x2+1 )+(3x3+1)+ .... .... +(3x14+1) 14 Por lo tanto sera: x~·, 3x+1 ~ Sinletizarenlormadesumatoria: 2+5+10+17+ ............. +101 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 RESOLUCiÓN: 2+5+10+17+ ......... +101 U \.....1\.....1 +3 +5 +7 \.....1\.....1 +2 +2 Vemos que como tiene 2 niveles es de segundo grado su fórmula y será: Ax'+Bx+C (1 '+1 )+(2'+1 )+(3'+1 )+ .... +(10'+1) Entonces sera: 10 xI·:, x'+l @ Sintetizaren forma de sumatoria: lx3+2x4+3x5+ ...... +20x22 RESOLUCiÓN: Dandole forma: lx3+2x4+3x5+ ....... +20x22 \.....1 \.....1 \.....1 '-..-J +2 +2 +2 +2 1.(1 +2)+2.(2+2)+3.(3+2)+ .... .... +20(20+2) Por lo tanto: 2Il xI·:, x(x+2) @ Sintetizaren forma sumatoria: 2+8+18+32+ ........... +200 RESOLUCiÓN: Veamos que es de la forma: 2.1 '+2.2'+2.3'+2.4'+ ....... +2.10' Porlo tanto es: 10 I:2x' x-' @ Hallar"x",si: 1+2+3+5+7+ ........ +x= 15625 RESOLUCiÓN: Haciendo x = 2n-l ,1+3+5+7+ .... +(2n-l ),= 15625 n'=(125)' n=125 x=2n-l =2(125)-1 =2491 @)Si: (x+l )+(x+2)+(x+3)+ ... +(x+40)= 1140 Calcular: P= 1+2+3+ ....... +xx RESOLUCiÓN: Podemos escribir: ~+~=1140 4Osumandoe 40sumandos 20 4Ox+ 40(41) = 1140 2 4Ox+820 = 1140 40x= 320 x=320/40 .. IX=81 P = 1+2+3+ ..... +88 = 88~89) = 391 1 @ La suma de los "n" primeros números naturales es igual a 300. Entonces "n" vale: RESOLUCiÓN: Planteando tenemos: n(n+l) = 300 2 n(n+l) =600 n(n+l) = 24x25 In=241 IT t t @ Hallar"R"si: R=2'+4'+6'+ ... +32' RESOLUCiÓN: Podemos descomponer así: R = (1.2)'+(2.2)'+(3.2)'+ .... +(16.2)' R = 1'.2'+2'.2'+3'.2'+ .... +16'.2' Factorizando: R= 2~l'+2'+3'+ ..... +16't sumadecuad~08ln"'161 R =4 [16.~.33J = 59841 También podíamos sintetizaren forma de sumatoria: ~(2x)'= ~4x'= 4~= 116.17.331 x"'1 X"'1 X"'1l6) = 5984 1 @ Hallar el valor de "W' si: 111 1 W = lx2 + 2x3 + 3x4 + ... + 60x61 RESOLUCiÓN: 1 1 a+b Cuando tenemos: - + - =- a b a.b 1 1 b-a a-"j)= a.b . 1 1 7+5 12 Por ejemplo: 5 + 7 = 5.7 = 35" 1 1 7-5 2 5-7= 5.7 =35" Por lo tanto cuando tengamos en el numerador la suma o diferencia de los factores del denominador lo podemos descomponerasl: 3 1 1 4x7=4-"1 -11= -1+ -1 2x9 2 9 En el ejercicio podemos escribir: W = 1-1-+1---1+-1--1+ +1-1+- 22334···6061 Observamos que se eliminan todos menos el primero y el @imo y nos queda: 1 1 W= 1--+- 60 61 @ Efectuar: E=(lx3)+(2x4)+(3x5)+ (4x6)+ ... +(22x24) RESOLUCiÓN: Sintetizando: I":X (X+2) = X'+2X= "I:X'+"2I:X x=1 x"1 x=1 ~ X' = 22x23x45 - 3795 x=1 6 2~X = 2 r 22X23J = 506 x=1 l 2 E = 3795+506 = 43011 @ Se escriben los números en el orden mostrado: Fila 1: 1 Fila2: 3,5 Fila3: 7,9; 11 Fila4: 13,15,17,19 ¿Cuál es la suma de todos los números hasta la fila 20? RESOLUCiÓN: En este tipo de problemas observaremos lo que se cumpla en cada fila o columna según el problema, As!: Filal: 1 91' Fila2: 3+5=8 923 Fila3: 7+9+11 =27 933 Fila 4: 13+15+17+19=64 943 F(,¡+F(2¡+F(3¡+F(4)+ ... +F(20)= 13+23+33 +4'+ ... +203 [ F(,)+F(,¡+F(3)+F(4¡+ ... +F(2Il) = -202X2-1J = 210' = 44100 @ Determinar el valor de "S" si: 1 2 3 S = 10+ 10' + 10' + ...... 0) RESOLUCiÓN: Multiplicando ambos valores por 10 (denominador del primer término) tenemos: lOS =J.Cl..+ 2(10) + 3(10) + 4(10) + 10 lO' 103 lO' ... 0) Simplificando: 234 lOS = 1+ lO' + 10'+ 103 + ....... 0) Restando: 1 OS-S 234 lOS = 1+ 10 +10'+ 103 + ....... 0) -S = __ 1 __ ..1... _ --ª-+ O) 10 lO' 103 ...... . 9S = l+fo-+~+~+ ....... ,,: v suma geomllMrica. decm:iente al a;J 9S = 1+1/9 9S = 10/9 S = 10/81 También veremos que: 1 234 S =-r +~+---;:a+f4 + ....... 00 S= r [1-+]' Por lo tanto: 1 1 1 S= 10 =~=....!Q...=1O. rl _...!..] , rJl.]' -ª1.. 81 L 10 Ll0 100 @ Hallar"W" si: 1 5 19 65 W=--¡¡+ 36+216+ 1269 + ..... 0) RESOLUCiÓN: Descomponiendo: W=1 -+5- -+1-9- +-6-5 +. .. oo 2x3 4x9 8x27 16x81 W= -1--1+1---1+1--1-+1--1-+ 00 2 3 4 9 8 27 16 81 ... Agrupando: w=.&+++t+~+ ... + , [1 1 1 1 :1 -.[3+9+~+81+·"O») W = 1-1/2 =1/21 ,~ www.Matematica1.com @ Se agrega a 42 la suma de 25 números impares consecutivos. ¿En qué cifra termina el resultado? RESOLUCiÓN: Veamos que cada 5 números impares consecutivos: .... 1+ .... 3+ .... 5+ .... 7+ .... 9= .... 5 Si son 25 impares esto se repite 5 veces 5( ... 1 + ... 3+ ... 5+ ... 7+ ... 9 = 5( ... 5)= ... 5 42+ .... 5= .... 7 @ Hallar "x"si: x+(x+4 )+(x+8)+(x+ 12)+ ... +5x = 720 RESOLUCiÓN: Descomponiendo: 5x =4+4x x+(x+4)+(x+8)+(x+12)+ .......... +(x+4x) = 720 Agrupando: x+x+x+x+ ... +x+4+8+12+ ... +4x ,x+x+x~x+ ... +xt4(1 +2+3+ ... +x)=720 (x+1)veces 2 (x+l)x+ #~1) 720 (x+l )+2x(x+l) = 720 3x(x+l) = 720 x(x+l) = 240 x(x+l)=15.16 IT t t Ix=161 @ Dado que: (1 +2+3+ ... +n)(2+4+6+ ... +2n)= 6050 Determinar: A = n2 +n-l RESOLUCiÓN: ~1+2+~+ ... +nl(2+4+6: ... +2n)=6050 tn(n;1 ~ In(n+l)] = 6050 [n(n+l)]2 = 1200 [n(n+l])2= 1102 n(n+l)=110 n(n+l)=10.11 1 n-l01 IT t t A= n2+n-l = 102+10-1 = 1091 @ Un caño malogrado gotea un dra 63 gotas y cada día que transcunre a partir de ese dia gotea dos gotas menos que en el dia anterior. ¿Cuántos dias goteará el caño y cuántas gotas dará en total? RESOLUCiÓN: Gotea: 63+61 +59+57+ ... +3+1 Osea: 1+3+ .... +61+ @ 2n-l =63 2n=64 ~2n-l 1 n=321 qTotaldedras Total de gotas = n2 = (32)2 = 10241 @ Pienre y A1exander leen una novela de 3000 páginas, Pierre lee 100 páginas diarias y Alexander 1 O páginas el primer dra, 20 páginas el segundo dra, el tercer dra y asr sucesivamente. ¿Después de haber lerdo cuántas páginas coincidirán? RESOLUCiÓN: n = número de dias que transcurren Pierre lee"l OO' páginas A1exanderlee: 10+20+30+ ... +10n= = 10(1+2+3+ ... +n) 10(1+2+3+ ... +n)= 100n k[ n(n;l)J= 100n 5n(n+l) = 100n 100n n+l =-- 5n n+l = 20 1 n = 191 P = 100x19 = 1900 r19J1il A= 10(1+2+ ... +19)=10 l-2-r 1900 @ Determinar la suma de las Infinitas áreas que se forman (incluyendo la del primer cuadrado) al unir los puntos medios de cada cuadrado. A2 A2 A -- A2+2 -+4- +. ...... -- S=2A2 @ El histograma muestra el transporte público en el área metropolitana 450 400 350 300 250 200 150 100 50 o Subterráneo o Tren eléctrico 1992 1993 1994 1995 1996 1997 ¿A cuántos millones de soles asciende el número total de boletos sobrados desde 1992 hasta 1997 incluye? A)41xl02 B)13xl02 C)13xl02 D)17xl02 E) 19x102 RESOLUCiÓN: Sumando los totales de boletos cobrados durante los años (6) pedidos. En 1992: 300millones En 1993: 325millones En 1994: 350millones En 1995: 350millones En 1996: 325millones En 1997: 250millones Total : 1900 milones I Rpta. E 1 @ El gráfico muestra el presupuesto de una empresa durante los años indicados: Presupuesto anual (millones de solos) 1,0 f' V 0,5 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 ¿Cuál fue el aumento desde 1985a 1991? porcentual A) 4% B)8% D) 125% RESOLUCiÓN: C)50% E) 200% El presupuesto creció desde 0,4 millones en 1985 a 0,9 millones en 1991 es decir aumentó en: 0,9 - 0,4 = 0,5 millones. En porcentaje será: 0,5 xl00% = 125% [ Rpta. D I 0,4 436 ¿Cuál de los siguientes montos es el mejor estimado de las ventas anuales de dicha compañia? A) 5/.6'000,000 B) 5/.1 0'000,000 C) 5/.35'000,000 D) 5/.70'000,000 E) 5/.300'000,000 RESOLUCiÓN: Para los meses fijos (según gráfico): Enero: SI. 4'000,000 Junio: SI. 6'000,000 Agosto: SI. 6'000,000 Noviembre: SI. 8'000,000 Diciembre: SI. 10'000,000 5/.34'000,000 Febrero: SI. 5'500,000 Marzo: Abril: Mayo: Julio: Octubre: SI. 5'000,000 SI. 7'000,000 SI. 5'750,000 SI. 7'000,000 SI. 5'000,000 5/.35'250,000 Las sumas parciales dan un "aproximado' para 5/.70'000,00;.;0.::-----:,.., I Rpta. D I @ El siguiente diagrama ha sido elaborado con las estaturas en centímetros de un grupo de jóvenes. www.Matematica1.com www com . . M atematica1 f, : --------------------------------------T --1 i Estatum , (en cm) 120 130 140 150 160 170 160 Calcular cuántas personas tienen estaturas entre 135cmy 165 cm_ A)26 B)6 C)8 D)10 E)12 RESOLUCION: Llevando los datos a un cuadro de distribución de frecuencias. t, f, [120-130) 3 [130-140) 4 [140-150) 3 [150-160) 2 [160-170) 6 [170-180) 2 N =20 ,----L, ,----L, ,----L, ,--L, • I I l' 130 1'40 150 160 1 170 ~ ~ x y x 4 20 5 140-130 ~x=1O .... x=2 y 6 15_ 5 170-160 ~y=5 .... y-3 x+y+3+2 = 10 [Rpta. D I @ De acuerdo al gráfico: Candidato A Total = 2500 personas Candidato B Total = 1800 personas ¿Qué cantidad de personas de Miraflores y San Isidro votan porAo B? A) 1545 B) 1630 C) 1730 D)1910 E) 1982 RESOLUCION: Para el candidato A: 100% -2500}~x = 2500x40% 35% - x 100% x = 1000 Para el candidato B: 100%-2500}~x= 2500x35% 35% - x 100% x= 630 Para Miraflores y San Isidro, el número total de personas que votan porAoBserá: 1000+630 = 1630 [ Rpta. B I N° de personas 800 700 600 500 400 300 200 100 O en miles Taxi Combi Microbús ¿Cuál es la diferencia del total de niños que viajan en microbús con el total de adultos que viajan en combi? A) 150 B)200 D)400 RESOLUCION: C)300 E) 1000 De los diagramas: El total de ninos que viajan en microbús es 600. El total de adultos que viajan en combi es 400. La diferencia es: 600-150 = 200 [Rpta.B I @ El gráfico muestra la variación en el consumo de leche para determinados anos. Milas de litros 20 10 ----------e- CO e- r- 90 In Ano 94 95 96 97 98 ¿En qué porcentaje del total representa lo consumido en 1995? A)17,6% B)19,2% C)22,1% D)23% E)25% RESOLUCION: El total de miles de litros consumidos estará por la suma del consumo parcial por año. Esta suma será: 90+100+110+120+100 =520 Luego: 120, ¿qué porcentaje es de 5207 P%de520= 120 .Lx 520 = 120 P _ 100x120 100 => 520 :. P=23% [Rpta.DI Producción de alim ntos (millones) 20 ... ! V, ! " l'..! ¡./ Azúcar 10 7, , , " " Anos 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 ¿En qué ano se mantuvo la máxima producción de los tres alimentos? A)91 B)93 C)94 D)96 E)98 RESOLUCION: Observando detenidamente los 'picoso de los gráficos vemos que el año en cuestión es 1993. [ Rpta. B I ® De acuerdo al cuadro sobre estado de vida. CUADRO DEL COSTO DE VIDA 1990 1995 TOKIO 180 200 FRANKFURT 170 165 NEWYORK 100 100 LIMA 85 65 MADRID 85 95 WASHINGTON 150 155 ¿En cuál de las ciudades aumenta más en porcentaje el costo de vida de 1990a 1995? A) Tokio B) Frankfurt C) NewYork D) Madrid E) Washington RESOLUCION: Para Tokio: Si: ~~5 = !OO%} =>x = 15x100% 81% 185 ' Para Madrid: Si: ~~ = ~OO% } =>x = 10x100% = 1176% 85 ' Para Washington' Si· 150 .. 5 --1x00 %} =>x = 5x100% = 3 33% 85 ' I Rpta.: En Madrid I I Rpta. D I ® El gráfico muestra la asistencia para verjugara 3 equipos. Millones Asist. ¿Algún año dos de los equipos igualaron en cantidad de aficionados asistentes para ver uno de sus encuentros deportivos? A) 84 B)85 D)87 RESOLUCION: C)86 E) N.A. Se puede apreciar en la gráfica, que ninguno de los 3 equipos, 2 a 2 igualaron su cantidad de aficionados. [Rpta. El www.Matematica1.com Los ingresos revertidos a la investigación para cada rubro; (para los años 1985-1990). El rubro al cual le fueron revertidos todos sus ingresos por motivo de exportaciones para ser usados en investigación fue: A) mineria B) otros C) pesca D)Agro-industría E) Industria manufacturera RESOLUCiÓN: Por inspección de los dos gráficos, observamos que esAgro-lndustria. I Rpta. D I @ La ojiva mostrada indica las frecuencias absolutas acumuladas correspondientes al ingreso diario (en soles) de cierto número de empleados. N" de empleados 80 ......................................... . 70 .. _ ...... _ ...... _ ...... _ ...... _ .. 60························ 109""'" 10 20 35 O 60 70 ¿Cuántos empleados ganan entre 5/.20 Y S/.50? A)21 B)23 C)28 D)40 E)45 RESOLUCiÓN: Llevandolo a un histograma: 10 20 35 40 ~~O~ 60 Luego: 15+20+5 =40 I Rpta_ D I 1987 1988 De acuerdo a los gráficos. ¿En cuánto varía lo destinado a salarios del año 1987 al año 1988? A)Aumenta en 96000 B)Aumenta en 960000 C) Disminuye en 84000 D) Disminuye en 960000 E) Novarra RESOLUCiÓN: • Para 1987: 1~Ox12,OOOOOO=204000 • Para 1988: 1~ x12,OOOOOO=204000 11 = Variación = 3000000 - 240000 = 960000 I Rpta. B I @ El gráfico muestra la variación de la temperatura en 3 ciudades del planeta: ¿Entre qué horas las temperaturas de las ciudades A y B se mantuvieron constantes y en el mismo valor? A)2pm,3pm B)10am,3pm C)9am,3pm D)l pm,3pm E) N.A. RESOLUCiÓN: Entre las 2 y 3 pm conT" =30" I Rpta.A I ~ Dos recipientes contienen 9 y 5 litros de alcohol de 40" y 88" respectivamente, se agrega cierta cantidad de alcohol puro en uno e igual cantidad de agua en el otro, resultando alcoholes de igual grado en ambos recipientes. ¿Cuántos litros de agua o alcohol se agregaron a los recipientes? A)8t B)6t C)5t D)4t E)3t RESOLUCiÓN: Grafiquemos los recipientes: n 2") 9 0 " 9 8 " De donde observamos que para que tenga igual pureza al primer recipiente agregamos "n"litros de alcohol puro para elevar su pureza y en el segundo recipiente agregamos "n"litros de agua para bajar su pureza . Luego: en el primer recipiente: Volumen Purwza Valor 9 40 360 n 100 100n 9+n gm 360+100n 360+100n De donde: gm = 9 ....... (1) +n En el segundo recipiente: Volumen Purwza Valor 5 88 440 n O O 5+n gm 440 Igualando (1) Y (2) por dato: 360+100n 440 = 9+n 5+n Al restar los antecedentes y consecuentes se tiene: 360+100n 440 = 9+n 5+n Simplificando tenemos: (5n-4)(n+5) =88= llx8 Igualando factores se tiene: n=3 ~ _ ~ I Rpta. El Se debe agregar: n = 3 t @ Un comerciante compra dos costales de café de calidades diferentes, cada uno pesa 150 kg Y pagó por todo SI. 630 mezcla de la primera y la segunda en cantidades como 4 a 1 vendiendo esta mezcla a 5/.2,444 el kg. Si gana en esta venta el 10%. Calcular la diferencia de precios de los costales. A) SI. 42 B) SI. 63 D)S/.45 RESOLUCiÓN: C)S/.8 E) SI. 30 Vamos a suponer que SI. a y SI. b son los precios de los ingredientes por Kilo por lo cual planteamos: 150(a+b) =630 a+b=4,20 ........... (1) Como al mezclar en la proporción de 4 a 1 la primera y segunda, el precio de venta es 2,244 con una ganancia del 10%. ~Pm+l0%Pm=2,244 Pm = 2,04 ......... (2) Además dicho precio medio se obtiene de la regla de mezcla directa. Volumen Purwza 4 a 1 b 5 Pm= 2,04 ~ 4a+b =204 5 4a+b = 10,20 ............. (3) Valor 4a b 4a+b Al resolver (1) Y (3) se obtiene: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 a=2yb=2,20 :, Diferencia = lS0(b-a) = 150(0,20) =5/.30 I Rpta. El Sa mezclan 70 t de alcohol de 93· con 50 t69%, a la mezcla se extrae 42 litros Y se reemplaza por alcohol de n·, resullando una mezcla que contiene 28,8 litros de agua. Oeterminar- n-o A)69· B)65· C)80· 0)35· E)63· RESOLUCION: En la primera mazcla tenemos: Volumen Pureza Valor 70<>7 93-69=24 O 50<>5 69-69=0 O 12 gm-69-? 168 168 ~g m -69= 12 =14 gm= 83· Los 120 ttienen una pureza de 83· si retiramos 42 tel restante que es 78 t tendrá la misma pureza es decir 83·. En la segunda los Ingredientes son: 1·) 78 t de 83· del cual VOH puro = 83% (78 t) Y VH20 = 17% (78) 2·)42tde n· del cual VOH puro = n'lo (42) y VH20 = (1 OO-n)% (42) Luego el volumen total de agua es: 17%(78) + (1 OO-n)'Io (42) = 28,8 17%(78)+420042n = 2880 :, n =63· I Rpta. El En un recipiente hay 40 tde alcohol de 60· del cual es extraído 10 t Y reemplazado por agua, pero nuevamente se extrae 15 t de mezcla y reemplazado por alcohol puro ¿Cuél es el grado de la mezcla alcohólica final? A) 45· B)6S, 625· C)S7,12S· 0)71,2S· E) SS, 12S· RESOLUCION: Del enunciado notamos que el volumen total es 40 tluego tenemos: 1·)A1 extraer los 10 Lt. quedarán 30 Lt. De 60· que se va a mezclar con 10 t de agua cuya pureza es O·. Ahora vamos a detenninar la pureza de la nueva mazcla. Volumen Pureza Valor 30<>3 60 180 10<>1 O O 4 gm= 180 =4S· 4 180 La nueva mezcla es de 40 I de 4S· de pureza. 2·)Oe la nueva mezcla al extraer los 15 tqueda 25 tde 45· que se va a mezclar con lS t de alcohol puro de 100· de pureza. Luego por regla de mezcla inversa: Volumen Pureza Valor 2S<>S 4S4S=0 O IS<>3 10045=55 165 4 gm4 5-? 165 , 4S 165 ~gm 8 g'm= 45 = 20,625 :_ g'm=6S,625 I Rpta.B I ¿Qué porcentaje se ganó al vender una mezcla de tres tipos de café: 50 Kilos de café 5/.42 el Kilo. 60 Kilos de café de 5/.4,3 el Kilo y 20 Kilos de café de 5/.4,8 el Kilo. Si en total se obtuvo SI. 637,32. A) 12% B)10% C)II% 0)13% E)15% RESOLUCION: Oalos: Canlldad PrecIoxKIo Gu10 Parcial 50 SI.4,2 -+ 5/.210 60 5/.4,3 -+ SI. 258 20 5/.4,8 -+ SI. 96 El coslo Iolal es: SI. 564,00} ( ) Precio de venia es: 5/.637,32 - La ganancia será: 5/.73,32 Ganancia es: 7;é!2 xl00%=13%delcoslo I Rpta. D I Se tiene dos sustancias A y B de precios diferentes. Si de A se loma el triple de lo que se loma de B el precio de la mezcla es 24 soles cada Kilogramo. ¿Cuál será el precio de la mezcla si las cantidades mazcladas de Ay B son Iguales? A)2O B)3O C)28 0)15 E)19 RESOLucION: Sean a y b los precios por clKilo de los ingredlenlasAy B. En la primera mezcla: Volumen Precio Valor Sust.A 3 a 3a Sust.B 1 b b 4 Pm=24 3a+b De donde: 3a+b = 40 (24) = 96 .... ... (1) En la segunda mezcla: Volumen Precio Valor Sust.A 1 a a Sust.B 3 b 3b 4 Pm=34 a+3b Del cual: a+3b = 4(32) = 128 ....... (2) Nos piden una mazcla con las siguientes condiciones: Volumen Precio Valor Sust.A 1 a a Sust.B 1 b b 2 Pm'= ? a+b Del cual debemos hallar: Pm' = a+b ....... (3) 2 De (1) Y (2) sumamos miembro a miembro. 4a+4b = 224 a+b=56 Al reemplazaren (3) se tiene: Pm'= a+b = 58 =28 2 2 ~-,--=-- IRPta_C] @ Se mezclan volúmenes de alcohol de 60·,40· Y 30· obteniéndose un volumen de alcohol de 37.5·. SI se sabe que el volumen del alcohol de 60· es la tercera parte del volumen de 40·. Hallar el porcenlaje que representa el volumen de alcohol de 30· del volumen total de la mezcla. A) 60% B)40% 0)37,5% RESOLUCION: Volumen Pureza n 60-30=30 3n 40-30=10 V 30-30=0 4 37,S-30=7,5 Se cumple: ~ (4n+V)7,5 = 60n 4n+V=8n V=4n Siendo el volumen Iotal: n+3n+V=8n C)50% E) 62,5% Valor 30n 30n O 60n , V 'In • • 8n xl00% = 8n xl00% = 50% I Rpta. el @ Si se mezclan dos clases de frijol en la proporción de 2 a 3 se vende ganado al8% pero si se mezclan en la proporción de 3 a 2 se vende ganando el 12%. Si el precio de venia en los dos casos fue el mismo. Hallar la relación entre los precios de costo de cada tipo de frijol. A) 6/5 B)27/28 O) 11112 RESOLUCION: C)7/8 E) 2/3 Si "a" es el precio unitario del primer ingrediente yObO es el segundo precio unilario del segundo Ingrediente. o En la primera mezcla: CantlUdes Precios CooID hn:illl 2 a 3a 3 b 2b 5n Pm,= 2a+3b 5 2a+3b yel precio de venta es: 108% [2a;3b J ......... (a) o En la segunda mezcla: www.Matematica1.com 3 2 Precios a b COIIo Parcial 3a 2b 5n Pm2 = 3a+2b 3a+2b 5 Su precio de venta es: t 3a;2b j ... (~) Por dato igualamos (a) y (~): 108% t 3a;2b} 112% t 3a;2bj a 27 .. b=Ta [Rpta.BI @ Se mezclan ingredientes de SI. 10 Y SI. 20 precio unitario en la proporción de "a" a "b". Si se mezclan en la proporción de bla el precio unitario resultante sería 50% mayor. Hallar aIb. A) 1/4 B)4/1 C) 1/3 D) 3 E) 1/5 RESOLUCiÓN: En la primera mezcla: a:10_Pm ....... 20-Pm ...... (a) b:20....... -Pm-10 -- a+b 10 En la segunda mezcla el precio medio es 50% mayor osea es 1 ,5 Pm. a: 10_ Pm ....... 20-1 ,5Pm .... (a) b:20....... -1,5Pm-10 -- a+b 10 De (a) y (M notamos que el total (a+b) es proporcional a 10, entonces De (a) a es proporcional (20-Pm) De (p) a es proporcional a (1,5 Pm- 10). Luego podemos afirmar que: 1,5Pm-10=20-Pm 2,5Pm=30 Pm=12 Al reemplazaren (a) se tiene: a 20-Pm 20-12 .. b = Pm-10 = 12-10 = =8- -4- 2 [Rpta. B I @ Se quiere llenar un tonel con tres ciases de vino de SI. 12, SI. 14 Y SI. 15 el litro y un litro de agua por cada 20 litros devino, y porcada litrodeS/.12 tres de 5/.14 y 16 de 5/.15. ¿Cuántos litros de dicha mezcla se deberán tomar tal que al mezclarse con 62 t de vino de 5/.19 se obtenga una mezcla que se vendió en 5/.20,4 el litro ganado un 2%? Volumen K<>1 3K<>3 16K<>16 K<>1 21K<>21 Precio 5/.12 5/.14 5/.15 O Pm=? Del cual: Pm = 2: 1 4 = 5/.14 Valor 12 42 240 O 294 • Para la segunda mezcla se tiene: 21 K litros de 5/.14 el litro 60 litros de SI. 1ge1litro De donde: Pm'+20% Pm' = 20,4 Pm'=S/.17 21K:14_ 17 ....... 2 60: 19 --- -3 t I Por 20 :. VroTAL = 21 K =2x20 = 40 litros I Rpta.B I @ Se mezcla café de 5/.24, 5/.36 y 5/.30 al tostarlos ocurre una merma de 20% vendiendo el Kilo de café tostado 5/.53,2 con una ganancia del 40%. Si del segundo ingrediente hay 10Kg más que el primero y a su vez es la tercera parte del tercero. Hallar la cantidad de café sin tostar. A)150Kg B)140Kg D)120Kg RESOLUCiÓN: C) 132 Kg E) 170 Kg Como el Kilo de café tostado se vende en SI. 53.2 ganado el 40% se tiene: Pc+40%Pc=53,2 Pc = 5/.38 el Kilo Pero dicho precio por Kilo es después de la merma del 20% y para hallar el precio por Kilo antes de la merma, aplicamos la siguiente regla de tres: Pello 1 Kilo 0,80 Kilo (O) 80 Precio 5/.38 P ~P= 100 (38)= Dicho precio es el precio medio antes de la merma, entonces por regla Cantidades n-10 n 3n 5n-10 Precios 24-24=0 36-24=12 30-24=6 30,4-24=6,4 Costos o 12n 18n 30n OJO: Hemos restado 24 para anularel (n-10) (5n-1 0)(6,4) = 30n n=32 :. La cantidad inicial es: I Rp A I 5n-10 = 150 Kilos . ta. . @ Se tiene alcohol de 15', 16' Y 18' de pureza, cuantos litros habrá que tomar de cada uno de ellos para obtener una mezcla de 36 Litros si luego de esta mezcla se adiciona alcohol puro y se obtuvo alcohol de 20,4' aumentando en 20' su pureza. Sabiendo que la relación inicial entre el alcohol de 15' y 16' es como 2 a 3. Hallar la mayor diferencia entre dos de sus volumenes. A)17 B)12 C)9 0)21 E)15 RESOLUCiÓN: Sea gm la pureza de la mezcla antes de agregar el alcohol puro. Según dato: gm+20% gm= 20,4 gm= 17' Además la mezcla inicial es 36 t de los cuales: VOHde15' 2 = VOHde 16' 3 De donde vamos a suponer que: VOHde 15' = 2V VOHde 16' = 3V VOHde 18' = 36-5V Luego por regla de mezcla directa: Volumen Pureza Valor 2V 15-18= -3 -6V 3V 16-18= -2 -6V 36-5V 18-18 = O O 36 17-18 =-1 -12V 2 ~3 =-1 ~V=3 Los volúmenes son: 6 t; 9 ty 15 t :. La~ayordiferenciaes:[ Rpta C I 9 Litros. • ~ Hace 6 años la edad de un tío es 8 veces la de su sobrino; pero dentro de 4 años sólo será el triple. Calcular la suma de sus edades. A) 56 años B)48años C)64años O) 52 años E)42 años RESOLUCiÓN: Hace 6 años las edades eran: Edad del sobrino = x Edad del tia = 8x _6 - Actual llonIro do Tlo 8x 8x+6 SOBRINO x x+6 +6 +4 Por condición del problema: 8x+10=3(x+10) 8x+10=3x+30 x=4 4 aftoo 8x+10 x+10 Edad del tia =8(4)+6=38años Edad del sobrino =4+6 = 10años Suma de edades: 38+10 = 48 años [Rpta. B I @ 101 tiene la edad que ella tenia cuando él tenia la tercera parte de la edad que ella tiene. Si ella tiene 18 años más de lo que él tiene. ¿Cuántos años tiene ella? A)54 B)36 C)45 D)63 E) N.A. RESOLUCiÓN: Digamos que "IOL' tiene: x años www.Matematica1.com www com . . M atematica1 entonces "ELLA" tiene: (x+18) años Como el problema dice: "~L" tiene la edad que ELLA tenía, entonces ELLAtenia: xaños. Pero en este mismo pasado, él tenia la tercera parte de la edad que ELLA tiene, entonces ~I tenía: (x+; 8) años Pongamos estas edades en sus respectivos casilleros, tal como se muestra en el cuadro que sigue: Tenias Tlen .. ~L x+18 x 3 ELLA x x+18 Ahora bien, la DIFERENCIA DE EDADES entre 2 personas, en cualquiertiempo, siempre es el mismo. x+18 x- -3- = (x+18)-x Resolviendo: x=36 Entonces ELLA tiene x+18 = 54 años [RPta.A I @ Yo tengo el doble de tu edad, pero él tiene el triple dela mia. Si dentro de 6 años tú edad sumada a la mía es 18 años menos que la edad de él. ¿Qué edad tengo? A)12años B)14años C)18años D) 24 años E)16años RESOLUCiÓN: Edades actuales son: EdaddeTU=x Edad de YO = 2x Edad de ~L = 3(2x) = 6x Actual Dentro .. 6~ YO 2x 2x+6 TU x x+6 ~L 6x y Por condición del problema: (2x+6)+(x+6) = y-18 De donde: y = 3x+30 Por diferencia de edades entre TU y ~L se obtiene: 6x-x = y-(x+6) 5x = 3x+30-x-6 Resolviendo: x = 8 Luego, Yo tengo = 2(8) = 16años [Rpta. El @ Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que: 3, 4 Y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5, 6 Y 7 ¿Qué edad tiene el mayor? A)8años B) 12años C) 14años D) 18años E)6años RESOLUCiÓN: Por dato, las edades hace 2 años fueron: A=3x B=4x C=5x Colocando estos datos en el cuadro que sigue obtenemos: H-aco2 Actual DonIrodo 21ftOl A 3x 3x+2 3x+4 B 4x 4x+2 4x+4 C 5x 5x+2 5x+4 Dentro de 2 años, las relaciones son como: 5, 6 Y 7 es decir: 3x+4 = 4x+4 = 5x+4 5 6 7 De las dos primeras ecuaciones, obtenemos: 6(3x+4) = 5( 4x+4) 18x+24=20x+20 2x=4~x=2 Edad del mayor: [ Rpta. B I 5x+2=12años Hace 5 años las edades A y B estaban en la relación 9:1. Actualmente la relación es 5: 1 ¿Dentro de cuánto tiempo la relación será 2: 1? A) 25 años B)30años C)35años D)20años E) 27 años RESOLUCiÓN: Las edades de A y B hace 5 años fueron: edaddeA:9x edaddeB: x Sea "n" el tiempo que debe transcurrir para que cumpla la condición dada. H-acaS AI:tuaI DonIrodo "n"lfios A 9x 9x+5 9x+5+n B x x+5 x+5+n En el presente, la relación es de 5 a 1 : 9x+5 =.§. x+5 1 9x+5=5x+25 4x=20~x=5 Dentro de "n° años, la relación será de2a 1: 9(5)+5+n =.1. 5+5+n 1 Resolviendo: [ Rpta.B I n=30años La edad actual de Luis y la de Nino son entre si como 9 es a 8. Cuando Nino tenga la edad que tiene ahora Luis, éste tendrá el doble de la edad que tenía Nino hace 18 años. ¿Cuál es la diferencia de sus edades? A)6años B) 5 años C) 4 años D)3años E) 10años RESOLUCiÓN: Las edades actuales son: Edad de Luis = 9x Edad de Nino = 8x Hace 18años Ninotenía: 8x-18 entonces Luis tendrá el doble: 2(8x-18)= 16x-36 cuando Nino tenga la edad que ahora tiene Luis: 9x Esquematizando: HIce 18 AduoI Tongo IftOI Luis 9x 16x-36 Nino 8x-18 8x 9x 1 (*) 1 (*) Por diferencia de edades: 9x-8x = (16x-36}-9x Resolviendo: x = 6 años Diferencia de Edades: 9x-8x=x=6años [Rpta. E [ @ La edad de un padre y la de su hijo suman 63 años. Cuando el padre tenia la edad de su hijo ambas edades sumaban 25 años. La edad del padre es: A)43 B) 19 C)21 D)41 E)47 RESOLUCiÓN: Sean: x = edad actual del padre y = edad actual del hijo Tenía Padre y Hijo z Por dato: x+y=63 ........ (1) y+z = 25 ........ (11) Por diferencia de edades: y-z = x-y ,x;z,= 2y ........ (111) Sabiendo (1) y (11): (x+z)+2y = 88 De (111): 2y+2y=88~y=22 En (1): x+22 =63 x=41 años Hoy x y [Rpta. D I @ Hace 10 años tenia la mitad de la edad que tendré dentro de 8 años. Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tuve hace 8 años. A) 18años B) 16años C)8años D)10años E) 12 años RESOLUCiÓN: Sea x = edad que tengo H-aca 10 Actual Daent_rvdo Dentro do IIn"" x-lO x x+8 x+n [ Edad haca] = r mitad de edad 1 10 años Ldentro de 8 años j 1 x-lO ='2 (x+8) 2x-20 = x+8 x=28 L!Ed ad d~nt,..;j = [Doble de ~dadJ de n anos j haca 8 anos www.Matematica1.com x+n=2(x-8) Sustituyendo el valor de x: 28+n = 2(28-8) De donde: I Rpta_ El n = 12anos Las edades deAlberto y Gabriela suman en la actualidad 120 años. Si Alberto tiene la edad que ella tenia cuando él tenia la tercera parte de su edad actual. ¿Qué edad tiene Gabriela? A)54 B)45 C)75 D)75 E) N.A. RESOLUCiÓN: Sean: x = Edad actual deAlberto 120-x = Edad actual de Gabriela De acuerdo al enunciado, elaboramos el esquema adjunto: Tenia Actual Alberto x13 x Gabriela x 120-x La diferencia de edades es constante: x x- - = (120-x)-x 3 2x 3= 120-2x -ª"- = 120 3 x=45 Luego, Gabriela tiene: I Rpta. B I 120-45 = 75 años Marisol le dice a Noelia: La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenias cuando yo tenia el triple de la edad que tuviste cuando yo naci. ¿Qué edad tiene Noelia? RESOLUCiÓN: Sean: x = edad actual de Noelia 46-x = edad actual de Marisol De acuerdo al enunciado, podemos elaborar el siguiente esquema: Cuando noci6 lIIarIIoI Ac:tuoI Ac\ual Marisol 9x 3y 46-x Noelia x x 3 x tI I ¡ 11 J x 1) y-O =--3y 3 x 4y=-x~=12y ...... (1) 3 11) y-O = x-(46-x) y=2x46 y=2(12y)-46 23y=46~y=2 En (1): x = 24 años I Rpta. B I La edad de un padre y la de su hijo suman 90. Si el hijo nació cuando el padre tenia 36 años ¿Cuántos año s tiene el hijo? A)12años B)30años C)27año D)15años E)9años RESOLUCiÓN: Sean x = edad del padre 90-x = edad del hijo s Es obvio que, cuando el hijo nac e éste tiene O años. ,--:C""u-an""do,---,---- nace el hiJo Actual Padre 36 Hijo O Por diferencia de edades: 36-0 = x-(90-x) 36=2x-90 2x= 126 x=63 x 90-x Edad del hijo = 90-63 I Rpta. C =27años . I @ Tres móviles alineados parten en una misma dirección desde los puntos A, B Y C con velocidades u, v y w respectivamente. Si inicialmente estaban separados por distancias AB = BC. ¿Cuál debe ser la relación de las 3 velocidades para que los 3 móviles se encuentren al cabo de cierto tiempo? A)u+w=v B)u+v=w C)u+v=2w v D)u+w=2 E)u+w=2v RESOLUCiÓN: A B C E _L_L_L'_ Sea E el punto de encuentro. Como parten simultáneamente; el tiempo que emplea cada móvil hasta el encuentro es el mismo. 1 MóvllA 1 Aplicando: e = v.t 2L+L'=ut ......... (1) '1 M-óvl-I B~I Aplicando: e = v.t ~_~.L+L'=v.t ......... (11) 1 MóvIIC 1 Aplicando: e = v.t L' =w.t ........ (111) (1I1)en (1): 2L +wt= U.t 2L=t(u-w) ...... (IV) (111) en (11): L +wt= v.t L=t(v-w) ..... (V) (V) en (IV): 2l(v-w) =Au-w) 2(v-w)=u-w 2v-2w=u-w :. 2v=u+w @ Dos móviles parten de dos puntos de una recta, con velocidades constantes y se dirigen uno hacia el otro. El primero ha recorrido 30 m más que el segundo, cuando se cruzaron, y el resto lo hace en 4 minu1os. El segundo demora 9 minutos después del cruce, para llegar al punto inicial del primero. ¿Qué distancia los separaba? A)100m B)130m C)150m D)170m E) N.A. RESOLUCiÓN: A 5f77 x+30 E A: B: 9' I M6v1IA I En el trayectoAE: X+30=VAt En el trayecto EB: x=vA(4) 1 MóvllB 1 En el trayecto BE: X=VBt En el trayecto EA: X+30=VB(9) Dividiendo (1) + (11): x+30 t x = 4 Dividiendo (IV) + (111): x+30 9 x = t B x 5f@? 4' t ......... (1) ......... (11) ......... (111) ......... (IV) .......... M .......... (VI) Igualando (V) y (VI): -t =9- ~t2=36 4 t t = 6 Reemplazando en (V): x+30 6 x = Resolviendo: x=60m 4 DistanciaAB = 2x+30 = 2(60)+30 AB=150m I Rpta. cl @4 En una carrera donde participaron 3 caballos, el ganador corrió a una velocidad de 33 mis y llegó s antes que el último, a su vez éste llegó 8 s después que el segundo caballo. Si los tiempos empleados por los dos primeros suman 24 s. ¿Qué velocidad en mis empleó el último caballo? A)12 B)18 D)20 RESOLUCiÓN: Sean: C)15 E) N.A. A = el caballo que llegó primero B = el caballo que llegó segundo C = el caballo que llegó último www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Si A empleó t segundos, entonces C empleó (t+12) segundos y B empleó (t+12)-8 = t+4 segundos. Por dato: tA+t.= 24 t+(1+4)= 24 Dedonde:t=10 I CaballoA I Aplicando: e = V.t L=33(10) L=330m I'""C-aba-lIo-c"l Aplicando: e = v.t 330 = v(t+ 12) 330=v(10+12) 330=v(22) 330 v=22 :. v=15m/s [Rpta. C I @ Un viajero recorre los 2/3 de un camino en automóvil a la velocidad de 40 kmlh Y el resto en motocicleta a 80 km/h. Si en total tardó 6 h 15 mino ¿Cuántas horas estuvo viajando en automóvil? A)5 B)4,5 C)6 D)4,2 E)NA RESOLUCION: v=80kmlh v--40kmlh ~ A~_2 L B L C ~ 3 --l'''''- 3 - t, b 1 Por dato: t,+h = 6h 15' = 6-¡- 25 t,+h = 4 ...... (1) I'""T-ra-y-ect-O-AB--'I Aplicando: e = v. t 2 L "3 L = 40tF~ t, = 60 I Trayecto BC I Aplicando: e = v.t L L "3= 8012 ~ t2 = 240 Reemplazando los valores de t, y t2 en (1) obtenemos: ..h.. __ L __ -ª 60-240-4 4L+L 25 5L 25 240 =4~ 240 =4 Pero: L = 300 L 300 t, = 60 = 60 = 5 horas [Rpta.A I @ Un auto va a velocidad constante de 40 kmlh durante 15 minutos cambiando luego su velocidad a 10 kmlh recorriendo cierto espacio durante 30 minutos. Calcularla velocidad media del recorrido. A)20kmlh B)22kmlh C)24kmlh D)25kmlh E)48km/h RESOLUCION: Primero calculemos el espacio recorrido con una velocidad de 40 km/ h durante 1 t,=15min= -¡-h Aplicando: e, =v, t, 1 e,=40x-¡-=10km Luego calculemos el espacio recorrido con una velocidad de 10 kmlh durante . 1 h=30mln= -=h 2 Aplicando: e2 = V2 t2 e2=10x ~ =5km etotal 61 +e2 V media = trotal = ti +i2 10+5 Vmedia = 1 1 -+- 4 2 .1§. = 20 km/h 3 -¡- [Rpta.AI @ Un perro parte de A en dirección a B, al mismo tiempo que dos personas parten de B en la misma dirección y velocidad pero en sentidos contrarios. Sabiendo que el perro encuentra al primero en C y al segundo en D; donde CD = 60 km Y su velocidad es el doble que la correspondiente a las personas. CalcularAB. A)45km B) 90 km C)60km D)120km E)NA RESOLUCION: -v -v "-2vl o AA A C B D @ Pepe salió de su casa para ir a clases a las 7.40 a.m., Recorriendo 100 m cada 80 s ¿A qué hora llegará, sabiendo que si recorre 400 m cada 6 min, llegarla 2 min más tarde? A)7:58am B)7:56am C)7:59am D)7:54am E)NA RESOLUCION: t A I+lj-----L-----N.1 -v=4-00-m =4-00-m =1-0m- 6min 6x60s 9 s Sea t el tiempo que demora en llegar a las 7:40 amo Aplicando: e=v.t 100 5 L = 80 t --+ L = -¡- t ..... (1) Si recorriera con una velocidad de 400 m cada 6 min, emplearía un tiempode: (t+2min) = (t+120)s Aplicando: e = V.t L = 4~0 (t+2) --+ L = ~ (t+120) ... (11) Igualando (I)y (11): : t = ~O (t+120) 9t = 8(t+120) 9t = 8t+8x 120 t = 8x120 s t = 8x120 = 16 min 60 Llegará a las 7:40+16 min I Rpta B I = 7:56 amo . '. 1+-Y ----.,. .,.., >-- z -@DosmóvileSm,ym2partensimullá- I+-x--+lIl+j--60---+l'1 neamente de una ciudad a otra disC: Encuentro del perro con Persona 1 Aplicando: e=vt Pero A: x=2vt ..... (1) Persona 1: y=vt ..... (11) D: Encuentro del perro con Persona 2 Aplicando: e = v. t Pero A: x+60 = 2 v.t' Persona 2: z = v.1' Por dato: y+z = 60 Por(lI)y(IV): v.t+v.t'=60 ~v(t+r)=60 Sumando (1) y (111): 2x+60 = 2v.t + 2 v.1' 2x+60 = 2v(t + 1') 2x+60 = 2(60) 2x=60 IX=301 Dividiendo (11)+ (1): ..... (111) ..... (IV) y 1 x -= -~y=x 2 2 30 y=-=15 2 AB = x+y = 30+15 AB=45km [Rpta.AI tantes 60 km, siendo la velocidad de m,4 km/h menor que la de m2, a su destino emprende el viaje de regreso, resulta que se cruza con el móvil m, a 12 km de la segunda ciudad. Determinar en km/h la velocidad de m,. A)8 B) 12 C)6 D) 16 RESOLUCION: v-4 ~ =~m, E)NA v_~=m, ~"====~--60--------+l'1 I Móvil 1 I Este móvil recorre tan sólo: 60-12=48km Aplicando: I e = v.t I r----, 48 = (v-4)1 ...... (1) I M6v1121 Este móvil recorre 60+12 = 72 km Aplicando: e = V.t 72 = v.t ...... (11) Diviendo (11) + (1): www.Matematica1.com R = ~ ~ -ª- = --"---- 48 (v-4)t 2 v-4 3(v-4)=2v 3v-12=2v v=12 Velocidad de m,: v-4=8kmlh I Rpta.A I @9) Miguel y Carlos parten simultáneamente de dos ciudades, caminando el uno hacia el otro. Si la velocidad de Carlos fuera 1 kmlh mayor que la de Miguel y se encontrarán luego de 6 h; pero si ambos caminaran a la misma velocidad se encontrarán luego de 7 h. ¿Qué distancia separa a las dos ciudades? A)48 km B)42km D)36 km RESOLUCION: C)50km E) N.A. __ X --"~I""-- L-x ----M l. L u Aqu i se encuentran en un tiempo de t=6h Aplicando: e=v.t Miguel: x=v(6) Carlos: L-x = (v+l)6 Sumando las dos últimas ecuaciones: L = 6v+6v = 6 L=12v+6 ........ (1) !~ AA ~! __ y 11. L-y __ .I.. .---------L-------~u Aplicando: e=v.t Miguel: y=v(7) Carlos: L-y = 7v Sumando las dos ecuaciones obtenemos: 12v+6 = 14v 6=2v v=3 En(II):L=14(3)=42km I Rpta.BI @ Un ciclista parte de A en dirección a B, al mismo que dos atletas parten de B en sentidos opuestos y con la misma velocidad constante. Si el ciclista avanza con una velocidad que es n veces la de los atletas, y encuentra a uno en M y al otro en N, donde MN = d km. ¿Cuántos kilómetros mideAB? A) d(n+l)2 B) d(n-l)2 C) d(n"-l) n-l 2n n2+1 D) d(n2+1) E) N.A. n2+1 RESOLUCION: ~~ ~!!~ 1 A M B N M--x .10 Y .M z_ 10 d ., Encuentro del ciclista y atleta 1 (M) Aplicando: I e = v.t I Para el ciclista: x=nv.t ..... (1) Para el atleta 1: y = v.t ..... (11) Encuentro del ciclista y atleta 2 (N) Aplicando: I e = V.t I Para el ciclista: x+d = n v.t' ..... (111) Para el atleta 2: z=v.t' ..... (IV) Sumando (11) y (IV): y+z = v(t+t') =cr=v(t+t') Sumando (1) y (111): 2x+d = !!1!:':!J 2x+d=nd Dividiendo (11) + (1): 'L = _1_ ~ Y = --"- x n n _ d(n-l) x--- 2 d(n-l) y=2i1 - d(n-l) d(n-l) AB = x+y = 2i1 + 2i1 = d(n-l) [1+...!..J 2n n -_ d(n-l)(n+l) _ d(n"-l) AB - 2n - 2n ,rR=-p-ta-'. D~I @ Si la velocidad del sonido en el agua de mar es 1250 mis y en el aire 340 mis. Determinar a qué distancia de la orilla explotó una bomba si la dile-rencia de tiempo entra el sonido transmitido por el agua yel aire es de 45,5 seg. A)2500m B)29520m C)8230m D)18725m E)21250m RESOLUCION: Sea "e" el espacio buscado. Recuerde que: I t = : I Por dato: taire - tagua = 45,5 e e 340 - 1250 = 45,5 910e = 45,5(340)(1250) e = _1_ x340x1250 20 Simplificando: e = 21250 m @ Se desean fundir dos barras de Plata de igual peso; la primera de 9 décimos y la segunda de 81 centésimos pero si extraemos metal de liga dela segunda barra ¿qué porcentaje de la segunda barra, es, para que aleación que se desea obtener sea de 912 milésimas? A) 22,5 B) 12,5 D)30 RESOLUCION: Datos: 9 - L, =10 = 0,9 81 - L2= 100 =0,81 - Lm = 0,912 C)25 E)35 Sea el peso de la primera y la segunda barra 100n, entonces de la segunda barra cuya leyes 81/1 00 se tendrá Wp .... = 81 n; WToIal = 100n. Luego al extraer "x" g de metal de liga queda: WPIaIa=81 n;WT .... = l00n-x 81n y la nueva leyes: 100n-x Peso Ley 100n 0,900 ~ -0,912 "- /100n-x 0,912 81n / "- 1 OOn-x: 100n-x 0,012 100n ~-- ~-0912 100n-x I l00n-x 0,012 12n ~-- 100n-x 81 n-91,2n+O,912x 100n-x 100n x =-8- Para saber que porcentaje de 100n es 100n se efectúa del modo siguiente: 8 100n 8 __ -100% = 12,5% 100n ,.-__ :. El porcentaje es: 12,5 I Rpta. B I ~ Una aleación de 18 kilates se funde con Oro puro para obtener otra aleación de 21 kilates, luego se funde con Cobre para bajar a 18K, luego con Oro puro para subir a 21 K Y asr sucesivamente hasta obtener 686 gramos, luego de realizar 7 fundiciones de la aleación. ¿Cuál es el peso de la aleación inicial? A)36g B)27g D)63g RESOLUCION: Primera fundición: C)49g E)54g Pesos Relación W : 18K" /3K 21K W"",: 24K/ "3K 1 WToIol(') 2 WToIaI(') _ 2 ~ W - 2W W - -1- Total - ~WT .... (,)=2W Segunda fundición: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Pesos Relación 2W : 21K" /18K 6 18K WOm : OK/ "3K WTotaI(2) 7 WT"""(2) -~~W _ 7W 2W - 6 TotaI(2) - 3 Tercera fundición: Pesos Relación 7W 3: 18K" /3K 18K WOm : 24K/ "3K WTotaI(3) 2 WToIal(3) 2 r 7 J 7W = 1 ~ WT""'(3) = 2 L6(2W~ 3 WToIal(3) = 2 t ~ (2W~ Si continuamos la aleación sucesivamente se obtendrá como peso total: 2t~ [2t~ H~ (2~JJJJ = 686g ,¡. ,¡. ,¡. ,¡. ,¡.,¡. ,¡. 7°; 6°; 5°; 4°; 3°; 2°; 1° aleación • '. Al resolver: W = 27 g rl Rp=--Cta-.-:s"l @ Se funde tres lingotes cuyas leyes son: L,; L2 y L3- Halle la ley media si cada lingote posee la misma cantidad de Oro puro. A) MG(L,; L,; L3) B) MA(L,; L,; L3) C) MH(L,; L,; L3) D) MA(L,; L3) E) MH(3L,; 2L,; L,) RESOLUCiÓN: Siendo W,; W., W,los pesos de cada lingote y W el peso de Oro de cada lingoteseva a cumplir: W W L,=-~W,=- W, L, W W L2=-~W2=- W2 L2 W W L,=-~W3=- W, L, Deteminando la ley media (L.,) Pesos Leyes Valor W W,=- L, L, W W2=- L2 L2 W W,=- L3 L, W W W -+-+- Lm L, L2 L, 3 Lm = -cwcc---C=wc---cwcc-+-+ L, L2 L3 W W W W Cancelando W en el numerador y denominador queda: 3 Lm = ---c----:----:_ 1_+ _1_ + _1_ L, L2 L3 :. Lm = M.H.(L,; L2; L,) IrR=-P-'ta-.""'c'"'l @§) Se dispone de varios lingotes, todos ellos de 1 kg de los cuales encontramos dos grupos cuyas leyes son 650 y 900 milésimos. ¿Cuántos lingoles de cada clase hay que tomar para que al alearlos se obtenga un lingote cuya ley sea 750 milésimos si el peso total está comprendido entre 25 y 34 kg? A)18y12 B)14y18 D)20y15 RESOLUCiÓN: C) 10y20 E)24y16 Vamos a suponer que hay: x lingoles de 0,650 de ley. y lingoles de 0,900 de ley. Además: Lm=O,750 25 1 n l'n = l(n+l-l) 4 <>2 n-l 2'(n-l) = 2(n+I-2) 6 <> 3 n-2 3'(n-2) = 3(n+I-3) I I i 2n <> n n'l = n(n+l-n) n(n+l) Lm (m+1) n(n+1). n(n+1X2n+1) 2 2 6 (n+l )(n+l)n n(n+l )(2n+l) 2 6 Lm=-~~---~~-- n(n+l) 2 • 2n+l n+2 • • Lm= n+I-- 3 -=-3- 1 Rpta. C I @§) Se han fundido dos clases de metales en la proporción de 3 a 7, se quiere hallar el precio de 48 kg de esta aleación que ha ganado un 30% de su valor, después de la fusión y que ha tenido una merma de un 4%. El precio inicial era de SI. 8 Y 5/. 10 el kilogramo respectivamente. A) 5/. 722 B)S/.611 C)S/.322 D)S/.611 E) 5/. 332 RESOLUCiÓN: Del peso inicial "W" una mema de 4% resultando 48 kg; esto se plantea así: W-4%W=4kg W=50kg Pero este resulta de una aleación de metales que están en la proporción de 3 a 7 entonces tenemos que el total es como 10 del cual: • Delprimermetal: 1 3 0 (50 kg) = 15kg • Del segundo metal: 1 7 0 (50kg)=35kg 15(51.8)+35(5/.10) = 5/.470 Como se gana el 30% del costo. :. Pv= 130%(470) ,...R, p-ta-S. --, =611 soles . . @ Se funde dos lingotes de Oro puro de 700 g de peso y 0,920 de ley y otro de 300 g de peso y 0,880 de ley. Se extraen "n° gramos de esta aleación que son reemplazados por 'n" gramos de una aleación de 0,833 de ley y resulta que la ley de la aleación ahora es 0,893. Hallar "n" . RESOLUCiÓN: En la primera fundición tenemos: 700 9 : 920" / Lm -880 Lm 300 9 : 880 / " 920-Lm 1000g 40 tL --+25 __ ..Jt Lm = 908 milésimos En la segunda fundición: 1000-n : 908" / 60 4 893 n : 833/ "15 1 1000 5 tL-__ por 200 __ ....It :.n=I·200=200 I Rpta.DI @ Hallar el peso de una aleación de Oro de ley 0,920 sabiendo que si se añaden 250 9 de Oro de ley 0,880 y luego de la aleación obtenida se quita 100 gramos y en vez de ello se agrega 360 gramos de Oro de 840 milésimos se obtiene una aleación de 890 milésimos. A) 850 9 B)700g D)750g RESOLUCiÓN: C)800g E) 480 9 Sea x el peso de la aleación cuya ley es 920 milésimos . Primero: Agregamos 250 g de 880 milésimos. x : 920" / Lm-880 Lm 250 : 880 / " 920-Lm x+250 40 www.Matematica1.com ~_x_ = Lm-880 ....... (1) x+250 40 Segundo: se quita 100 g quedando: (x+150) cuya es Lm x+150: Lm" / 50 } 890 (-)~ 360 : 840/ "Lm-890 40x De (1): Lm-880 = -2O x+ 5 De (2): Lm-890 = ~~~~ Al restar miembro a miembro: 10 = .....1Ql<..... _ 18000 x+250 x+150 1+~-~ x+15O x+250 3x+1800x-195O·250 = O 3x ........ t ..---+650 x~-75O :. x = 750 gramos I Rpta. D I @j) Si al aumentarie 36 gramos de Oro puro a una aleación de 36 gramos resulta una aleación de 21 K. ¿Cuántos gramos de Oro puro hubiera sido necesario quitar al lingote inicial para obtener una aleación de 15K? A)12g 8)96g C)20g D)24g E) 15g RESOLUCION: 1· Se tiene 36 g de n kllates Agregamos 36 g de Oro puro (24 kilates). Se obtiene una aleación de 21 kilates. fu!! 36: Diferencia n ............ /" 3 21 36 : 24/ " 21-n Como los pesos son iguales las diferencias también deben ser iguales. 21-n=3 n=18 Como resultado tenemos 72 g de 21K. 2· Como el lingote inicial es de 18 kilates y pesa 36 gramos al extraer X gramos de Oro puro quedarfa (36-X) gramos de 15K el cual pera regresar a su ley de 21 K se debe agregar los X gramos de Oro puro (24 kilates), entonces: flIIl! piferencia Relación 36-x: 15" /3 1 21 x:24--' "6 2 36 3 tL --Por 12 _-;::::::=t~ :. X = 24 gramos I Rpta. D I @ Se funden "a" gramos de Cobre puro con 48 gramos de Oro de 21 K Y se obtiene una aleación de(21-b) kilates. Si se funden los 48 gramos de 21 K con "a" gramos de Oro de 14K la ley resulta 2 kilates mayor. Hallar (a+b). A)10 8)11 C)12 D)14 E)15 RESOLUCION: Primera aleación: Peso: ag: OK" /b (21-b) 48 g : 21K / "21-b a+48 21 ~ _a_ =.J>.. ....... (1) a+48 21 Segunda aleación: 48g :21K" /9-b (23-b) a g : 14K --' " b-2 a+48 7 ~ _a_ = b-2 ....... (2) a+48 7 De (1) Y (2) se cumple: b-2=.J>.. b=3 7 21 Reemplazando en (1): a 1 b 3 1 a+48 =]=21"=21"=] :.a+b=11 I Rpta.S I @ Se tiene 2 aleaciones de Oro, una que pesa 30 g de 12 kilatesyotra de 25 g de 21 kilates, si se funden con "n° gramos de Oro puro la primera y con "n° gramos de Cobre, la segunda resulta que ambas nuevas aleaciones tienen la misma pureza de Oro. ¿Cuánto vale "n"? (Dar la respuesta aproximada? A)10 8)12 C)14 D)15 E)18 RESOLUCION: Debemos considerar que el Oro puro es de 24K y el Cobre de O kilates. Primero: 3Og: 12" /24-m m n g : 24/ " m-12 ~ 30 = 24-m ...... (a) n m-12 Segundo: 25 g : 21" / n m n g : 0--' "21-m ~ 25 = --"'-- ...... (~) n 21-m Al dividir (a) entre (~) tenemos: 6 m245m+504 5 m2-12m Resolviendo m = 15 el cual al reemplazaren (a): :. n=10 I Rpta.A I (§) Las leyes de varias barras de Plata son 10; 20; 30; ... miléSimos y al fundir la ley media resultante es 170 milésimas, si tomamos de cada uno 10; 20; 30; ......... gramos respectivamente. Determinarel número de barras. A) 20 8)21 C)27 D)24 E)25 RESOLUCION: Peso Ley Valor 10 10 100 20 20 400 30 30 900 10n 10n n2 ·100 n(n+1) 170 1 00(n)(n+1 )(2n+1) 2 6 1oo(n)(n+1 )(2n+1) Lm= 6 10(n)(n+1) 2 10(2n+1) = 170 3 n =25 El número de barras es 25 170 @ A20 gramos de Oro de 18 kilates se le eleva su ley hasta 22 kilates agregando Oro puro. ¿Qué peso de Cobre será necesario mezclar con este nuevo lingote, para volveno a su ley original? A) 13,3g 8)17,1 g D) 15,8g RESOLUCION: C)21,4g E)20g 1· Debemos considerar que el Oro puro es de 24 kilates y su peso es de Wgramos. Entonces: Densidad i RelB 1 ción 20: 18K" /2K! x2 22K i por 2 V2 : 24K/ "4Ki 2 De donde: W = 40 gramos. Yel peso total es: 60 gramos. 2· Los gramos de 22K los vamos a fundir con el Cobre que es O kilates pera regresario a lo que era esencialmente, esdecirde 18 kilates. flIIl! Relación 60 : 22" /18 9 22K x: 0--' " 4 2 x 2 De donde: 60 = 9" :. El peso del Cobre es: x = ~O = 13,3 g r"1 R-,,-ta-.A -I 8 El sueldo de un empleado es D.P. a sus anos de servicio e I.P. al cuadrado de su cociente intelectual. Si Luis que trabaja hace 8 años y tiene un cowww. Matematica1.com www com . . M atematica1 ciente intelectual de 100 gana $2000 ¿Cuál; es el cociente intelectual de Andrés que trabaja hace 20 anos y gana$5000? A)100 B)80 O) 110 RESOLUCION: C)120 E)90 SO.P.A} => S O.PA. - S ,.p.C2 C2 ~I S~C2 =KI S --> sueldo A -+ años de servicio C --> cociente intelectual Reemplazando los valores correspondientes: 2000xl002 8 = 5000XC2 20 _·.C= 100 I Rpta.A I @ Un grupo de M albañiles ha trabajado en una obra O dias a razón de H horas, otro grupo de m albañiles ha trabajado en la misma obra d dias a razón de h horas. El monto total pagado a los 2 grupos de albaniles es "S". ¿Cuánto le corresponde al2do. grupo de albañiles? A hdmS ) HOM+hdm B hdMS ) HOM+hdm C hOmS ) HOM+hdm O HdmS ) HOM+hdm E hOMS ) HOM+hdm RESOLUCION: Monto O.P. total de horas ~ Monto = cte T horas Valores correspondientes 1 ero conjunto: S 1; MxDxH 2do. conjunto: S2; mxdxh Reemplazando: ~S S, S2 = ~ MxOxH mxdxh MxDxHxmxdxh S2= mxdxhx S MxOxHxmxdxh • hdmS •• S2= MDH+mdh I Rpta.A I @ Hace 8 años, el precio de un libro de una colección dada de las ciencias matemáticas, varra D.P. al número de páginas e I.P. al cuadrado del número de libros que se compraban. Si cuando se compraban 10 libros de 50 páginas cada uno estos valían S/.42 la unidad. ¿Cuántos libros de 80 páginas saldrian al precio de S/.l05cadauno? A)7 B)6 C)10 0)9 E)8 RESOLUCION: P O.P.NP} P,.p.N2 ~ L Po.PN.p- N~ EXN~ ~ --=K Np P --> precio de un libro NL --> número de libros Np --> número de páginas Valores correspondientes 1 ero conjunto: Np= 10 ; NL =50 ; P=S/.42 NL =X ; Np=80 ; P=S/.l05 Reemplazando: 42xl02 50 105xX2 80 :.X=8 ,r-Rp-ta-E. 'I @!) Para ejecutar una obra se cuenta con 2 cuadrillas, la primera tiene 45 hombres y puede concluir la obra en 40 ds, la segunda cuenta con 50 hombres y puede terminar en 32 dras, si solamente se emplean los 2/3 de la 1 ra. cuadrilla y los 4/5 de la 2da. cuadrillla ¿En cuántos dlas terminaron la obra? A)20ds B)26ds 0)24ds RESOLUCION: C)28ds E)32ds ¡ ¡ !!!'I'i ,,---,ft' 1, i 40 obreros 40dias OBRA Rendimiento ® 500mlOS 32dia. Rendimiento ® I (OBREROS) (OlAs) (RENDIMIENTO) = K I 45x40xR, = 50x32xR2 R, 8 R, = 8K, R2 =9 ~ R2=9K, Oato: ~ x45 = 30 obreros de la 1 ra. cuadrilla : x50 = 40 obreros de la 2da. cuadrilla ~45x40xR, = (30R,+40R2)XX 45x40x8xK, = (30x8K, +40x9K,)XX 45x40x8K,=600K,xX :. X=24 I Rpta. D I @9) Un obrero tarda en hacer un cubo compacto de concreto de 30 cm de arista en 50 minutos. ¿Qué tiempo tardará en hacer 9 cubos, cada uno de 60 cm de arista? A)46hr B)70hr 0)78hr RESOLUCION: C)80hr E)60hr ~+u+ Cubo compactado Cubo compactado V --> volumen (cm) T --> tiempo (minutos) Vo.p.T ~I ~ =KI Reemplazando los valores correspondientes: • Para 1 cubo: 303 _ 603 50 - X IX=4001 • Para 9 cubos: Tiempo = 9x400 = 360 minutos :. T=60hr I Rpta. E I @ Oividir el número 700 en tres partes cuyos cuadrados sean O.P. a 0,2; 0,5; 0,4 e I.P. a 3; 6/5; 8/3. Indicarla menor de dichas partes. A) 120 B)160 0)180 RESOLUCION: 1 A2 0,2 _ 5 _ 1 0.P·3-3-1"5 B2 0,5 _~_ O.P. 6 - 12 - 5 2 C 2 0,4 _ 5 _ 3 0.P·8 - 8 - 20 - - 3 3 Al B2 C2 ~-=-=- 153 - -- 15 12 20 M.C.M.(15; 12; 20) = 60 C)140 E)210 60X[;oJ Al B2 C2 4="25=9 V: A B C 2 5 3 Por serie de razones geométricas: A+B+C 700 2+5+3 10 = 70 ~=~=-º-=70 253 :. A= 2x70 = 140 I Rpta. el @ Para elaborar 20 libros hemos invertido S/.18000. ¿Cuánto se invertirá para elaborar 15 libros que tienen las tres cuartas partes del número de hojas que tienen las anteriores y que en cada hoja se puede escribir el 20% menos de palabras, que en las hojas de los libros anteriores? Se sabe que el costo de un libro es O.P. al número de hojas que tiene y a la cantidad de palabras que se puede escribir en ellas. A)S/.8100 B)S/.9400 C)S/.3025 0)S/.6098 E) SI. 1 0840 RESOLUCION: CostoD.p.#dehojas(H) Q CD.p.HxP Costo o.p.# de palabras (P) :·1 H:P = K 1(1 800/20) (X/15) = ----'-'-"-'--- ( ~ H)(80%P) HxP www.Matematica1.com 900 Xx4 HxP 4 (3H)x( 5 P)x15 Simplificando: 900=; --> X=8100 IRpta.A! @ Suponiendo que la alegria de una fiesta varia en forma directamente proporcional al número de chicas presentes, a la calidad de la música e inversamente proporcional al número de madres presentes. ¿Qué sucede con dicha alegria si el núme· ro de chicas se duplica la calidad de la música se triplica y la tercera parte de madres se duermen? A) permanecen igual 8) se triplica C) se quintuplica D) queda multiplicada por9 E) queda multiplicada por 7 RESOLUCION: A --> alegria N --> # de chicas presentes C --> calidad de música M --> #de madres presentes L D.P.N A",= D.P C c::> A D.P. N~ l.p.M :. [~rK --> I ~~ =KI Reemplazando los valores corres· pondientes: AxM A'x(213M) NxC (2N)(3C) A' A=g--> 1A'=9AI La alegria queda Multiplicada por 9 I Rpta. D! @ Sabiendo que "y" es la suma de dos cantidades una proporcional a ">t' y la otra proporcional a [;2J y que pa· rax= 1, y= 6yque parax= 2; y= 5. Hallar 'y" para x = _1 2 A)16 8)15 C)17 D)19 E)20 RESOLUCION: Dato: y=A+8 • A D.P. X --> ~ = K, --> 1 A = xK, 1 • 8 DP ;2 --> [!J = K2 --> I 8 = ~: I Para x = 1 ;y=6 Reemplazando: 6 = 1xK,+ K: --> K,+K2= 6 ..... (y) x parax=2;y=5 Reemplazando: K2 5=2K,+- 22 Deay p: K, = 2 ; K2=4 ..... (~) 4 ~y=2x+X2 Reemplazando en (e): ..... (e) r1 J 4 4 y=2l2 +GJ=1+m=1+16 :.y=17 1 Rpta. e! @ De 2 Kg de sal que se introdujeron en un recipiente con agua, en los 2 primeros minutos se ha disuelto 800 gr. ¿Cuántos gramos quedarán después de 2 minutos más si la cantidad de sal que no se disuelve es inversamente proporcional al cuadrado del tiempo? A)200gr 8) 600 gr D)300gr RESOLUCION: C)340gr E)280gr s --> cantidad de sal que no se disuelve SN l.p.72 ~ISNX72=KI 4 min { : ::: ......... ~.~.~ .. ~~: ........ i . 2Kg (2000 gr.) f 1200 1 ~ 1200x22=X+42 :. X=300 1 Rpta.D! @ Se contrataron 42 obreros para construir un colegio y faltando 30 días para terminarlo 2 de los obreros renunciaron a la obra y los restantes disminuyeron su rendimiento en un 30%. ¿Cuántos dlas más tardaron los obreros restantes para culminar lo que falta en la obra? A)29 8)45 C)42 D)46 E)48 RESOLUCION: 30 dlss; 4.2 obreros I I I 42 o~ros L 40 obreros; x dlss Rendimiento Rendimiento (1) 1- 30 =.l [=:l 100 10 1 (OBREROS)(DIAS)(RENDIMIENTO) = K) 1 7 42x30x1 = 40x - xX 10 : . X = 45 1 Rpta.B! @ En la gráfica siguiente la línea ON representa proporcionalidad directa entre dos magnitudes. x Determinarel valor de (m+n) N2 ~4 q5 ~6 ~7 RESOLUCION: y 16 .. _._. __ ._._ .. " I---+------.:~ p Ol+-m_ yx=48 Reemplazando: 16xm=12xp=48 m=3; p=4 Y 16 _. ................M . I p 12 3 12 tge= ~ = 1~ -->1 n=11 x x m+n = 3+1 = 4 rl R-p-ta-.-B~! @ En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P. al número de máquinas e I,P. a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas inicialmente hablan 15 máquinas co~ 9 años de uso; si se consiguen 8 maquinas más con 4 años cada una. Calcular la relación de lo producido actualmente con lo producido anteriormente. A)4/5 8)3/2 C)3/5 D)4/7 E)5/6 RESOLUCION: P --> producción M --> #de máquinas A --> antigüedad de las máquinas -=- 5 4 P2 5 ("'1 R---p-ta-A. -! www.Matematica1.com www com . . M atematica1 @!) Si "N" es el número de obreros que pueden hacer una obra en (3/4)N dlas trabajando (1/3)N horas diarias. ¿Cuál es el número N de los obreros, si al duplicarse hacen la misma obra en 72 horas? A)22 B)28 C)30 D)24 E)21 RESOLUCION: Se cumple: 1 (OBREROS)x(h/d)(dlas) = K 1 Valores correspondientes: ler. conjunto: 3N Nobreros : 4dS ; 2do. conjunto: 2N obreros: 72 horas Reemplazando: 3N N Nx 4 x 3 =2Nx72 Simplificando: N2 4=144 :. N = 24 N 3· hld [Rpta. D I @ 11 obreros deben entregar una obra dentro de 24 días para lo cual 5 de ellos trabajan 3 horas por dia, mien· tras que los restantes trabajan "x" horas por día, si 64 obreros pueden realizar una obra similar cuya dificul· tad es 3 veces la anterior trabajando "x" horas por dra durante 30 dras. Hallar el valor de x, si el rendimiento de estos últimos son el 30% del reno dimiento de los primeros obreros? A)6,5 B)7 C)8 D)9 E)7,5 RESOLUCION: ler.caso: M---24dlas __ Ob!ros A i 1---------1 T 6 1 obreros B '----------' ®: 5 obreros: 3 h/d Rendimiento = 10 ; Dificultad = I @: 6 obreros: X hld; R= 10; D = 1 Sabemos: (obreros)(h/d)(ds)(Rend.) (Obra)(Dif) - K Reemplazando: 5x3x24xl0 _ 6xXx24xl0 _ K Axl Bxl Utilizando serie de razones geométricas (5x2X)x3x240 K A+B .... (1) 2do.caso: 64 obr. ;Xhld ;30ds; R,=3; D,=3 Reemplazando: 64xXx30x3 Tx3 Igualando: 1 y 2 K .... (2) (5x2X)x3x240 64xXx30~ ~ .... ~~ Simplificando: 15+6x=8x 15=2x :. x=75 @ Una bomba demora 10 horas 25 minutos para llenar un reservorio. Cuando el tanque está lleno hasta 1/5 se malograysu rendimientodisminuye en 1/3. ¿Cuánto tiempo tardará la bomba para llenar el reservorio? A) 12 hr35 min C) 14 hr35 min E) 14 hr25 min RESOLUCION: 4/5 B) 13 hr25 min D) 11 hr 12 min El volumen 1 (reservorio) llena en 10 hr25 mino 1/5 del volumen lo lIena2hr5min. :. : delvolumenlollenaen:8hr 20min 14151 (Cte) Tiempo I.P. Rendimiento 1 TxR=K 1 Reemplazando los valores correspondientes: (8h 20min)xl = Xx [1- ~ J ~h =Xx~ 3 r 3 :. X = 2; hr = 12hr 30min :. T toIal = 2hr 5min+12hr 30 min T _, = 14hr 35min [ Rpta. e I @ El costo de una microcomputadora es D.P. a su eficiencia y a su capacidad de memoria e I.P. al cuadrado del tiempo que demora en procesar un trabajo, si para una eficiencia como 60, una capacidad de memoria como 128, una microcomputadora cuesta S/.1600 que demora en procesar un trabajo como 5. Determinar cuánto costará otra microcomputadora que tiene una eficiencia como 90; una capacidad de memoria como 256 y que demora un tiempo como 4. A)S/.7800 B)S/.7600 C)S/.7890 D)S/.75oo E)S/.6450 RESOLUCION: /' Efidencia (E) Costo D.P. -...... Capacidad de memoria (M) Costo I.P. Tiempo (T2) ; Costo (C) C O.P. ExM ~ I CxT2 = K I T2 ExM 1600x52 Xx42 = 600x 128 90x256 Simplificando: X = 7500 [ Rpta. D I @ Tres mujeres ydos hombres van al cine y encuentran 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las mujeres no quieren estar juntas? A)6 B)8 C) 12 D) 18 E)24 RESOLUCION: IMIHIMIHIMI Total de maneras de acomodarse las mujeres: 3! Maneras Total de maneras de acomodarse los hombres: 2! Total de maneras pedidas: [ e I 3! ·2! = 12 Rpta. ~ ¿Cuántos paralelogramos se pueden formar al cortar un sistema de 8 rectas paralelas con otro sistema de 5 rectas paralelas? A) 80 B)160 D)280 RESOLUCION: C)180 E) 320 Cada una de las combinaciones de 5 rectas tomadas de 2 en 2 forman paralelogramos al cortar a cada una de las combinaciones de 8 rectas tomadasde2en2. # Paralelogramos = ~ . C~ r------. = 10 '28=280 [Rpta. D I ~ ¿De cuántas formas pueden sentarse 5 personas alrededor de una mesa circular; si una de ellas permanece fija en su asiento? A)6 B) 12 C) 18 D)24 E)36 RESOLUCION: Se trata de hallar el número de permutaciones circulares de 5 elementos; luego: # maneras = Pc(5) = (5-1)! r------. =4!=24 [Rpta.DI ~ ¿Cuántas señales se pueden hacer con 4 banderas de diferentes colores izando cada vez; 2; 364 banderas? A)30 B)40 C)50 D)60 E)80 www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: Como interesa el orden en el cual se van a ir izando se trata de variaciones. 41 V',= -' = 12 2! V'=~=24 3 1! V·.=~=24 O! • Total de señales: 12+24+24 = 60 [RpIa. D / @ De 5 Ingenieros y 4 Médicos se de· sea escoger un grupo de 4 personas ¿De cuántas maneras se podrá rea· llzar esto; si en cada gru po debe ha· bera lomasde2 médicos? A) 65 B)85 D)125 RESOLUCiÓN: C)105 E)I55 Cuando el grupo está formado por 2 médicos y 2 Ingenieros: #maneras=C~ .Ci=60 Cuando el grupo esté formado por 1 médicoy3lngenleros: #maneras=C~ .C~=40 Cuando el grupo esté formado por 4 ingenieros: # maneras = C¡ = 5 Total de maneras: 60+40+5 = 105 [ Rpta. C / @ De 5 Flsicos; 4 Oulmicos y 3 Matemáticos se tiene que escoger un comité de 6 miembros de modo que incluyan 3 Flsicos, 2 Oulmlcos y 1 Matemático ¿De cuántas maneras puede realizarse esto? A)120 B)140 D)180 RESOLUCiÓN: C)I60 E) 200 # de maneras de escoger 3 Flsicos: C~=10 # de maneras de escoger 2 Ouímicoso C~=6 # de maneras de escoger 1 Matemá· tico: C~=3 Total de maneras de escoger 6 miembros=10'6'3=180 [Rpta.D/ ~ De 5 hombres y 4 muJeras se deban escoger un comité de 6 personas ¿ De cuántas maneras se podrá realzar esto si en el comné deban haber 2 muJeres? A)15 B)20 C)25 D)30 E)35 RESOLUCiÓN: # de maneras de escoger 2 mujeras: C~=6 # de maneras de escoger 4 hombres Cl=5 Total de maneras de escoger 6 pero sonas: 6,6=30 [Rpta.D/ @ Una alumna tiene 12 stlckers para colocar en la pasta de su cuademo; pero sólo tiene espacio para 8 ¿De cuántas maneras puede seleccionar los stickers que no va a colocar? A) 365 B)385 C)425 D)495 E) 545 RESOLUCIÓN: SI se colocan 8 stickers quiere decir que no se van a colocar 4; como no interesa el orden entonces: 12 12! #demaneras=C. = 418! =495 [RpIa. D) @ ¿De cuántas maneras puede seleocionarse una partida de naipes de 4 a más personas si hay 10 disponibles? A) 828 B)848 D)864 RESOLUCIÓN: C)850 E) 896 Como no interesa el orden de las personas se tratara de combinaciones: # de maneras = C"+C"+C"+C;'0+ +.....;....~~ 210 252 210 120 +C10+C10+C10 ,-~-,,-~ ~ 45 10 1 # de maneras = 848 r.R[ p:--:-ta--:B. :-l) @ Un equipo cientlfico consta de 25 miembros de los cuales 4 son doctores; hallarel número de grupos de 3 miembros que se pueden formar de manera que en cada grupo haya por lo menos un Doctor. A) 970 B)980 D)940 RESOLUCIÓN: C)900 E) 950 • Cuando el grupo esté formado por 1 doctor: # maneras: Ci·C~' =4'210=840 • Cuando el grupo esté formado por2doctores: # maneras: ci·c:' = 6·21 =126 • Cuando el grupo esté formado por3doctores: # maneras: C: = 4 Total de grupos: 840+ 126+4 = 970 I Rpta. A I @ En una reunión hay 12 hombres y 7 mujeres; se desea formar grupos de 3 personas ¿De cuántas maneras podrá hacerto si deban de habar por lo menos 2 mujeras en el grupo? A) 285 B) 287 C) 290 D)315 E) 325 RESOLUCiÓN: Cuando el grupo esté formado por2 mujeres y 1 hombres # grupos: C; -C:'= 21-12 =252 Cuando el grupo esté formado por3 mujeres # grupos: C~ = 35 # total de grupos: 252+35=287 [RPta. B) @ Se tiene 4 lelras de cartón A, B, C y D ¿Cuántos códigos pueden formarsa Con estas lelras si cada cuadrado puede llevar indistintamente; una; dos; tres o cuatro letras? A)38 B)48 C)56 D)64 E)72 RESOLUCiÓN: Como Interesa el orden en el cual se van a tomar, se trata de variaciones. V'-~-24 .- 01 - V·.=~=24 1! V',=~=12 21 V'-~-4 ,- 31 - Total de códigos: 24+24+12+4 = 64 [Rpta. D / @ Una caja contiene 2 focos de 25 voltios; 3 de 50 voltios y 4 de 100 voltios ¿De cuántas maneras pueden escogerse 3 de ellos? A)74 B)84 C)94 D) 104 E) 124 RESOLUCiÓN: Como interesa el orden, el número de maneras viene dado por C~ • 91 9-8-7-6! C3= 3161 6-61 - 84[ Rpta. B / @ En una suma se encuentran 6 bolos numerados del 1 al 6 ¿De cuántas maneras se podrán extraer en sucesión y sin reemplazo 3 de estas bolitas? A) 100 B)120 D)13O RESOLUCIÓN: C)180 E)I50 Como Interesa el orden en que se van extrayendo el número de maneras viene dado por V~ V6 - ~ _ ~ _ 6-5-4-@. _ 3- 16-3 - @. - @. - 120 [Rpta. B) @ Se tiene un estante con capacidad para 9 libros, si en el se quiere ordenar 4 libros de Flsica; 3 libros de Oulmica y 2 de Aritmética_ ¿De cuántas maneras podrá realizar esto; silos de Aritmética siempre se ubican a los extremos? A) 5040 B)2520 D)1520 RESOLUCIÓN: Posible orden: C) 1080 E) 2060 IA11 F11 F,I F31 F.lo1lo,lo3lA,1 Si A, y A, son fijos entonces: # maneras= P,=5040 Cuando A, y A, cambian de poSición habrán P maneras más adicionales_ Total de maneras: p,+p,= 1080 [r-:Rpo--"ta.-C"! @ Se va a colorear un mapa de 4 paises con colores diferentes para ceda pals, si hay disponibles 7 colores diferentes ¿De cuántas maneras puede colorearse el mapa? www.Matematica1.com www com . . M atematica1 A) 1050 B)1220 D)1520 RESOLUCiÓN: C)840 E) 1680 Como interesa el orden, la cantidad de maneras viene dada por: 7 7! 7·6·5·4·3! V.= 31= 31 840 . . 1R pta. cl @ En una competencia automovilística Intervienen 5 autos A; B; C; D y E ¿De cuántas maneras diferentes podrán culminar la competencia si el coche A siempre llega delante del cocheB? A)12 B)24 C)18 0)36 E)48 RESOLUCiÓN: Posible orden: IAIBlclolEI '----y--' Siempre juntos Se considera como único elemento #maneras=P4=1!=24 1 Rpta.B 1 @ En una biblioteca hay 7 libros de Matemática y 5 libros de Fisica ¿De cuántas maneras puada colocarse en un estante los libros en grupos de 5 de los cuales 3 sean de Matemáticay2deFlslca? A) 36000 B) 38000 D)40000 RESOLUCiÓN: C)39000 E) 42000 # de maneras de escoger 3 libros de Matemática: C~ = 35 # de maneras de escoger 3 libros de Flslca: C~=35 # de maneras de escoger 5 libros de : 35·10=350 Cada grupo de 5 se podrá colocaren el estante de: 5! maneras # de maneras de colocarse en el es-tante: 5! ·350 = 42000 1 Rpta. B 1 @ De un grupo de 5 peruanos, 7 chilenos y 6 argentinos se quieren seleccionar un comité de 10 personas de tal modo de que en el se encuentren 3 peruanos, 4 chilenos y 3 argentinos ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha selección? A) 5000 B)6000 C)7000 D)8000 E) 9000 RESOLUCiÓN: # de maneras de escoger 3 peruanos: C~=10 # de maneras de escoger 4 chilenos: C~=35 # de maneras de escoger 3 argentinos: C~=35 # de maneras de hacer la selección: 10·35·20 = 7000 1 Rpta. C 1 @ ¿Oe cuántas maneras se pueden colocar 3 hombres y 3 mujeres alrededor de una mesa circular de tal manera que cada mujer este entre 2 hombres? A)4 B)18 C)24 0)32 E)36 RESOLUCiÓN: # maneras que se pueden colocar 3 hombres en una mesa circular: Pc3=~ =~=2 # maneras que se pueden colocar las 3 mujeres que faltan: Pc3=~ =~=2 Total de maneras: 2·2 = 41 Rpta. A 1 @ ¿Oe cuántas maneras se puaden colocar 12 libros diferentes sobre una estanterla de manera que 3 de ellos siempre deben estar juntos? A)3!'9! B)3!'101 C)3!'12! 0)3!·11! E)3!'7! RESOLUCiÓN: Los 3 libros juntos se pueden colocar de: 3! maneras. Estos 3 libros se van a considerar como uno solo y con los 9 restantes harán 20 libros los cuales se acomodaran de: 101 maneras. El total de maneras es: 31·101 1 Rpta.B 1 ~ En una bolsa se tiene 9 caramelos de limón y 3 de fresa. Si se extraen al azar 2 caramelos ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 caramelos de limón? A) 7/13 B)3/11 0)6/11 RESOLUCiÓN: Casos totales: C~2= 66 Casos a favor: C~ = 36 C)5/13 E)I1/13 Probabilidad: : = -f.,-I Rpta. D 1 @ En una carpeta se van a ubicar 5 hombres y 4 mujeres ¿Cuál es la probabilidad que se ubiquen en forma altemada? A) 3135 B) 11/252 0)7/63 RESOLUCiÓN: Casos favorables: 5! . 4! Casos totales : 9! C)5/21 E) 1/126 Probabilidad -51-'4!= 1- . 9! 126 1 Rpta. E 1 @ En un concurso particular 8 alumnos y 9 alumnas si deben de haber 2 ganadores. ¿Cuál es la probabillbilidad de que los ganadores sean una pareja mixta? A) 5/17 B)6/17 0)9/17 RESOLUCiÓN: C)8/17 E) 13/17 Casos favorables : 8 . 9 = 72 combinaciones. Casos totales Probabilidad :C1'=I36 72 9 : 136 =17 r:1 Rp::-:-ta--:D. =->I @ Tres caballos intervienen en una carrera -A-, tiene el doble de probabilidad de ganar que B, y C tiene el triple de probabilidad de ganar que A ¿Cuál es la probabilidad de que gane C? A) 1/3 B)2/3 D)3/4 RESOLUCiÓN: Del probiema: P(A)= 2a P(B)=a P(c)=6a C)7/5 E) 4/7 Sabemos que: P(A) + P(B)+ p(C)= 1 -> ->9a= l->a=~ 9 Luego: p(C) = 2/3 1 Rpta. B 1 @ 10 libros de los cuales 6 son de Aritmética y 4 de Algebra; se colocan al azar en un estante. Hallar la probabilidad de que los libros de cada materia estén juntos. A) 1/21 B) 1/35 0)3/75 RESOLUCiÓN: 1 2 3 4 A A A A 5 6 A A Casos totales : P'D 1 A C) 1/105 E) 7/205 2 3 4 A A A Casos favorables : p •. p •. P2 .. Pe' 24·2 1 Probabilidad = 10.9.8.7 p. 105 1 Rpta. C 1 @ En una caja hay 10 focos de los cuales 4 están en buen estado, una persona toma al azar 3 focos. Hallar la probabilidad de que por lo menos una este en buen estado. A) 1/3 B)5/6 0)3/4 RESOLUCiÓN: C)2/5 E) 4/7 Focos buenos: 4 Focos malos: 6 Casos totales: ciD= 120 Casos favorables: 4 6 4 B 4 C,' C2+C2' C,+C3= 100 '----,---' '----,---' '-r' BO 36 4 . 100 5 Probabilidad: 120 = El @ Se lanzan 3 monedas y 2 dados ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan 3 caras y2 números pares? A) 1/84 B) 1/32 C) 1/16 0)2/5 E) 3184 RESOLUCiÓN: www.Matematica1.com • Para las monedas: Casos favorables: 1 } Probabilidad: ~ Casos totales : 8 8 • Para los dados: Casos favorables: 3 . 3 = 9 } Casos totales : 6 . 6 = 36 Probabilidad: ;6 = ~ Probabilidades únicas'. ~8. ~4 = _l_ 32 [Rpta. B I @j) Una caja contiene 6 focos defectuosos y 5 buenos. Se sacan 2 a la vez. Se prueba uno de ellos y se encuentra que es bueno ¿Cuál es la probabilidad de que el otro también sea bueno? A) 2/5 B)3/5 D)5/6 RESOLUCION: C)4/5 E) 2/3 Focos buenos: 5 Focos malos: 6 Si se extraen 2 focos entonces quedaran: Casos totales :9+1 =10 Casos favorables: 5-1 = 4 Probabilidad: 1~ = ~ ~IR -p-ta-.-A~I ® Se lanzan 2 dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos 5 como resultado? A) 2/3 B)3/4 D)5/18 RESOLUCION: C) 11/36 E)7/12 PRIMER SEGUNDO DADO DADO 5 1 ;2;3;4;5;6 (6 casos favorables) 1;2;3;4;5;6 5 (6 casos favorables) El caso (5;5) se repite Casos totales : 6 . 3 = 36 Casos favorables : 11 Probabilidades : 11/36 [ Rpta. C I @ Tres cazadores A; By C están apuntando a un búfalo. La probabilidad de que A; B Y C acierten son 3/5; 4/7 Y 2/3 respectivamente. Los 3 disponian ¿Cuál es la probabilidad de que acierten? A) 7/25 B)8/35 D) 13/35 RESOLUCION: Sabemos que: C)9/35 E) 17/35 P(AnBnC)= P(A).P(B).P(C)(Para eventos independientes) 3 4 2 8 Luego: P(AnBnC)= "5' "7' "3 = 3s 1 Rpta. B I @Y La probabilidad de que HUGO compre un pantalón es 0,3 y de que compre una camisa 0,5. Hallar la probabilidad de que compre sólo una de dichas prendas. Si la probabilidad de que no compre ninguna es 0,5. A)O,l B)0,2 C)0,3 D)0,4 E)0,6 RESOLUCION: Del gráfico: 0,3-x+x+0,5-x = 0,5 -+x = 0,3 Me piden: (0,4-x)+(0,5-x) = 0,2 I Rpta. B I @ En una urna se tiene fichas numeradas del 1 a140. Se extrae una ficha y se sabe que es par. ¿Cuál es la probabilidad de que ese número sea divisible por3? A) 1/10 B) 3/5 D)3/20 RESOLUCION: C)2/15 E)7/20 # Pares :2;4;6; .... ;40 #Múltiplosde6 :6;12;18; .... ;36 Casos totales : 20 Casos favorables: 6 Probabilidad: :0 = 2 3 0 1 Rpta. D I @ La probabilidad de un alumno de aprobar Flsica es 3/4, la probabilidad que tiene ese mismo alumno de aprobar Qulmica es 2/3. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los cursos es 4/5 ¿Cuál es la probabilidad de aprobar ambos cursos? A) 43/60 B)47/120 D)39/60 RESOLUCION: F=% Por dato: C)37/60 E)41/60 Q=2/3 -3- x+x+2- -x=4- -+x =3-7 4 3 5 60 ':"'1 Rp:.....ta-. c-'I @ 10 parejas de casados se encuentran en un cuarto. Si se escogen 2 personas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que una sea hombre y la otra mujer? A) 7176 B)5/38 D)9/19 RESOLUCION: Casos totales : C~ = 190 C)8/19 E)10/19 Casos a favor: 10 . 10 = 100 combinacion~. 100 10 ~_-=-> ProbabIlidad: 190 = 191 Rpta. E I @ Si se lanzan 3 monedas ¿Cuáles la probabilidad de no obtener 2 caras? A) 2/3 D)5/8 B)3/4 C)4/5 E) 7/8 Al lanzar 3 monedas se puede obtener: {CCC; CCS; CSC; SCC; SSS; SCS; CSS} Proballdad de obtener 2 caras: ~ Probalidad de no obtener 2 caras: 1-3- =5- 8 8 [Rpta. D I ~ Entre los números: 1,2, 3, ...... , 50 se escoge un número al azar ¿ Cuál es la probabilidad de que el número elegido sea divisible por4 ó6? A) 7/15 B}9/25 D)3/50 RESOLUCION: C)7/50 E) 8/25 Múltiplosde4 : {4; 8; 12; .... ;48} Múltiplos de 6 : {6; 12; 18; .... ;48} Múltiplos de 12: (12; 24; 36; 48) • 12 • 8 4=- 6=- 50 50 . 8 4 4 16 8 Me pIden 50 + 50 + 50 =50=25 [Rpta. El @ Se va a seleccionar un comité de 3 personas a partir de 6 hombres y 4 mujeres ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 son hombres? A) 1/6 B) 1/3 D)3/4 RESOLUCION: Casos totales: C~o= 120 Casos a favor: C~ = 120 C)2/3 E) 4/5 Probabilidad: 1 2 2 0 0 = t [Rpta. A I MATRIZ CUADRADA Es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Una matriz de "n° filas y "n° columnas se denomina matriz de orden n. @ A= [a111 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 En toda matriz cuadrada de orden "n", la diagonal principal es aquella linea imaginaria formada por los elementos: 811, 822, 833, ....• 8nn. Los elementos de la forma: a,,; V i = 1;ii pertenecen a la diagonal principal. MATRIZ NULA IGUALDAD DE MATRICES @ Sean dos matrices A y B del mismo orden mxn es decir: A= [a,Jl; B = [b'l]; i = 1; 2; 3; ..... ; m; j=1;2;3; ..... ;n Las matrices A y B son iguales si sus elementos correspondientes son respectivamente iguales.Asi: A= B++aij=b¡j;Vi = 1; m ,j= 1; n @ Hallar los valores de a; b; c y de, para que las matrices sean iguales: A= [2a+b -4 l B J 19 a+2bl 13 3c+dJ y Lc+3d 15 J Si son iguales se debe cumplir que: 2a+b=19 , a+2b=-4 c+3d=13 , 3c+d=15 Dedonde:a= 14, b=-9,c=4,d=3 OPERACIONES CON MATRICES ADICiÓN DE MATRICES @ Sean A = [alj] y B = [b,j] dos matrices de orden mxn, entonces la adición de las matrices A y B(A+B) es otra matriz C = [c;], llamada matriz suma, tal que: C = [cll] = [a'l+blJl y también de orden: mxn sea[nlla~2m]atrices: A = [-~ ~ L B = 1 3 4 -1 3x2 C =A+B = [-~:~ ~:~] = [-i ~] 1+4 5-1 5 4 3><2 Dos matrices A y B del mismo orden mxn, se dice que son CONFORMES con respecto a la adición. MULTIPLICACiÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Sea la matriz: [alJl y un escalar k(k;tQ) entonces: k·A= [k· a'l] óA·k= [all' K] Es decir, el escalar k multiplica a cada uno de los elementos de la matriz @) :~a: A = [-~ ~] entonces: 3 -2 3A=[-~ ~] y_5A=[-1~ -~J 9 -6 -15 10 MULTIPLICACiÓN DE MATRICES Definición: Sean dos matrices: A= [a 11 a'2a'3 .... a,p], matriz fila de :~pe:'B = [~:~l, matriz columna de ¡orden pxl; entonbo' ces el producto de multiplicar las matrices Ay B(AB en ese orden) es otra matriz C de orden 1 xl, tal que: [b11• b2' e = AS = [a11 812813 ••• 81p]1xp br = bp1 px1 = [a11 b11+a12b21 +a13b13 + ... +81pbp1]1x1 es decir: C = I f a 1k boJ Lk= 1 J • [1-12{~] = [1.3+(-1 ).2+2.(-1 )]=[-1] • [3 0-21] [~l = [3.1+0.2+(-2).(-3)+ -~J +1.4] = [13] Definición: Sean dos matrices: A= [a,¡] de orden mxpy B = [b;] de orden pxn, entonces el producto de multiplicar las matrices Ay B es otra matriz C(A.B = C, y no de otra manera) de orden mxn, talque: C = [CII] = I f a,. bkj l ; 1 ;m, j = 1 ;n Lk= 1 J El producto de multiplicar matrices (AB en ese orden) está definido si y sólo si el número de columnas deA es igual al número de filas de B, siendo asi A y B (en ese orden) CONFORMES a la multiplicación. @ Sean las matrices: A=[~ ~] Y B=[~ ~] donde A (de 2 columnas) y B (de 2 filas) son CONFORMES con respecto a la multiplicación, luego: C=AB=[~ ~H~ ~]= [ 3.1+1.3 3.2+1.5] [6 11] = 2.1+2.3 2.2+2.5 = 8 14 @ Sean las matrices: [ a11 a'2] [b A= a2' a22 y B= b" 831 832 21 3.2 b'2] b22 2x2 como el número de A(2) es igual al número de filas B(2), entonces Ay B son CONFORMES a la multiplicación. Luego: C =AB = [cid donde: p C·iJ = ~~ 8;k bkj •. 1•'3• J' = 1•'2 k=1 811 b12+812b22J 821 b12+a22b22 831 b12+a32b22 Definición: Sean dos matrices: 3><2 A = [ald de orden mxp tal que a, es su i-ésima fila y B = [b,j] de orden pxn tal que ~j es su j-ésima columna, entonces el producto de multiplicar A y B (AB en ese orden) es: a,~, a,p2 a'~3 ...... a'p" a2~' a2p2 a2~3 ...... a2p" AB = a3~' a3p2 a3~3 ...... a3p" : :: : amj31 amlh amlh .... amj3n 3x2 @ Sean las matrices: [ A= -13 12 -11 ] Y B = [14 O2] 2.3 -1 3 3.2 C=AB=[a,p, a,p2] a2j31 a2Jh 2x2 donde: a, p, = [-1 2 -1] U] = [8] a, P2 = [-1 2 -1] [~] = [-5] a 2P'=[311]U]=[S] a2p2 = [311] m = [9] Luego: C = [~ -~] 2.2 @ Sean las matrices: [ 2 O 1] 1 -3 2 A= 2 O 1 Y 1-32,.3 B = [-~ ~] 1 -1 3x2 [ 201] [10] C = AB = ~ -~ ~ -1 _2 = 1-32 11 3><2 '.3 - [~:~: ~:~:] - a3p, a3p2 a, p, a, P2 4><2 donde: a, p, = [2 O 1] [-1] = [3] a, P2 = [-1 2 -1] [_~] = [-1] www.Matematica1.com a,p, = [1 -32] H] = [6] a,p, = [1 -3 2] [_~] = [8] Además: a,p, = a, p, ; a,p2 = a, P2; a.p, = a.p, ; aop, = a.p,; Luego: C = [Lf] 6 -8 4x2 TRAZA DE UNA MATRIZ A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se denota por: traza (A) = 811+822+833+ ... + 8nn= " @9) Sea: A = [~ :~ ~] 4 3 5 Traza (A) = 6+(-2)+5 = 9 MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR Es aquella matriz cuadrada A = [a'J] cuyos elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos, es decir: ali=O, Vi>j @ A= [~_~] 8{g 1 -1] -2 2 O 3 c=[6~~i] O O 8 9 O O O 10 811 812 813 o •• 81n O 822 823 ... a2n En general: A = O O 833 ... aan I I O O O ... a" MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR @ Es aquella matriz cuadrada A = [a,;] cuyos elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos, es decir: aIJ=O, Vij v i [ci !] = Diag (4;4) ; [~ ~ ~] = Diag (7; 7; 7) MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD Es aquella matriz escalar donde k= 1 yse representa asl: 1'=[6 ~];I'=[~ ~ ~]; 10= [~ ~ ! ~ 1 CASOS PARTICULARES DE MATRICES CUADRADAS Si:A'= 1; k e Z+ --+Aes una matriz PERiÓDICA Si k es el menor número entero positivo que satisface la condición anterior, entonces A tiene período "k". Además: Ak+1 =A Ak+2=A2 Ak+3=A3 Ak+4=A4 yasisucesivamente. Si:N=A--+Aes una matriz IDEMPOTENTE Además,si:A'=A--+A"=A;Vn e Z+ n;>,2 ~~~--=-~---, Si:AP=O; p e Z+--+Aesuna matriz NILPOTENTE Si P es el menor número entero positivo que verifica la condición anterior, entonces A es una matriz nilpotente de índice "p". Además: AP+'=O ; AP+'=O ; AP+'=O AP+o = O Y así sucesivamente. Si:N= 1--+Aes una matriz INVOLUTIVA yen consecuencia:A"=A, si n es impar; A" = 1, si n es par. @ Sea la matriz: A = [_~ 6] N=A'A= [_~ m-~ 6]=[-~ -~] A' = N'A =[_~ _~][_~ 6] =[-6 _~] =-1 A4=A3 ·A= (-1 )(A)=-A A5=A4·A=(-A)A=-A' N=A' ·A= (-A)A=-A'=-(-1)= 1 luego A es periódica, además se observa que k = 6 es el menor número entero positivo que satisface la condición anterior, entonces k = 6 es el (@ ::~~:o~atriz: A = [-~ _~ ;] -1 3 5 A'=A'A= [-~ -~ -;]. [-~ -~ _555] = -1 3 5 -1 3 = [-~ -~ -;] -1 3 5 N = A --+ A es indempotente Además, siendo A indempotente, se cumpleque:A"=A;Vn e N, n<:2 @ Sea la matriz: A = [~ :~] A'=A-A=[~ :~H~ :~]=[g g]=o A' = O --+ A es nilpotente de Indice 2 @ Sea la matriz: 8 = [-~ -~ ~] 1 -34 8' = 8-B = [-~ -~ -:] . [-~ -~ ~] = 1-3-4 1-34 =[g g g]=o O O O 8' = O --+ es nilpotente de Indice 2 MATRIZ TRASPUESTA @ SeaA= [a'i] una matriz de orden mxn; la matriz traspuesta de A, que se denota por A', se obtiene colocando las filas (o columnas) de A como columnas (o filas) en A', es decir: A'= [a'J] de orden nxm A = [~ -~] entonces: A' = [_~ ~ ~] 5 6 3><2 "" [ 8 = -21 -34 52 ] entonces: 8 [1 -2 1] ' = -3 4 -3 1-30,., 250,., www.Matematica1.com www com . . M atematica1 MATRIZ SIMéTRICA Una matriz cuadrada A = [alj] de orden n es simétrica si y solo si: A' = A, esdecirsi: 8ji=SiJ ;\fi;j=1;n €9> Para la matriz: A=[_~ -nA'{~ -~J=A, luego A es simétrica. Para la matriz: B = [-~ -~ -i]; B' = [-~ -~ -i] = B, 4 -1 2 4 -1 2 luego B es simétrica. MATRIZ HEMISIMéTRICA O ANTISIM~TRlCA La matriz cuadradaA= [all1 de orden n es hemisimétrica si y solo si: A' = -A; esdecirsi: 8j¡=-Sij; Vi;j=1;n Observe que los elementos de la diagonal principal son nulos, pues para que: 811 = -811; 822= -822; 833= -83g; ... ;Ann =-8nn. se debe cumplir que: 811 = 822=833= .... =Snn= O @ Para la matriz: A=[~ -nA'{~ ~J=-A, luego A es hemisimétrica. Para la matriz: B = [-~ Ó -;]; B' = [~ ci -;] = -B, -350 3-50 luego B es hemisimétrica. @ Dada la matriz cuadrada: A = [all1 de orden n, demostrar que A+A' es simétricayqueA- A'eshemisimétrica • Sea B = [b,;] =A+A'= [al;]+[ajl] = [a;+ajl] donde b'l= all+all= all+all= bll Vi;j = 1 ;n, es decir: B = B' Luego: B =A+A'es simétrica • Sea e = [CII] =A-A'= [a,I1-[all] = [ag-all] donde Cg= a'l-al' = -(all-aol= -cII Vi;j = 1 ;n, es decir: e= -e' Luego: e =A-A'es hemisimétrica MATRIZ CONJUGADA Si A es una matriz de orden mxn tal que A = [alj ],entonces la matriz conjugada deAes: A= [alj] también de orden mxn '573' • A = [2+i -i] ~ 1-1 7 entonces A = [~:i ~ ] = = [2-i 7iJ l+i [ i 1-3i 5] • B = 2 i-l -3i 3+i -6 5i [ i 1+3i entonces B = -2 -i-l 3-i -6 MATRIZ HERMITICA 5] 3i -5i Una matriz cuadradaA= [all] de orden n l!!! denomina hermítica si y solosi:A'=A, es decir: 8ji=Sij ;Vi;j=1;n Para los elementos de la diagonal principal a .. k= 1; n setieneque: 8kk=SkkB8kk.E R, osea, éstos elementos deben ser reales. @). A= [1~3i 15 3i ] yAi= [1!3i li 3iJ' =[1~3i 15 3i ] =A luego A es hermítica. • B = [ ¡ ~ ~~~i] 3-2i 4+7i 6 Y B' = [ ¡ ~ ~~~i] = B 3-2i 4+7i 6 luego B es hermltica. MATRIZ HEMIHERMlnCA Una matriz cuadradaA= [alj] de orden n se d~nomina hemihermítica si ysolosi:A'= -A; es decir: 8j¡=-Sij ;Vi;j=1;n Para los elementos de la diagonal principal a .. k= 1; n setieneque: 8kk=SkkB8kk=O v 8kk=mi, donde i =Y-1 osea, éstos elementos deben ser nulos o imaginarios puros. -2-1' ]'_ O - luego B es hemihermltica. @ Siendo la matriz cuadrada: A =~all] de orden n, demostl"lli" que A+A' es hermítica y que A - A' es hemihermltica • Sea B = [b;¡] =A+A'= [a;¡]+[ajl] = [Sij+8ji] __ donde b'l = ag+¡¡¡ = all+¡¡¡ = ¡¡¡,(1); Vi;j = l;n, es decir: B= 8f Luego: B =A+A'es hermítica . • Sea e = [CI;] =A-At= [alj]-[8j] = [a;-8;I] Pero: cII= all-8;I= -(all"¡¡¡~= -c¡; Vi; j = 1 ;n, es~ecir: e =-0 Luego: e =A-A' es hemihermltica. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Dada la matriz cuadrada A = [al;] de orden "n", se denomina determinante de A denotado por I A I y se dice también de orden "n° - a la suma de todos los términos que se pueden obtener de dicha matriz, es decir: " lA I = ~ (-1)',· a'j, a2j2a,;, .... a'j, k=1 donde d, indica el número de decrementos en la permutación j ti2 j, ... j, y que para cada d,se considera una y sólo una de las permutaciones de:j, joh··· j, DETERMINANTE SEGUNDO ORDEN Pa~ la matriz: A = [:~~ :~ 1 se tiene que 1 811 812 1 IAI= a2' a22 =(-I)'1.atta'2+ +(-I)'2·a'2a2' Pero: d, = O (la permutación 12 no tiene decrementos) yd2= 1 (la permutación 21 tiene Un decremento) Luego: IIAI=a1ta22-a'2a2' t?IAI=12+V3 l-V2 I= ~ 1+V2 2-V3 =(2+V3)(2-V3)-(1+V2)(1-V2) = 2 I BI=ltanx -secxl= cosx cotx = tan x· cotx- cosx ·(-secx) = = 1-(-1) = 2 DETERMINANTE TERCER ORDEN Para la matriz: A = [:~~ :: :~:] se tiene que 831 832 833 1 att a" a131 IAI = a21 a22 a2' = 831 832 833 = (-I)"·att a22 a,,+(-I)'2·a'2a21 a,,+ +(-1 )" ·a"a2' a'2 +(-1)"'· att a23a32+ +(-1 )" ·a'2a2,a" +(-I)do. a"a22a" Pero: d, = O (la permutación 123 no tiene decrementos) d2= 1 (la permutación 213 tiene un decremento) d, = 2 (la permutación 312 tiene dos decrementos) y así con los demás. Luego: IAI =811822833-812821 833+813821 832- 811 823832+ 812823831- 813822831 www.Matematica1.com REGLADESARRUS Mediante ésta regla se puede obtener el determinante anterior en forma rápida. Consiste en repetir la primera y segunda columna a continuación de la tercera. Se toma el producto de los tres elementos de la diagonal principal y también el de sus paralelas siguientes, cada uno con signo positivo; y luego el producto de los tres elementos de la diagonal secundaria y el de sus dos paralelas siguientes, pero cada uno con signo negativo, tal como lo muestra el esquema siguiente: IAI=a11a~a~+a12a~a~+ 813821832 -a31 822813- 832823811-833821812 IAI = 2·0Hl)+(-3)(-2)·0+(4)·1·(-5)- 0·0·(4)-(-5)(-2)·2-(-6)·1·(-3) IAI = 0+0+20-0-20-18--+ IAI =-18 @ Hallar el determinante de la matriz: A=[~ -~ ~] -7 1 3 Operando como lo indica el esquema se tiene: IAI = 2·1·3+4·1·1 +(-3)·2·(-7)-(-7)·1· 1-1·2·24·(-3)·3 IAI =6+4+42+74+36=91 MATRIZ ADJUNTA Dada una matriz cuadrada: A = [al;] de orden n, donde a,) es el adjunto del elemento a,~ se define como la matriz adjunta deA-y se denota por ADJ(A)-a: 0.11 0.21 0.31 ...... Un1 0.12 0.22 0.32 ...... an2 ADJ (A) = a'3 a23 a33 ...... a,3 n1n a2n a3n ...... Unn n)ln Nótese que los adjuntos de los elementos de la fila j en A son los elementosde lacolumnaj enADJ (A), o los adjuntos de los elementos de la columna i enAson los elementos de la fila i enADJ (A), es decir: ADJ (A) = [a,;]'= [a;l] @) Para la matriz: A= [; ~] all=(-l)'+'·IM"I=q a21=(-1)2+1·IM211=-n a'2= (-1)1+2·1 M'21 =-p a22= (-1)2+2·1 M221 = m ~~g~~) = [a11 a21] = [q -mn] 0.12 0.22 -p @l) Para la matriz: S = [~ -~ !] -2 3 -1 a,,=(-l)'+'· M"I=-13; a21 = (_1)2+1 M211=8 a31 = (-1)3+1 M311=-7 a12=(-1)1+2 M'21=-8 a22=(-1)2+2 M221=4 a32=(-1)3+2 M321=-8 a13=(-1)1+3 M'31=2 a23=(-1)2+3 M231=4 a33=(-1)3+3 M331=2 ~:g~~) = [~~: :~ ~:] = 0.13 0.23 0.33 = [-~~ : :~] 2 4 2 DETERMINANTE DE LA MATRIZ ADJUNTA Dada la matriz cuadrada:A= [al;] de orden n y su correspondiente matriz adjunta: ADJ (A) = [a;l] también de orden n, se tiene: a" a'2 813 ...... Sin a21 a22 823 ...... 82n A-ADJ (A) = a31 a32 833 ...... a3n I a" a" 8 n3 ...... 8 nn a 11 821 831 ...... 8n1 a 12 822 832 ...... 8n2 a'3 a23 a33 ...... a'3 = ADJ (A)·A 8in a2n 83n ...... 8nn de donde: A·ADJ (A) = [ i a" .a;,] k=1 Aplicando las propiedades se obtiene que: IAI O O .... O O IAI O .... O A-ADJ (A) = O O IAI .... O ! ! O O O ····IAI = DIAG(IAI; IAI; IAI; .... ; IAI) es decir: Ir-A-.A - D-J -(A-)= -1 A-I-·/-',I Luego, tomando determinantes: = lA· ADJ (A)I =11 A 1·1,1-+ -+ lA I·IADJ (A)I = lA l' ·1/,1 --+ IAI·IADJ (A)I = IAI' por lo tanto: 'II-AD-J-(A-)I-=-I A-I-~1--'1 @ HB;lIar el determinante de la matriz adlunta de: [ 3 -2 1 ] A= -2 1 4 143 Se pide IADJ (A)I Y para esto no es necesario calcular laADJ (A), puesto que por la propiedad: (4.6) se tiene que: ADJ (A) = IA13.1 = IAI2 donde: IAI = 9-8-8-148-12 =-68 Luego: IADJ (A)I = (-68)2 = 682 Por otra parte, si A es una matriz singular (1 A I = O) de (4.4) se deduce que: A·ADJ (A)=DIAG(IAI; IAI; IAI; .. ... ; IAI)=O (matriz nula) MATRIZ INVERSA Sean A Y S dos matrices cuadradas de orden n, tales que:AB = SA= 1, entonces se dice que S es la matriz inversa deAyse denota así: S =A-' ; o también se dice queAes la matriz inversade Sysedenolaasí:A= S·1. Luego: kA·1 = 1 V A·1 ·A= 1 § Sean las matrices: A=[~ ~] Y S=[-~ _~] AB=[~ ~n-~ -~]= [:~:~ ~:~]=[b ~]=I SA=[-~ -~H ~ ~]= =[-~~23 -;~] =[ b ~] = 1 De donde afirmamos que S es la matriz inversa de A, osea: A-' =[-~ _~] = S Asimismo, también A es la matriz inversa de S, asl: S-1 = [~ ~] =A @)SiA=[~ nhallarA-1 Sea A·1 = [; ~], luego por (4.9) se tiene:A.A.'=[~ ~H; ~]=I --+ [5m+3P 5n+3q] = [1 0]--+ 3m+2p 3n+2q O 1 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 --> 5m+3p = 1 5n+3q = O 3m+2p = O 3n+2q = 1 resolviendo: m = 2 ; n = -3 ; p=-3;q=5 entonces: A-' {~ -; ] CONDICiÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE UNA MATRIZ CUADRADA POSEA INVERSA Sesabeque:A'ADJ (A) = IAI'/ yademás: A·A-'=/ considerando que lA I '" O, se tiene que: ADJ (A) A· IAI de donde: A-' ADJ (A) 1 IAI =IAT ·ADJ (A) Es decir, A-' existe si y sólo si A es una matriz regular(IAI "O); perosiA es una matrizsingular(IAI = O)sedice que A no posee inversa o no es inversible. @ Hallar la inversa dela matriz: A= [43 -11] ,S.le X.ls te 1 lA I = 43 -111 = 7, lA 1'" O, entonces A posee inversa, además: 0<1,=(-1)"'·(1)=1 a'2= (-1 )"2. (3) =-3 a2,=(-1)2·'·(-1)=1 a22= (-1 )2'2. (4) = 4 yADJ (A) = [~ 1] Por (4.13): A-' = _1 . [1 1] = [+ +1 7 -34 -3- 4 - 7 7 @§) Hallar la inversa de la matriz: [ 2 1 -2] A= 3 O 1 ,siexiste -1 4 O Por la propiedad (3.22), con respecto a la segunda fila, se tiene que: 11 -21 1 2 a3' = O 1 = 1; a32 =- 3 -211 = -8; a33=I~ 61=-3 Luego: ADJ (A) = [~ ~] -8 -2 12 -9 entonces por (4.13): 4 8 33 33 33 A-' = 1 2 8 33 33 33 4 3 11 11 11 MATRIZ AMPLIADA Dadas dos matrices:A= [a,;] de orden mxn y B = [b,; ] de orden mxp (osea, con el mismo número de filas), se denomina matriz ampliada a: [A:B] = [ag' b'l] de orden mx(n+p) es decir: [A:B] = 811 812 8a13 ...... 81n ! a21 822 23 ...... 82n i ar ai ar ...... ar I am1 am2 am3 ..... amn ! mx(n+p) @ Si: A = [-13 2O] Y B = [12 -13 -32 ] , 4-2 1-52 entonces: [A:B] = [-1 2 1 1 -1 2] 0,23-3 -211-52 @) Si:A= [-~ -6 ~]YI3=[6 ~ ~1]' 2 O -2 O O entonces: [ 1 -1 O ¡ 1 O O] [A:!.1 = -1 O 2 1 O 1 O 20-2¡001 11 @!) Calcular la inversa de la matriz: A=[~ -~] 1 1 -21 12 IAI =3(-1)' 4 O +1·(-1)· -1 = 3(-8)+1·(-9) = -33; lA 1" O entonces A posee inversa. Calculando la matriz adjunta deA: a" = 1 ~ 61 = -4; a'2 =-I_~ 61 = -1; a'3=1_~ ~1=12 a" =11 -~I = -8; a22 = I_~ -~I = -2; a23=-I_~ 11=-9 Por la propiedad (4.17) [A'I] = [4 -1: 1 O] 1,-12 . 3 1¡0 1 - [ 1 -2! 1 -1] 12 _ 1, [1 -2! 1 -1] 3 110 1 - 071-34 -11 2 [1-2 7_ O 1 1 -1] _-ª- .! 1, ":..212 7 7 [ 1 -2 _~ :]=[I:B] O 1 7 7 Luego: B = A-' =[. i ~] 8 Calcular la inversa de la matriz: A= [~ 6 -f] -1 4 O Por la propiedad (4 17): [ 21-210 [A:!] = 3 O 1 O 1 -1 4 O O O ~] 1,~12 [~ ~ -f 6 ~ 61 ] -1 4 O O O 12-31,[1 5 -2 1 O 1J - O -15 7 -3 1 -3 13 + 1, O 4 -2 1 O 1 [ 1 1 5 -2 1 ¡i O 1. -1512 0_12.1: _1 1 _ 15 5: 15 5 09-21102 O 1 O 1 3 3 O 12-31, O 1 _2. 1. __ 1_ 15 5 15 5 11 4 3 1 O O 15 5 5 5 = [I:A-'] 4 --ª- __1 33 33 33 1 2 8 Luego: A-' = 33 33 33 4 3 1 11 11 11 @ Hallar la inversa de la matriz: A= [-~ ~ -~] 4 5 -7 [A:!] = [o} ~ :~ 6 ~ ~] O O 1 1,:1, [6 ~ -~ 13-41, O -3 -3 6 ~ ~] -4 O -3 www.Matematica1.com ~_12 [: ~ -1 ~ ! l] 0-3-3-40-3 13+312 1, -212 1 O -3 o 1 o O O 3 5 1 5 17 5 2 5 1 3 5 1 5 5 -3 -1-2 5 5 donde se observa que los tres primeros elementos de la tercera fila son nulos, con lo cual se hace imposible la fonnación de la matriz identidad en la parte izquierda. En conclusión, la matriz dada no tiene inversa. (Tenga en cuenta que esto también significaqueIAI= O). MATRIZ ORTOGONAL Una matriz cuadrada: A = [ag] de orden n se denomina ORTOGONAL, siysólosi: A'A'=A"A= I @ ... _AH T] AA"[ ; 1] 1 -../3 2 2 -../3 = --.-./31 - 2 2 2 2 =[ ~+! -"1+Yf] =[1 0]=1 --..(3 + -..(3 -ª- + ~ O 1 4 4 4 4 Luego:Aesortogonal. De(4.19)setieneque:A ·A'= 1--> -->A-"A 'A'=A"'I--> I'A'=A"'I De donde, si A es ortogonal entonces: I A'=A-' v A" =A' I 2 2 3 3 3 @ Averiguar si: C = 2 2 1 3 3 3 1 2 2 3 3 3 es ortogonal. C= ~ [-~ ~ J]-->ICI=-l A AADJ (C) = ~ [:~ -~ ~] 9-6-36 Luego: 1 C-' =-. ADJ (C) = ICI = -~ . ~ [-~ ~ -~] 2 2 1 3 3 3 --> C·, = 1 2 2 =C' 3 3 3 2 1 2 3 3 3 Entonces: C es ortogonal. SUBMATRlCES CUADRADAS Dada una matriz: A = [a'l] de orden mxn, se denomina submatriz cuadrada de orden r(r,; mín){m; ni) a aquella que se obtiene luego de eliminar una o más lineas (filas y/o columnas) de la matrizA. @ Sea la matriz: A= [~ ~] de orden 3x2 -1 3 Siendo r el orden de una submatriz cuadrada: r " mín {3; 2}, es decir: r ,; 2. Las submatrices cuadradas de orden 2 son: [~ ~]{~ ~H-~ ~] Las submatrices cuadradas de orden 1 son: [1]; [4]; [2]; [O]; [-1]; [3] @ Sea la matriz: B = [~ -~ ~ -~] de orden 3x4 1 3 2 O En este caso, el orden de una submatriz cuadrada r ,; min (3; 4), es decir: r'; 3. Las submatrices cuadradas de orden 3 son: [~ -~ ~]; [~ -~ -~]; 1 3 2 1 3 O [~ ~ -~]; [-~ 6 -~] 120320 Las submatrices cuadradas de orden 2 son: [5 2].[0 -1].[5 2]. O -1 '1 3' 1 3' [2 lJ' [-1 O]. [2 1]. etc. -1 O ' 3 2 ' 3 2' sólo se han indicado seis submatrices cuadradas de orden 2, pero en total se pueden obtener 18. Las submatrices cuadradas de orden 1, son fáciles de indicar, como el lector habrá podido percatarse. CARACTERISTlCA O RANGO DE UNA MATRIZ Dada una matriz A = [alj] de orden mxn, se llama caracterlstica o rango de la matriz A al orden de aquella submatriz cuadrada de mayor orden posible cuyo detenninante sea distinto de cero; es decir, la característica de A es igual a r si al menos una de sus submatrices cuadradas de orden r tiene determinante no nulo, siendo los detenninantes de las submatrices cuadradas de orden r+l (si es que existen)todos nulos. ~ Hallar la caracterlstica de la matriz: A= [3 6 -9] 2 4 -6 Como la matrizAes de orden 2x3, tomaremos primero las submatrices cuadradas "mas grandes", osea las de orden 2: I~ ~I=o; I~ :~I=o; I~ ~I=o En vista que sus detenninantes son nulas, entonces la característica no es 2. Tomando ahora las submatrices cuadradas de orden 1, vemos que, por ejemplo: I 3 I = 3 "O. Luego A tiene característica r = 1. ~ Hallar la determinante de la matriz: B=[j r~l 4 5 -7 Considerando primero las submatrices cuadradas "mas grandes", las de orden 3, vemos que: 1 2 -1 1 2 -1 2 4 -2 =0 ; 2 4 -2 = O; -1 3 6 4 5 -7 1 2 -1 -2 4 -2 -1 3 6 =0 ; -1 3 6 =0 ; 4 5 -7 4 5 -7 Ahora, las submatrices cuadradas de orden 2; basta con encontrar una con determinante no nulo, por ejemplo: I_~ ~ 1= 10" O Y concluimos que la característica de A es r = 2. MATRIZ COVALENTES Dos matrices A y B del mismo orden se dice que son equivalentes si una de ellas se obtiene de la otra como resultado de la aplicación de un número finito de transfonnaciones de linea (por lo general, de fila) y éstas además tienen la misma caracterlstica. @ Hallar la caracteristica de la matriz: A= [~ ~ ~ ~] 134 5 Transfonnando la matriz A se tiene: A=[~ ~ ~ ~]12~21'[~ _~ _~ _~] 1 3 4 5 h - 12 O 1 1 3 (-1J2[~ ~ ~ ~]h:f2[~ _~ ~ ~]=B 0113 0000 La matriz B es equivalente a la matriz A www.Matematica1.com www com . . M atematica1 En B, todas las submatrices cuadradas de orden 3 tienen detenminante nulo, pero una de sus submatrices cuadradas de orden 2: I ~ ~ I tiene detenmlnante no nulo; luego la caraclerlstica de B, y por consiguiente la deA, es r= 2. Para hallar la caracterlstica de una matriz cualquiera es más sencillo calcularlo por medio de su matriz equivalente; en ésta puede observarse rápidamente a equella submatrlz cuadrada cuyo detenmlnante es distinto de cero. MATRIZ CANÓNICA Una matriz e = [cy1 de orden mxn y cuya caracterlstica es r, se denomina canónla si satisface las siguientes condiciones: a) Uno o más elementos en cada una de las r primeras filas son distintos de cero, siendo nulos todos los elementos de las m-r filas restantes. b) El primer elemento no nulo en cade una de las r primeras filas es la unlded; siendo, obviamente, nulos lodos los elementos anteriores a éste. c) A partir de la segunda fila hasta la r-éslma, el número de elementos nulos anlerlores a la unidad siempre debe ser mayor al de la fila anterior. d) En la columna a la cual pertenece el primer elemento no nulo de una cierta fila (osea la unidad), lodos los demás elementos deben ser nulos. @ Son matrices canónicas: C, =[6 ~ -~ 6] e2=[~ ~ ~ r~] O O O O O O O O O C3=[~ b ~ ~] O O O 1 donde la caracterlsUca de e, es r= 2, lade C2es r= 3yladee3es r=3. Nótese que éstas matrices satisfacen todas las condiciones anteriores En cambio, las siguientes matrices no son canónicas: c.=[b ~ -~ ~] e.=[~ ~ 0000 00 c.=[b b -~ g] O O O 1 OO -1 ] 1 O 4 1 O 1 O O O C. no satisface la condición (B), C. no satisface las condiciones (e) y (d); Y C. no satisface la condición (d). Pero, con algunas transfonmaclones elementales de fila, éstas se pueden llevar a matrlices canónicas. 8 Hallar la matriz canónica equivalente de: [ 1 2 1 O] 3 2 1 2 A= 2 -1 2 5 5 6 3 2 1 3 -1 -3 Transfonmando hasta obtener la matriz canónica: [~ ~ ~ ~] ~::::[b ~ -~ ~] A= 2 -1 2 5 - O -5 O 5 5 6 3 2 f.-5f, O -4 -2 2 1 3 -1 -3 f.-f, O 1 -2 -3 [ 1 2 1 0]f'_2f2 1 O 5 6 O 1 -2 -3 f3-5f2 O 1 -2 -3 f.xf. O -5 O 5 - O 0-10 -10 - O -4 -2 2 f.-4f2 O 0-10 -10 O -4 -2 2 f.-4f2 O 0-10 -10 -,~3 [~ LLl] f:~~3[~ ~ ! -1] O 0-10 -10 f.-1Of3 O O O O Se podrá observar que la matriz canónica obtenida tiene caracterfstica r = 3; luego A también será de caraclerlstica r= 3. @j) Hallar la matriz canónica equivalentede: B=[~:~ ~ ~ ~] 2 -2 1 O 2 1 1 -1 -3 3 Transfonmando: B = [rH H]-[g tLH] 1 1 -1 -3 3 O 2 -2 -4 2 _lb ~ -~ :~ ~]-[~ ~ ~ -6 ~]= C O O -1 -2 O O O 1 2 O 0012000000 Queda para el lector, detenminar las transfonmaciones empleadas. De ésta última, la matriz C y por consiguiente B tienen caracterlstica r= 3. @ Se tiene dos relojes sincronizados a las 12 del medio dla (hora exacta). Si el primero sa adelanta 2' cada hora y el segundo se atrasa 3' cada hora responder: a. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nuevamente la hora correcta los 2 relojes slmu~áneamente? B. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la misma hora? A) 30 dlas, 6 dlas C)7 dlas, 3 dlas E) 9 dlas, 3 dlas RESOLUCIÓN: B) 2 dlas, 9 dlas D) 5 dlas, 6 dlas Con IIJ parte Ua"cIeI ptObIema: Para que dos relojes malogrados que están marcando la hora correcta lo vuelvan a hacer, tiene que pasar un tiempo igual al M.C.M. de los tiempos parciales que debe pasar para volver a marcar la hora exacte. Enlonces hallando el tiempo que debe transcurrir para que el 1 ero reloj, vuelva a marcar la hora correcta. Se adelanta Cada 2mln --1hr 12hr -- x 30 x = 12 hrx1.hf (.6ó mín "\ .z lJ1/iÍ x l 1 N J x=360hr x = 360 h{~4d~~J = 15 dlas .... (1) Después de 15 dlas de adelanto el 1 ero reloj marcará la hora correcta. Hallando el tiempo que debe atrasarse el 2do. reloj para que vuelva a marcar la hora correcta. Se adelanta Cada 3min --1hr 12hr -- x 20 x = 12 hrx1.hf (.60 ",rn "\ ~1J1/iÍ xl 1N J x = 240 hr = 10 dlas ................ (2) Después de 10 dlas de atraso el2do. reloj vuelve a marcar la hora correcta. El M.C.M. es 10y 15es: 30 Entonces deberá pasar 30 dtaa para que los dos relojes marquen la hora correcta slmuMneamente. Con la parte Ub" del problema: Para que dos relojes malogrados que están marcando lo mismo vuelvan a coincidir, lienen que separarse 12 horas. SI el primero se adelanta 2 mln. por hora y el segundo se atrasa 3 mino por hora, entonces la separación lotal por hora es 5 min., Luego: Separación Cada 5mln --1hr 12hr -- x 12 _ 12 hrx1 N (.6ó rn. ÍIIn "\ x - $1J1/iÍ xl 1)1f J x = 144 hr x = 144.hi rl12 4d,l8hSf J = 6 dlas Deberá pasar: 6 dlas r[R ::',,-ta-.--Ac,,¡ ~ La campanada de un reloj indica las horas con igual número de campanadas. Para indicar las n horas tarda 4 segundos. ¿Cuántas horas habrán www.Matematica1.com transcurrido desde el instante en que empleó n segundos para indica~ a, hasta el instante en que utilizó 2n segundos para indicar la hora? A) n2 +n B) n2 -n C) n2 -n 2 4 2 D) n2 +1 n2 +n-1 4 E)--4-- RESOLUCiÓN: En "n" horas, el reloj da "n" campanadas, las cuales transcurren en (n-1) intervalos de tiempo. (n-1) intervalos ---4s 1 intervalo -- x x= 1 joteIvaIox4s (n-1) joteIvaIo x=[n~1Js ....... (1) De(1)afirmamosque un intervalo de tiempo transcurre en r~J s ln-1 En "n" segundos habrán: n n(n-1) 4 = -4- intervalos n-1 n(n-1 ) Los -4- intervalos corresponden a [n(~-1) +~ campanadas. n(n-1) n2 -n+4 -4-+1 = 4 ..... (2) En "2n" segundos habrán: --ª'- = 2n(n-1) = n(n-1) intervalos 4 4 2 n-1 n(n-1) Los -2- intervalos corresponden a [n(~-1) +~ campanadas. n(n-1) 1 = n2 -n+2 (3) 2 + 2 ..... Habrán transcurrido: (3) - (2): n2 -n+2 n2 -n+4 2n2 -2n+4-n'+n-4 --2-- - --4--= 4 = n2 -n horas 4 I Rpta. B I 8 Un reloj empieza a adelantarse a partir de las 8:30 a razón de 8 minutos y medio cada dia y medio, luego de ¿cuánto tiempo marcará la hora correcta nuevamente? A) 103 :3 dlas B) 127 1~ dras e) 103 1 5 7 días D) 120 dias E) 107 ~~ días RESOLUCiÓN: Para que un reloj malogrado que se adelanta o se atrasa vuelva a marcar la hora correcta deberá adelantarse o atrasarse 12 horas. Entonces, por condición del problema y usando regla de tres: Se adelanta Cada 8 21m.ln -- 1 21 dl'a s 12hr -- x 12 hrx1-tdías x= 8 ~ min 3 x= 12ptx1;Zdras x[~J y17 _,,,",n, 1):tf 12x3x60 x = 17 1260 dr 17 as x = 127 1~ días ,------,-----, Luego de: 127 * días marcará la hora correcta. I Rpta. B I 8 ¿A qué hora, inmediatamente después de las 2:00 p.m., el minutero adelanta al horario, tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? A) 2:32 p.m. C)2:35p.m. B)2:28 p.m. D)2:24 p.m. E) 2:40 p.m. RESOLUCiÓN: Graficando la condición del problema: 12 10 9 8 6 Del gráfico podemos establecer: 2a=6M· a=3M· .................. (1) a- [~J~ 2(30·) a-MT· =60' ........... (2) (1) en la ecuación (2) M' 5M· 3M· --- = 60 ~ - = 60 2 2 M = 120 M = 24 mino 5 Han transcurrido desde las 2; 24 minutos. Entonces son las: 2hr24min. I Rpta. DI @ Al preguntarle la hora a un romántico responde: pasan de las 3 sin ser las 4 de esta hermosa tarde. Si hubieran pasado 25 minutos más; faltarán para las 5 horas los mismos minutos que pasaron desde las 3 hace 15 minutos, que es el tiempo que espero a mi amada. ¿Qué hora es? A)3h55min B)3h45min C) 3h 35 min D) 3h 25 min E)3h 15min RESOLUCiÓN: Asumiendo que: # de minutos que pasaron desde las 3 =Mmin. Si hubieran pasado 25 minutos mas tendríamos; (M+25); entonces faltarían para las 5: [120-(M+25)] minutos Desde las 3 hace 15 minutos pasaron (M-15)minutos. Planteando el problema, tenemos: 120-(M+25) = M-15 120-M-25 = M-15 110=2M De donde: M = 55 Desde las 3 pasaron 55 minutos. Son las: 3h 55 mino I Rpta. A I ~ Si el duplo de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruplo de las que faltan para terminar el día. ¿Qué hora es? A)3a.m. B)5p.m. D)4a.m. RESOLUCiÓN: Asumiendo: C)4p.m. E)2p.m. Horas transcurridas del día = x Se deduce que: Faltan transcurrir del día = (24-x) Del enunciado del problema 2x=4(24-x) 2x=96-4x 6x=96 x=16 Como han transcurrido 16 horas del día, son las: 4 p.m. ~ Hallar"B" en el gráfico 12 9 6 A) 120· B) 110· D) 142· RESOLUCiÓN: I Rpta, C I 3 C) 130· E) 135· ObseNaciones en el gráfico: El minutero se encuentra en la marca de las 4, por lo tanto avanzó 20 minutos. En 20 minutos de avance del minutero el horario giró 10· con relación a la última hora marcada. (Demostrado en la parte teórica). Graficando: www.Matematica1.com www com . . M atematica1 12 11, _-+_., 10 9 3 4 Del gráfico: 6=30'(4)+10' 6= 130' I Rpta. C I @ ¿Qué hora indica las agujas del reloj? Si: 3a - 6 = 40' 12 9 '¡"'-~~==-l-3 A) 10: ~ 80 D) 10:11 6 B) 10: 9; RESOLUCiÓN: Por dato: 3a-6 = 40' ........ (1) Del gráfico: a+6 = 360' ....... (2) Sumando (1) Y (2): 4a=400' a=100· ........... (3) 73 C) 10:11 E) 10: 1!0 "a" es el ángulo entre el horario y el minutero. entonces; como el horario está delante del minutero: 11 a=-T M+30H en donde: 100' = - J1. M+30(1 O) 2 100'-300' = - J1. M 2 -200·=-J1. M 2 400 =M 11 de donde: M = 36 1~ min. Son las: 1 Ohr 36 1~ min. I Rpta. C I ~ Un campanario tarda n2 x sag. en tocar tantas campanadas como "n" veces el tiempo que demora entre campanada y campanada, hallar el tiempo en función a "n" que demora entre campanada y campanada si es igual a "x·. ¡;;:¡::¡A)~ nseg. C) n seg. E) n41 sag. n D) ~ 4~~1 seg. RESOLUCiÓN: Graficando: # de campanadas ~1° 2° 3° 4° nx rI ~ÁÁ n2 Áx se g. .-.· -.-." - '-1.¡ Intervalos de Tiempo Sabemos que el # de intervalos de tiempo es uno menos que el # de campanadas. entonces: II=C-ll l=nx-l ...... (l) Luego; hallando el tiempo que dura cada intervalo: nx-l --n2 xseg. l--t de donde: t = n2x ....... (2) nx-l Pero t = x, entonces en (2): n2x x = nx-1 "c(nx-l) = n2"c nx-1 = n2 nx = n2 +1 De donde: n2 +1 x=-n I Rpta. El @ Un reloj indica la hora que es con igual número de campanadas. Para indicar que son las 5 emplea 8s. Pepito se acuesta a una hora en que el reloj emplea 20s en indicarla y se levanta al día siguiente, a una hora en que el reloj emplea lOs para indicarla. ¿Cuántas horas duerme Pepito? A)8h B)6+h D)7h RESOLUCiÓN: 4 intervalos --8s 1 intervalo -- x 1 interValo x$S x AlnterValos Un intervalo transcurre en 2 seg. En 20 segundos tenemos 10 intervalos de tiempo, entonces se ejecutaron 11 campanadas. Pepito se acostó a las 11 p.m. En 10 segundos tenemos 5 intervalos de tiempo, entonces se ejecutaron 6 campanadas. Pepito se levanta a las 6 a.m. De 11 p.m. a 6 a.m., transcurren 7 horas, entonces, Pepito duerme: I 7 horas I I Rpta. DI ® Un reloj da 7 campanadas en 28 segundos. ¿En cuánto tiempo indicará las "n+l" horas, si el reloj marca las horas con igual número de campanadas. A) l~n s B) ~4 (n+l)s C) ~ (n-l)s D) 4(n+l)s E) 4n s 3 RESOLUCiÓN: Graficando: # de campanadas ~1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J t~4J r. . 1_ 28 sag _1 Intervalos de TIempo Tenemos 6 intervalos de tiempo: 6 intervalos --28s 1 intervalo --x 14 1 interValo x 28S x = %lntervá.los 3 14 x= a s ........ (1) Un intervalo transcurre en ~4 seg. En (n+l) horas, tenemos "n" intervalos de tiempo. Entonces los "n" intervalos, transcurrenen: n[ 13 4 J=1 1 3 4 s 1 I Rpta.A I ® La mitad del tiempo que ha pasado desde las 9:00 a.m. es una tercera parte del tiempo que falta para las 7:00p.m. ¿Qué hora es? A)11 a.m. B)1 p.m. C)4p.m. D)2:20p.m. E)10: 20 p.m. RESOLUCiÓN: 3 Sabemos que de 9:00 a.m. a 7:00 p.m. existe una diferencia de 10 hr. Asumiendo que: TIempo transcurrido desde las 9 a.m. =xhoras. Entonces, se deduce: Falta transcurrir hasta las 7 p.m. = (lO-x) horas Por condición del problema: x 1 2 =3 (lO-x) De donde: 3x=2(10-x) 3x=20-2x 5x=20 x=4 Se concluye que desde las 9:00 a.m. han transcunrido 4 horas, entonces son la: 1 p.m. I Rpta. B I ~ ¿Qué hora es?, según el gráfico mostrado: 12 11 1 9+--.o:...J~--+3 4 6 www.Matematica1.com 2 A) 10:38" 2 C) 10:397 7 E) 10:39" 5 B) 10:36" 9 D) 10:387 Si te fijas bien, observaras que el ángulo entre el horario y minutero es 90· [Rotar las manecillas]. Dado que el horario está delante del minutero, entonces: 90.=- 11M +30(10) 2 11M = 300.-90. 2 11M =210. 2 M= 420 11 M =38 1~ mino El minutero avanzó desde las diez, 38 1~ minutos Entonces son las: 1 Ohr 38 1~ mino I Rpta. A I @ Arturo al observar un campanario nota que da 5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo demorará en dar 25 campanadas? A) 50 seg. B)62seg. D)52seg. RESOLUCiÓN: Graficando: C)60 seg. E) 65 seg. # de campanadas ~1° 2° 3° 4° 5° r.[.t.].·. [t]s [t]s [t]· /"""""oII. ............... /"""""oII. ~10seg~ Intervalos de Tiempo Se observa que, 4 intervalos de tiempo transcurren en 10 segundos, entonces: 4 intervalos -- 10s 1 intervalo --x x 1 interValo x WS AlnterValos x=t~Jseg. Cada intervalo de tiempo dura t ~ J seg. En 25 campanadas hay 24 intervalosdetiempo. Entonces las 5 campanadas transcurren en: 24 t ~ J = 60 seg. I Rpta. C I @ Un reloj indica las horas tocando tantas campanadas como hora indica y además toca 2 campanadas en las medias horas. ¿Cuántas campanadas charán en 1 día? se escu- A) 204 B)202 D)342 RESOLUCiÓN: C)348 E) 324 Cálculo del # de campanadas en 12 horas de avance: # de total de campanadas en las horas: 1+2+3+ ... +12 12(12+1) = 2 = 78 campanadas # total de campanadas en las mediashoras: ,2+2+2~ .... +12,= 12(2) 12veces = 24 campanadas Total de campanadas en las 12 horas: 78+24 = 102 campanadas En un día se escucha: 102(2) = 204 campanadas. I Rpta. A I @ Un reloj da 8 campanadas en 3 segundos. ¿Cuánto se demora para dar 12 campanadas? 5 3 A)3-¡¡seg. B)3 7 seg. 5 1 C) 47 seg. D) 25 seg. E) N.A. RESOLUCiÓN: Graficando: # de campanadas L 1• 2· 3· 4· [f] [f] [f] ffi [f] [f] [f] r /"""'It, .......................... /"""'It,/"""'It, ............. ,........ 14 3s eg ~I Intervalos de Tiempo Hallando el # de intervalos de tiempo: II=C-11 1=8-1 1=7 ....... (2) Hallando cuanto dura cada intervalo de tiempo: 7 intervalos -- 3s 1 intervalo -- x 1 inteníalo x~ AinterValos x x=37 s ...... (2) En 12 campanadas tenemos 11 intervalos de tiempo: Entonces las 12 campanadas transcurren en: 11t;J=3;=4; I Rpta.cl @ Son más de las seis, sin ser las ocho de esta mañana, y hace diez minutos los minutos que habían transcunrido desde las seis eran iguales a + del tiempo que faltará transcunrir hasta las ocho, dentro de diez minutos. ¿Qué horas es? A) 6:30 a.m. B) 7:20 a.m. C) 5:45 a.m. D)8:10a.m. E)6:20a.m. RESOLUCiÓN: Asumiendo que: # de minutos que pasaron desde las 6 a.m.=Mmin. Hace 10 minutos habían transcurrido desde las6a.m. = (M-10)min. Entre las 6 a.m. y las 8 a.m. hay 120 minutos. Dentro de 10 minutos faltará transcunrirhasta las8 a.m. = [120-(M+10)] Del enunciado: M-10 = + [120-(M+10)] 1 M-10 = 9 [120-M-10)] 1 M-10 = 9 [110-M] 9M-90 = 11 O-M 10M=200 M=20min. Desde las 6 a.m. Han transcunrido 20 minutos. Son las: 6h 20 mino I Rpta. E I @ Una persona al ver la hora, confunde el horario con el minutero y viceversa, y dice: ·Son las 4:42". ¿Qué hora era realmente? A) 8:24 B) 8:22 C) 8:27 D)8:25 RESOLUCiÓN: 5 E)8:23" Graficando la hora supuesta (4:42) 12 2 3 En 42 minutos de avance del minutero, el horario gira 21· con relación a la última hora marcada. Observar que el minutero avanzó 2 divisiones desde las 8; por lo tanto gir612 ·. Entonces: 6 = 12·+3(30)+9· 6=111· ........... (1) Debes darte cuenta que el ángulo 6 entre el minutero y el horario novaría Ahora, graficando la hora correcta 12 3 4 7 6 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Dado que el número adelanta al minutero, entonces: 111· = - J..1... M·+30H" 2 111· = - J..1... M·+30(8·) 2 J..1... M = 240-111 2 J..1... M = 129 2 M =258 tt 5 . M = 23 11 mln. Han transcurrido desde las 8, 23 5 . to 11 mlnU s Entonces son las: 5 . 8hr 23 11 mln. @ Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. ¿En cuántos segundos dará 12 campanades? A)9 8)10 C)11 D)12 E)13 RESOLUCiÓN: Graficando: # de campanadas L 10 2° 3° 4° 18 18 18 18 18 r . .-.-.-.-.-.,.-.,. I~ SS _1 Intervalos de Tiempo Observar que: # Intervalos + 1 I # Campanadas = de tiempo --'-----' En adelante asumimos que # campanadas = C # de Intervalos de tiempo = 1 Entonces: I c=l+ll De los datos del problema en la fórmula: 6=1+1 1=5 .......... (1) Estableciendo una regla de tres: 5 intervalos -- 58 1 intervalo -- x 1 intenfalo xM x = Ai1nterválos x=ls ......... (2) Un intervalo transcurre en 1 seg. En 12 campanadas tenemos 11 intervalos. Entonces las 12 campanadas se suceden en: 11(1)= [ili] Observar que: I T= I.t I Donde: T=Tiempototal en segundos 1= # de intervalos de tiempo t = Tiempo entre campanada y campanada en segundos. I Rpta. C I @ ¿Qué hora marca el reloj de la figura mostrada, sabiendo que 9°. aO = 3,75·? 12 10 9 3 4 6 A)4h37' 8)4h36'35" C)4h37'30" D)4h 38' E)4h 37'16" RESOLUCiÓN: Del gráfico podemos establecer: a+ [~J;' 2(30·) a+ [~J: 60· ........ (1) 9+180· = 6M· ........... (2) Por dato: 9·-a· = 3,75· ............ (3) De la ecuación (1): a = 60· -[ ~ ]'--..... (4) De la ecuación (2): 9·=6M·-180· .......... (5) (4)y (5) en la ecuación (3): 6M·-180·- [60·- ~"]= 3,75· 6M·-180·.eO·+ ~ = 3·+ ~ 2 100 MO 15° 6Mo·240o+ - = 3°+- 2 4 13M = 15· +240 2 4 13M 15+960 = ~ 4" 1 26 M = 975 975 M=- 26 2 M = 37,5 mino Convirtiendo a minutos y segundos: 37,5min = 37m~n+00,5m~n [ 60s J = 37mln+ ,5mln II mln = 37min+30seg. Han transcurrido desde las4; 37 minutos con 30 segundos. Entonces son las: ~----.. 4hr37min 30seg I Rpta. e I @ Una letra es descontada comercialmente y se obtiene un valor actual equivalente a 14/15 del valor nominal ¿Cuál será el descuento comerci~1 que sufrirá olra letra cuyo valor nominal es 5/.75000. Cuyo tiempo de descuento sea un 20% menor y su tasa de descuento sea un 60% mayor? A) 6300 8)6420 C)6320 D) 6400 E) 6800 RESOLUCiÓN: Caso 1: IV.=*=Vbl ~:,~sual 14 ~ v.=V,-De=ffi xVb --+ ~ Reemplazando: V,xtxR =-""- I txR= 20 I 100 15 --> 3 V' ,= 75000; t, =t-20%t= 80%t; R,=R+60% R= 160% R V,xt,xR, 75000x80%txI60%R D'e= 100 = 100 75000x80 x16x20 D'e= lOOxl0xl0x3 :. D'e= 6400 I Rpta. D I @ Un banco descuenta a la tasa del 8%, 2 letras pagaderas uno a los 3 meses la otra a los 5 meses. Al mismo tiempo cobra 2,5% de comisión sobre el valor nominal de cada letra. El portador de las lelras recibe SI. 59725. Sabiendo que la suma de los valores nominales de las lelras es SI. 63000. Hallar el menor de dichos valores nominales. A) 12000 8)27000 D)30000 RESOLUCiÓN: C)3OOO0 E) 32000 V,,+V'2=630OO ..... (1) V"+V",, = 59725 ..... (Il) V.,+V"-De,-2,5%V,, ..... (a) V .. +v""-D,,,,-2,5%V'2 ..... (~) (a)+(~): V .,+V '2= V ,,+V '2-(De,+D.,)- 2,5% (V'1+V,J Reemplazando (1) y (Il): 59725 = 63OOO-(De1+D.,)- - 2,5% x63000 De1 + D",,= 1700; t, = 3 meses; b=5meses;R=8% Reemplazando: V'1x3x8 V"" x5x8 ---'''--- + = 1700 1200 1200 1700 www.Matematica1.com 3V,,+5V'2= 255000} (1) por3: 3V,,+3V'2= 189000 2V'2=66000 V'2=33000 j :. V,,=30000 I Rpta. C I ~ El vencimienlo común de 3 letras de idénticos valores nominales es de 50 dias. Si los vencimientos de dichas lelras están representadas por los factoriales de tres números conseculivos. Calcular el mayor de los vencimientos. A)24dias B) 120dias C)840dias O) 150dias E) 145dias RESOLUCION: rv.lRrv.l.1 >Yo 1::" ~~~ 50 ~I~: lelra única V, x(l-l )!+V ,xl!+V ,x(l+l )! 50 Vn+Vn+Vn (1-1 )!+I!+(I+l )! 50 - 3 (1-1 )!+I(I-l )!+(I+l )xlx(l-l)! = 150 (t-l)! [1 +1+12+1] = 150 (l-l)![12+2r+l]= 150 (l-l)!x(l+l)2= 150 (1-1 )!x(l+l)2 = 6x52 T =r J"T Idenlificando factores: 1 = 4 Nos piden: (I+l)! = (4+1)! = 5! = 1 x2x3x4x5 (l+l)!=120dias 1 Rpta.B I @ El Sr. López compra un STANO en mesa redonda en $ 20000, si dió $11590 de cuota inicial y sefirrnaron 3 lelras bimeslrales (de igual valor las tres). Si la tasa de descuenlo es 10%. ¿Cuál es el valorescrilo en cadalelra? A) $ 2900 B)$1500 0)$2910 RESOLUCION: C)$1920 E) $ 2930 p. costo = $ 20000 } Saldo = $ 8410 Cuota inicial = $ 11590 Saldo=V.,+V.2+V.,=~ V. V,x2xl0 V.,=V,+Oc,=V,- 1200 V., = v,--ffi- ..... (1) V,x4xl0 V.2= v,+o .. = V,- 1200 V· 4V, (TI) 2= V'-m ..... V,x6xl0 V.,= V'+Oca = V,- 1200 V = V _ 6V, ..... (TII) 83 n 120 (1)+(II)+(m): (2+4+6)xV, ~V.=3V,- 120 12xV, ~V. = 3V'-""""i20 V, 29xV, _ 10 ~V. = 3V,-W ="""""10 - 84 :.V,=$2900 1 Rpta.A I @ Los valores nominales de las letras M y N eslán en la relación de 5 a 9, ambas se descuentan al 25%. La primera por 2 meses y 24 dlas y la segunda por 4 meses. Si el descuento de la segunda lelra ha sido de SI. 2520. Calcular cuál fue el descuenlode la primera lelra. A) SI. 630 B)S/.680 C)S/.670 O) SI. 635 E) SI. 620 RESOLUCION: I ~~ = ~ I IM=2 meses 24 dlas = 54dlas IN=4meses R=25%; ON = 2520; OM=?? VNx4x25 1200 =2520 --> I ON = 30240 I VN 12 VM= ~XVN=~x30240 = 16800 9 9 VMxlMxR OM = 36000 ; 1M : dlas = OM = 16800x54x25 = 630 36000 ;:1 R=p--:ta-.--=A I @ Pilar que debe una suma de $ 2400 pagables denlro de 8 meses se libera pagando $ 676 al contado y suscribiendo 2 pagarés, el primero de $ 864 pagable en 5 meses y el airo pagable en un ano. ¿Calcular el valor nominal de esle úllimo pagaré? (tasa del descuenlo 5% comercial) A) $ 820 B) $ 860 C) $ 875 0)$840 E) $ 835 RESOLUCION: ~=676+~JV~ ~ ~~ I V.I,)= 676+V.,+v.2 1 R = 5% 2400x8x5 V·I,) = 2400- 1200 - 2320 V., +V.2 =2320 -676 = 1644 864x5x5 V., = 864- 1200 = 846 V,x12x5 V .. = 798 = V,- 1200 __ V, _19V, =798 --> V,- 20 - 20 :. V,= 840 1. Rpta. D I @ El valor nominal de una letra en los 3 ~ del valor nominal de otra. Se han descontado al 9% por 2 meses y 24 dias la primera y por 2 meses y 12 dlas la segunda, el descuenlo de la segunda lelra ha sido SI. 810. ¿Cuál ha sido el descuenlo de la primera lelra? A)3120 0)3150 B)1850 C)3158 E)3110 RESOLUCION: ~ _ _ 1 V" 10 V,,=3-3V'2--> =-3 .... (1) V'2 V,,; R=9% ;1, = 84dias V'2; R=9% ;12=72dias; 0 .. =810 V""x7x29 O .. = 810 = 36000 --> I V'2 = 45000 I Oe (1): V, , =.l3Q x 45000 = 150000 Oc, V" xl,xR 150000x84x9 36000 = 36000 :. Oc, = 45000 1 Rpta. D I @ Tres lelras han sufrido el mismo descuenlro leniendo como valores nominales SI. 8000, SI. 10000 Y 12000; siendo sus tasas de descuenlo: 5%, 6% Y 2,5% respeclivamenle. Si los tiempos de descuenlo de las 3 lelras suman 27 meses. Calcular la suma de los valores actuales. A)28100 B)27820 0)29350 RESOLUCION: [i5J% ® Oalos: ~ LiJ C)29200 E)29100 12000 2,5% ® • 1,+t.+h=27 ........ (a) • Oc, = 0 .. = 0ca= O ........ (P) 8000xl,x5 10000xbx6 _ 120ooxl",(2,5) 1200 = 1200 - 1200 Simplificando: 41,= 612= 3h MCM (4, 6, 3) = 12 41, 612 31, -->"""12="""12="""12 1, _ 12 _.h_ 1,+12+h =~=3 "3-2- 4 - 3+2+4 9 11, = 9m I 112= 6m I ~I1 -,=-1-2m-'1 Nos piden: ~ V. V.,+V .. +V., = (V,,+V'2+V,,}-(0+0+0) ~ V.= (8000+10000+12000)-30 = 8000x9x5 300 O 1200 • '. ~ V. = 30000-3x300 I Rpta. E I = 29100 . . @ Una empresa que debe 41elras de SI. 250, SI. 1200, 7200 Y SI. 6000 pagaderos denlro de 8; 6; 5 Y 3 meses, propone a una financiera cancelar la www.Matematica1.com www com . . M atematica1 deuda con 2 pagos; uno de SI. 9000 denlro de 2 meses y el olro de SI. 12000 dentro de un cierto tiempo. ¿Cuántos dlas pasarán para efectuar el último pago si se dispone del descuento comercial a15% anual? A) 1024 B)1023 C)1103 0)1026 E) 1020 RESOLUCION: Por cambio de lelras 5250x8x5 V.,=V,,-O, = 5250- 1200 5075 1200x6x5 V.,=V,,-O,= 1200- 1200 1170 V =V - O = 7200 - 7200x5x5 7050 83 "3 3 1200 V = V - O = 6000 - 6000x3x5 5925 .. '. 4 1200 ~V.= 19220 9000x2x5 V'II)= V'llr 0(1) = 9000 - 1200 6925 l:V. = 19220 = Vall)+Valll) Valll) = 10295 = V'III)-Olll) 10295 = 12000 - 0(11) 12000xlx5 • 0(11) = 1705 = 36000 ; t : dlas :.t=1023 I Rpta.sl @ Si se descuenta matemáticamente una letra. Su valor actual es 80% del valor nominal. Si se descontara comercialmente. ¿Qué porcentaje del valor nominal seria el valor actual? A) 72% B) 60% C) 60% 0)75% E) 65% RESOLUCION: Caso 1: I VaR=60%V, I V'R=V,-OR=60%Vn ~OR=20%Vn Sabemos: O - VnxlxR t y R en las mis- R - 100+rxR mas unidades. Reemplazando: 20% V = VnxtxR o n 100+rxR 1 txR = 4 100+rxR Por proporciones: -+ _1_= IxR 5-1 100+rxR-IxR _1 = txR ~ 1 txR = 251 4 100· . Caso 1/: IVac=X%Vnl O = V,xtxR = V,x25 = 25% V 'IOO+rxR 100 o, V8c=Vn-Dc=x% Vn V,-25% V,=x% V, 75%V,=x%V, :. x=75 I Rpta. DI @ Si se hubiera hecho efectiva una leIra, hace 9 meses, cuando faltaba 2 anos para su vencimiento, se hubiera recibido el 90% de su valor. Si se hace efactiva hoy se recibirla 5/.9375. ¿Cuánto se recibirla dentro de 6 meses? A) 9525 B) 9370 0)9620 RESOLUCION: C)9560 E) 9625 9 mesas 6 meses 9 meses Hace 9 Actual Vencimiento m .... Caso 1: Va1 = 90% Vn~ Va1 = Vn - 01 ~V,=10%V, Reemplazando: V,x2xR = 100V, 1 R=51 lOO 100 ~ Caso 1/: HOY (FALTAN 15 meses) V,x15x5 V, V.,=V,-O,;V,= 1200 16 Oato: V, 15V, V.,=9375=V'-16=16 ~ ~ Iv,= 100001 Caso 11/: OENTRO OE 6 MESES (FALTAN 9 meses) Va3=?;Va3=Vn-D3 O - 10000 x9x5 375 3 - 1200 Va3 = 10000 - 375 :. V" = 9625 I Rpta. E I @ Los 2/3 de un capital se impone al 6% anual, los 3/4 del resto al 1,5% bimestral y el resto al 1 % mensual. Si al cabo de 2 afios y 1 mes el monto fue 5525 soles. ¿Cuál es el capital original? A) 4000 B)4500 0)5000 RESOLUCION: C)4600 E)5100 • cJ2C +-º-J= C- IIC =~ l3 4 12 12 • t=2 años y 1 mes=25meses R,=1,5%bimestral= ! % mensual Monlo = M = M,+M,+M3 = 5525 C+r, +1,+1,= 5525 [2~}25X6 [;J X25x6xt!J C+ + + 1200 lOO [%}25XI + lOO 5525 C+~+ 3C +~=5525 12 64 46 (192+16+9+4)C _ 221C _ 2 192 -192- 555 :. C = 4600 I Rpta. C 1 @ Se tiene dos capitales donde el primero es el doble del segundo. Si se sabe que el monlo producido por el primer capital en 10 años y el monto producido por el segundo en 12 años y 6 meses, están en la relación de 16 a 9; habiéndose somelido a la misma tasa de interés anual. Halle esta tasa. A) 10% B)25% C) 15% 0)20% E) 30% RESOLUCION: C,=2C,; R%anual M,;t=IOaños } M, 16 M,',I =12afiosy -M, =9- .... (a) 6 meses En (a): C,+I, 16 C,+I, =9 C C,xIOxR 1+ lOO C C,x(12,5)xR ,+ lOO = C, (IOO+IOR) C, (1 00+(12,5)R) (2C, )xl Ox(10+R) C,x(12,5)(6+R) 5(10+R) 2; x(6xR) = = 16 9 16 = 9 4 = 9 10+R lO 6+R =9 9O+9R = 80+IOR :. R = 10 I Rpta.A 1 @ Un capital de SI. 55900 se divide en 3 partes los cuales son impueslo al 30%,45% Y 25% Y resulta que producen un mismo inlerés anual. Calcular la parte impuesta al 25%. A) 5/.24320 B) 5/.23400 C) SI. 23600 S) 5/.23100 E) SI. 23520 RESOLUCION: www.Matematica1.com R1=30% R2=45% Rs=25% En1 año: 1,=1,=1, 30%C,=45%C,=25%C, Simplificando: 6C,=9C,=5C, MCM (6, 9, 5) = 90 6C, 9C, 5C, 90=90=90 c, c, c, 15=ro=18 Dato: .... (a) C,+C,+C,=C=55900 En (a) propiedad de serie de razones geométricas: C, C, C, C, +C,+C, 15=10=18= 15+10+18 Entonces: = 55900 = 1300 43 C, = 19500; C,= 13000; I Rpta. B I C,=23400 . . @§) Tres vendedores de automóviles han recibido como gratificación por navidad una suma total de 20000 dólares los cuales son depositados al 8%, 6% Y 4% respectivamente. Al cabo de un año, los intereses ascienden a 1160 dólares en total. Si la gratificación del segundo es tres veces más que la del primero. ¿Cuánto recibió el tercero por concepto de intereses al cabo de ese año? A) $ 250 8)$190 C)$540 0)$200 E)$240 RESOLUCION: C,+C,+C3=20000 ....... (a) Se depositan al 8%; 6%y4% En 1 año producen: 1, +1,+1,= 1160 8% C, + 6% C,+ 4% C, = 1160 4%(C,+C,+C,)+4%C,+2%C,= 1160 4%(20000)+2%(2C, +C,) = 1160 '-------'-y---- 800+ 2C, +C, = 1160 50 2C,+C, = 360 50 12C,+C,=18000 1 .......... (~) Dato: C,-C, =3C,~C,=4C, En (~): 2C,+4C,=18000 { C'=3000 ~ C,=12000 En (a): 15000+C,=20000 C,=5000 Nos piden: 1,=4%(5000)=200 I Rpta. DI @ Una persona coloca hoy una suma de SI. 3528 a la tasa de 3%; 36 d ias antes de ella habla colocado una suma de SI. 2160 a la tasa del 3,5% ¿En cuántos dlas estas sumas habrán producido intereses iguales? A)80 8)70 C)98 0)90 E)46 RESOLUCION: 1,,_--__ R,=3,5% Dato: 3528.x.3 = 2160.(36+x).(3,5) -J6OOtr -J6OOtr 7x=5(36+x) x=90 I Rpta. DI @ Se ha impuesto un capital al 20%, al final del primer año se retiran los intereses y una parte del capital igual a los intereses. Lo mismo se hace al final del segundo año, quedando entonces el capital disminuido en S/.18000. Calcular el capital. A) 32000 8)40000 C)60000 0)50000 E) 36000 RESOLUCION: Dato: C,=C-20%C=80%C ..... (a) C,= C,-20% C, = 80% C, ..... (M (a) en (~): C,=80%80%C=64%C Dato: C,=C-18000 64%C=C-18000 3~~g~~gggg I Rpta. El @ El 30% de un capital se impone al 3% anual, el 25% al 4% anual y un 35% al 6% anual. ¿A qué porcentaje se deberá imponer el resto para obtener en un año un monto igual al 105% del capital? A) 20% 8)5% C)18% 0)28% E)10% RESOLUCION: R,=4% R,=6% R,=x% t= 1 año; M= 105%C=C+1 11=5%CI r, + 1,+1,+1,= 5% C 3%(30%)+4%(25%C)+6%(35%C)+ +x%(1 O%C) = 5%C Simplificando: 90 100 210 10x 40+x 100 + 100 + 100 + 100 =10= 5 40+x= 50 : . x = 10 [ Rpta. E I @g) Dos capitales han estado colocados durante 2 meses, uno al 3% y el otro al 5% anual obteniendo juntos un interés de SI. 10600. Si el tiempo de imposición hubiera sido 4 meses, el primero al 5% y el segundo al 3% los intereses serian SI. 20400. ¿Cuáles son los capitales? Dar como respuesta su diferencia. A) 130000 8)125000 C)120000 O) 140000 E) 130000 RESOLUCION: C,:t=2meses; R'=3%}1 +1 = 10600 C,:t=2meses; R,=5% ' , C,x2x3 1200 + C,x2x5 1200 10600 C, +5C, = 636000 .......... (a) e,: t =4 meses; R', = 5%11' +1' =20400 e,: t = 4 meses; R', = 3%f' , C, x4x5 e, x4x3 1200 + 1200 20400 5C, +3C, = 612000 ........ (M (a) - (~): 2C, - 2C, = 240000 : . C,- c, = 120000 I Rpta. el 'ÍÍ41' Calcular la tasa anual, de una capita~ lización anual que sea equivalente al 10% trimestral de una capitalización trimestral. A) 29% 8)40% 0)46,41% RESOLUCION: Gaso/: R = 10% trimestral Capitalización trimestral 11 año =4 trimestres 1 1 eFINAL=e(1+R%)'1 C= C(1+10%) =C(11/10)4 C)45% E)48% = 146,41%C ....... (a) Gasoil: R=x%anual;t=1 año CFINAL =C(1+x%)'= C(1+x%) ...... (~) (a) = (p) ,C(1+x%) ='c(146,41%) 1+x%=1+46,41% _._ x%=46,41% I Rpta. D I ® Una persona vende su auto y el dinero lo prestó por un año y 9 meses al 1,25% trimestral y los intereses producidos los reparte en sus tres hijas. A una de ellas le dio los 3/7 a la otra los 4/11 ya la otra SI. 640. ¿En cuánto vendió el auto? A) 35000 8)36000 0)32500 RESOLUCION: C)38000 E) 35800 Capital = Pventadelcarro = © t=1 añoy9 meses =21 meses www.Matematica1.com www com . . M atematica1 R = 1,25% trimesbal = 4(1 ,25)% anual = 5% 1= CxtxR 1200 ~ , v ~I 77 Cx21x5 ........ (a) 1200 ~ 9 , :. ~~ =640~11=30801 En (a): 1=3080 Cx21x5 1200 :. C = SI. 35200 I Rpta. D I ® Los 3/4 de un capital es colocado al 24% semestral durante 3 meses y el resto es capitalizado anualmente a una tasa del 10% durante dos afios obteniéndose un interés de 1140. Calcular el capital. A) 6000 B)7000 0)9000 RESOLUCION: R, = 24% semestral t,= 3 meses (t,) C)8000 E) 8500 R,= 10% anual t,=2años (1,) I - C,xt,xR, ,- 100 R, = 24% semestral = 4% mensual I _ (3C/4) x3x4 ,- 100 ~ 11, = 19~ I Interés compuesto: R= 10% 1;' = 10%[~J = ~ } 1;+1 2 = 21C 1" = 10%r11CI= llC 400 , [40) 400 Dato: IroTAL = 1140 57C = 1140 400 :. C = 8000 I Rpta. el Q Hace 3 años, José le prestó a Juan, cierta cantidad de dinero al 10% de interés compuesto, capitalizable anualmente. Para obtener una ganancia, Juan el mismo dla que recibió el dinero lo depositó en una financiera que le pagaba el 5% trimestral. Si hoy, al devolver el dinero Juan ha obtenido de ganancia 26900 soles. Determinar la ganancia de José. A) SI. 33200 C)S/.38000 E) SI. 33100 RESOLUCION: Para José: B)S/.35000 0)5/.39000 1 año 1 año 1 año C, = (110%)' C =t~~J~ =,133,~%C, Cantidad de dinero que racibe al final José Ganancia = I = 33,1 % C = ?? Para Juan: C ; R, = 5% trimestral = 20% anual t=años Cx3x20 IJ,., - 100 = 60% C Dato: I J,., - IJ'" = 26900 60% - 33, 1 %C = 26900 26,9%C = 26900 ~ I C=26900 I Nos piden: IJ ... = 33,1 %(1 00000) IJ ... = 33100 I:'-R-,,-ta-.-E---I 8 Un capital de SI. 66000 fue impuesto a interés simple por cierto número de años, meses y dlas. Por los años se cobró el 70% anual y por los meses el 48% anual y por los dlas el 27% anual. Determinar la utilidad producida por el capital de 5/.66000 sabiendo que si se hubiera impuesto todo el tiempo al 60% hubiera producido SI. 25300 más de interés que si se hubiera impuesto todo el tiempo al 30% anual. A) 55000 B) 53200 C) 54600 0)52800 E)54615 RESOLUCION: R,=60% t,=(!)años ..... I - 66000xtx60 ,- 100 1, = 39600 t Dato: R,=30% t,=(!) años ..... 66000xtx60 1, 100 1, = 19800 t 1,-12=25300 396001 - 198001 = 25300 198001 = 26900 253 C23l t= 198 ~ LJIJ t = ~~ años = 1 año, 3 meses y 10 dlas CALCULOSo 23~ 5 1 1 5 8 años = 1 5 0 x12 =@fmeses f mes = 10 días Ahora bien, también se cumple: • C=S/.66000}1' = 66000xlx70 t= 1 año ' 100 R=70% = 46200 • C = SI. 66000} 66000x3x4 t= 3 meses 1:'= R=48%anual 100 = 4% mensual = 7920 t = 3 meses l' _ 66000x(I/36)x27 1 ,- • C=S/.66000 } R= 10dlas=-año 100 R= 27% 36 = 495 Nos piden la utilidad: l' ,+1',+1',= 54615 @Y Dora impone su dinero al 20% anual de interés simple durante 5 años. Determinar su monto final sabiendo que si hubiese impuesto su capital inicial al 20% anual de interés compuesto el interés recibido en el tercer año habrla sido 288 soles. RESOLUCION: Por Interés Compuesto: © ,.1-,-=-2.0.%..,C.. ,1.,-=-2-0..%..C,.,. ,.1-,=--5.1...2.8,.8. ,i 1 año 1 año 1 año C,:R'=50%} CD años C2:R2=20% Dato: 1M, = 51~ C,+I, =-ª- M2 4 C2+12 4 Reemplazando valores: C,xtx50 C, + 100 rc; (100+501) 5 C C2 xtx20 =(~ (100+201) ="4 2+ 100 Reemplazando: 4 5(2+t) 5 -x--=- 5 2(5+1) 4 16+8t = 25+5t 3t=9años :. t=3 2+t 5 5+t =8 I Rpta. B I @> Un capital es depositado durante un año al interés simple y a una determinada tasa de interés. Si la tasa hubiera sido mayor en un 50% entonces el monto obtenido habría sido 30% mayor. ¿Hallar la tasa a la cual se depositó el capital? A) 50% B) 100% 0)200% RESOLUCION: I M=C+II C)150% E) 140% En 1 año; R% (Porcentaje anual) www.Matematica1.com Casal: M = C+R%.C = C(1+R%) ...... (a) Caso 1/: R, = C+R%+50%(R%) = [150%R]% R, =[.yJ% ; M, = M+30%M M, = 130%M ............. (P) M, = C+I, = C+[3:J %C = C [1+ 3: % J ...... (a) (a) y (a) en (Il): C [1+ 3: % J= :~ xC(I+R%) 10 [1+ 3RJ = 13 [1+ ~J 200 100 10+ 15R = 13+ 13R 100 100 ;~ = 3 : . R = 150 r¡ R"::"p-ta-• ...,c'"'l @!> Se presta el capital de SI. 2100 al 10% de inlerés mensual sobre el sal· do deudor de cada mes. El primer y el segundo mes no se amortiza na· da, el lercer y cuarto mes se amorti· za una canlidad igual a "M" soles. ¿ Cuánlo debe ser "M" para que la deuda se cancele al cuarto mes? A) 1537,31 B)1464.1 C)1355.10 0)1437,31 E) 1155 RESOLUCION: R = 10% mensual 1, 12 la l. ,.--.... ,.--.... --...... ---... 1 mes 1 mes 1 mes 1 mes 1, = 10% (2100)= 210 12= 10% (2310)= 231 la= 10% (2541)= 254,1 1.= 10% (2795,10- M) Al final--> M = 110%(2795 - M) IM=C+II M = 110%(2795.10 -M) 11 M= 1i)(2795,10-M) 10M= 11[2795,10]-IIM 21 M = 30746,1 r-=:-----:,", M= 1464,1 I Rpta. B I 8 A qué tasa debo imponer mi dinero sabiendo que lengo S/.1200 y denlro de 8 meses debo comprar un lelevisor que actualmenle cuesta SI. 1400 Y que al cabo de dicho liempo su precio aumentará en un 15%. A) 50,25% B)29% C)51% 0)51.25% E) 52% t:J ,:~ Luego de 8 meses: Precio = 115% (1400) 1 Precio = SI. 1610 1 1200 R% Monlo=1610=C+l 1610 = C+ CxRx8 1200 1610 = 1200+ 1200xRx8 1200 8R=410 :. R=51,25 ¡ Rpta. DI @ Una persona impone su capital en dos negocios de los cuales uno reporta el 6% y el olro el 12%. Ella relira de la primera una renta anual inferior de 5400 a la que da la segunda. Cuando ella hubiera invertido sus imposiciones habrra oblenido el mismo beneficio en cada una de las empresas. ¿Cuál es el capital total? A)90000 B)80000 C)95000 0)92000 E) 93000 RESOLUCION: Casal: ~ ~ ~ R, = 30% R2=45% Enlaño: 12-1,=5400 12%C2-6%C,=5400 1 2C2-C, = 90000 1 ........ (a) Caso 1/: C'R=6% } C;R=12% I:laño Oato:~_~ 111=121 6%C2=12%C, 1 C2= 2C, 1 ......... (Jl) (a) en (Il): 2(2C,) - C, = 90000 3C,=90000 --> 1 c, = 30000 1 ; Ir:C:-2-=-=-60=-=00""0'1 Nos piden: C,+C2=90000 ¡ Rpta.A I @ Dos hermanos se reparten una herencia de la siguiente manera: la quinta parte O.P. a 2 y 3 los 215 del reslo I.P. a 5y3yel reslo O.P. a 5y7 si a uno de los hermanos le locó SI. 7000 más que al olro. Hallar el monlo de la herencia. A) SI. 27500 C) SI. 53000 E) SI. 35000 RESOLUCION: B)S/.47500 O) SI. 42500 Como de la cantidad total se reparle 1" la 1/5 parte, luego las 215 del resto vamos a asumir que la cantidad total sea 25N. Entonces efectuamos lo siguienle: 1er. reparto: La quinta parle: ~ (251) = 51 (resto 20t) O.P. Parles 51 {_23 xt 2t (1") 3t (2") ~;=5 51 K'=S=t 2do. reparto: .1. . 2 _ (nuevo Los. 5 del resto. "5 (201) - 8t ",.1o=12t) 1P. ~ Q,f. Partes 81 5 { 5.!'15=3 xt 31(1") 3 ~'15=5 xt 51(2") ~;=8 81 K,=-=I 8 3er. reparto: El resto: 121 Q,f. Parles 12t{ 57 ----"xt,---+ 51 (1") 71 (2") ~,=12 K,= 12t =t 12 Al primer hermano le locó: 21+31+51= 101 Y al segundo hermano le corresponde: 3t+51+ 71 = 15t Pero se sabe por dato: 151-101=7000 1=1400 Monto es: 251= 25(1400) I Rpta. E I = SI. 35000 . . @ Se distribuye 3645 directamenle proporcional a lodos los múlliplos de 2 de dos cifras. ¿Cuánto le corresponde alindice 70? RESOLUCION: Según dato: 3645 O.P. 10 12 14 16 70 _xt",--_ x 98 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 ~ = (10+98) 045 = 54'45 I 2 3645 3 K,= 54'45 = 2 Nos piden: x = 70k, :.X=70k';=105 1 Rpta.DI ~ Una persona dispuso que se reparo tiera SI. 666000 entre sus tres hijos A; B Y e en fonna inversa a sus eda· des, A que tenia 30 años recibió SI. 180000 pero renunció a ellos y los repartió entre los otros dos en forma D.P. a sus edades y a B le tocó SI. 8000. Hallar la diferencia entre las edades de B y e. A)5 B)4 e) 1 D)2 E)3 RESOLUCION: A renunció a sus 5/.180000 Y los re· partió entre B y e directamente pro· porcional a sus edades del cual: B obtuvo: SI. 80000 Y e recibió: 5/.180000-5/.80000= =5/.100000 Entonces sus edades son como: Edad de B 80000 4 = Edad de e 100000 5 Luego en el primer reparto se tiene: I.P. ~ D.P. Partes { 30 1/30'60x = 2x -> 180000 666000 4x1/4x'60x= 15}486000 5x1/5x'60x= 12 De donde se cumple: 2x 180000 = 15+12 486000 Resolviendo: x=5, 4x=20; 5x=25 :. La diferencia es: 26-20=5 1 Rpta.A I @ Se reparte cierta cantidad "M" en partes directamente a 382; 572 Y 762. Si al menor le ha tocado 729. Hallar el valor de "M". RESOLUCION: Pero sabemos que al menor le ha tocado: D.P. Partes { 383=23.193= 152-> 152k M 573=32'192=9 -> 9k 762=42'192= 16 -> 16k Pero sabemos que al menor le ha tocado: 9k = 729 k=81 Hallando el total: M = 152k+9k+16k= 177k :. M=177'81 =14337 ':':'1 Rp~ta-.E-I @ Tres hennanos cuyas edades forman una proporción geométrica continua cuya razón es un número entero se reparten una suma de dinero en fonna proporcional a sus edades. Si lo hacen dentro de 4 años cuando la edad del mayor sea el triple de la del menor entonces el mediano recibe SI. 200 más. ¿Qué cantidad se repartieron? A)41000 B)23400 C)23800 D)23200 E) 23500 RESOLUCION: a b Sea la P.GC.: b= c=k Las edades son: a = ck2; b =ckyc Dentro de 4 años serán: ck2+4; ck+4; c+4 Por dato: (Ck2+4)=3(c+4) c(k2-3)=8 De donde: c=8yk=2 Por lo cual las edades son: a=32;b=16yc=8 Dentro de 4 años serán: a'=36; b'=20yc'= 12 Efectuando los repartos: 1")D.P. { 32 N 1:->16:a ~;=56 36 2") D.P. { N 20->20:a 12 ~;=68 Por dato: 20N _ 16N = 200 68 56 :. N = 23800 1 Rpta. e I @ Diariamente se reparten SI. 33000 entre dos obreros A y B en fonna D.P. a sus rendimientos. Un dia A recibe SI. 17600 Y B el resto, al otro día A disminuye su rendimiento en un 25% y B aumenta en un 20%. Hallar la diferencia que recibieron A y B en ese nuevo reparto. A)S/.3400 B)S/.5500 C)S/.8000 D)S/.4500 E) SI. 6400 RESOLUCION: El primerdla: Arecibe: SI. 17600y B recibe: SI. 33000 - SI. 17600 = =5/.15400 Entonces sus rendimientos están en la relación de: rA 17600 6 -=--=- rs 15400 7 Como el rendimiento de A disminuye en 25% ahora será: 8-25% (8) = ! (8) = 6 Y el rendimiento de B aumenta en 20% siendo ahora: 7+20% (7) =~(7) = 42 5 5 Luego al segundo día: D.P. { 6<0>1'5=5 33000 ~ ~'5 = 7 5 5 ~;= 12 K, = 33000 = 2750 12 La diferencia: (7-5)'2750 = 5500 1 Rpta. B I @ Una cantidad N de soles se reparte directamente proporcional a las edades de 3 personas A, B y C correspondiéndole a A SI. 359100, a B SI. 718200. Si los N soles se reparten entre A y B inversamente proporcional a sus edades entonces B recibe SI. 837900 si la suma de sus edades es: a+b+c = 49. Calcular el valor de: a2+b2+c2. A) 490 B)539 D)980 RESOLUCION: C)784 E) 1089 Según el enunciado: a+b+c = 49. D.P. Partes { a 359100 N b c 718200 ........... (a) • x a 359100 1 ~b= 718200 -2 ....... (1) D.P. Partes { ~ 831900 ........ (13) ~ ~ = 837900 (1) b Y 2 ....... ~ Y = 1675800 Entonces el total es: N = y+8377900 N = 1657800+837900 N =2513700 Luego del primer reparto se tiene: 3591 00+718200+x = 2513700 x=1436400 Del reparto directo: a b c 359100 718200 = ~1~43c'64~0~0 S'l"fid abc Imp I lcan o: -1 = 2 = 4 Aplicando propiedad de razones: a _ b _ c _a+b+c_49_ 1-2-4--7--7-7 Se obtiene las edades: ~a=7; b= 14yc=28 :. a2+b2+c2 = 72+142+282 r-=--= = 1029 1 Rpta. E I @ Si A tiene "a" años, B tiene "b" años, C tiene "c" años y D tiene "d" años. Una cantidad 5 soles se reparte I.P. a las edades de A, B, C Y D. Siendo la constante de reparto: 1 1 1 1 r=-+-+-+- además se tiene: a bcd . --ª- = 120000 • --ª- = 90000 ar br • CSr S = 72000 • dr = 45000 Si se reparte S entre A, B Y C directamente proporcional a sus edades. ¿En cuánto excede la parte de A a la parte de C? A)S/.20825O B)S/.8175O C)S/.109000 D) 5/.54500 E) 5/.45000 www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: Al sumar las igualdades miembro a miembro (ley de uniformidad) se tiene: -ª-+ -ª-+ -ª-+ -ª-= 120000+90000 ar br cr dr +72000+45000 ~+[~+~+~+~]= 327000 r a a a a ~ o r= 327000 r S = 327000 Corno deseamos repartir "S" entre A, By C nos interesa conocer en que proporción están a; by c. Luego para ello de los datos despejamos l/a; l/b y l/c. 1 120000r a= S 1 90000r =~~~ b S 1 = --,7-,,2~00,-,,0~r e S Entonces a; b y e serán proporcionalesa: S S S 120000r; 90000r y 72000r Lo cual al cancelar el factor común Sil 1 6000r se tendra: 20; 15 Y 12 Al multiplicar por60 se obtiene: 3; 4 Y 5. Los cuales son proporcionales a las edades a; byc. Efectuando el reparto directo: º'-E. ~ S=327oo0 H ~~ ~,= 12 k 327000 , 12 .-. La diferencia es: (5-3)0 327000 54500 12 ¡ Rpta. DI ~ Se reparte N en 40 partes D.P. a los números consecutivos y la menor re- N sulta ser 79 ¿Qué parte de N será el menor al hacerse el reparto en forma D.P. a los siguienles40 números consecutivos? A) l/53 B) 1/20 D) l/50 RESOLUCiÓN: La menores: º'-E. N x+2 C) 1/45 E) 1/72 {~+1 ! N x+39 k, = 40x+ 780 ~,=40x+780 La menores: x· N =N- 40x+780 79 --x -=2-0 2x+39 79 D.P. N {622 ~ j 99 N k,= 3180 ~, 40(60+99) _ 3180 2 El menor es: 60 t31 N 80] = ~ ¡"R="P'=-ta"""A'. "I @l) Al repartir S/.1470 directamente proporcional a los números: a; 1 y l/a e inversamente proporcional a los números b; 1/2 Y llb (a > b > 2) siendo a y b números enteros se observa que las cantidades obtenidas son enteras. Hallar(a-b). A) 1 B)3 C)5 D)2 E)4 RESOLUCiÓN: º'-E. I.P. ~D.P. { a b a/boab = a2 1 1/2 20ab = 2ab 1470 al bl -bo ab=b2 a ~; = (a+b)2 Como las partes son enteras entonces la k,también debe ser entera: k, = _1_4_70_ = ..-3C0-7_2 c' 02",0.5. . (a+b)2 (a+b)2 Necesariamente: (a+b) es 7 Pero como: a > b > 2 Dedonde:a=4yb=3 :. a-b= 1 ¡ Rpta.A I @ Un padre reparte cierta cantidad de dinero entre sus tres hijos al primero, segundo y tercero en la proporción de 4, 5 Y 8 respectivamente, pero luego decide repartirlo en partes iguales por lo cual el tercero da al segundo "M" soles seguidamente el segundo da al primero "N" soles. Si el reparto se hubiera hecho en forma proporcional al orden de nacimiento ¿Cuánto le habrla correspondido al tercero, además se sabe que (M+N) es 56? A)S/.119 B)S/.714 D)S/.816 RESOLUCiÓN: C)S/.504 E)S/.408 Como el reparto es D.P.los tres hermanos reciben: 4k; 5k Y 8k respectivamente. Siendo el total: 17k Como se reparten en partes iguales cada uno recibe: 1 ~k yloquedael2· al 1· es: M = 8k- 17k =21<. 3 3 Por dato: M+N = 54 ~21<.+ 5k = 54 3 3 k= 14 Siendo el total: 17k= 17(4) =238 Luego realizamos el reparto directo al orden de nacimiento que serían: 1; 2 y3. D.P. 238 {~ k,= 2~8 Al 3· le tocó: 30 2~8 =S/.119 r¡R "-P-ta-A. :-II @ Tres socios han impuesto sumas iguales pero su participación ha tenido tiempos distintos. Si la ganancia ha sido de SI. 74200 pero uno de ellos renuncia a los 25200 soles que le correspond ia entonces el reparto se efectúa entre los otros socios por lo que a uno de ellos le tocó S/.1 0080 más de lo inicial. Hallar qué tiempo estuvo el que tuvo mayor ganancia. A)3 años B) 2 años C) 1 año D) 2,5 años E) 1,5 años RESOLUCiÓN: De los 25200 soles que renuncia a uno de ellos le toca: SI. 10080 más entonces al otro le tocará: 25200-10080 = 15120 más Del cual se plantea que: -100-80= 1-512-0 Al simplificar se obtiene: t2 2 h=2n ~=3~h=3n Slla ganancia total asciende a 74200 Y el 1 ro. renuncia a su herencia entonces dichas ganancias se han dividido entre el2do. y el 3ro. proporcionales a sus respectivos tiempos. g2 g, g2 g, g2 +g, -=-~-=-=-- 2n 3n 2 3 2+3 g, g, 74200 ~-=-=--- 2 3 5 Mayor ganancia es: g, = S/.44520 [ Rpta. E [ ~ "N" socios forman una empresa y al cabo de cierto tiempo se reparten 155 millones de utilidad. Sabiendo que cada socio aporta el doble del anterior y que el primer socio recibió por todo 7 millones incluidos su capital, siendo su utilidad 2,5 veces el capital que aportó. Calcular el número de socios. A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 RESOLUCiÓN: Si tenemos que la utilidad dell ero Socio es 2,5 veces su capital, entonces ell ero socio recibió: utilidad+capital = 2,5C+C = 3,5C www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Según dato 911 er socio recibió 7 millones. =- 3,se = 7000000 C = 5000000 = 2 millones Su respectiva utilidad es: g = 5000000 = 5 millones Como cada socio aporta el doble que el anterior entonces sus ganancias también serán el doble por lo cual les ganancias serán: 5 millones; 10 millones; 20 millones; ... ; (n ganancias) =-5+10+20+ .... = 155 Mne sumandos 1+22+2+ .... +2'-1 = 31 2,,"1-1=31 2,,"1=32 :. ~~~erodesocioses: [ Rpta. B I @ Tres comerciantes invierten la misma cantidad en la compra de mercancfas de distinta clase, vendidas totalmente las mercancfas, cada uno divide el importe Invertido en la compra entre la ganancia que ha obtenido, resultando para el primero 4 de cociente y 3 de resto, para el segundo 7 de cociente y 6 de resto; para el tercero 10 de cociente y 1 de resto por exceso. Hallar el Importe de la compra y dar la suma de sus cifras sabiendo que la suma de estas ganancias esta comprendida entre S/.200 y S/.250. A)10 B)12 C)18 D)14 E)16 RESOLUCiÓN: Según dato: _ C ~ =-C=4g1+3=-g,=C-3 ... (1) 344 _ C~=>C=7g2+6=-92=~ ... (2) 677 _ C~=>C=10g3+1 =>93=C-l ... (3) 1 10 10 - 200 < 9_< 300 ......... (4) Reemplazando (1), (2) Y (3) en (4): 200 < C-3 + C~ + C-l < 300 4 7 10 Multiplicando por 140: 28000 < 35C-l0S+20C-120+14C- 14<42000 28000 < 69C-239 < 42000 28239 < 69 < 42239 409 g2= 18- 3=4200 [ Rpta. e I @!) Después de 3 meses que Alberto habra fundado una emprasa para lo cual depos~ó S1.6OOO se asocia con Beto que aportó 1/5 menos que Alberto; 2 meses más tarde se unió con Carlos que aportó 3/4 de lo que habfan aportado Alberto y Beto. Al cabo de 2 meses liquidaron la empresa y tuvieron que afrontar una pérdida de S/.3870 soles. ¿A cuánto asciende la pérdida de Carlos? A)S/.630 8)S1.960 C)S1.810 D) S/.21 00 E) S/.645 RESOLUCIÓN: Datos: Capital - Alberto: SI. 8000 - Beto: SI. 6000-1/5(6000)= SI.4800 - Carios: 3/4(6000+4800) = S/.81 00 I I 1~1~1~ SI.60000 SI.4800 5/.8100 (Alberto) (Beto) (Carios) - Pérdfda: PA+PB+PC= SI. 3870 ......... (1) Tenemos: PA =-PB- =-P-e 6000-7 480004 81QOo2 PA = PB = Pe = PA+PB+PC ... (2) => 210 96 81 210+96+81 Al reemplazar (1) en (2), tenemos: Pc = 3870 = 10 =- 81 387 PC= SI. 810 ~ Tres socios se reúnen a~ndo las sumas de abOO; baOO y aaOO soles, durante a; by ab meses. Si a los últimos les conresponde SI.288OO y SI.151800 soles ¿Cuánto le COnreBponde al primero en soles? A)S/.13000 B)S/.14100 C)S/.I44oo D)S/.75900 E)S/.142oo RESOLUCiÓN: Aplicando: ganancia = k capital-tiempo =- g, _ 28800 151800 abOO-a - ,b aOO-b aaOO-ab, .... (a) v (1) De: 48 = 23 ba-b a-ab ab-a 23-2 23-2 => -=-- = - -= - - ba-b 48-2 32-3 De donde Igualando factores: a=2yb=3 Reemplazando en (a): 91 28800 151800 =- 2300-2 3200-3 = 2200-23 151800 Luego: g, = 11 :. g, = 13800 ~ Dos hermanos forman una companfa con medfo millón de soles cada uno, a los 6 meses el mayor incrementa su capital en un 20% y el menor retire 91 25% de su capital, si 4 meses más tarde se repartileron una ganancia de S/.132OOO soles. Determinar le diferencia de las ganancias entre los dos. A)S/.24oo B)S/.110oo C)S/.10000 D) 5/.9000 E) 5/.8000 RESOLUCiÓN: Datos: g, +g2= 5/.132000 CI +C2= 500000 Para e/1 er. hermano: I I 1~1~ 5/.500000 5/.600000 I t 20%(500000) = 100000 más 91 g, 50000006+60000004 - 5400000 - k ... (1) Para el 2do. hermano: I I l~l~ 5/.500000 5/.625000 I t +25%(500000) = 125000 más 92 g2 50000006+62500004 - 5600000 - k ... (2) De (1) Y (2): .J!..1... = ~ = g, +g2 = 132000 2400 27 28 55 55 91- g2= (28-27)-2400 = 5/.2400 [ Rpta. A I ~ Carlos emprende un negocio con SI. 17000 a los 2 años se asocia con Arturo con S/.21 000 soles y después de 4 años se asoció Miguel aportando 5/. 32000 soles quien estuvo 6 años en el negocio. Si la ganancia fue de 5/.80000 soles ¿Cuánto le comsspende a Carlos? www.Matematica1.com A)S/.28800 C) S/.272000 E)S1.26200 RESOLUCiÓN: B)S/.25600 D)S/.40000 De acuerdo al enunciado: I I 1~1~1~ 8/.17000 8/.21000 8/.32000 (Ca~os) (Arturo) (Miguel) Dato:gA+g.+gM=80000 Luego: gA g. gM 17000'12 21000'10 32000'6 Simplificando: gA g. gM gA+gB+gM 34 = 35 = 32 = 34+35+32 gc = 80800 = 800 32 101 :. gc= 25600 soles I Rpta. B I @ Juan y Carlos forman una empresa, siendo el capital de Juan el doble del capital de Carlos, a los 5 meses de iniciado, Juan disminuye su capital en 217 y 3 meses después Carlos aumenta el suyo en 215. Si el negocio dura un año y 2 meses, al cabo de los cuales las ganancias obtenidas por ellos se diferencian en S/.1130. Calcular la ganancia total obtenida. A) S/.2061 B) S/.6870 C) S/.3435 O) S/.2260 E) S/.3390 RESOLUCiÓN: Asumamos que el capital de Juan y Carlos sean 70C y 35C. Para Juan: 1 afio 2 meses = 14 meses A ( I 1~1~ 70C 50C I t Disminuye en ; (70C) = 20C gJ gJ 70C'5+50C'9 = 800C = k ... (1) Para Carfos: 1 ano 2 meses = 14 meses A ( I 1~1~ 35C 49C I t Disminuye en ! (35C) = 14C gc gc 35C'8+49C'6 574C = k ... (2) gJ gc De (1) y (2): 800C = 574C De donde: ~-~ 400 - 287 gJ+gc g,-gc 687 =113 gJ+gc = 1130 = 10 687 113 :. Ganancia total es: gJ+gc= 6870 I Rpta. B I @ Tres socios A, By C se asocian "A" aporta S/.28000 durante 7 meses, "B" impone S/.4000 más que A por un tiempo de 9 meses y C impone una suma de SI.25000 durante 5 meses. Si "A" ganó S/.552 menos que B. ¿A cuánto asciende la gananciadeC? A) 564 B)782 0)750 RESOLUCiÓN: Datos: Capital Para A: 28000 ParaB: 28000+4000=32000 Para C: 25000 Además: g. -gA=S/.552 gA g. 28000'7 32000'9 Reduciendo: gA g. gc ~-=-=- 196 288 125 C)648 E) 656 tiempo 7 meses 9 meses 5 meses gc 25000'5 Aplicando propiedad se tiene: gc g.-gA 125 = -;2~8°08--o1~96;;- gc 552 ~ 125 =92=6 :, gc= 750 I Rpta. D I @ Dos personas aportan S/.1 00000 y S/.150000 en una compañia, a los 4 meses hay una pérdida de SI. 25000 por lo que el 2do. retira lo que le queda de capital y entra un 3ro. con S/.120000 mientras que el 1 ro. sigue con lo que le queda; 6 meses más tarde se reparten una ganan-cia, si el1 ro. recibe S/.6600. Hallar ¿cuánto le toca aI3ro.? A) S/.9000 B) S/.8800 C)S/.7700 D)S/.7800 E) F.O. RESOLUCiÓN: 1 ') Hasta los 4 primeros meses: P,+P2=S/.2500 Además: pérdida = k capital P, P2 ~ 100000 - 150000 P, P2 P,+P2 ~-=-=-- 2 3 2+3 ~ -"'- = ~ = 25000 = 5000 2 3 5 De donde: p,= 10000yP2= 15000 Como el segundo se retira entonces queda: Capital Primero: 100000-10000 = S/.90000 Tercero: S/.120000 Como 6 meses después se reparten la ganancia entonces se tiene: Capital ganancia Primero: S/.90000 SI. 6600 Tercero: S/.120000 9 Aplicando: ganancia k capital 9 6600 ~ 120000 90000 La ganancia del3ro. es:,--_----, SI. 8800 I Rpta. B I @ Dos socios A y B inician un negocio para "P" meses aportando P millones cada uno pero q meses antes de finalizar A aportó "q" millones. Si la utilidad total es 16 veces la diferencia de las utilidades que reciben los socios. HallarP/q. A) 114 B)3 C)2 0)4 E)1/5 RESOLUCiÓN: Datos: • g,+g2= 16(g,-g,) ........ (a) ParaA: P m!,ses ( '1 r(p-q) ;j,ese"l~ P millones q millones más g, ~ p(p-<¡)+(p+q)q k ....... (1) Para B: P meses A ( I r(p-q) ;j,ese"l~ P millones q millones menos g2 ~ p(p_q)+(p_q)q k ....... (2) g, g2 De (1) Y (2): p2 +q2 = p2 -<¡2 Aplicando propiedad de S.R.GE. g,+g2 g,-g2 16(g,-g,) (g,-g2) --=--~----'~= 2p2 2q2 p2 q2 p2 ~16=q-2 :. p/q=4 I Rpta.DI @ Tres amigos iniciaron un negocio. el primero contribuyó con mercaderia, el segundo con S/.2400 y el tercero con cierto capital. Se sabe que al terminar el negocio el capital total se redujo a S/.5700 de los cuales el primero solo recibió SI.1350 y el tercero S/.2550. Calcular el importe de la mercaderla aproximadamente. A)S/.1456 B)S/.1624 C)S/.2030 D)S/.1912 E)S/.1434 RESOLUCiÓN: Siendo m el valor de la mercaderia te-nemos: Capital Primero: m Segundo: 2400 .............. (a) Tercero: C Como el total se redujo a S/.5700 de los cuales recibieron cada uno: Primero: 1350 Segundo: 2550 Tercero: 5700-(1350+2550)= 1800 Lo que recibe cada uno es en proporción a su capital ya que: pérdida k ~ capital-pérdida = 1-k capital capital Luego se cumple: recibe = cte capital www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Reemplazando (a) y (~) en la relación: recibe = k capital Se tiene: 1350 2400 1800 ~ -m- = 2550 = -C- :. El importe de la mercaderla es: m = S/. 1434 I Rpta. E I @ Tres personas fonnan una empresa imponiendo capitales que estén en progresión aritmética creciente; al inicio del sexto mes cada socio aumenta sus capitales en 8/.200, SI. 120, S/.480 respectivamente, luego de 6 meses mas, al repartirse las ganancias se observa que estos son D.P. a 25, 33 Y 42. Hallar el capital inicial aportado por la tercera persona. A)S/.21600 C)S/.17200 E)S/.23700 RESOLUCiÓN: Según dato: B)S/.40200 D)S/.30200 Capital inicial Capital final Ganancias 1') C-r C-r+200 25 2') C C+120 33 3') C+r C+r+480 42 Como: ~----~ ganancia k capital·tiempo ca~o al 75% y el resto del monto se coloca al 25" ambos por "f meses. Si al final se obtuvo los mismos beneficios en ambas pa~es. Calcular la suma de cifras de "f. A)6 B)3 C)7 D)8 E)4 RESOLUCiÓN: Dado el capital C se tiene: C·30·t Ct Monto: C+ 1200 = C+ 40 1') La mitad del capital [; J lo imal 75% durante "f meses. [f}5.t Ct 1 = 1200 =32 2') El resto del monto se coloca al 25% durante "r' meses. r -º-+ ClJ'25.t l 2 40 (20+t)t r - 1200 40048 Del enunciado tenemos: I=I' Ct C(20+t)t ~- 32 40·48 Al simplificar queda: ~60=20+t t=40 1: Cifras de "f es: :. 4+0=4 I Rpta. El 25 33 ~ = (C-r)12+200'6 C'12+120'6 42 = k (C+r)'12+480'6 Simplificando el denominador: 25 33 42 = @ Un individuo vivia de los intereses que le producia un capital impuesto a15" anual durante 8 anos y al final de cada uno retiraba los intereses para cubrir sus gastos; pero al final del octavo ano tiene que retirar ade- ~ 2C-2r+200 2C+120 2C+2r+480 ........ ('V) Aplicando propiedad de S.P.G.E. 33 25+33+42 ~ 2C+200 6C+800 33 100 99 ~-- ~ = 2+60 3C+800 3C+180 100 = 3C+800 33 1 ~ 3C+800 = 720 ~ C+23700 Al sustituir en ('V): 33 42 47400+120 - 2(23700+r+240) De donde: r = 6500 :. C+r ~ ~~~gg+6500 I Rpta. D I @ Un capital se ha colocado al 30" durante '" meses al termino del cual se retira la mitad del capital para colomás 2000 soles del capital. Hechas las cuentas al empezar el décimo afio, se deduce que el capital primitivo sumado con todos los intereses recibidos, dan en total S/.137650. ¿Cuál es el capital que posee ultimamente? A)24000 B)95000 D)19000 RESOLUCiÓN: C)47500 E) 85000 El interés anual que se retira mensualmente es: C'5'1 C 1=100= 20 C Al final del octavo año se retira 20 más 2000 soles quedando de capital (C-2000) soles el cual en el noveno ano gana el Interés de: ,(C-2000)5'1 C-2000 1= 100 = 20 Como las cuentas se hicieron al empezar el décimo año implica que tenemos que considerar el interés de8añosyel del noveno año. Por dato: • c+i~J+ C-2000 = 137650 l20 20 ~ 29C-2000 137650 20 ,-----.. :. C = 95000 I Rpta. B I @ Para fijar el precio de un a~iculo se aumento su costo en 60% pero al momento de realizar la venta se rebaja en un 20%. Si en lugar de 60% se hubiera aumentado el costo en 80% haciendo el mismo tanto por ciento de descuento se hubiera ganado S/.360 más. Calcular el precio al que se vendio. A) 3320 B)2880 D)223O RESOLUCiÓN: C)4680 E) 2460 Se esta ganando: 28% Pc ........ (1) 20 Pero si aumentamos el costo en 80% tenemos: Se va a ganar. 44% Pc ........ (2) De (1) Y (2) notamos ~ue en el segundo caso se gana: (44 -28' )Pe = 16" Pemás. Por dato: • 16'Pe=360~Pe=2250 128 Pv= 128'Pe= 100 (2250)=2880 I Rpta. B I § Aumentar el X· , y luego rebajaoo el y' del precio de un articulo equivale a no varlarlo. ¿A cuánto equivale en aumento porcentual aumenta~o X· y "X" .Y" luagoY'si se S8be que sy S son números enteros consecutivos. A) 50% B) 25% C) 69' D) 92' E) 68% RESOLUCiÓN: Según dato: • (1 OO-X)"(1OO-Y)% = 100' (1 OO+X)(1 OO-Y) = 10000 lOO(X-Y) =x·y ..... (a) "X" -V- . Como S y S son numeros consativos. De (a) multiplicamos y dividimos por 5. 500t~ - ~}XY~500=XY 500XY XY -=-'-=>5-4=-'- 25 5 5 5 5 Dedonde:X=25yY=20 El aumento que nos piden es: Au = (IOO+X)" (1 OO+Y)"-IOO" Reemplazando los valores de")(" Y "Y' Au= (125)"(120)"-100"= 50" I Rpta.A I @ El X por 80 mas, del X por 90 menos de N, e igual a "N" ¿Cuánto por ciento menos de N es el X" manos de su X" mas? www.Matematica1.com A)10% B)I% D)5% RESOLUCiÓN: C)2% E)II% x 80+x El x por 80 mases: 1+80 =80 Yelxpor90menoses: 1- ;0 = 9~~X Por dato: • (80+x) = (90+x) (N) = N 80 90 (80+x)(90-x) = 7200 = 90' 80 Del cual igualando factores: X = 10 Hallando lo que nos piden: El X" menos de su X" mas es: ellO" menos de su 1 O'" mas, osea: (100-10)"(100+10)" N = 90" xll0% N=99" N :. Es l%menosde N I Rpta. B I @ Para fijar el precio de venta de un aro tlculo se aumenta su costo en un 25% al vender dicho artrculo se reba· ja ab% y luego ab soles pagándose por él 5/.7980; pero si se rebaja ab soles y luego ab% se pagarra $7984 ¿Cuál es el precio de costo? A)S/.8750 B)S/.8250 C)S/.7500 D) 5/.8000 E) 5/.1 000 RESOLUCiÓN: Si el precio de costo es Pe el precio fijadosera: 125"Pe 1 ra. Forma: Se rebaja ab% y luego SI. ab ~ 7980 = (100·ab)%(125% Pe) ·ab ........ (I) 2da. Forma: Se rebaja SI. ab y luego ab% ~ 7984 = (100-ab)" (125" Pe' ab) ........ (2) De(l)despejando 125% Pese tiene: % 1 00(7980+ab) (3) 125 Pe= .... 100·ab De la misma forma al despejar 125" Pe = 100(7984) +ab .... (4) 100-ab Al igualar (3) y (4) se tiene: 100(7984) +ab = 1 00(7980+ab) 100·ab 100-ab +ab = 100' (ab4) (100-ab) Resolviendo se obtiene: ab = 20 El cual reemplazamos en (3) % _ 100(7980+20) 125 Pe- 100.20 ::--:. Pe=S/.8000 I Rpta.D I @ Un comerciante compra arroz y lo vendió perdiendo el 50% y con el dinero compra azúcar y lo vendió ganando el b%, luego con ese dinero compró frijoles que los vendió pero diendo el 50, por último gasto todo en anroz y lo vende ganando el b". Hallar "b" si la última ganancia es igual al 72" de la primera perdida. A)40 B)40 C)50 D)80 E)75 RESOLUCiÓN: Sea el costo del anroz 5/.100 Primero lo vende: perdiendo el 50" Venta = 50"(100) = 50 Pierde 5/.50 Luego al comprar azúcar gana el b% de la venta anterior. Venta = (1 OO+b)" (50) = tl0~+bJ Después al comprar frijoles y venderlo pierde el 50" Venta = 50% tl0~+bJ = tl0~+bJ Finalmente al comparar anroz y venderlos gana el b%. Ganancia: b% Según dato: b" ti O~+b]= 72% (50) b(100+b) = 14400 ~~gg+b)=80'180 I Rpta. DI 8 Si a una cantidad "C" se le aumentó su 20% y a la cantidad total obtenida se le aumenta nuevamente en su 20% y asi sucesivamente K veces obteniéndose en total al final 172,8% C. Hallar K. A)2 B)3 C)4 D)6 E)5 RESOLUCiÓN: En el primer aumento se tiene: 120"C Hasta el segundo aumento tenemos: (120")(120"C) = (120")2C y hasta el tercer aumento tenemos: (120")(120" C)2 = (120")3C Entonces si son K veces se tiene (120")KC = 172,8" (C) r120I"= 1728 l100) 1000 t~~r =t~~r ~-~ :.K=3 I Rpta.B I @§) En el "Cerezo" sirven la jarra de sangria con el 80% de vino y el resto gaseosa, debido a la demanda el dueño del bar desea reducir la cantidad de vino y pensaba: "Puedo reducir el vino por jarra en 5% o agregar en cada jarra un 15% de gaseosa". Al final el dueño ejecuta las dos medidas ahorrando de esta manera 17 mililitros de mezcla por jarra ¿Qué cantidad de vino se servía inicialmente por jarra? A) 0,68 t B) 0,81 t D)I,361 RESOLUCiÓN: C) 170 t E)O,84t La jarra de sangría originalmente contiene: 80% de vino y 20% de gaseosa. Al reducir 5% de vino e incrementar 15" de gaseosa se tendrá: 95"(80") de vino < > 76"vino 115" (20") de gaseosa <> 23" gaseosa Lo cual hace: 99% de mezcla resultando 1 % menos que lo inicial. EntoncesporR.3. S.: PORCENTAJE VOLUMEN Ahonro: Total: 1" 100% 17ml X ~X=1700ml=I,7t :. El vino es: 80" (1,7) t= 1,36 [Rpta. D I 8 Una vendedora compra una cantidad de huevos va al mercado y comienza a vender, cuando ha vendido el 40% de los huevos ganando el 30" se da cuenta que el 31 % de los huevos que compro se habran roto ¿En qué porcentaje deberá aumentar el precio original de los restantes para tener una ganancia del 1 0% del costo? A) 50 B)100 C)80 D)120 E) 350 RESOLUCiÓN: Resolvamos por falsa suposición para lo cual asumimos que el costo total es SI. 100. 1. Vende e140" Costo = 40"(1 00) = 5/.40 gana 30" (5/.40)=5/.12 ......... (1) 2. Del resto que es 60% esta malogrado el 31", es decir que tenemos en ella una perdida de: 31"(5/.100)=5/.31 ......... (2) Considerando (1) Y (2) ya tenemos una pérdida de: 5/.31-5/.12 = 5/.19 Como deseamos ganar ell 0% del total es decir 10%(5/.100) = 5/.10 en los huevos restantes que están sin romper debemos ganar 29 soles pero sabemos que su costo es: 5/.100- (40+31)"100. 29%(100) = 29 soles .'. Deberá incrementarse I Rp C I en un 100% . tao . ® El costo de un artículo producido en los EE.UU. ha aumentado en un 20% yel precio del dólar se ha incrementado en un 25% si antes de los incrementos un comerciante importaba 600 artículos ahora con la misma cantidad de dinero ¿Cuántos articulos importará? A) 600 B)900 D)300 RESOLUCiÓN: Planteando por R.3.C. C)450 E)400 Ir---;I==~\ \ Costo Dólar N" Artículos Inicial: 100% 100% 600 Después: 120% 125% X (1) (1) X = 600' 100. 100 120 125 X = 600.~.~ 6 5 .'. X = 400 artlculos [Rpta. E I 8 Un jugador aposto todo el dinero que tenia ganando el 10%; esta nueva cantidad la aposto perdiendo el 80%; si la cuarta parte de lo que le queda la aposto ganando su 15%. Calcular www.Matematica1.com www com . . M atematica1 cuanto dinero tenia al inicio sabiendo que si deposito el dinero con el cual se retira a una tasa de 7% anual al cabo de 9 meses, obtendrla un beneficiode 119831 ,25. A) 155635 B) 256235 C) 300000 0)6000000 E) 600000 RESOLUCION: Sea C el dinero que tenía inicialmente después de las dos opuestas le va a quedar: (100+10)" (1 00-80)%C = 22C por lo cual apuesta:±(22"C)=5,5"C y gana e115% entonces tiene: ~(55"e) 100 ' Mas el 22" e-5,5" C = 16,5" C que no aposto tiene en total 16,5" (C)+ 115'''' (5,5" C) = 45% (5,5% C). De todo ese capital recibiria un beneficio anual de 7% (415% (5,5%» pero como solo lo deposito 9 meses su verdadero beneficio es: 1 9 2 [7"(415"(5,5"C))] = 119831 ,25 _-_ ees6000000 I Rpta. D I ~ Al fijar el precio de un articulo el costo se duplico al momento de venderlo se hizo dos descuentos sucesivos del 1 0% y 20%; si sus gastos de venta y la ganancia están en la relación de 1 a 4. Hallar en que relación se encuentran la ganancia neta y el preciofijado. A)29a300 B)72a300 e)33a200 0)29a 100 E)29a 180 RESOLUCION: Siendo el costo total 5/.900 se tiene: PF = Pe = 200"Pe Ou = 100" -90" '80" =28" Pv= 72"(200"P)=I44%Pe La ganancia es: 44% Pe: G.=44%Pe Pero según dato: gastos 1 ganancia bruta 4 ~ gastos 44% Pe _1_ ~ gastos = 11" Pe 4 Siendo la ganancia neta: GN=44%Pe-ll%Pe= 33% Pe • GN 33" Pe 33 .. P. = 200" Pe 200 I Rpta. C I @9) Los 2/5 de una mercaderia se vende ganando el 20%, los 4/9 con una pero dida dell 0% que tanto por ciento debe ganarse del resto para que al final haya una ganancia del 5,8" del total de la venta. A)12" 0)18% B)20% RESOLUCION: e)15" E) 10" Siendo el costo total de 5/.900 se tiene: l' Los 2/5 con una ganancia del 20% 2 Costo =5(900) = 360 ganancia: 20% (360) = 5/.72 2' Los 4/9 con una perdida del 1 0% Costo= : (900)=400 perdida: 10"(400) = 5/.40 3' El resto tendrá un costo de: 900-360-400 = 140 Además la ganancia total debe ascandera: 5,8" (900) = ;0 3 0 (900) = 5/.53 Pero en el l' y 2' se tiene una ganancia de: 72-40 = 5/.32 el cual para llegar a 5/.53 faltarla a 5/.21 y esta suma debe ganar de los 140 soles. Debe ganarse: 1~~ xl 00" = 15" I Rpta. C I @ Una piedra pómez es sumergida en agua al sacarla se nota que el peso aumento en 36% si se saca la mitad del agua. ¿En qué porcentaje disminuirá el peso de la piedra pómez? A) 14" B) 15" e) 13,5% 0)13,2" E) 14,2" RESOLUCION: Asumiendo que el peso de la piedra pómez es 100gr al introducirlo en agua su peso aumenta en 36% y su nuevo peso seria: 136%(1 OOgr) = 136 gr si sacamos la mitad del agua que contiene se extrae: 18 136 (36gr) = 18gr :, Disminuye en: 18 136 '100" = 13,2" I Rpta, D I @ Un sastre compra un cierto número de ternos a 5/.240 el par, si los vende con una ganancia neta de SI. 85000 Y los gastos ascendieron al 15% de la ganancia bruta ¿Cuántos ternos compro si en total recibió 700 mil soles? A) 5/.4000 B) 5/.2500 e) 5/.5200 0)5/.1250 E) 5/.5000 ::~~~~~?:;noes: 2~0 = 120 soles Además tenemos los datos: • GN=85000;gastos=15%G. • Pve ... =700000soles Sabemos por aplicación mercantil G.=GN+gastos ~ G.=85000+15%G. Resolviendo: G.= 5/.1 00000 También sabemos porteoría: Pv= Pe+ Ganancia ~ 70000= Pc+ 100000 De donde: Pe= 5/.600000 :, N' ternos = 600000 120 Pe costo de c/u 5000 I Rpta, E I ® Juan desea ir de una escuela "A" a otra "B" distante 120Km. Cuando habla recorrido el 50" de lo que le faltaba recorrer observa que hace "N" km habla recorrido la misma distancia que le faltarla recorrer después de recorrer el 175" de los que ha recorrido realmente. Hallar N. A)35 B)50 e)60 0)40 E)30 RESOLUCION: Cuando había recorrido 50% de los que falta recorrer 120Km r , I I '------.r------ '---------y---Recorrido: 50% e falta recorrer: e ~ 50%e+e= 120Km~e=80Km Observa que hace "N" Km habla recorrido la misma distancia que le faltarla recorrer después de recorrer el 175"de400Km. ,4-0L-N- -,"N,.'K..m. ...1-7-5-"-(4-0-). .f.a.l taria=80-175"(40) ~ I I I I I '-------y---' , v ' 40Km 80Km Por dato: (40-N)= 80-175"(40) 40-N =80-70 r---, :, N=30 [Rpta. C [ 8 Una persona compra 20 objetos "A" y los vendió ganando eI40%; con el importe de la venta compra 60 objetos "B" y los vendió ganando el 15% con el importe de esta venta compra 828 objetos e a precio de 5/.9800 la docena. ¿ Cuánto le costarán los objetosA? B) 5/.21 00 C) 5/.221 O E) 5/.2222 A) 5/.2200 0)5/.2220 RESOLUCION: Del enunciado tenemos: Primero: Costo de 20 objetos A = 20A La ganancia es: 40" (20A) El precio de venta es: 140"(20A) ~ 140" (20A) = 60B ....... (a) Segundo: Costo es: 60B Gana el 15" (60B) El precio de venta 115"(60B) ~ 115"(60B) = 828e ....... (~) Al multiplicar (a) y (p) 140"'115" (20A) = 828e Si los objetos e la docena cuestan: 5/.9800 9800 elu costo: C = """""12 Reemplazando en (M: 115" (60B) = 828' 9800 12 115"'140"(20A) = 828' 9800 12 :. Los objetosAcostarán: SI. 21 00 I Rpta. B I www.Matematica1.com @ La cantidad de 306000 soles se divide en tres partes que son proporcionales a los números a; b y e los cuales al ser colocados bajo las tasas de (a+1 )"; (b+2)" Y (c+3)" en ese orden al cabo de un año producen montos que son como a2; b2 y e2 respectivamente. Hallar la mayor de las partes en que fue divid ida la cantidad inicial. A) 51.103000 C)S/.10100 B)S/.102000 0)5/.14000 E) 5/.132000 RESOLUCiÓN: Por dato: o C,+C2+C.=306000 ............ (1) o-aº--'b---~-c~-- k ............. (2) o~= M2=~ ................... (3) 8 2 b2 c2 De (1): C, = ak; C2 = bk; C. = ck Hallamos los montos: C, 0(a+1)01 C,(101+a) M,=C,+ 100 = 100 ~ M, = ak(101+a) ....... (a) 100 _ C2 0(b+2)01 _ C2(102+b) M2- C2+ 100 - 100 ~ M2 = bk(102+b) ....... (~) 100 _ + C.o(c+3)01 _ C.(103+c) M.-C. 100 - 100 ~ M. = ck(103+c) ....... (r) 100 Reemplazando (a); (~) y (r) en (3): ak(101+a) bk(102+b) ck(103+c) 100a2 100b2 100c2 Al simplificar queda: 101+a 102+b 103+a -a-= -b-= -c- 101 102 103 ~--=--=-- a b e Al invertir tenemos: a b e 100 = """"i01 = 102 Multiplicamos por "k" al numerador para obtener los capitales. ak bk ck 100 = """"i01 = 102 C, C2 C, ~ 100 = """"i01 = 103 Por propiedad de S.R.GE. Reemplazamos el dato (1) C, C2 C. C, +C2+C. 100 = ~= 103 = 306 Reemplazamos el dato (1) C, C2 C, 306000 100 = """"i01 = 103 = 306 :. C,= 103000 I Rpta.A I @l) Cinco años después de realizado un préstamo se tenía que pagar incluyendo intereses 5/.9000 como aun no se poclla pagar se pide un año más de plazo, el cual es concedido pero con un recargo del 10% en la tasa anterior al cabo del año se pago 5/.1 0440. ¿Cuál era la tasa de interés inicial? Sabiendo que el interés cobrado es simple en todo instante aplicado al capital inicial? A) 20" B) 25" C) 27" 0)30" E) 35" RESOLUCiÓN: Siendo el capital C Yla tasa inicial: r" Se cumple por enunciado: c· r· 5 C+ 100 9000 ............ (1) C(r+10)01 100 10440-9000 ..... (2) De (1): C(I~g;5r) = 9000 De (2): C(11g;r) = 1440 Dividiendo miembro a miembro: 100+5r = 900 10+r 144 Reduciendo queda: 20+r 25 10+r =4 80+4r = 50+5r I Rpta. D I :. r"=30" . . @ Una persona deposita una suma de dinero en un banco, el cual se capitaliza mensualmente al 5" sin embargo luego procede a descontar el 2" del monto mensual por gastos de operación. A los 2 meses la persona decide retirar su monto obtenido y presta la mitad a otra persona esperando duplicar la suma prestada en 1 año, sin embargo se le devuelve el capital prestado y una suma equivalente a lo que corresponde como ganancia 6 meses después si esta suma entregada equivale a 217 soles. ¿A cuánto equivale el capital depositado inicialmente? A) 1134010" C)2321 010' E) 226801 O" RESOLUCiÓN: B) 1024010" 0)4536010' Asumamos que la suma depositada en el banco sea e, como en 1 mes gana e15%, el monto sería: 105 C 100 Pero si descontamos el 2% del montotendrlamos: 98 105 100 o 100 C Para el segundo mes se procede de la misma lonma y se tendrá: 98 105198 105 J 49 21 49 21 100 0 100 L100 0 100C = 50 o 20 o 50 o 20 C Hagamos que dicha expresión sea 2C'. Por dato: C'· r· 1 o C'+ 100 2C' ............ (1) C'-r-S °C'+ 1200 21' ............ (2) De (1): r" = 100" C' o 100 o 6 En (2): C'+ 1200 217 -ª-C'= 21' ~ C' =2.021 ' 2 3 Pero se sabe que: ~ 01!. o 49 01!. oC = 2C' 50 20 50 20 3207" 2 :::::> C=2---37 -77 1000000 3 .-. C = 2268000000 I Rpta. E I @ Un prestamista da un capital durante 4 años, a una tasa anual del 5", vencido el plazo el deudor paga sólo el 80" de los intereses e indica ·prestame el capital y los intereses que te debo por un año más al cabo de los cuales cancelamos la deuda". El prestamista accede y vencido el plazo recibe una suma de 5/.3276. ¿Cuánto ganó el prestamista al final de todo? A) 756 B)276 0)576 RESOLUCiÓN: C)480 E) 520 Si el capital es "C' los intereses serian: C 0 4 0 5 100 = C 5 Cancela el 80" del interés: 80"[ ~ J Falta cancelar: 20" [~J = 4"C Luego el nuevo préstamo es: C+4"C= 104"C Segun dato: 104 C"+ (104"1~)0° 5 01 3276 De donde: C = 3000 Corno inicialmente habla ganado 80"[ ~ J = ~~ [30~OJ = 480 En total pago: 3276+480 = 3756 .-. En total ganó: 3756 - 3000 = 756 I Rpta. A I ~ Se tiene un capital "C" del cual1/n se impone al 1 ", los 2/n al 2"; los 3/n al 3" y asl sucesivamente. Si luego de un año produce un interés total del 59 del capital. ¿Calcular en cuántas partes se dividió el capital como mlnimo yelvalorden? A) 1948y44 B)3916y44 E) 1958y88 RESOLUCiÓN: B) 2048 Y 66 D)2916y88 www.Matematica1.com www com . . M atematica1 -1 + -2 +-3 +. .... + -x =1 n n n n ~ (x)(x+1) = 1 2n x(x+1) = 2n Además la suma de intereses es 59" (nk) el cuales igual a: 1 (nk'1'1) 2 (nk'2'1) - +- + n 100 n 100 3 (nk'3'1) x (nk'x'1) +- + + - n 100 n 100 K 59 100 (12+22+32+ ... +X2) = 100 (nk) K x(x+l )(2x+1) 59 100' 6 100 (nk) Como: x(x+1) = 2n K • 2n(~+1) _ 59nK x= 88 Hallando el valor de "n° n = 88(89) = 3916 2 ,..-_---., :. n yxes 2916 y88 [Rpm. DI @ Jorge jugó a la tinka y se ganó el premio mayor entonces para no desaprovechar su suerte decidió invertir las 5/13 del premio en la compra de casas, 2/5 en la adquisición de tierras y el resto en acciones de la Telefónica. Las casas le raparten un Interés anual del 10", las tierras 7" y las acciones 14" sabiendo que su renta anuales de 1 8840 soles_ Determinar el premio que ganó Jorge en la tinka. A) 65000 B) 62000 C) 186000 0)195000 E) 74200 RESOLUCION: Asumamos que el premio dela tinka sea 65K. 5 • Costo de las casas: - (65K) = 251< 13 • Costo de las tierras: ~ (65K) = 26K 5 'Acclones de la Telefónica: 65K-(25K+26K)= 14K Hallando la renta anual. 25K'10'1 26K'7'1 14K'14'1 - = ,.-+ + 100 100 100 = 18840 628K - - = 18840 100 K= 3000 El premio es: 65K = 195000 ,..-----., [ Rpm. DI @ Se tiene 5 obraros que trabajan 4 dlas con un rendimiento de 75" después de 3 días se agregan 2 obreros con un rendimiento del 100" Y ellos trabajan durante 3 días, luego del cual, se retiran 4 obreros de 75% de rendlmlenl0 y los restantes trabajan 7 dlas hasta concluirla obra. ¿Cuántos dlas trabajaron 14 obreros con un rendimiento de 50% para hacerloda la obra? 1 2 A)162 B)1213 1 0)3011" RESOLUCIÓN: Graftquemos: C)11 E 17 E)8E. 28 05 obreros 1I 75" ., obrero 1176" 5otnl'08 8175" ·2 obreros 81100'" ·2 abrerosaI100" [171J J ~\JIasFd."f 7dlas 2 ai>reros Se_ (lOO') 4 _ (75") Todo lo hacen 14 obreros al 50% en "dO dlas. Aplicando: 1 Total = ~ partes I Paro previamente es conveniente notar que intervienen el rendimiento el cual es I.P. al nQmero de obreros, por ello se multiplica n' de obraros, entonces: 14050"d =5'75"(4+3)+(5+75" ·3+2' ·100" '3)+(1'75" '7)+(2.100" '7) Cancelando 25% y reduciendo queda: 28d = 105+(69)+(77) :.d=8~~ [Rpta.DI @ Un grupo de 24 opararios terminan un trabajo en 20 dlas trabajando 8h/d. Al ftnal del octavo dla de labor se enferman 8 de los opararlos y 4 dlas más tarde se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada pnsvlamente ¿Cuántos operarios adicionales se contratan para cumplir con tal exigencia? A) 10 B) 14 C) 12 0)8 E) 16 RESOLUCION: Se tiene: • 24 obreros lo terminan en 20 dlas (8h1d) ! 1 1 8 días f~ d'íasl 8 di8t So Soooo_2 enfennan8 Apliquemos: 1 Total = Suma de partes I Además debemos suponer que lodos trabajan el mismo número de horas diarias por lo cual: ~ 24'20 = 24'8+1604+(16+n)'8 :. Al resolver: n = 12 [Rpm. e I @ Un grupo de obreros tienen proyectado terminar una obra en cierto número de dlas paro faltando 20 dlas para terminar la obra 12 de los obraros se accidentan y no son reemplazados hasta después de 8 dlas por 15 obreros cuya eficiencia es 20% menos, luego de 2 d las mas se contratan a un grupo de obreros que son 20% mes eficientes que los recién contratados y se retiran 3 obreros a 85% de rendimiento logrando cumplir con el lapso fijado. Si al iniciar la obra el jornal de cada obrero es 51.25 ¿Qué cantidad de dinero de mas se pago el último día de la obra? A) S/.3OO B) S/.I38 C) S/.240 O) S/.252 E) S/.250 RESOLUCION: Siendo: "n" el número de obreros que habla Inicialmente. Grafiquemos losquefalta hacer: n obtetoI.,m ~ Ia::en en 20 dial 1 A 1 B 1 C . '~~ J 8dr.. !2drasl' 10dr .. 488 ruaran 3 obl'8l'Ol 12 u roII"", 2 rumpIozan de _ de rond. de 100% rend. -por 15 de So_ I obnwos de 120% de_ Sa sabe que: Total = ParteA+Parte B+Parte C ... (tt) Total = n'l 00"'20 = 20n ParteA = (n-12)'1 00"'8 = 8n-96 Parte B = (n-12)'1 00"'2+15'80"'2 = =2n ParteC= (n-12)oIOO"'10+12'80'" ·IO+x·120"·10= 10n-24+12x Reemplazando en (tt): 20n = (8n-96)+(2n)+(1 On-24+12x) x=10 El último dla trabajaron 10 obreros adicionales. :. SapagoS/.25(10) 1 E I = 51.250 adicionales Rpta. ~ 18 obreros pueden hacer cierta obra en 20 dlas, al cabo de 8 dlas de labor se retiran 8 obreros y después de 6 dras se contratan "a" obreros mas, terminando la obra en el plazo fijado. Hallar·a·. A) 10 8)6 e)8 O) 16 E) 18 RESOLUCION: Graftquemos de acuerdo al enunciado: Todo lo hacen 18 ~ en 20 dJu ! A B 1 C '1 18t~ 11:1:f- 8 dias ... oteros Porteorfa de magnitudes se sabe: Obra tt tiempo Obra tt N' Obreros ~ --,--,---=obr"a --- = K n' obreros' tiempo www.Matematica1.com A B C A+B+C 18'20 --=--= 18'8 10'6 (10+a)'6 Por propiedad de S.R.G.E. se cumple: A+B+C A+B+C -1;"8""-';2;:;0;Cc+'1";0;""6,,"+,-7(1'""0''"+"'-a;)0-"6" = 18.20 Entonces podemos afirmar que: 1 8·8+ 1 006+(1 O+a)6 = 18'¡;-2O,,:----::-\ Al resolver: a= 16 I Rpta. D I NOTA: En problemas de regla de tres como el ceso anterior apliquemos lo siguiente: I Tolal = suma de partes I Donde cada parte es el producto del número de obreros yeltlempo. @ Se construye una obra con 4 máquinas que trabajan 10 h/d debiendo culminarla en 30 dlas al final del sexto dla una de ellas se malogra durante ")(" dlas. Hallar el valor da ")(" si desde el séptimo dla las otras tres máquinas trabajan 12 h/d Y cuando se repara la malograda esta sólo puede trabajar 8 hld. pero se termina la obra en el plazo estipulado. A)10 B)11 C)12 0)14 E)13 RESOLUCION: Veamos el siguiente gráfico. Toda la obra la hacen 4 máquinas en 30 dlas (10 hld). Toda l. obra la nacen 4 m,!qulnu en 30 dial (10hJd) 11 '-y---1' - 6dlas¡ 24dlas ¡ . ~!._ Se,.pon ~ rnjqtina "'-'-- lI1IIIopIa y l1obojo (10!Vd1 Se maiogIa una (24-><). 8 !Vd rnéqIft <11_ y dr. Recordamos que a partir de/ séptimo día trabajan las 3 máquinas durante 24 dras a 10 h/d, incorporan dos después da x dras, la máquina malograda. Entonces apliquemos de nuevo: 1 Total = 1; partes 1 Como en este problema Intervienen las h/d esta se multiplica al número de dras, luego: 4,30-1 O = 406'1 0+(3,24,12+ 1·(24-X)·8) Cancelando el factor 8 se tiene: 15~~ ~~+108+24-X IrR=-,,-'ta-.-=c"l 8 Una cuadrilla de 15 obreros pueden hacer una obra en 25 jomadas de 8 horas diarias, pasadas 5 jornadas se les pidió que la termina",n 5 días antes de lo proyectado, esto motivo aumentar el número de horas de trabajo diario y contratar mas obreros. ¿Cuál es el menor número de obreros que se debe contratar? A)1 B)2 C)3 0)4 E)5 RESOLUCION: En este problema vamos a suponer que el número de obreros contratados es -n- y "x" el incremento en el número de horas diarias. Grafiquemos: 15 obreros \ '1 Folla J '--y----J' • 25_ 'Loo1S_~hacen (iIlId) '" 20 ¡on.- (8h!dI • n obreroI mú lo deben _ .. 'S¡on.- ,(5_ ..m.. moinlooo) lrabajanci:I Planteando la R.3 S. para la obra que falta: N° obreros 15 (15+n) TIempo 20'8 15(8+x) (1) 160 15+n = 15' 15(8+x) 15+n = 160 8+x Con n debe ser lo menor posible entonces x debe ser la mayor posible que sumado a 8 dMda a 160 pero dicha dMslón dabe ser más de 15. :. x=2 y n=1 I Rpta.A I @ Dos grupos da pintores empiezan a pintar los lados opuestos de una pared, el ler. grupo acaba su trabajo en 42 dlas cuando el segundo grupo ha hecho los 3/4 del suyo. Si del 1 ero grupo se pasan todos al 2do. grupo para ayudarlos ¿En cuántos dras antes de lo previsto se termino la obra correspondiente al segundo grupo? A)2 B)5 C)6 0)9 E)7 RESOLUCION: Tenemos que el 1 ero grupo ha hecho el total de la obre que es como 1 y el 2do. grupo hace los 3/4 entonces trabajando con esos datos podemos deducir los rendimientos R, y R2dellery2do. grupo respectivamente. Rendimiento Obra 1 3 4 (O) 3 R, 4 ~ R,· - = R2·1 ~ - = - 4 R2 3 Si trabajan los dos grupos tendrán un rendimientotolal de: 4+3=7 Trabajemos con el2do. grupo: 2do. Grupo CiliJ \ , I 42 di •• " Lo que falta, el2do. grupo lo hace en: 31 (42) = 14 dlas ............ (a) Entonces tenemos para la obra que falta: Rendimiento 2do. grupo: 3 1 er, y 2do. grupo: 7 Tiempo 14 1 Eller. y2do, grupo lo hacan: 3 ~ t = 14· 7 = 6 dlas ........ (JJ) :. De (a)y(~) notamos que lo termina: (1~) = 8 dras antes I Rpta. A I @ Seis obreros de 90% de rendimiento cada uno en 15 d las de 8 horas diarias hacen una obra ¿Cuántos obreros de 60% de rendimiento cada uno harán en 20 dlas de 9 horas diarias una obra de triple volumen pero de dificultad 213 que la primera? A)7 B)9 C)12 0)8 E)11 RESOLUCION: Planteando: /~/======~,~----,\ Rendimiento Total TIempo Obra 6'90"<>9 15'8=120 21'1=1 X-SO"<>X 20-9=180 3'3=2 (1) (O) • 120 2 .. x=g. 180 ' -:¡- =12 [Rpta.cl Comentarlo: Para no trabajar con varias magnitudes usted debe considerarlo siguiente: • Cuando Interviene el n' de obreros yel rendimiento, se multiplican los valores correspondientes y se toma como magnitud al rendimiento total. Igualmente cuando interviene la obra y dificultad de la obra, ambas se mu~lpllcan y se reemplaza por la magnitud obra. @ Un grupo de 36 obreros han construido en 20 dras los 419 da una obra, un segundo grupo da 24 obreros han hecho en 35 dlas 113 de la misma obra y un tercer grupo de 30 obreros terminan el resto de la obra en 18 d las. SI para realizar otra obra, el doble que el anterior en 60 dlas se ha contratado 26 obreros del primer grupo y cierta cantidad del 3er, grupo ¿Qué grupo es más eficiente y cuántos se contratan del tercer grupo? A)I';20 B)I';42 0)3';30 RESOLUCION: Sea la obra: C)2'; 30 E)3';20 38abreros 24 obl'8fOS 30 obreros 4 ¡ 9 1 I ., . . 20 dfas 35 draa 18 días Por teorfa de magnitudes se deduce que: Obra O.P, tiempo Obra O.P. N' obreros Obra O.P. Rendimiento ~ obra =K tiempo-N' obreros'Rendimiento www.Matematica1.com www com . . M atematica1 Si los rendimientos son R,; R2 y R3 apliquemos la fórmula para cada caso: 434 999 20·36·R, 35·24·R2 18·30·R3 Al simplificar queda: R, R2 R3 42=27=28 de donde sea R, = 42; R2 = 27 Y R3 = 28 Notamos que el más eficiente es el primer grupo. Luego planteando la R. 3 C. para el primer grupo: I Obra 4/9 2 (O) , Tiempo 20 60 (1) ~X=42 ,\ N'Obreros 36'42 26'42+X'28 :. El l' es más eficiente y se han contratado 42 del2' grupo. rlR =-pt7a--:s. =->I @ Tres prados tienen la misma área pero en c/u el grado de crecimiento del pasto es el doble del anterior. El pasto del 1 ero Prado puede alimentar a 72 ovejas en 36 dias y el2do. puede alimentar a 48 ovejas en 90 dias ¿Cuántas ovejas se comerán todo el pasto del tercero en 60 dias? A)75 B)72 C)81 0)78 E)84 RESOLUCiÓN: Si en el primer prado "n° ovejas se encargan de comer el crecimiento diario del pasto, para el2do. y tercer prado serán "2n" y "4n" el número de ovejas que se encargan de comer el crecimiento diario del pasto ya que será proporcional al crecimiento del pasto. Luego planteamos que la cantidad inicial de pasto de cada prado lo pueden comer: N' ovejas tiempo 72-n ~n ..... (1) (2) ..... { 4~~!~ 60 (1) Oe(1): (48-2n)(90) = (72-n)(36) 240-1 On = 144-2n n=12 Oe (2): (x-48)60 = (48-24,,),::'9:.::.0,..--::-> :. X=84 I Rpta. El @ Para pintar una casa primero se pasa la primera mano, luego el acabado, Adrián y Arturo se disponen a pintar una casa a las 6:00 horas. Arturo el encargado del acabado espera que Adrián pinte durante 3 horas aduciendo que él lo hace en 2 horas lo que hasta ese momento ha pintadoAdrián. Si terminaran simultáneamente el trabajo a que hora fue: A) 12 horas B)13horas C)14horas O) 15 horas E) F.O. RESOLUCiÓN: Oel dato tenemos que lo que Adrlan hace en 3 horas Arturo lo hace en 2 horas, entonces los rendimientos de Arturo y Adrián son como 3 y 2 respectivamente ya que el rendimiento es I.P. al tiempo. Luego si asumimos que "r' horas es el tiempo que se demoró Adrián en terminar la obra, entonces Arturo se habrá demorado "t-3" horas, ya que el empezó después de 3 horas, luego planteamos: Rendimiento Adrián: 2 Arturo: 3 (1) Multiplicando en linea: tiempo t t-3 ~ 3t-9=2t ~ t= 9 horas :. Como empezaron a las 6 a.m. Terminarán a las: 6+9 = 15 horas I Rpta. D I @ Un terreno de 10 acres pueden alimentar a 12 bueyes por 16 semanas o a 18 bueyes por 8 semanas. ¿Cuántos bueyes podrian alimentarse en un campo de 40 acres durante 6 semanas, si el pasto crece regularmente todo el tiempo? A)77 B)80 C)88 0)85 E)90 RESOLUCiÓN: Sea n el número de bueyes que se encargan de comer el crecimiento diario del pasto, entonces la cantidad de pasto inicial lo pueden comar: N'bueyes 12-n 18-n (1) ~(18-n)'1 = (12-n)'2 n=6 Tiempo 16<>2 8<>1 Si para 10 acres se requieren 6 bueyes para comer el crecimiento diario del pasto para 40 acres se va a requerirde 24 bueyes. Luego planteamos: /,--,\ ,'----,\ N° acres N° bueyes Tiempo 10<>1 12-6 16<>8 40<>4 x-24 6<>3 (O) (1) 4 8 :::::>x-24 = 6·x-·- 1 3 x-24 = 64 ,--=---., .'. x = 88 bueyes Rpta. C @ Ocho granjeros para arar un terreno de 112,50 m2 se demoran 12 d ras pero luego de iniciado la obra se les comunica que aparte de lo anterior tienen que arar otro terreno de 4,5 por 12,5 metros por lo cual contratan 4 granjeros mas acabando la obra a 15 dias de iniciado ¿Cuántos dias trabajo el segundo grupo? A)3dras B)4dras C)9dras O) 6 dras E) 8 dras RESOLUCiÓN: El área del otro terreno que deben arar es 4,5'12,5 = 56,25 m2 el cual notamos que es la mitad del terreno inicial y para dicha mitad se demorarian 12/2 = 6 d ias mas. Veamos el gráfico: 8 granjeros \ '-------v------'-----y-----' 12 dias 6 dfas Se han trabajado x dras entonces I Se hizo I Falta '-----y-----' '-------v------ X dlas olo harán en 18-x dlas trabajando 8 granjeros • Lo hacen en 15-x dias trabajando 4 granjeros más, en total 12 granjeros Luego se plantea R.3 S. para la obra que falta: N' granjeros 8<>2 12<>3 (1) ~ 3(15-x)=2(18-x) 45-3x = 36-2x 9=x :. El 2do. grupo lo hace en: 15-9=dias Tiempo 18-x 15-x I Rpta. D I @ Una familia de 10 personas disponen de 9000000 de soles para vivir durante un año; a los 4 meses llegan 2 sobrinos y a mitad del año el costo de vida se incrementa en 20% ¿Qué cantidad de dinero tiene que pedir prestado el jefe de familia para poder sobrevivirun año? A) 1280000 C)1240000 E) 2280000 RESOLUCiÓN: B)1128000 0)210000 Primero: Determinamos cuánto gastan (g1) las 10 personas en 4 meses. ¡ \1 \ N' Personas Gasto Tiempo 10 9'10· 12 10 g, 4 (O) (O) Al resolver. g, =3·10·=30·10" Segundo: Calculando el gasto (g2) de las 12 personas hasta la mitad del año faltan 2 meses. N° Personas 10 12 (O) Gasto 9'10· g2 Tiempo 12 2 (O) Oe donde: g2 = 18'10" es el gasto en dos meses pero como falta 6 meses para terminar el año va a gastar el triplede 18'10"osea 54'10" pero como el costo de vida se ha elevado en 20" el gasto en ese medio año es: g3= 120"(18'10")=6480000 Siendo el gasto total: g,+g2+g3=300000+1800000+ +6480000=11280000 El préstamo es: 11280000-9000000 = 2280000 I Rpta. El

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