450 EJERCICIOS RESUELTOS DE APTITUD LOGICA MATEMATICA PREUNIVERSITARIA PDF

1. En una reunión a la que asisten 90 personas, la edad promedio es 18. Pero si cada hombre tuviera cuatro anos menos y cada mujer tuviera dos anos más, la nueva edad promedio sería 16,6. Dar como respuesta la relación del número de hombres del número de mujeres en dicha reunión. CLICK AQUI PARA OTRA OPCION DE DESCARGA - VISUALIZACION 2. ¿Cuál es el número comprendido entre 200 y 300 que leído al revés es el doble del número que sigue al original? RESOLUCiÓN: 3. En un salón de clases si se da un premio a cada alumno, sobrarran "n" premios; pero si se entrega 'n" premios a cada alumno, entonces "n" alumnos no recibirán premios. ¿Cuántos alumnos hay? RESOLUCiÓN: Sea "x" el número de alumnos 1 premio a elu sobran 'n' premios '------y------- Total.de =x+n = premios Al resolver: n2 +n x =----n=:I "n" premios a rJu 'n' alumno no reciben \ " (x - n)n ® Un alumno al efectuar la multiplicación de 4324 por un número dado obtiene cierto producto, pero uno de sus companeros le hace notar que ha tomado un 7 por un 4 en la cifra de las decenas del número dado. ¿Cuánto debe agregar o restar al producto obtenido para hallar el producto verdadero? RESOLUCiÓN: Sea: a ... 7b el número dado, entonces el producto correcto es: 4324xa ... 7b Pero se tomó el 7 por un 4 con lo cual el producto obtenido es: 4324xa ... 4b Luego: -- -- 4324xa ... 4b = 4324(a ... 7b-30) -- -- 4324xa ... 4b = 4324xa ... 7b-129720 4324xa ... 4b = 129720=4324xa ... 7b '-----v-------- '-----v-------- Producto Producto obtenido conrecto Se obtiene que para hallar el producto correcto hay que agregar: 129720. ® Un reloj se adelanta 205 cada 1 mino Si empieza retrasado 1 min respeoto de la hora nonmal ¿Dentro de qué tiempo tendrá un adelanto de 2 minutos respecto de la hora nonmal? RESOLUCiÓN: Ya que el reloj tiene un atraso de 1 min y según las condiciones del problema debe tener un adelanto de 2 min deberá adelantarse 3 minutos < > 180 s tendrá que transcunrir: En Adelanta x9 (1 mino 20seg. ) x9 9min. 180seg. :, 9minutos ® Un lote de cierta mercadería se vende de la siguiente manera: La quinta parte ganando el 20% de su precio de costo, la mitad del resto ganando el 40% de su precio de costo, finalmente se vende lo restante con una pérdida de 25%. Si en la venta total se ganó 125 soles. ¿Cuál es el costo de todo el lote? RESOLUCiÓN: Costo total = 100x 5 +[:J Resto Costo = 20x Costo = 40x Costo = 40x Gana=20%(20x) Gana=40%(4Ox) Pierde=25%(4Ox) Gana=4x Gana=16x Pierde=1Ox En la venta total se gana: 125 10x= 125~x= 10 =5/.12,5 Costototal=100rL112O5J =5/.1250 En una suma se tiene 10 bolas verdes, 8 blancas y 12 rojas. Se extraen al azar una por una, ¿cuántas se debe extraer como mínimo para estar seguro de tener 5 bolas de un mismo color? RESOLUCiÓN: Para poder tener a lo seguro 5 bolas de un mismo color, debemos tener primero 4 bolas de cada color; es decir 4 verdes, 4 blancas y 4 rojas. Luego, al sacar una sola más cualquiera sea su color tendremos ya 5 de un mismo color. Por lo tanto lo mrnimo que se debe extraer es: ,-,4+4+4+1 = 13 bolas Dos ruedas dentadas tienen en conjunto 180 dientes, pero como una de ellas ha sido puesta fuera de uso, se la reemplaza por otra cuyo número de dientes es los 3/5 del que tiene la rueda reemplazada. Dígase el número de dientes que tenran las ruedas primitivas, si el total de ellos ha disminuidoen48. RESOLUCiÓN: es reemplaza \ ®®.©® 5x 180-5x Dientes Dientes Por dato: 3x+ 180-5x = 18048 x=24 Luego, inicialmente: 3x 180-5x Dientes Dientes Atiene 5(24) = 120 dientes B tiene 180-5(24) = 60 dientes Una piscina se ha estado desocupando durante 3 dras, hasta que solamente ha quedado 10 galones de agua. En cada día se extraía sus 2/3 partes, más 3 galones. ¿Cuál es el volumen total desalojado hasta el momento? RESOLUCiÓN: l "x"L I ~í Si sale siempre ~ de lo que hay más 3 galones, entonces siempre va quedando ! de lo que habra menos 3 galones. Luego de 3 días ha quedado: www.Matematica1.com ~ t~ t~ (X)-3J-+3 = 10 ~ x = 387 Volumen desalojado: 387-10 = 377 @Si: 1@I=X+l; 1 x+ll=x-l Hallar: @+y RESOLUCION: -2 -2 I'X+~l como I@G~ entonces: @-2=x+l :.~..+ 3 LUego:.. ~ Reemplazando en: ®=+V=S=(~:V +4 ~. IMbl m+n eS¡;aob= a+b ;mAn= m-n Ifa",-b Ifm",n x+l Además 0 =""""X-1 ,lfx", 1 Hallar 12011 RESOLUCION: Hallemos: 1 2+1 1 3+1 12811 2-1 rn 3-1 2.1 = 2+1 =-3-=3=-3- 2.1 =~ 3 2 5 -+1 - Luego: 12.11 =1 ~ 1= ; -1 =_ ~ =-5 3 3 @ Si (2;3) es un punto cualquiera, hallar las coordenadas de 2 puntos que equidistan de dicho punto, sabiendo que las diferencias de sus abscisas y ordenadas están en la relación de 3 a 2. Los 3 puntos son colineales y el segmento determinado pertenece a la parte positiva de los ejes coordenados. RESOLUCION: y /(m,n) /(2,3) Dato: (a,b) m-a _-ªm- b - 2 Del gráfico: m+a = 4; n+b = 6 Del dato = __m. .- . .-a_ _= -:ó3__ n-b = 2 7 n-4 m=2 1 a=- b=2 2 Luego los puntos son: [~;2JYG;4J x @ En un recipiente hay una cantidad desconocida de esferitas, de las cuales el 75% son de color rojo y las demás son blancas. Si se triplica las blancas y se disminuye en 20% a las rojas, ¿cuál es el porcentaje de las blancas respecto al nuevo total? RESOLUCION: Asumamos total = 100 esferitas R: 75 --20% 60 B: 25 -x3 75 Total: 100 135 75 - B: 135 xl00%=55,5 @ Tenemos entre monedas de S/.2 y S/.8, S/.3400 y hay 2 monedas más de S/.2 que de S/.8 ¿Cuántas monedas en total tenemos? RESOLUCION: Moneda 5/.2 Moneda SI.8 Total de '-----v----' '-------y------ ~ x+2 x 2x+2 luego: 2(x+2)+8x = 34 x=3 Total de monedas: 2(3)+2 = 8 @ ¿A qué hora inmediatamente después de las 5 p.m., las agujas de un reloj fonman 40· por 1 ra. Vez? RESOLUCION: 5:x a=40'=- ~ (x)+30(5) ~x=20 :. H.E:5:20 'Í028' S'. c-b = a-b ~ l. 27 8 Además: c+b-2a = 99 Hallar: "a-b" RESOLUCION: Del dato: c-b+2b-2a = 99 c-b-2(a-b)= 99 ........ (a) 27 Ahora: c-b = 8 (a-b) reemplazandoen (a): 27 (a-b}-2(a-b) = 99 8 11 ~ a (a-b) = 99 :. a-b=72 @ Un empresario pensaba de la siguiente manera: "si le pago S/.15 a cada uno de mis empleados me faltarra S/.400, pero si les pago S/.8, me sobrarían S/.160. ¿Cuántos empleados hay en la empresa? RESOLUCION: Sea "n" el número de empleados: 15n-400 = tengo en soles = 8n+160 de donde: 15n-400 = 8n+160 Resolviendo: n = 80 @ El rendimiento de "A" es 3/5 del rendimiento de "B". Si juntos pueden hacer un trabajo en 6 dias. ¿En qué tiempo harra dicho trabajo "A" trabajando solo? RESOLUCION: I.P. Relación de ......-..... Rendimientos Tlempoa Rendlm. A: 3 6 8-(AyB) B: 5 x 3-(Asoles) Luego: 8(6)=3x~x= 16 @Sialdobledemiedad,SeleqUitan 13 años; se obtendria lo que me faltan para tener 50 años. ¿Cuánto me faltan para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? RESOLUCION: Sea x mi edad: 2x-13 = 50-x x=21 Ahora tengo 21 años hace 5 años tenra 16 años para cumplir el doble de esa edad, es decir 32 años me faltan 11 años. @¿Cuántos ángulos agudos se obser- -, 'Di RESOLUCION: 11(12) N· total de ángulos: -2- = 66 Pero uno de los ángulos contados es recto por lo cual: N· de ángulos agudos = 66-1 = 65 @Si: Lfh = (n+l )n" ; calcular: E=L09,ffi+L09,&+ ... +L09'& donde b = 104/7 RESOLUCION: {} = n+l . 'f =~ . ~ =-ª-. ~ n'~ 1 ,~ 2' ffi= ~ ; .... ;&= ~90 Reemplazando: 3 4 E = LOg,2+LOg'"2+Log, "3+'" . .. + Lag, 100 99 r. 3 4 5 99 100l E = LOg'L2x"2xax4x ... x 98 x 99 J ~E=Log,100 Por definición de Logaritmo: Lag, 100 = E ~ 100 bE 4E ~ 102 = (104l7)E ~ 2 = - • 14 7 •• E=4=3,5 @ En el siguiente anreglo: f, 1 f2 8 27 fa 64 125 216 f4 343 512 729 1000 ! / ! \ Hallar la raiz cúbica del último ténminodef20 RESOLUCION: Sacando -?'a los últimos ténminos de cada anreglo. www.Matematica1.com fl') .......... -!. = (1 x2)/2 f(2) ............ -ª-= (2x3)/2 f(3) .............. ~ = (3x4)/2 fl.) ................ ~ = (4x5)/2 I f(20) .................... ~= (20x21)/2 :. 210 @ El volumen de un sólido rectangular. cuya base y caras laterales tienen 12 m2• 8m2 y 6m2 de área respectivamente. es RESOLUCiÓN: _4m_ 3m"-: .. ;.;:: ..................... : t ~ ' 2m t i 3m, i ¡ 2m! 8m' ' '" ¡ i /3,{ -4m- _._ V= (4m)(3m)(2m) = 24m3 @ El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Si un diamante de 7g vale S/.29400 y se cambia por un diamante de 5g y un reloj. ¿cuál es el valor del reloj? RESOLUCiÓN: Precio - cte (PesO)2 7gr 1.. 29400 = 600 29400 72 5gr 1.. --"-- = 600 SI. X 52 ~x= 15000 Se observa: 29400 = 15000+S/.R SI. R= 14400 @ Hallar el ténmino enésimo de la siguiente sucesión armónica: 15,5,3, .......... RESOLUCiÓN: Sabemos que la inversa de los ténminos de una progresión armónica origina los ténminos de una progresión aritmética. P.H.: 15.5.3 •..........• _1 1 1 1 to -,-,-, ........• tn 15 5 3 '-"'---" 2 2 +15+15 _ ~n _ 1 __ 2n-1 ~to- 15 15 - 15 _1 _~ _. to - 2n-1 @ Un cono sólido de vidrio pesa 10 kg. Si se quiere construir un modelo exacto de dicho cono. también de vidrio. pero que tenga la mitad de las dimensiones del original. ¿cuánto pesará? RESOLUCiÓN: Inicio Final ~ ~ ~ IVOI=R'XHI~ Vol = 22X2 Vol=8 Vol = 12X2 Vol = 1 El cono final. su volumen es la octava parte del volumen inicial. entonces su peso también será la octava parte del original: • 10 - - Peso = a = 1.25kg @ Se dispone de un cierto número de cuadernos con los cuales se construye el mayor cuadrado posible. sobrando 11 cuadrados; pero si hubiera al menos otros 24. se podría construir un cuadrado mayor. ¿Cuántos cuadrados hay? RESOLUCiÓN: sobran x [IJ············D ~~~h~d 11 cuadraditos x cuadraditos Total de cuadraditos: x2+11 Pero si queremos hacer un cuadrado mayor necesitaremos al menos 24 cuadriláteros. entonces: x .--------"---- Necesitaremos {~} almenas = [IJ·········D Q x 17 ~~~uadraditos , ... ~::::.. ~, 17~.v Los 11 que sobraron más los 24 que agregamos hacen 35 cuadraditos que distribuimos da: Seobservaquex= 17 :. Total de cuadraditos = 172+11 =300 ® Si las horas transcurridas y las que faltan transcurrir son (a-2) y (a+2) respectivamente. ¿Qué hora es en estos momentos? RESOLUCiÓN: Horas transcurridas Hora Faltan transcurrir ~t~ 24 horas a-2 +a-2 =24 a= 12 Luego: La hora exacta es: 12-2 = 10:00 am @ Si quedan del dla 1/3 del tiempo transcurrido. ¿Qué hora será dentro de 2 horas? RESOLUCiÓN: Horas que faltan Horas transcurridas Hora transcurrir ~t~ 24 horas 3x+x=24 x=6 La hora exacta es: dentro 3(6)=18:00 -de2h 20:00<>8pm @Si Y es un número real entre 4 y 7 Y además "y" es un número entre 42 y 64. Entonces entre qué valores se encuentra 'y/x" RESOLUCiÓN: Por dato: 4. n. ABC es un triángulo equilátero ya que tiene como lados las diagonales de las caras del cubo. :. a=60° @ En una asamblea la séptima parte de las mujeres usa gafas, mientras que la octava parte de los hombres tiene auto. Si desde que empezó la reunión sólo se fueron 6 parejas, quedando reducido el total a 41. ¿Cuántas mujeres no usan gafas? RESOLUCiÓN: Total personas = los que quedaron + los que se fueron Total =41+12=53 Mujeres + hombres = 53 7M+8H=53 J, J, 3 4 7(3)+8(4)=53 :. Mujeres=21 Hombres =32 Luego: Mujeres que no usan gafas = -ª-(21) = 18 7 @ ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados se observan? 1111111 RESOLUCiÓN: Total de cuadriláteros: 6x7 x 3x4 = 126 2 2 Total de cuadrados: 6x3+5x2+4xl = 32 Total de cuadriláteros que no son cuadrados (reclángulo) = 126-32 = 94 Total de cuadriláteros = 94 que no son cuadrados @ Una secretaria quiere comprar un equipo de sonido valorizado en SI. 950. El vendedor le comunica que se le hará tres descuentos sucesivos del 1 0%, 20% Y 25%. Como su sueldo no le alcanzaba en ese momento, solicitó un aumento a su jefe, el cual se le fue otorgado; se le hizo tres aumentos sucesivos a su sueldo del 10%,20% Y 25%, pero aún asr le faltó 5/.18 para comprar el equipo de sonido. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento? RESOLUCiÓN: 0.5. (10%; 20%; 25%) al hacer estos descuentos queda: 1 7 ;0 U~O t19~0 (950~J = = ! t: [ 1 9 0 (950~J = 513 El nuevo precio del equipo (ya descontado) es: 5/.513 Al sueldo "x" de ella se le hacen 3 A. 5.(10%;20%;25%) ahora su sueldo nuevo será: 125 [120 r 110 ~J 33 100 100 l100xJ = 20 x Luego por dato: 33 x+18 = 513 ~x = 300 20 Luego el sueldo es: 5/.300 @ Una persona tiene una cierta cantidad de dinero entre monedas de 5/.5 y monedas de 5/.2. Si el número de monedas de cada valor se intercambiase, la cantidad inicial se incrementaría en 5/.12. Hallar la cantidad de dinero que posee la persona si tiene en total 12 monedas. RESOLUCiÓN: Se tiene: {x monedas de S/.2 12monedas (12-x)monedasdeS/.5 ~ Total = 2x+5(12-x) =60-3x P d"ó {(12-X)mOnedasdeS/.2 orcon ICI n: xmonedasdeS/.5 ~ Total = 2(12-x)+5x = 24+3x Inicio Final r-"--" ,-J---, ~ 60-3x+12=24+3x~x=8 Total = 60-3(8) = 5/.36 ® Con 20 obreros puede hacerse una obra en 18 dias. Se empieza la obra y al cabo de 6 días se retiran 10 obreros y 4 d ias más tarde se contratan a cierto número de obreros, para tenminar en el tiempo previsto. ¿Cuántos obreros se contrataron? RESOLUCiÓN: I Rendimientoxtiempo = obra I Sea el rendimiento de un obrero iguala 1. I 20x18 -----1 20obraros 18 dlas 1 20(6) 10(4) (10+X)81 6 dlas j 4 dlas t 8 dlas se van 10 obreros se conb'atan x obreros Asi: 20(6)+10(4)+8(10+x) = 20(18) x = 15 @ Con 15 obreros se puede hacer una obra en 18 dlas, pero al cabo de 12 dras sol han hecho 3/5 de la obra. ¿Con cuántos obreros deberán ser refOlzados estos 15 obreros para lenminar a tiempo? RESOLUCiÓN: Toda la obra I-----a 5k ~ clW:J&J 12 dlas 6 dlas 15 obreros (15+x) obreros (.# ,--=,ob::cre"-ro=s)",.(c:ctie::cm,,,p=-=o,,-) - = cte obra 15.12 (15+x)6 ~x=5 3K 2K @ "Pagué 12 centavos por los huevos que compre al almacenero", explicó la cocinera, "pero le hice darme dos huevos extra, porque eran muy pequenos, eso hizo que en total pagará un centavo menos por docena que el primer precio que me dio". ¿Cuántos huevos llevó al final la cocinera? RESOLUCiÓN: Por 12 ctv reciblax huevos: ~ ~12[~J '----y-' '----y----' Costo de Costo de un huevo una docena de huevos Sin embargo por 12 ctv: recibió x+2 huevos: ~~12r12J x+2 [x+2 '----y-' '----y----' Costo de Costo de un huevo una docena de huevos Por condición: 12t~j-12tx~~J = 1 Resolviendo: x = 16 Al final la cocinera lleva: 16+2 = 18 huevos ® Dos obreros, uno viejo y otro joven, viven en un mismo apartamento y trabajan en la misma fábrica. El joven va desde la casa a la fábrica en 20 minutos, el viejo, en 30 minutos ¿En cuántos minu10s alcanzará el joven al viejo andando ambos a su paso normal, si éste sale de casa 5 minutos antes que el joven? RESOLUCiÓN: El joven se demora 20 min y el viejo 30 mino Si asumimos que la distancia de la casa a la fábrica sea 60 m tendremosque: V _, = ~~ = 3m/min VV1~O = ~~ = 2m/min 2m/min 1- sale el i fA"flanciano ~60 ___ U IU3~~~,¡~ _ ~~d I I 2x5 -10m Entonces, el joven alcanza al viejo en: 10 10' 3-2 = m," @Si:X+~ =3 Calcular: x3 + -;X www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: Elevando al cubo el dato: [x+ !]'=(3)3 x3 +3x.-!Jx+_!J+ ~ = 27 xl xJ x "----v---' 3 1 1 x3+9+-= 27" x3 x3 + -x3= 18 \~!!5' Si: x = aa+bb " Y=8a-bi) Hallar: x+y x-y RESOLUCiÓN: a+b a-b 2a 2 x+Y=8i)+8i)= ab =1) a-b a-b 2a 2 x-y = 8i)+8i) = ab =" 2 x+y b a Luego: x-y = 2 = 1) a ~ Se ha disuelto sal de cocina en agua pura a 4'C obteniéndose una disolución que pesa 15 kg Y contiene el 9% de su peso de sal. Se desea saber, ¿cuántos litros de agua en las mismas condiciones se debe agregar a la disolución para que 4 kg de la nueva disolución contenga 120 g de sal? RESOLUCiÓN: 9% (15kg) '----'.r--=' 1,35kg xL< >xkg ~ o~~ '----y---.J 15kg Luego: ,[J, 4kg-0,12kg (15+x)kg -I,35kg 4xl,35 = (15+x)(O,12) • x=30L ~ ¿Cuántos triángulos hay? ~ RESOLUCiÓN: Separando la figura original. ~ ~(II) ~(I) dLJ # triángulos (1) 5x6 = 15 2 Total: 21 # triángulos (11) 3x4 = 6 2 @ A 80 litros de alcohol de 60' se le agrega 40 litros de agua. ¿Cuántos litros de alcohol de 100' se debe agregar a esta mezcla para obtener la concentración inicial? RESOLUCiÓN: 80% 40% xl (120+x)1 H2oJi~it§J§~l~:;iL~~ OH-~8~~-OH OH: 60' OH: 100' OH: 60' 60% Trabajando con el agua de la mezcla final, tendremos: 72=40'(120+x)x= 60 t @ Si a una cantidad le quitamos su 60% y luego a la cantidad resultante le aumentamos su 40%, obtendriamos un número igual a la cantidad original disminuida en 44 unidades. Determinar la cantidad inicial. RESOLUCiÓN: Sea la cantidad: "x" Sólo con lo que queda: 140% (40%x)=x44 14 2 -x-x=x44 10 5 :. x= 100 @AI lanzar dos dados normales, ¿cuál es la suma que mayor probabilidad de ocurrencia tiene? RESOLUCiÓN: Graficando total de casos posibles: Dado@2 6 5 4 3 2 1 123456 Dado CD En el gráfico se observa que la suma que tiene mayor ocurrencia es la7. Una rueda con llanta de caucho tiene un diámetro exterior de 25 pulgadas. Cuando el diámetro disminuye en un cuarto de pulgada, entonces el número de vueltas que la rueda dará en una milla sufre una variación porcentual de: RESOLUCiÓN: 100 vueltas x vueltas Planteamos: 100X25=X[24 !J ~x=10I,01 El número de vueltas aumentó: 1,01% @ Sea "n" el número de formas en que 10 dólares pueden ser cambiados en monedas de 10 Y 25 centavos, usándose por lo menos una de cada denominación. Luego "n" es iguala: RESOLUCiÓN: 1$10<>1 ® + @ x monedas y monedas 10xctvs + 25yctvs = 10 dólares .... (1 dólares 100ctvs) 1 Ox+25y = 1000 2x+5y = 200 5 38} (Cada solución representa una 10 36 forma de hacer el cambio) 15 34 19 Soluciones I I 952 :.n=19 ® Un obrero se compromete a pintar una pared en 12 horas. Luego de pintar la mitad, disminuye su rendimiento a la tercera parte, luego de pintar la mitad del resto, disminuye su nuevo rendimiento a la cuarta parte, terminando de pintar toda la pared ¿con cuántas horas de retraso terminó de pintar la pared? RESOLUCiÓN: Asumiendo rendimiento: 12 y aplicando (cantidad de obra) 12h ~ _ A __ ~ F t 4t , 6h .... -.-... ...--.... 12 1 72 4 i 1 Rend. (Rend) I (Rend) ... 4t+4t= 72" t= 9 !:total: 6+9+36 = 51 h :. a+b+c=51-12=39h @ Una escalera mecánica se mueve hacia arriba. Si una persona sube caminando sobre ella emplea 48s, pero si baja por ella emplea 80s. ¿Qué relación hay entre la rapidez de la escalera y la rapidez de la persona? RESOLUCiÓN: 48S.~ ~~E.--I / "/0/ 80 seg • V,: Rapidez do d la persona • VE: Rapidez de --"'''''--..J la escalera Luego: V E 1 d = (V,+VE)3 = (V.-V.)5 ~ V. = 4 @un ovillo pesa 171 kg más los ; de los ~ de -f.¡- de su peso. ¿Cuánto pesa el novillo en kilogramos? RESOLUCiÓN: Por condición del problema tendremos: Peso del ovillo: 171+ ; x ~ x 1~ (peso del ovillo) Resolviendo: 231 kg. @¿QUé tanto por ciento de 160 es 50? RESOLUCiÓN: Planteamos: www.Matematica1.com x%de 160=56. luego: x 100 x(160)=56~x=35 Luego el tanto por ciento es 35%. ~ 1 1 1 1 ~ Restar 4 de 3; de S restar 2 ; sumar las diferencias y agregarle el resultado de sumar a + los ~ de la mitad de 3.3. Los ~~ del resultado total es: RESOLUCiÓN: + -1 = 1~ }8umandO las diferencias: 1 3 13 1 1 3 ---=- ---=- 12 10 60 5 2 10 Ahora: ...!..x-ª-x...!..x~ = 397 3 5 2 10 300 L ._~_ 397 _ 332 uego. 60 300 - 300 . 30 r33i1 2 Nos piden: 83l300rS @ Hallar: a+b+c. si L,: x-3y+a = O L,: y = 5x+b y L3: y = -2x+c y (2:0) RESOLUCiÓN: Toda coordenada perteneciente a una recta. debe cumplirla ecuación: (0,4) E L,yL3: L,:x-3y+a=Oa= 12 .j. .j. O 4 L3:y=-2x+c~c=4 .j. .j. 4 O (2.0) EL,: y=5x+b~b=-10 .j. .j. O 2 :.12-10+4=6 @ Al lanzar 3 monedas ¿cuál es la probabilidad de obtener una cara y dos sellos? RESOLUCiÓN: Casos totales = l' 2' 3' 000 2 x 2 x 2 =8 /\ /\ /\ CII'!IIysello CII'!IIyaeloCll'!llylllllo Casos favorables = C~ xC~ = 3 Probabilidad = Casos favorables = 3 Casos totales = 8 :. La probabilidad es 3/8 12 @SegÚnelgráfico. '~'1 ¿Que hora es? o ! 2 9 ..•..•.. .•..•.• 3 • a 8 ; a. 4 7 6 5 9+---I'-~:-+3 iminutos6 6x" a ,......-'---. 6x= 180+[39- ~j 420 4 x=13=3213 :. Son la 1:32 ,~ @ Hallar el valor de la siguiente serie: S = S'+S'+S3+S.+ ...... +S4O donde: So = 80+78+76+74+72+ .... '~---v ./ "n" sumandos RESOLUCiÓN: 8,=80 8,=80+78 8,=80+78+76 8.=80+78+76+74 I I I I I 80= 80+78+76+74+ .... +4+2 8 = 80x4O+78x39+ 76x38+ ... +6x3+4x2+2xl 8=2(40+39+38+ ..... +3+2+1) 8=2x 40x41x81 =44280 6 @ En cada dra de lunes a viemes gané S/.6 más de lo que gané el dra anterior. Si el viernes gané el quintuple de lo que gané el lunes. ¿Cuánto gané el jueves? RESOLUCiÓN: ......--...........---............--.............--...... L Ma Mi Ju Vi ~ +4K=24 K=6 luego. el viernes gané 30 y el día anterior. es decir. el día Jueves ganéS/. 24. @ Un comerciante compra carteras al precio de 75 soles cada una yademás le regalan 4 por cada 19 que compra. recibiendo en total 391 carteras. ¿Cuál fue la inversión del comerciante? RESOLUCiÓN: Compran Le regalan 19n + 4n =391 ~ n=17 Compro: 17(19) = 323 carteras c/u aS/.75 Inversión: 323x75 = 24225 @ Para que una de las raíces de la ecuación: ax2+bx+c= O sea el doble de la otra. los coeficientes deben estar relacionados como sigue: RESOLUCiÓN: ax2+bx+c=O sean: ny2n son raíces n+2n = - -"- n =-~ a 3a n.2n = ~ => n2 = 2~ ~[;~J' = 2~ Simplificando: 2b'= 9ac @ ¿Cuántos números de la forma: [5- ;J (3-b)(C+4>[ a;4J existen? RESOLUCiÓN: Analizando los posibles valores: a = 4. -2. O. 2. 4. 6. 8.~ 7 valores (3~b)=0.1.2.3 •.....• 9~ 10 valores (c+4) = 0.1. 2. 3 ......... 9~ 1 O valores Luego; por el principio de multiplicación: ------ [5- ;]3-b)(C+4) [a;4J '----y---' '-y-' '--y-' 7 x 10 x 10 = 700 números @Setiene un cajón de 84 manzanas de 10 gr cada uno y otro cajón con 54 manzanas de 25 gr cada uno ¿ Cuánlas manzanas deben intercambiarse para que sin variar el número de manzanas de cada cajón. ambas adquieran el mismo peso? RESOLUCiÓN: Peso:840g Hecho el intercambio. se tiene: 840-10n+25n = 1350-25n+10n Resolviendo n = 17 @se pagó S/.87 por un traje. un libro y un sombrero. El sombrero costó S/.5 más que el libro. y S/.20 menos que el traje. Hallar el precio del libro. RESOLUCiÓN: T+L+S=87 .j. .j. (x+25)+x+(x+5) = 87 ~ x = 19 @Calcularel área del circulo. si a = 64 cm. M RESOLUCiÓN: ~ Recordando: ~ d=2vRxr ~ Luego: 1 2V64xr = 32 =>r=4cm :. Areadel círculo = 10(4)' =1& www.Matematica1.com @ En el gráfico, ABCD es un rectángu- 10,AB =20cm, BC=22cm. Si r=7cm calcular CT, si "r es punto de tangencia. Bn-bCJ-T------",.,C A-O RESOLUCiÓN: B 22cm. C 2ocm·~120cm. AI-7 I 15----1 0 De la figura: x2+72 = 252 x=Y576 _-_ x=24 @!9l ¿Cuántas palabras diferentes se pueden fonmar con todas las letras a la vez, de la palabra "murciélago", si todas las vocales deben estar juntas? (Las palabras no necesariamente van a ser pronunciables). RESOLUCiÓN: [QT~~:ºlM R C L G ,¡. ,¡. HH }ES ccmo si fueran 10 2°3°4°5°6° 6elementos:P6= 6! Las vocales entre sí también se ordenan: P=5! .'. Número de palabras = 6!x5! = 86400 @ 24 carpinteros pensaban hacer 100 carpetas en "(" días, pero a los 9 días 10 de ellos se enfenman por lo que disminuyeron su rendimiento, cada enfenmo en un 30% terminando las carpetas con 3 dras de retraso. Hallar el valor de "r. RESOLUCiÓN: Asumiendo rendimiento nonmal: 10 Y aplicando (cantidad obra) t días ~ ____ A, ______ , r 9 dias , (t-6) días ~~ ! ~4(10):10(7), Rond. L_--...¡i_....:.R::..n::.d .... _.J ~ 24(10)xt=24(10)x9+ +[14(10+10(7))](t-6) 24(10)1 = 24(1 0)x9+210(t-6) 24t=216+21t-126 3t=90~t=30 @AlsimPlificareIProductO: E= [1- ~J ~- ~l ~} ... +I~ J Se obtiene: RESOLUCiÓN: Efectuando la sustracción en cada factor, tendremos: E =[~J[!J[:}""{~~J S·Im p II'f i can do E = -2x -2x" -xA ···x1-$- 2 1 2" A 1) 16 E=16=a @ Halla~ la .cantidad de ténminos de la P.A. siguiente: 3; -1; -5, ........... , -73 RESOLUCiÓN: 3;-1;-5; ....... ;-73 '--"'--" -4-4 t n=-+4n+7 Luego: -4n+7=-73 n=20 .'. La sucesión tiene 20 términos @ Los ángulos interiores de un triángulo están en progresión aritmética. Hallar el complemento del ángulo intenmedio. RESOLUCiÓN: a+a-r+a+r = 1800 ~a=60· .'. El complemento de 60· es 30· @ Una obra puede ser hecha por "A" y "B" en 6dias, por"ByC" en 8dias, y por "A y C" en 12 dias. La obra es empezada por los 3 juntos y cuando ya han hecho las 3/4 partes "A" se retira, "B y C" continúan hasta que hayan hecho la mitad de lo que quedaba, entonces se retira "B", tenninando OC" lo que falta de la obra. ¿En cuántos días se hizo la obra? RESOLUCiÓN: Sea una obra = 48 m de pared Obreros Obra(48) 1 dla A+B ~ 6días ~ 8m ..... (I) B+C ~ 8días ~ 6m A+C ~ 12dras ~ 4m ---- ---- 2(A+B+C) ~ 18 m A+B+C ~ 9m ..... (2) de (1) Y (2) se deduce que C en un día~1 m 148m I 1--36m --+-6m -+- 6m--l I A+B+C IB+cl C I ----------"--"""--"" 4 dras 1 dia 6 dras Tiempo: 11 dlas ® Un triángulo equilátero y un exágono regular tienen perrmetros iguales. Si el triángulo tiene una superficie de 2 u2, ¿qué área tiene el exágono? RESOLUCiÓN: Por dato: Perímetro del L. = Perímetro del O 3(2a) = 6a ~a a ,5 a 5 O a a a ,'. Área del exágono = 6(0,5) = 31'2 @Juan y Raúl comienzan a jugar entre sí con igual suma de dinero cada uno. Cuando Raúl ha perdido los 3/4 del dinero con que empezó a jugar, lo que ha ganado Juan es 24 soles más que la tercera parte de lo que le queda a Raúl. ¿Con cuánto empezaron ajugar? RESOLUCiÓN: ,-Ju-a-n- , ,-R-a-ú-l , ~=~\ Gana:24+b dJ?fI4K)=3K Pero se sabe que lo que uno pierde es la ganancia del otro: ~24+....I<...=3k ~ k=9 3 ,'. Rául empezo al igual que Juan con: 4(9) = 36 soles @ Hallar el perímetro de la figura sombreada, si O, C Y P son centros de circunferencia de radio igual a 3, r = 1; +(3Va-l) = 57t+6v3+4 @ Dos ciclistas parten simultáneamente al encuentro, el uno del otro, con rapidez que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcular el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro. Luego: _ Jl. _ 397 = 332 60 300 300 . 30 r332J 2 Nos piden: !i3l300 r"5 @Si mezclamos 80 litros de alcohol al 70% de pureza con 60 litros de alcohol al 40% de pureza ¿qué porcentaje de pureza tendría la mezcla resultante? RESOLUCiÓN: M+M=~ OH: 70% 456t OH:~~ 1~0 (140) www.Matematica1.com donde: 140 100 (x) = 56+24 x=57,14 Luego el porcentaje de pureza es 57,14% @ Tanto en el numerador como en el denominador de la siguiente igualdad, existe el mismo número de términos. Calcular"a+b" 111+113+115+ .... +a = 11 1+3+5+ .... +b RESOLUCiÓN: Expresando cada sumando como sigue: n Términos (111it1)+(110+3)+(110+5)+ ... + lllit2n-1 \ 1 +3+5:" .. + I 2rt¡1 I n Términos b 110n+n' = 11 ~ 11,0)0( = 1,On' n' ~n = 11 :. a=110+2(11)-1 =131 b=2x11-1 =21 :. a+b= 152 a -11 @ 5e compraron pares de zapatos a precios que varian desde 200 soles hasta 350 soles y se venden a precios que varian de 300 soles a 450 soles inclusive. ¿Cuál es la mayor ganancia posible que puede obtenerse de la venta de 8 pares de zapatos? RESOLUCiÓN: 200,; P,,; 350 300,;Py ,;450 Compra: 200x8 = 5/.1600 Vende: 450x8 = 5/.3600 Ganancia: 3600-1600 = 5/.2000 @ Un juego consiste en trasladar los discos de madera del primer eje al tercero. ¿Cuántos movimientos como mrnimo deberán realizar, sabiendo que un disco grande no puede situarse sobre uno pequeño? ! ~ ~ RESOLUCiÓN: Pongamos números de menor a ma- Yor:ffi __ 2 (1')3 (S') 12 (11')1 iL iL Hi 1 12i11 (2')3 (7') 2 (12') 1 3 !H iL Li 1 (3')3 1 (S') 2 (13') 3 15 L! _H !11 Movimientos 2 (4') 1 (9') 21 (14') 3 iE _H _11 2 (5') 1 (10') 1 (15') 3 H! Hi __ i @ Dos trenesAy B de longitudes "L,"y "Li se desplazan en sentidos opuestos con rapideces constantes y tardan 8 segundos en cruzarse totalmente entre sr, pero si A duplicará su rapidez, tardarran 6 segundos en cruzarse. Determinarla razón de sus rapideces (A/B). RESOLUCiÓN: 5ean las rapideces iniciales "V A" Y "VB". Aplicando tiempo de encuentro en ambos casos obtenemos: 8- L,+L, - V,+V, L,+L, .. ..8.= VA+V, _.!= 2VA+V' 6 L,+L, 3 VA+V' 6 = L,+L, 2V,+V, 2V,+v, 4VA+4V.= 6VA+3V. V.=2VA • VA 1 .. V. =2" @ Pablo vende una radio descontando el 25% del precio que fijó, pero aún asi ganó el 35% del precio de costo. Calcular el precio de lista si la ganancia fue 5/.63. RESOLUCiÓN: 35% Pe 25% PL P~~L I I I 100K 35K 135K=75M 25M 100M Dato: Ganancia: 35k = 63 5 ~ k = 9 Pv: 135K=75M 27(5K)=75M 27(9)=75M ~25M=81 :. PL = 100M = 4(25M) = 4(81) = 5/.324 ® En la figura MC = 2AB, calcular "a" B A .ot::Jc...!:!=-------:::..,C RESOLUCiÓN: B Trazamos la bisectriz calcule el área del triángulo ABC en función de las áreas "U" y "T". Además: U = 10 cm'; T= 2,5cm'; "O" centro . B RESOLUCiÓN: 5e sabe que: (a+x+ T)+(b+ T +y) = x+y+u a+T+b+T=u '---y--' STriéngulo+ T = u 5=u-t 5= 10-2,5 5=7,5 @ La ecuación de la recta qu~asa JlQr los puntos medios de AB y CD, siendo: A= (3;4), B = (4;5), C= (-2;6), D = (5;7), es: RESOLUCiÓN: Por pendientes: y_n. .- 2 •• L=-3-=-1 x-- 2 13 3 y-2" = -x+"2 ~x+y+5 = O @ Al lanzar una moneda 3 veces consecutivas, ¿cuál es la probabilidad de obtenertressellos? www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: Casos totales = 2x2x2 = 8 Casos favorables =@@@= 1 P b bT d d = Casos favorables = ~ ro a I I a Casos totales 8 :. La probabilidad es 1/8 @ En la figura se muestran 3 circulos iguales de radio igual a R. Entonces el área de la región sombreada es: lA RESOLUCiÓN: Del gráfico: S = (2R)(R) S=2R2 @ Newton nació en el siglo XVII y murió en el siglo XVIII. Se desea saber el ano de su nacimiento y el ano de su muerte, sabiendo que el número foro mado por las dos últimas cifras del año de su nacimiento aumentado en 12, es el doble del número formado por las dos últimas cifras del año de su muerte y que este número aumentado en 1 en las 2/3 partes del primero. RESOLUCiÓN: Año de nacimiento: 16ab Año en que murió: 17mn ab+12=2mn}_ [2 _ ~ - 2 - ab+12 = 2 -ab-l mn+l =3 ab 3 ab=42 mn=27 Nació: 1642 Murió: 1727 @Si:a8b=a+b+2 Hallar: E = (382.1)83.1 Si: a-1: elemento inverso de "a" RESOLUCiÓN: a8b=a+b+2 r Elomenlo,,""" a8e=a '--y-' ¡í+e+2=¡í --+le=-21 Luego: a8a-1 =e (por definición) a8a-1 =-2 a+a-1+2=-2 . I -1- I 2-1=_6 •• a --4-a ~ 3-1=_7 Luego reemplazando en: E=(38-6)8-7 E=-18-7=-6 @ En la figura A, B, C son engranajes con 30, 60 Y 120 dientes respectivamente. "A" hace girara "B" y este hace girar a "C". ¿Cuándo "C" haya dado una vuelta completa, ¿cuántas vueltas daráA? 1 vuelta Como sabemos: #V.I.P. #d .. 120xl = 30(x) x=4 Ada4vueltas. @ Dada la siguiente tabla: a a b c a }?_J~l __ ~, b 'a' bi c, l. ___ i _____ .l. _____ J cbL.~.Ja Hallar: E = (a 8 c)-18 b RESOLUCiÓN: a a b c Elemento a c a b neutro ¡ b a b cl e=b c b c a Luego: a8a-1=b b8b-1=b c8c-1=b de la labia a8c=b b8b=b c8c=b "----y----' "----y----' '-------y----' a-1=c b-1 =b c·1=a En la pregunta: E=(a8c)-18b b E=b-1 8b~E=b8b=b @ Si: P [; J = P(x)-P(y), calcular: P(4)1P(2) RESOLUCiÓN: P(2) = P [;J = P(4)-P(2) Luego: P(2) = P(4)-P(2) ~ 2P(2) = P(4) p(') ~--=2 P(2) @ La diferencia entre un número de 3 cifras y otro número obtenido escribiendo el anterior, pero con las cifras en orden invertido, siempre es múltiplo de: RESOLUCiÓN: Número original: abc De la condición: abc-cba = (100a+l0b+c}- _ .--11 OOc+l Ob+a) = 99a-99c ~abc-cba = 99(a-c) = llx9x(a-{:) .'. La diferencia es múltiplo de 11 ~ Ana compró con 108 soles 3 litros más de los que pensó comprar, pues la oferla indicaba que 1/4 de docena costaba 9 soles menos. ¿Cuántos Iibroscompró? RESOLUCiÓN: Pensó comprar: "J(" libros Compró: "x+3" libros Dato: 3 libros costaba 9 soles menos Entonces, 1 costaba 3 soles menos. Luego: 1 libro llibro 108 _ 108 =3 x x+3 Desarrollando: x = 9 :. Compró:9+3=12Iibros ~ Si la suma de 20 números naturales consecutivos es M, entonces la suma de los 20 números siguientes es: RESOLUCiÓN: 20 números 20 números r~ ~A ,¡--------Jo... ~ 0+0+0+ .................... · .................... +1 +1 suma = M I 11 suma =?? t +1 x202 (Teorla) ¡ ¡ Razón # de términos del grupo La suma de los 20 números siguientes es: M + 400 @ Hace 4 años la edad de Juan era los 2/3 de la edad de Rosa y dentro de 8 años será los 5/6. ¿Cuál es la edad de Rosa? RESOLUCiÓN: 12 ~ Pas/ado~ -Ahora~ -'Fu"tu ro Juan~ 2n 2n:;:¡' r--sn Rosa: 3-n ---3n-+4 ---6n 3n Apreciamos que: 3n=12 n=4 :. Edad de Rosa: 3(4)+4 = 16 ® En el gráfico ABCD es un trapecio, si AP+PB = 30, Y 3AB = 5CD. Calcular CP+PD. ~ A~B RESOLUCiÓN: 3k A~~--------~B 5k Por el dato: 5m+5p = 30 ~ m+p = 6 Luego: 3p+3m = 3(p+m) 3p+3m = 3(6) = 18 www.Matematica1.com @ En una fábrica la producción diaria de pantalones es inferior a 120 unidades. Cierto dla se recogió tal canlidad de pantalones que al contarlos de4a4sobraron2, de5en 5 sobró 1 yde 7 en 7 sobró también 1. Lacantidad de pantalones recogidos ese dla fue: RESOLUCiÓN: N" pantalones < 120 Por dato: N" pantalones = 4+2 N·panlalones=~+1 }(7X5)+1 =35+1 J N" panlalones =7+1 .. 36,71,106 : _ N" pantalones = 106 @ Calcular el área de la región sombreada, si: R, = 6cm, R2= 2cm, R3= 4cm. RESOLUCiÓN: Nos piden: "M+N+P" Luego: 4ncm2 -.' ~=::~~~3)+ ~=167tCm2 M+N+P+47tcm2+47tcm2 = = 567tcm2 @ Hallar la ecuación dela recta que es perpendicular a L, cuya ecuación es: 3x-4y-l = O y además pasa por el punto (1 ;3) RESOLUCiÓN: L,:3x-4y=11 3 11 y=-x-- 4 4 3 Pendiente de L,: 4 Luego la pendiente de Les: -4/3 (por L, ...l L) Punto de paso: (1; 3) Entonces la ecuación de la recta L será: y-3 4 --=- x-l 3 :. L: 4x+3y-13 = O @ Si: 3x+2y+z = O x+z Calcular: -- z-y RESOLUCiÓN: Sumando a ambos números "2z" tendremos: 3x+2y+z+2z = 0+2z 3x+3z= 2z-2y 3(x+z) = 2(z-y) x+z 2 --=- z-y 3 @ Dos nadadores parten al mismo tiempo de extremos opuestos de una piscina de 90m de longitud con rapidez de 3 y 2 mis respectivamente. Cruzan la piscina varias veces durante 12 mino Suponiendo que no pierden tiempo al voltear, ¿el número de veces que se han encontrado es? RESOLUCiÓN: 90m El tiempo para el primer encuentro 90 es: 3+2 = 18s Continúan ~~ El tiempo para el segundo encuen- 180 tro es: 3+2 = 36s Se deduce que a partir del primer encuentro, los encuentros se producirán cada 36 s. Luego: 12 min = 720s 720 s-18 s = 702 s 702~ L Por el prlmerancuentro 18 19 encuentros más Entonces el número de veces que se han encontrado es: 20. @Lih=(n-l)2,hallar"X"en: ,A64,si:xeZ+ RESOLUCiÓN: A64=82=(9-1)2=~ ,&=9=32=(4-1)2= z55, &=2=22=(3-1)2= zt _-_ x=3 @WSi:a#b=t a2~:5b j b-1; Va"O hallar: 5#[5#{5#{5# ........ )}] RESOLUCiÓN: #b a 2 b+35b =-ª-+l§.. a 4a 4 20 Observamos que la regla de definición sólo depende del ler. elemento (a). 5 35 ~5#5=-+-=3 4 20 :. 5#[5#{5#(5# ..... )}] = 3 @ Indicar el vigésimo quinto término de la siguiente sucesión: 4, 10, 16,22,28, ..................... . RESOLUCiÓN: Es una PA de razón r=6 :. t,=6n-2 luego: t25 = 6(25)-2 = 148 @Si:X+~=3 Calcular: x3 + ...t, x RESOLUCiÓN: Elevando al cubo el dato: [x+ :]'= (3)3 X3+3X . ....!..rX+....!..J +_1_= 27 x l x x3 '----y-----' 3 x3+9+_1_= 27 .. x3+ _1_= 18 x3 x3 @ Si tuviera 2 veces más de lo que tengo tendría 1 vez más de lo que perdí. ¿Cuánto tenia, si perdIS/.30? RESOLUCiÓN: Tengo: S/.n, pardl: 5/.30 ~tenía: n+30 tuviera: 3n = 2x30 ~ n = 20 :. Tenía: 20+30 = 50 @ Hallarel número que falta en: d:E ;12W;13M;14[2O] RESOLUCiÓN: Buscamos la ley de formación y observamos que esta es: !'~2m) !2~6[!J)(L~~~)' ;:~2~1.8) www.Matematica1.com @ Hallar el área máxima del triángulo que puede ser inscrito en un semicírculo cuyo radio es "R". RESOLUCiÓN: El área sería máxima cuando la altura sea la mayor posible. Esto sucede cuando toma el valor del radio: ~ \. v~---' 2R :, SmOx. = R2 @ Hallar el ángulo "C" en función de los ángulos "A" y "B" (la figura la componen tres cuadrados iguales). I~ RESOLUCiÓN: ~1AB11 11 ~ ~ ~ A=- B=- C=45- .... 2 2,/ T A+B=~=~L' ____ ~ @¿Cuántoscuboshay? RESOLUCiÓN: 1 2 345 2 3 4 5 Número de cubos = 5x5x4 + 4x4x3+ 3x3x2 + 2x2x1 = 170 Respuesta: Hay 170 cubos @ A partir de la figura, el área de la región sombreada es: (AB es base media). RESOLUCiÓN: Trabajando: A=n>V3 4 @ Un automóvil de 4 m de longitud viaja con rapidez "v" por una pista paralela a la vía del tren. A 150 m de distancia viaja un tren de 46 m de longitud que se desplaza en la misma dirección del auto con una rapidez de 20 mis. Hallar la rapidez del auto, si logra pasar al tren, luego de 20s. RESOLUCiÓN: Tren 20m/s -'.rlrer.t. ".TlTer.ll ~ I I ! ! ! ! e) ; ;~ 4m 150m 46m Lo pasó en 20 s 20 = 4+~~~:6 ~ V = 30 mis ~ Calcular el área de la región sombreada, si el área del paralelogramo ABCD es 120 u2. ,!SE{ RESOLUCiÓN: AI.C._~!....Iiiíi~ 12S=120u2 S=10u2 ,-, 4S=40u2 @ La figura muestra un cuadrado de lado "L". Hallar el área de la región sombreada, si M y N son puntos medios. :~' A D RESOLUCiÓN: @ Dos ciclistas parten simultáneamente al encuentro, el uno del otro, con rapidez que están en la relación de 4 a 3 y se encuentran cuando el más veloz ha recorrido 60 km más que el otro. Calcular el espacio recorrido por el más lento hasta el momento del encuentro? RESOLUCiÓN: SeanAyBlosciclistas: ~: = ~ En el mismo tiempo "A" recorre como 4 espacios mientras que B recorre como 3 espacios. ~.~ Porcondición:4e-3e=60 ~ e=60 Luego, el más lento recorrió: 3(60km) = 180km @ Encontrar el área de la región sombreada, si los 3 círculos son iguales y de radio "R". RESOLUCiÓN: Area=~-2~ = "R2 -2 [ ,,:2 J . -. Área = ,,:2 @ Una persona con el dinero que tiene puede comprar 30 manzanas y 24 naranjas o 25 manzanas y 32 naranjas. Si compra sólo naranjas, ¿cuántas podrá comprar? RESOLUCiÓN: ~30M y 24N 1-5MI JI+8NI 25M y 32N _'_5M<>8N JX6 30M <>48N luego si sólo compra naranjas: 30M y 24N '--y-' 48N + 24N = 72N @se tiene una mezcla al 60% de alcohol. Si quisiéramos que la mezcla sea al 50% de alcohol, ¿qué porcentaje de agua deberíamos agregar respecto al total inicial? RESOLUCiÓN: Asumamos que el total inicial sea 10 xlitros H20 ~::o OH: 60% ~H20:50% ~OH:50% OH: 50% www.Matematica1.com Nos piden: 120 x100% = 20% @ Si la base de un triángulo aumenta en un 20% y su altura disminuye en un 20%, ¿en qué porcentaje varia su área? RESOLUCiÓN: 1 ~=2bxh El área depende de la base y de la altura mas no de la constante l1.. b h A Inicio: (10 X(10 = 10) +20% -20% -4% Final: 12 x 8 = 96 :, Disminuye4% @ Si la ganancia repres~nta e125~ del precio de costo, ¿que porcentaje representaria esta ganancia respecto del precio de venta? RESOLUCiÓN: Del problema: P.c. ~:.: 51 G = 1 I 25% P.C. Nos piden: --º- xl00% = ~xl00% = 20% Py 5 @ En una competencia participaron hombres y mujeres. Ocho mujeres salieron de la competencia, quedando en ellas 2 hombres por cada mujer. Luego se retiran 20 hombres quedando 3 mujeres por cada hombre. ¿Con cuántas personas se inició la competencia? RESOLUCiÓN: Hombres a • a • a-20 Luego: a=2(b-8) b-8 = 3(a-20) Mujeres b b-8 b-8 :. a=24 b=20 ~ 24+20=44 @ Calcular el valor de: "x+y" "V'4x+l-"V'3y-2= 1 "V'x+14+"V'y+2=6 RESOLUCiÓN: Buscamos valores adecuados para que las cantidades bajos los radicales tengan rarz exacta. Asi, para x = 2 Y Y = 2 se cumplen las igualdades. Nos piden x+y = 2+2 = 4 @ Se tiene 4 docenas de rosas repartidas en 3 montones diferentes. Del primer montón se pasó al segundo tanta rosas como hay en éste, luego, del segundo se pasó al tercero tantas flores como habla en ese tercero, y por último se pasó del tercero al primero tantas cosas como aún quedaba en ese primer montón. Si ahora los 3 montones tienen cantidades iguales, ¿cuántas rosas habra al principio? RESOLUCiÓN: De los datos: 1° 2° 3° Al inicio: [El + [El + @] = 48 = 4(12) '+1(1x2 [IJ+~ +12 1x2 [IJ + [ill + í24l 1 Comp ...... ~ losvaloresdel lx12 +8 ftnalal ilicio Al final: [ill + [ill + [ill = 48 :. ler. 22; 2do.: 14y3ro.12 @ Calcular el área del pentágono cuyos vértices son los puntos de coordenadas A(-5,-2), B(-2,5); C(2,7), D(5,I)yE(2,-4) RESOLUCiÓN: _-I-_I----,f-+D(5;1 ) Hallando el área por determinante: (1~ :~¡) + 3 2 5 2 + -20 20 -4 71 -61 Are 171-(-61)1 = 132 = 66u' :. a 2 2 @unovillopesal71kg, más los ~ de los -5 de - 6 de su peso ¿ Cu a• n- 7 11 to pesa el ovillo en kilogramos? RESOLUCiÓN: Por condición del problema tendremos: 2 5 6 Peso del ovillo: 171 + 3 x 7 x 11 (peso del ovillo) Resolviendo: 231 kg. ~ Daniel y Betty comparaban sus soluciones a un problema de la tarea asignada. El problema era: "Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2;-5) y (8;7)". Daniel halló: y = 2x-9 Y Betty encontró: y-7 = - 2(8-x). Hallar la ecuación e indicar quién tenra la respuesta correcta. R~S~LUCIÓN: 2ixl(8; 7) A. (2, -5) (x; y) B: (8; 7) A (2; -5) y-(-5) _ 7-(-5) x-2 ----¡j:2 y+5 = 2(x-2) ~ L: 2x-y-9 = O Comparando: y = 2x-9 (Sol. de Daniel) ~ Correcta y-7 = -2(8-x) (Sol. de Betty) ~ Correcta Los dos tienen la respuesta correcta ~ Una persona demora en I!egar a un pueblo hacia su casa 4 dlas. El pnmer dla recorre el 20% del camino, más 100m. El segundo dra recorre la cuarta parte del resto, más 125m. El último dla recorre el 25% del dra anterior. Hallar el recorrido total si el tercerdla avanzó 800m. RESOLUCiÓN: 5xm 1 ero Día ~,~ 3er. Día 4to. Día ';;:100' x+25+125 'ailil' '2ilil' ~ : ~~~~~J Planteamos: 5x = x+l00+x-25+125+800+200 x=400 Luego el recorrido total es: 5(400) = 2000 m @Sielsistemadeengranajes: 70d funciona 1 minuto ¿en qué relación estará el número de vueltas de "A" a "F"? N'D '--y--' A:20 B:30 C:50 N'V N'D '--y--' '--y--' 15 D:70 ;~ y E: 30 ®"" F:20 N'V ® 14 21 • Como C y D están unidos mediante un eje; dan la misma cantidad de vueltas. Luego establecemos: N'VA=15=5 N'VF 21 7 @calcular el término de lugar 10 en la P.G. siguiente: 4,6,9,27/2, ............ . RESOLUCiÓN: Acomodamos cada término de acuerdo a la posición: 1° 2° 3° ~ ............. 10° 2:30 2:31 2~3' 2:3 ......... r2~ 2-120 2' 2' L... : !.8. .. J . --ª'- 19683 •• 128 =~ @Si un arco de 60' sobre un circulo I tiene la misma longitud que un arco de 45' sobre un circulo 11, entonces la razón del área del circulo I a la del circulo 11 es: RESOLUCiÓN: www.Matematica1.com (1) \~..~.J(J3a ) Del dato: ~(a) =~(b) 3 3 ~a=3 b=4 (11) ~~(b) ~4 A, = 7«3)2 _--ªA" 7«4)2 - 16 @ ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj a las 9h:60? RESOLUCION: Las9hI60·1 ...... 1 hson las 10 horas El (3tv0B BOL OH:4BL + BOL OH:4&. _36 AG:32L AG:32L 40% -> (2) -> 72 'LA__G___:4__0__L__ L)(3J6 ' se observa: x = 60 L @Si: &=(x-1)2+n Efectuar: A &-~ M=---- x RESOLUCION: A=((X+2}-1)2+n Luego: [(X-1)2 +n]-[(x+1)2 +n] M= x X2 -2x+1 +n-[x2 +2x+1 +n] M= x = -4x =-4 x .'. M =-4 @ Se tienen 4 velas de igual longitud y calidad. Cada vela se prende 20 minutos después de la anterior. La primera vela se consumió totalmente cuando la cuarta se había consumido en su tercera parte. En ese instante, ¿en qué relación se encuentran las longitudes de las otras dos? RESOLUCION: 1· 2· 3· 4· 20' 20' ~20¡' ~'f 20' t ~{ SO' 20'( "" ¡ ¡ ¡ lK 2K 3K Tiempototal: t+60' El tiempo de consumo es para todos por que son de la misma calidad. 2· 1 3· 2 :. 1: 2 @ El perlmetro de un velódromo es de 750 m. Si recorrió 10 km. ¿cuántas vueltas completas ha efectuado y en qué posición del punto de partida se detuvo? RESOLUCION: o 1 vuelta = 750 m 2 vueltas = 1500 m Enl0m<>10000m habrá: 9750 m + 250 m <> 13v+250 Habrá 13v+250 m del punto de partida. :. A250 m del punto de partida. @ En un campeonato de fútbol participan 8 equipos. Si en cada partido se disputan 2 puntos y todos juegan contra todos. ¿Cuál fue el máximo número de partidos empatados si el campeón absoluto resultó con 8 puntos? RESOLUCION: Como son 8 equipos. cada equipo debe jugar 7 partidos. como nos piden el máximo número de partidos empatados. supongamos que todos los partidos de cada equipo son empatados. en conclusión. obtendría 7 puntos. Pero el campeón absoluto obtuvo 8 puntos. es decir. que de sus 7 partidos. tuvo que ganar 1 partido. Sabemos: N· de partidos= 8;7 = 28 :. N· partidos empatados = 28-1 = 27 @ Dos autos parten simultáneamente en sentidos opuestos. el primero viaja 5 kmlh más rápido que el segundo. Después de 8 horas se encuentran separados 360 km. ¿Cuál es la rapidez del primer auto? RESOLUCION: V kmIh ah ah (V+5)kmIh ~~ I--e ---1 1----360 km ------1 Del gráfico se tiene: e=(v+5)8 Además: 360-e= vx8 ~ 360 = 8v+40+8v v=20kmlh :. v+5=25kmlh @ Una tela al lavarse. se encoge e110% en el ancho y el 20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2m de ancho. ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan 36 m2 de tela después de lavada? RESOLUCION: 10x 8 EJ.l.8ml ~21 Luego: 10 36 = 1.8(8x) ~x= 4 :.Iongitud: 10 [~O} 25 m @ Hallar el área del triángulo que forman las rectas: L,:y=x+2 L2:y=-x+2 L3:Y= 1 En el plano cartesiano RESOLUCION: L2:y=x+2 { Y=-X+2 '""" x=o L,nL2 y=x+2 .....,.., y=2 { Y=-X+2 '""" x= 1 L,nL. y=1 '-V y=1 (0:2) (1 :1) L ,n L {Y=X+2 '""" x=-1 (-1;1) 2 y=1 """"'y=1 2~~X~~0 + -1 -1~1 1 + O O 2 2 - - 1 -1 11-(-1)1 Luego' S = --- = 1 u2 . 2 @ ¿Cuántos cuadriláteros hay? cE§:n RESOLUCION: rm-I ~ r~·131 .. mi L____ _ ___ .1 www.Matematica1.com Podemos contar: 3x4 2x3 . -2- x -2- = 18 cuadnláteros r··m1 r---l---- ..•.. ! 3 ----rO-O! L ____ .L____ _ ___ .L ___ ... Los cuadriláteros a contar son: (1). (12). (123) ~ 3 cuadriléteros r··r·~·h·! Los cuadriláteros a contar son: (1). (12). (123). (1234). (12345) (5). (45). (345). (2345) ~ ~ 9 cuadriláteros Entonces: Total de cuadriláteros = 18+3+9 = 30 @ Un libro se empieza a enumerar des· de su primera página y se nota que 58 números comienzan con la cifra. ¿Cuántos números escritos terminan con la cifra 7? RESOLUCION: Oel dato sabemos que hay: 58 números que empiezan con la cifra 7 1-, .-... -7, -....-. , -70-, ..-.. ,- 79~, .-....- , 7-00-, -70-1, -....-. ~ y '----y--J '----y----' un número 10 números 47 números Ahora escribimos los números que terminan en 7. , ~--~, 7.17.27.37 .................. 737 '----~v~----' 737-7+10 Tenemos: 10 74 @ Una rueda "A" de 50 dientes engrana con otra "B" de 25 dientes. a su vez. fijo al eje de B hay una rueda "C" de 15 dientes que engrana con una rue· da "O" de 25 dientes. Si la rueda """ da 120 R.P.M .• ¿cuánto tiempo de· mora la rueda "O" en dar 1440 revo· luciones? RESOLUCION: av av ~ 1202x2= 1xa~a=240 ~ax3=bx5 240x3=bx5~b=144 Para la rueda "O": 10 ( 1' --144vueltas ) x 10' --1440vueltas x10 Se demora 10 minutos. @ Hallar la pendiente y el ángulo de in· clinación de la recta que contiene al par de puntosA(-8;-4) y B(5;9) RESOLUCION: Calculando la pendiente: (-4)·(9) -13 m - (.8).(5) - .13 = 1 Además: m=tg6=1 ~6=45' :. m=1;6=45' @ En la figura. cada línea representa un camino. ¿Oe cuántas maneras distintas se puede irde la ciudad 1 a la ciudad 20? ~ ........ @ RESOLUCION: ~ ........ ® t t 3 cludtIu3~n... Pnlfilgllrall MIIneru anBiIl8l pueden + ciud.cl20 penw.¡Itne con 1116 II!Jndrlflll'101: mIIn ... lndlCldu 3K6)(9)( ..... x57 maneras ~ 311{1x2x3x'H 19) ITII!Ineru ~311(191)lTIInlillll :. #maneras=319 (19!) @ En una progresión aritmética creciente de 20 ténminos. el primertérmino es 2. Si la suma de los 20 términosesS10. hallarla razón. RESOLUCION: 1° 2° 3° ........ 20° 2. O O ...... ·.~ S=t 2 ;X}0=S10 -+x=59 l' 2' 3· ....... 19· 20' 2. O 0 ...... ·0 .59 ~ ~ ~ r r r ~ 2+19r=59 :. r=3 @ Una ficha cuyas caras están marcadas con los números 3 y 4 respectivamente es lanzada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 17? RESOLUCION: # casos totales: 2" = 32 # casos a favor: 10 .L. 2° 30 4° 5° :I :I :I :I =I } ~:;2)= ~ 3!x2! = 10 :. P(suma en total sea 17) = ~~ = 1 5 S @ En una reunión. el 40% son hombres y el resto son mujeres. Oespués ingresan 70 hombres y salen 20 mujeres. entonces el número de hombres es el SO% del nuevo total. ¿Qué porcentaje del nuevo total de damas son las personas que ingresaron después? RESOLUCION: Antes Tolal: 100K Después 'H:40K'....!Z4 '40K+70' M: SOK ~ SOK-20 Nuevototal; 100K+50 Por condición: ~SO% :~~+70= l.iJ(100K+50) Luego: Ahora: H: 150 M: 100 rnuevototal de mujeres Nos piden: --"-- (1 00) = 70 ......--100 Que%de ..... x=70 :. El porcentaje es 70% @ En una suma hay esferas de color rojo. azul y blanco. Las rojas son eISO% de las blancas y las azules son el 25% del número de rojas y blancas juntas. Respecto del total. ¿qué porcentaje representan las esferas azules. rojas y blancas respectivamente? RESOLUCION: Asumiendo que las blancas sean 10 tendremos por las condiciones del problema: Luego: Total: 20 esferas Entonces: Rojos: :0 x100% = 30% Blancas: ~~ x100% = 50% Azules: 2~ x100% = 20% @ Oe un juego nonmal de naipes (casinos). ¿cuál es la probabilidad de obtener un "AS" al extraer una carta? RESOLUCION: La baraja tiene 52 cartas de las cuales4 son ases; luego: 4 1 P(As) = 52 = 13 @con 5 kg de arena pueden construirse 3 cubos de 10 cm de arista ¿ Cuántos cubos de 5 cm de arista pueden construirse. con 10 kg de arena? RESOLUCION: ~~ # kgArena # Cubos Volumen I 5 1+ 3 I X I 103 10 + x X 53 _5 __ ~ 3(10)3 - X(5)3 :. x = 48 @ En el gráfico mostrado BO = 5 Y m « OBC = S' entoncesAC es: ~ A D e www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: En el gráfico. trazamos la mediana BMeneIAABAs. ~ A M D C I • I "" AM=MB=MC=BD=5 :. AC =AM+MC= 5+5= 10 @ Indicar cuales de los siguientes enunciados son verdaderos: 1. La suma de dos números triangulares siempre es un número triangular. 11. La sucesión de Fibonacci es: 1.2.3.6.11.20.37 •...... 111. En la sucesión 12. 19.26.33 •... el término de lugar 20 es 145. RESOLUCiÓN: 1. Números triangulares: 1; 3; 6; 10; 15; .... Suma de 2 términos cualesquiera 1+3= [lJ "" No es un número triangular. El enunciado I es Falso. 11. Sucesión de Fibonacci: 1.1.2.3. 5.8 ...... . El enunciado 11 es Falso. 111.12;19;26;33; ...... . t,=7n+5sin=20 "" t20=7(20)+5=145 El enunciado es Verdadero. @JuancercósUjardinYlacercaformó un cuadrado en el que habían 15 postes en cada lado. ¿Cuántos postes utilizó? RESOLUCiÓN: Luego: N" de postes utilizados: 15+25+13+13 = 56 @ El lío del hijo de la única hermana de mi padre. ¿qué parentesco tiene conmigo? RESOLUCiÓN: Del problema. planteamos el siguiente esquema: MI PADRE UNICA HERMANA DEMI PADRE r1~~ ~ Y{O 7~"~úO SU{H7IJ O ~ 8 iíIíI :.EsmiPadre ... @Hace 10 anos tenia la mitad de la edad que tendré dentro de 8 anos. Si tú naciste cuando yo tenra 15 años. ¿cuál será la suma de nuestras edades cuando yo tenga el doble de la edad que tuve hace 11 años? RESOLUCiÓN: 1 x-lO = 2" (x+8) "" x = 28 (Actualmente tengo esta edad) Hace 13 años tuve 15 años y tú naciste cuando yo tenía esa edad; luego tu edad y la mía se diferencian en 15 anos. Hace 11 anos tuve 17 anos. el doble de esto en 34 anos. entonces: Ahora Yo (28 Tu -15 13 Cuando tenga: 2(28-11)=34)_15 19 Suma=¿? :. Suma=53años ~ Se tienen 2 barriles con vino de diferente calidad. El primero contiene 20 L Y el otro 30 L. Se saca de cada barril la misma cantidad y se echa en el primero lo que se sacó del segundo y viceversa. ¿Qué cantidad de vino ha pasado de un barril a otro si el contenido de los dos resultó de la misma calidad? RESOLUCiÓN: "x"L "x"l ~ 20 L C, 30L C2 ~ ~ [~Q Denotemos: C:calidad Para que tenga la misma calidad las dos mezclas deben estar en la misma proporción. es decir: 20-x = _x_ "" x = 12 t x 30-x @ Mi abuelo nació el siglo XIX y en 1887 cumplió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento. Yo naci exactamente 100 anos después del ano de su nacimiento. ¿Cuántos anos cumplí el ano 1995? RESOLUCiÓN: Monacimienlo '18 b 0 del abuelo . a + (a+b+9) Ano de Referencia: 1887 "" 18ab+a+b+9 = 1887 lla+2b=87 Resolviendo: a = 7. b = 5 Luego: el abuelo nació en 1875. entonces yo nací el año 1975. En 1995 cumplí 20 anos @SeSabeqUedehOya5anos."A"Será tan viejo como lo es hoy "B". quien tiene la cuarta parte de la edad que tendrá OC" en ese entonces. Hallar la suma de las edades de los tres dentro de 10 años. si además OC" es mayor que"B"en 16años. RESOLUCiÓN: ~ t:!QX Fut. EY1. A: x-5 x x+5 B: x x+5 x+l0 C:x+16 X 4x x+26 '-------y------ sumaanaspa x+4x= x+16+x+5 Suma:3x+41 x=7 Suma = 3(7)+41 = 62 @ ¿Qué hora marca el reloj mostrado en la figura? 12 11 1 7 RESOLUCiÓN: 6 3 Supongamos que la hora es: 9:n' 12 9 s ""a=6n-120 .a=t~r Luego: n 9 6n-120 =- "" n = 21- 2 11 • 9' •• 9:21-;¡;¡- 3 @ Un par de conejos siempre da crla; una vez al mes dos conejitos (un macho y una hembra). Al cabo de dos meses de nacimiento estos conejitos comienzan a tener erras. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de tres meses. si al comienzo había un par de conejos? RESOLUCiÓN: Inicio: Gr fJ Padres: ... 2 ,.a{,dl!\i ... 2 ,.a{ I ~I!\ Tolal:l0 ... 2 1 mes{GrfJ Gr~ ... 4 :. 10 conejos @ Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto (-2;3) y es perpendicular a la recta: 2x-3y+6 = O www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: L, m,=7?\ (-2;3) 2 m'=3\ =---'tL-_-. L,: 2x-3y+6=0 Recordando: L' ... I mL1xm~=-11 L, 2 3 mLl'3=-1 ~mC,=-2 Luego: 3 L2: y-3 = -2(x+2) L2: 3x+2y= O @ En la figura, si el triángulo tiene base "b" y altura "h"¡ entonces .x" es: M--2x--+l RESOLUCiÓN: B ~, ~~ A l. b uC Se observa que el triángulo ABC es semejante al triángulo MBN, entonces: --"- _ h-x b - 2x Desarrollando: bh x = 2h+b @ Hallar el valor de x en: 6 5 9 78 8 6~7 58 3 RESOLUCiÓN: 6 5 :+~8 ~~7 2~=3 1~9 :. x=8 4iiO' Si: x = a+b ; y = a-b ~ ab ab RESOLUCiÓN: 9 5 ~ 3 9+5+3=17 1:;:'=8 x+y Hallar: -x- y x+ya+=b --a--b- -=2a- =2- ab ab abb a+b a-b 2a 2 x-y = ail- ail = ab = a 2 x+y b a Luego: x-y = 2 = b a @ Al vender un objeto ganando el 32% del costo, se ganó 240 soles más que si se hubiera vendido ganando solo el 12% del costo. ¿Cuánto cos-tó el objeto? RESOLUCiÓN: Ganancia 1 Pc 1 32% Pc 1 En total 132% Pc Ganancia 1 Pc 112% Pc 1 En total 112% Pc 132% Pc-112%Pc=240 20% Pc = 240 ~ Pc = 1200 soles @ La edad en años de una tortuga es mayor en 20 que el cuadrado de un número "n" y menor en S que el cuadrado del número siguiente a "n°. ¿Cuántos años tiene la tortuga? RESOLUCiÓN: Edad de la torbJg' n2 (n2+20) (n+1)2 '----'" '----'" 20 5 Donde: n2+2+S= (n+1)2~ n = 12 ~ Edad de la tortuga = 122 +20 =164 @ Si una persona compra 40 naranjas a 5/.2 cada una, vende 20 ganando S/.1,S en cada una y las restantes las vende al precio de costo. ¿Qué tanto por ciento está ganando? RESOLUCiÓN: Costo total: 40(2) = 5/.80 l. Vende: 20 ganando en cada una: 1,S ~ Venta: 20(2+1 ,S)= 5/.70 11. Vende: 20(2) = 5/.40 Luego: Venta total: 70+40 = 5/.11 O ~ Se gana: 110-80 = 5/.30 • 30 x100%=37 S% .. 80 ' @ Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30% ¿en qué porcentaje aumenta su área? 10 13 '0191"'3181 10 ~ :. 1 6 :0 x100% = 69% @Si:XY=6 yz=8 xz=3 Entonceselvalorde ~ es: RESOLUCiÓN: Multiplicando miembro a miembro: (xy)(yz)(xz) = 6(8)(3) (xyz)= 144 xyz=12~ ~ =6 @ A qué hora entre las 4 y las S el ángulo intemo y el ángulo extemo formado por las manecillas del reloj están en la relación de 10 a 26. Antes que el minutero pase al horario. RESOLUCiÓN: Hora: 4:n' 12 .".-¡--... 9+-+-~f----+ 6 a=120+~-6n 2 e = 240-~+6n 2 Luego: 120+ -%--6n 6n+240-~ 2 10 26 7' :.4:311 @ Del siguiente cuadrado cuyo lado es "a" detenminar el área de la región sombreada. RESOLUCiÓN: B .------:::11 e AIL..---":::::' O En el Ll.ABC, "G" baricentro luego: 65 = .1.[a2] 4 . a2 .. 25=12 ~ ¿Qué ángulos fonman las agujas de un reloj cuando sea las S: 1 O? RESOLUCiÓN: q a = 3(30)+S = 9So Otrafonma: Como el horario adelanta al minutero, aplicaremos la siguiente relación: • H = S •• m = 10 a = 30(S}- ~ (10) = 9So www.Matematica1.com @HallareISigUientetérminoen: AZ., CX, EV, GT, .......... . RESOLUCiÓN: Observando las primeras letras de cada término, tenemos: y W U S AZ~~~~ ~~-.....J~ B D F H :. Respuesta: IR @ Un peatón recorre 23km en 7 horas, los 8 primeros km con una rapidez superior en 1 kmlh a la rapidez del resto del recorrido. Calcular la rapidez con que recorrió el primer tramo. RESOLUCiÓN: I 7 horas -----i ¡IV- ---- ; ~ 1-- a km---l 1---15 km---l t, b '""r '""r 8 15 -Y+v_1=7 Resolviendo: v = 4 kmlh ® Encontrar el valor numérico de T, si: a b a+b x=-+- y=-- b a a-b T = (X-2){y2 -1 ) RESOLUCiÓN: a b a2+b2 x=-+-=-- b a ab a2 +b2 ~x-2= --2 ab a2+b2-2ab _ {a-b)2 ab - ab y2_1 = (y+1){y-1) t:~: +~t:~: -1J =t;-~X;-~J 4ab = {a-b)2 :. T = (X-2){y2-1) = {a-b)2 x_4_ab = 4 ab (a-b)2 @ Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y el colegio yobserva que si camina a razón de 6 mis tarda 4s más que caminando a 8 mis ¿Cuál es la distancia? RESOLUCiÓN: .,l, .lli,.V1 :6m1S t1 ..&.. .m~g[Ij Casa ~colegio V2 : amls d d 6-8=4~d = 96m @ El gráfico muestra la distribución de los gastos de un país. Si del sector de educación, el 25% corresponde a infraestructura educativa, ¿cuántos grados corresponde al sector "infraestructura educativa"? IfEd _25 x 40_...!Q.._ • n. uc·- 100 100 - 100 -10%. luego: 100% ---- 360% 10% 36% Le corresponderán 36" @ Un esquilador calculó que si hacia 10 km por hora, llegarla al sitio designado una hora después del mediodía, si la rapidez era de 15 km por hora, llegaría una hora antes del mediodía. ¿Aqué rapidez debe correr para llegar al sitio exactamente al mediodla? RESOLUCiÓN: 0 10 '::' _ .....:.t+:,.1:....-__ 1 pm -dO km 15,, __ --=t--:'1 __ 11 am -dd = 10{t+1) = vi = 15{t-1) L:::. t = 5 .::J Luego: 10{5+1) = 5V ~ V = 12 km h @ Se desea empapelar las paredes de una sala rectangular de 15m de largo, 6m de ancho y 5m de altura. La sala tiene 4 ventanas de 1 ,5m por 2m. ¿Cuántas piezas de papel colomural de 10m por 60cm cada una deberán comprarse? 5m 15m A""", = 2(5){6)+2{15){5) = 210 m2 AIDIa'=4{1,5){2)= 12 m2(No ... mpaPOI.) Luego: Área a empapelar = 210-12 =198m2 Área de 1 pieza _ _ 2 de colomural - 1 O{O,6) - 6 m Número de piezas de colomural que deberán comprarse: 198 6m2 = 33 piezas @ En un salón de 60 alumnos, el 30% son hombres. ¿Cuántas mujeres deberán retirarse para que los hombres representen el 60% del nuevo total? RESOLUCiÓN: H I M .hora: Final 118. X I (n~evo ~~I) 60% 40% 40% = 60% => x=12 ••• Deberán retirarse 42-12 = 30 mujeres @ La edad de un padre sobrepasa en 5 años a la suma de las edades de sus tres hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad del hijo mayor, dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad del segundo, y dentro de 30 años, tendrá el doble de la edad del tercero. Halle la edad del padre. RESOLUCiÓN: Dentro de Dentro de Dentro de AoIWII .I.!l..IUll>l 2ll..IIJloI :llI..alIl!l Padre: 2x 2x+10 2x+20 1er. Hijo: x-S "--"'x+5 2do. Hijo: x-10 ...-----... x+10 3er. Hijo: x-1S-Por dato: 2x-{x-5+x-1 0+x-15) = 5 x=25 ." _ Edad del padre: 50 años 2x+30 --x+15 @ Un campeonato toca tantas campanadas como horas indica. ¿Cuántas campanadas tocará durante todo el 1 ero medio dla de hoy? RESOLUCiÓN: HORA .... t ~h~h ..... ~2h Campanadas .... 1 c 2c 3c ...... 12c N" total de campanadas: 1+2+3+ ...... +12= 12(13) =78 2 @A1 cajero de una compañía le falta 1/9 del dinero que se le confió. ¿Qué parte de lo que le queda restituirá lo perdido? RESOLUCiÓN: Dinero que se le confió: 9K Se le perdió: K Lequedó:8K Hay que restituir SI. K Y esto es 1/8 del dinero que le quedaba. @Adunito compré objetos al precio de S/.48 y S/.42 cada uno, pero no recuerda cuántos compré de cada precio, sólo recuerda que gastó S/.1542 y que el número de objetos de S/.48 era impar y no llegaba a 10. Hallar la semidiferencia del número de objetos de cada especie. RESOLUCiÓN: De S/.48 x objetos; "x" impar menor que10. De S/.42 y objetos 48x+42y = 1542 (gasto) 8x+7y = 257 x+ 7x+ 7y = 257 ~ x+ 7{x+y) = 257 (div) I I x 5 T+{X?)=-ªl!+T .".x=5 www.Matematica1.com y= 31 • 31-5 _ 13 •• 2 - @ Jaime dice: "Hoy podré vender más naranjas pues rebajé en 1 sol el precio por docena, lo que significa que el cliente recibirá una naranja más porcada sol". El nuevo precio de cada naranja será de: RESOLUCiÓN: Disminuye SI. 1 ~ Precio SI. X Precio SI. x-1 [12 Nar. [ [12 Nar. [ Naranjas que vende por SI. 1 '---r---' 12 Naranjas que recibe el cliente por SI. 1 • 12 X x-1 ~~- 12=1 Resolvemos:x=4 x-1 X El nuevo precio de cada naranja será: :. 1 3 2 = S/.O,25 @ Para obtener 60 litros de alcohol de 60', se ha mezclado 15 litros de alcohol de 80', 30 litros de alcohol de 70' y una tercera mezcla de alcohol con agua. Determinar el grado alcohólico de la tercera mezcla. RESOLUCiÓN: OHI :~ I;HI ;," !;HI ~ !;:r~II 15L 30L 15L 60L ~ x' =--ª-x100' = 20' 15 ~ Un lapicero de tinta seca cuesta S/.8 y un lápiz S/.5. Se quiere gastar exactamente S/.96 de manera de poder adquirir la mayor cantidad posible de artículos. ¿Cuál es el número de lápices comprados? RESOLUCiÓN: Número de lapiceros: m Número de lápices: n Luego: 8m+5n = 96 (ecuaciOndioféntica) desarrollando: 5n m = 12-""8; n: 8, 16, ...... Notamos que "n" no puede tomar el valor de 24 porque tendríamos una cantidad negativa. Entonces: n=16ym=2 :. Son 16 lápices. @ En la figura, hallar el área de la región sombreada, si r = 5 m. RESOLUCiÓN: 5m A 5m 5m D Enel~ABC: m q C=53'/2 • A- 5x4 -10 2 .. - 2 - m @ Hallar el área de la región sombreada, si en la figura se muestra un cuadrado. Además M y N son puntosmedios. ~'f N RESOLUCiÓN: Recordando: ~~1 2~ TOTAL 12 Total BQC ~M A N D Soomb ..... = S(APN)-S(AQN) Soomb"""'. = 1~ (30'}- 2~ (30') • •• Ssombreada = 20 u2 ® Hallar la diferencia entre el último término negativo y el quinto término positivo en: -641, -628, -615, -602, ....... RESOLUCiÓN: Hallando el término enésimo: -648281802 ; ...... +13 +13 +13 ~ t,=13n-654 Del término enésimo deducimos: n =49, 50,51,52,53,54,55, .... t,=-17.HJ, 9, 22, 35, 48,@J :. t .. -t55= (-4)(61) =-65 @ Hallar el valor de "S", sabiendo que es máximo: S =,?+402+4+396+6+390+ .... " v "2n- sumandos RESOLUCiÓN: Observamos que la cantidad de sumandos en 'S' es para '2n' sumandos. Entonces, sumamos en parejas, y se obtiene: S = 4+402+4+396+6+390+ ..... + "-------' "-------' "-------' 404 400 396 -----.;o -----.;o -4 -4 + 0 + 0 + 0 +0 ...... L---..J L---..J L---..J L---..J ,--,,8-----.;04 ---.J' -----.;0-4,--" -4 -4 -4 -4 -4 ...... Como nos piden que 'S' sea máximo, entonces tomando solo los valores positivos: S = ~04+400+396+ .... +8+4" v 101 sumandos = (404+4)101 = 20604 2 ~ En un examen Carlos obtuvo 5 puntos menos que Esteban, quien tuvo 2 puntos menos que Juan, cuyo puntaje es igual a la semisuma de lo obtenido por Esteban y Alberto. Si este último obtuvo 12 puntos, ¿cuántos puntos obtuvo Carlos? RESOLUCiÓN: Juan:x+7 Esteban: x+5 Carlos: x Alberto: 12 x+5+12 Por condición: x+7 = 2 Resolviendo: x = 3 Luego:J:10 C:3 E:8 A:12 :" Carlos obtuvo 3 puntos @ Hallar el área del cuadrado ABCD, sabiendo que el área de la región sombreada es 50 m2 '~: A N D RESOLUCiÓN: Suponiendo que el lado del cuadrado es 4m. Obtenemos: J~t 16m2 2.r 3m 1m Reción Sombreada Cuadrado Supuesto: 5m2 ) x10 16m2 Real: 50m2 160m2 :. Área del cuadrado = 160m2 @AI unir los centros de las caras de un cubo cuya arista mide 6m se forma un sólido, entonces el volumen de este último será: RESOLUCiÓN: Al hacer lo indicado se forman 2 piramides de base cuadrada (el área de la base es igual a la mitad del área de una cara del cubo) www.Matematica1.com Además la altura de la pirámide es igual a la mitad de la longitud de una arista del cubo. Luego: [ Area XhJ :. Volumen = 2 bas~ =2[[~lX3 ]=36m2 ® Calcular "a" 80' RESOLUCiÓN: ::::::> 0.+50° = 80° .-.0.=30° @ Una obra se pensaba hacer en 40 días con 60 operarios que laboren 6h/d. Sin embargo la obra aumenta 1/5 en magnitud y tiene que entregarse 8 dlas antes de lo previsto. ¿Cuántos obreros tendrán que duplicarsu rendimiento? RESOLUCiÓN: Del problema: ~ (40)(60)(6) = 32(60+x)(6) Resolviendo: x = 30; es como si hubiéramos aumentado en 30 obreros. :. 30 obreros tendrán que duplicar en rendimiento. @ Un vendedor recarga el precio de sus artlculos en un 25% de su valor. ¿Cuál es el porcentaje de descuento que se puede hacer sin ganar ni perder? RESOLUCiÓN: 1--- P,: 125---1 I P.C. 100 125 I ~ Dcto. Descuento máximo: 25 Porcentaje máximo de descuento: 25 125 X100% • '. Porcentaje máximo de descuento= 20% @Si(b.a)=a(a.b);a.b>O Hallar: E = 24.3 RESOLUCiÓN: (b.a)2 Del dato: a.b= -- ......... (a) a (a.b)2 Ahora: b.a = -b- reemplazando en (a) [ (a.b)2J2 b (a.b)4 a*b = a :::::> a*b = ~ Operando: a.b=~ab2 Luego: 24.3 = ~ 24.32 = 6 @ Si en el departamento tenemos 30 puntos en donde a lo más hay 2 puntos colineales, ¿cuántos triángulos se pOdrán formar en total con estos puntos? RESOLUCiÓN: .• . C',O 30x29x28 = 4060 1x2x3 @ Un lote de licuadoras se vende así: el 20% ganando el 20% de su precio de costo, la mitad del resto ganando el 40% de su precio de costo, finalmente se vende el resto con una pérdida del 25%. Si en la venta total se ganó 125 soles, ¿cuánto costó todo el lole de licuadoras? RESOLUCiÓN: f---:¡¡¡¡- 100K ----1 G: 4K G: 116K P: 10K Balance final: 4k+16k-10k = 10k = 125 se ganó :. P.C. Lote: 100k= 10(10k)= = 10(25)= 1250 @ En una reunión el número de hombres y mujeres están en la relación de 3 a 2 ¿Qué porcentaje de hombres deberán retirarse para que el porcentaje de mujeres aumente en un40%? RESOLUCiÓN: ,Hombres, ~. ,Hombres, ~ 3 2 3-x 2 .. .. .. .. 60% 40% _\ 1 i .J!4% )19%.1 Aumenta 1 4 en 40% 3-x =~"x=2 1 4 2 :, Retiran x100% = 5/2 x100% = Hombres 2 =83,3% @ Un trabajador salió de vacaciones y observó que llovió 11 veces en la mañana o en la tarde y que cuando llovía en la tarde la mañana estaba clara, además hubo seis tardes ciaras y 9 mañanas claras, ¿cuánto tiempo estuvo de vacaciones? RESOLUCiÓN: M T Llovió 1 x ll-x 1}11 No llovió 9 6. '----r-' '----r-' 9+x = 17-x~x=4 :. x+9 = 13 dlas de vacaciones @ Hallar el valor de x en la sucesión mostrada: O,2,4,B,20,x RESOLUCiÓN: 024820ísBl '--'" '--'" '--'" '--'" ~ +2 +2 +4 +12 +48 '--'" '--'" '--'" '--"" xl x2 x3 x4 @sabiendOqUep;=15120YC;=126, calcular"k" RESOLUCiÓN: ni " n! ~ _ (n-k)! _ P; C. (n-k)!xk! 126 - k! - k! luego: p" C" =---" ~ 126 = 15120 • k! k! k! = 120 = 5! :. k=5 @ En la figura mostrada ABCD es un cuadrado y ARO es un triángulo equilátero. Entonces "x" mide: B e ALL...---J..JI RESOLUCiÓN: 3D' Se observa: a=9+30' a=9+x :. x=30' @ La suma de los valores reales de ·x" que satisfacen la igualdad: Ix+21 =2Ix-21,es: RESOLUCiÓN: Recordando: I a I = k I b I a=kb ó a=-kb (x+2) = 2(x-2) ó x+2 = -2(x-2) x+2 = 2x-4 Ó x+2 = -2x+4 x=6 ó x=~ 3 • 2 20 •• Sumadevaloresdex:6+3 =""3 @ Una cuadrilla de 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 6 días de trabajo se les junta cierto número de obreros de otro grupo cuyo rendimiento es el doble de los anteriores de modo que en 15 días terminan lo que falta de la obra. ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo? RESOLUCiÓN: Aplicando cantidad de obra: www.Matematica1.com 27 dlas ~ 35 35 ......... 21 días I obreros 35+x(2} ... 15 dlas I # obreros del 2~ 35.21 "!'(35+2x}15 grupo: x 7 = x (rendimiento: 2) @EneISigUientearreglo: f, 1 f2 8 27 fa 64 125 216 f4 343 512 729 1000 / i \ Hallar la raíz cúbica del último término de f20 RESOLUCiÓN: Sacando {¡ a los últimos términos de cada fila del arreglo. f(I) ........... 1-= (1x2}12 f(2) .............. ~=(2x3}12 f(3) ................. ~=(3x4}12 f(4) ................... 1Q = (4x5}12 fl) ....................... ~=(20X21}/2 .-_ 210 @ En una feria una persona juega al "tiro al blanco" con la condición de que por cada tiro que acierte recibirá "a" soles y pagará "b" soles por cada uno de los que falle. Después de "n" tíros ha recibido "e" soles. ¿Cuántos tírosdioen el blanco? (a > b) RESOLUCiÓN: N" tiros Valor c/u Total N° de aciertos x n-x ~ xa-(n-x) = e xa-bn+bx=c x(a+b) = bn+c bn+c x=-a+ b a xa b (n-x}b _ Número de tiro que _ bn+c • - dio en el blanco - a+c @ ¿Cuántos semicírculos hay? ~ RESOLUCiÓN: ~23 6 4 5 N" de semicírculos: 123; 234; 345; 456; 561; 612 son 6 semicírculos; luego: N" total: 6(3)= 18 @ ¿Cuáles el número que es igual a 38 veces a la décima parte de 3/4? RESOLUCiÓN: Sea N el número, por condición: N = 38x-1-x -ª-~ N = 57 10 4 20 @ En un salón de clases hay 90 alumnos y se observa que la séptima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. ¿ Cuántos hombres no usan lentes? RESOLUCiÓN: r tiene onceava (es mÍlltiplode 11) l' tiene séptima (es múltiplo da 7) ( H +(M = 90 Luego: 11 79 No 22 68 No usan lent .. : 1~ (55) = 5 33 57 No no usan lentes: 50 44 46 No 55 35 Si @ Si: [x]: máximo entero de Y, hallar P(4) en: -[2,5]+[-2,5]-[-O,1]+a2 Pea) = a+[-1,08] RESOLUCiÓN: -2+(-3)-(-1 )+a2 Pea) a+(-2) a2 P(a)=--4- = -"-(a_+-;-2)~I{a-2}~ a-2 Ja-2J :. P(a)=a+2 Si:a=4~P(4)=6 @caICular"n"en: (n-5)!x(n-2)(n-4)(n- 3)= 120 RESOLUCiÓN: ,( n-5)!x(n-4)(n-3)(n-2), = '1-y2-0- ' n-2=5 :. n=7 (n::-2)! = 5! @ Marcar verdadero (V) o falso (F) según corresponda. l. El lanzar un dado normal es un experimento determinístico. 11. Un evento es un sub-conjunto cualquiera del espacio muestral. 111. Un experimento aleatorio es un experimento no determinrstico. RESOLUCiÓN: l. Falso. Es un experimento aleatorio, sale cualquiera de los 6 puntos, pero no se sabe cual. 11. Verdadero 111. Verdadero @ Si "a+b" representa la diagonal de un cuadrado 1, entonces el perímetro de otro cuadrado 11, cuya área dobla la de 1, es: RES~N: o(U} a+b ~ Ares. (a+b)' Ares. _ (a+b)' . 2 .... x ..2"'" = (a+b)' :. Perímetro: 4(a+b) => lado: a+b @¿CUál O cuáles de las siguientes figuras se puede realizar de un solo trazo ::~'¡'"i" (I) (U) (III) RESOLUCiÓN: Aplicando los postulados de Euler estudiados en introducción a la topología: La fig. I tiene 2 puntos impares y los demás son puntos pares; por lo tanto se puede realizar de un solo trazo. La fig. 11 tiene todos sus puntos pares y también es realizable de un solo trazo. La fig. 111 tiene varios puntos impares y no se puede hacer de un solo trazo. @ ¿Qué porcentaje del tres por siete del cinco por veinte del inverso de 7/2, es el dos por 49 del cuatro por cinco del triple de la mitad de 1/4? RESOLUCiÓN: --"-- x -ª-x...§... x 1.. = .1... x ~ x3x..!. x..!. 100 7 20 7 49 5 2 4 x=40 Luego: :. Elporcentajees40% @ ¿Cuántos cuadrados hay? E RESOLUCiÓN: m:234~~~ 4 i ___ J Número de cuadrados = 12 +22 +32 +42=30 2 cuadrados pequeños = 2 Total de cuadrados = 32 @Selanza dos dados insesgados (normales o legales) ¿ Cuál es la probabilidad de obtenerla suma 10? RESOLUCiÓN: Dado 2 peA) 6 h--.--rtii' 863 :. El menor valor. 864 @ Un obrero gana S/.3 más que otro diariamente. Al cabo de 26 dlas se retira el primero y seis d las después el segundo. Si los dos han cobrado la misma cantidad. ¿Cuál es el jornal diario del primero? RESOLUCION: EllO (A): SI. (x+3) cada día E12° (B): SI. xcadadía Luego: A B ,----Jo----., ,--L-, 261x+3) =j1(x) 39+13x= 16x 39=3x~x=13 :. (x+3) = 16 soles @ En la figura mostrada, el área del rectángulo ABCD es 12m2. Entonces la diferencia entre las áreas de las regiones sombreadas es: :~ RESOLUCION: Recordando: Entod,o ~ .. [x=y) trapeclo~ Luego:""" __ "",,, _ -:::;I'I' Se observa que S 1 = S2 :. Su diferencia es cero. @ Un reloj se alrasa cinco minulos cada 45'. Si ahora marca las cuatro de la tarde, y hace 6 horas que lleva relirándose. ¿Qué hora es realmente? RESOLUCION: Tiempo queDasa 8(45min x 6hr<>360min ~x=40 Entonces el reloj tiene un atraso de 40 min si ahora el reloj marca las 4:00 p.m. quiere decir que la hora correcta es: 4:40 p.m. ® Diga Ud. ¿qué hora es?, Rápidamente, si faltan 3 horas para que sean las 11 horas con 60 minutos y 60 segundos? RESOLUCION: Veamos el siguiente gráfico: S ,llh60'60-<> 12hOl: L ¡ v Faltan3h :. Lahoraquees: 12h 01' -3h = 9:01 , @ Cuatro parejas de enamorados van al cine y encuenlran una fila de 8 asientos juntos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar en dicha fila, si cada pareja desea estar siempre junta? RESOLUCION: C8~;~~_~~1 r~hM2) [~_~_~~~J rH~M~] Como son 4 grupos, se ubican de: 4! maneras además en cada grupo hay 2 personas los cuales se ubican de 2! Maneras. Enlonces en total tienen: 4!x2!x2!x 2!x2! = 364 maneras de ubicarse. ® En una caja hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se exlrae al azar una bola. ¿Cuál es la probabilidad que el número de la bola extraída no exceda del0? RESOLUCION: P(A) = Casos favorables al evento 10 = 1 Casos totales en n 10 OBSERVACION: El evento: "Sacar una bola con un número que no exceda de 10" es un evento seguro pues de todas las bolas que hay ninguna excede al número 10; (la numeración va de 1 hasta el 10 inclusive) www.Matematica1.com ~ En la figura ¿qué porcentaje del área del círculo representa el área de la región sombreada? ~ V RESOLUCiÓN: Del gráfico: a+9 An . 36 = 2 ( gulo Interno) ::::::> a+e = 72° Entonces "juntando" las regiones sombreadas como se muestra a continuación tendremos: • (a+9)" 72· Area = 360. X1tR2 = 360. X1tR2 = =~"R2 5 :. Porcentaje = t total <> 20% @Sedefine: { m;5 ; si "m" es impar @= m+4 . si "m" es par 2 ' Calcular: E=@-@J RESOLUCiÓN: (j)= 7+5=6 2 ~@=@= 6;4 =5 También: @=5-+ @J=5= 5;5 =5 Entonces: E=@-@J :. E=5-5=0 @ Hallar el área de la región sombreada si los puntos "E" y "F" son parte de la diagonal. B e I s 1 A ~I ""--"'S----'''!I D RESOLUCiÓN: Por traslación de figuras: • . 82 •• Araa región sombreada = 2 = 32 u2 @ Hallar el área de un triángulo cuyos vértices son los puntos de coordenadasA( 2;3), B(5;7)yC(-3;4) RESOLUCiÓN: ,r¡j\ (5;7) e (-3;4) Aplicando determinantes: .(~~¡~lt~). 2 25 • 12-251123123 •• 5=-2-=-2-=2=11,5 @ Un artillero dispara a un blanco. Si la probabilidad de acertar un disparo es 0,01, ¿qué probabilidad tiene de no acertar? RESOLUCiÓN: Los eventos considerados son complementarios: ,p(ac:erto),+ P(no acierto) = 1 0,01 + P(no acierto) = 1 :. P(no acierto) = 1-0,01 =0,99 @ Calcular la distancia desde el punto A(-2;3) a la recta: 4x-3y+4 = O RESOLUCiÓN: d = 1 4(-2)-3(-3)+4 1 y(4)2+(_3)2 d=~ 5 :. d = 1u ~ Si: (a+b+c)2= 289 Hallar: E = abc+bca+cab RESOLUCiÓN: 1-8+9+41 V25 Del dato, sacando raíz cuadrada se - Sumamos obtiene: - } abc+ a+b+c = 17 ~ = verticalmente 1887 @ En una mesa panes habían, un nino panes no come, en la mesa panes no quedan. ¿Cuántos panes habran en la mesa? RESOLUCiÓN: Habran 2 panes. El texto dice: •... panes habían" (esta en plural) esta expresión nos indica que sobre la mesa hay 2 o más panes. La oración: •.... panes no come" nos senala que come solo 1 pan. Entonces " .... panes no quedan" lo interpretarramos como: "queda sólo 1 pan". La idea del asunto está en la palabra ·panes" que es plural. ("panes no come" significarra que come1 pan o ninguno pero n02 o más). ~ La diferencia de 2 números más 60 unidades es igual al cuádruple del menor menos 50 unidades. Hallar los números si la suma de ambos es 70. RESOLUCiÓN: Sean: a: Número mayor b: Número menor Por condición del problema: a-b+60=4b-50 ...... a=51>-110 a+b=70 ..,.. a+b=70 Resolviendo:a=40 b=30 @ Se tiene 3 números enteros consecutivos, el duplo del menor más el triple del mediano, más el cuádruple del mayor, equivale a 74. Hallar el número menor. RESOLUCiÓN: Sean: n; n+1 y n+2los números consecutivos del problema. Del enunciado planteamos: 2n+3(n+1 )+4(n+2) = 74 Resolviendo: n = 7 @ Adunito posee un terreno de fonma triangulardetenminado por los puntos (-5;0), (2;4) Y (3;6); en la cual deberá sembrar pasto para alimentar a su ganado. Hallar el área total del terreno que deberá trabajar. RESOLUCiÓN: (-5;0) ... 8"", i-5XOt ( O 2X'4 20) + -12 3X 6 12 + -30-5 O O -42 32 1-42-321 Luego: S = 2 37 u2 @ Un taxista compra 6 galones diarios de gasolina al precio de SI. 15 el galón. ¿Cuántos galones podrá comprar con la misma cantidad de dinero, si la gasolina sube a 5/.18 el galón? RESOLUCiÓN: Gasto en 1 día: 15(6) = 90 Si el galón sube a 5/.18 entonces N· galones = JIº- = 5 18 @ Hallar dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero, más los cinco tercios del segundo. Dar como respuesta el consecutivo del mayor de dichos números. RESOLUCiÓN: www.Matematica1.com Sean n y (n+l) los números luego: 1 5 n+n+l = 4n+3(n+l) Resolviendo: n = 8 =:> n+l = 9 :. n+2=10 @ Calcular: n 4;0;0;5;16;n RESOLUCION: 4 . O . O . 5 . 16 . n vv00~ -4 o 5 11 (jjil '--"'---"~ 4 5 6 7 :. n=16+18=34 @Si:9a+8b=llb-3a a Calcular: b + 1 RESOLUCION: De la ecuación tendremos: a 1 12a=3b=:>b=4 a 1 5 b+1 =4+1 =4 ® Un reloj da tantas campanadas como horas marca. además da una campanada porcada cuarto de hora. ¿Cuántas campanadas dará en una semana? RESOLUCION: Analizando para un medio dia: r {Minuto 15 3 Campanadas Minuto 30 Minuto 45 I I I I I I I I I I I I I O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 En lar¡ hQ[8s En las 1/4 horas 12x13 #Campanadas=-2- + 12(3) =114 La semana tiene 14 medios días, entonces: :. N" campanadas = 14(114)= 1596 ~ Los goles que marca un equipo en un partido de fútbol es una cantidad directamente proporcional al número de goles que marcó en el partido anterior más uno. Si en el primer partido marcó 1 gol y en el segundo 2 goles. Determinar cuántos marcó hasta el quinto partido (inclusive). RESOLUCION: # Goles Parto constante # Goles Parto anl. +1 l' parto 2' parto 3' parto 4' parto 5' parto ,1 2 x, y z 2 x 1 +1 = 2+1 =:> x = 3 2~1 = * =:> ~ = ~ =:> y = 4 De igual manera: z = 5 :. Total de goles hasta el5to. 1 +2+3+4+5 = 15 @Si:a*b=b2+3a+2b a6b = a2-ab+b2 Hallar: 'x" en: 26x = 4*x RESOLUCION: 26x = 4.x 22_2x+x2 = x2+3(4)+2x Resolviendo: x =-2 @ Si los tres primeros términos de una progresión geométrica de razón igual a 12 son: 1 4 48 3(a-b)' a2_b2 ' a+b el cuarto ténmino será: RESOLUCION: 1 . 4 . 48 3(a-b)' a2_b2 ' a+b '-----/~ x12 x12 1 4 =:> 12. 3(a-b) = a2_b2 =:> a+b = 1 12.-4- =~=:>a+b= 1 a2_b2 a+b --- a=1 y b=O Luego: ~;~J@61 :.4=576 x12 x12 @Si: 1 1 xy = b, )(2+ yo = a, entonces (X+y)2 es igual a: RESOLUCION: Del dato: 1 1 y2+X2 -+-=-X2 y2 x2y2 = y2 +2xy+x2 -2xy (xy)2 = (X+y)2_2xy (xy)2 (x+y)2-2b a= b2 :. (X+y)2 = ab2 +2b = b(ab+2) @ Si la figura es un cuadrado, hallar el área de la región sombreada. 1 10 l~ RESOLUCION: Por traslación ~:~1 1--10 -----l .' D 102 Area=-=-=25 4 4 ® Yo tengo el triple de la edad que tenfas cuando yo tenfa el cuádruple de la edad que tuviste cuando mi edad era el triple de tu edad de ese entonces. y cuando tu tengas mi edad, nuestras edades sumarán 28 años ¿Qué edad tengo? RESOLUCION: Pasado /'.... Presente FubJro Yo 3x 4x ------- ------- ------- Tú x 2x Resolviendo: x = 2 Yo tengo 6(2) = 12 --6--x-- - ~ 4x Suma 28 ® Cuando Raúl nació, Lucia tenia la tercera parte de lo que Raúl tiene. Si Paola tiene 10/9 de la edad de Raúl. ¿Cuál de los tres es más joven y que edad tiene; si la suma de las edades actuales de Raúl y Paola es 38 años? RESOLUCION: Pasado Presente Raúl Lucía Paola Por condición: 9n+l0n=38 n=2 O 9n 3n 12n 10n Luego: Raúl es más joven y tiene 18 años. @ El precio de costo de un articulo se incrementa en un 40%. Si se quiere ganar el 5%, ¿qué porcentaje del precio de lista se debe descontar? RESOLUCION: I P.F. 140 I incremento: 40 I P.Cioo I G:5 1 35 I Dscto. 35 Luego: descuento: 140 xl00% = 25% @ Un albañil pensó hacer un muro en 12 dfas, pero tardó 3 dfas más por trabajar dos horas menos cada dfa. ¿Cuántas horas trabajó diariamente? RESOLUCION: Pensóhacel1aen: 12 n 12n: 15(n-2) N- dlas hidra} Perobhizoen: 15 n n-lO Lo que realmente trabajó cada día es: (n-2) horas es decir 10-2 = 8h @ En una fiesta, la relación de mujeres a hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 3 damas y llegan 3 hombres, con lo que la relación es ahora 3 a 5. Indicar cuántas mujeres deben llegar a continuación para que la relación sea de 1 a 1. RESOLUCION: Inicio Quedan -3 M: 3k -""'--- 3k-3 = -ª- =:> k = 8 H:4k --,+:!?3_ 4k+3 5 Ahora encontramos el número de personas que quedan: www.Matematica1.com M = 3(8)-3 = 21 } para que la relación H=4(8)+3=35 seade1a1 es decir cantidades iguales; deben llegar 14 mujeres. @ Dos ruedas de Radio R y r(R > r) recorren el mismo espacio ·S·. Si la diferencia del número de vueltas de la menor y la mayor es S/8r, hallar la relación r/R. RESOLUCiÓN: (1l) Le = 2.R 1o- s Lc=21tr 1- 1 S Por condición: -S- --S- =S- 21tr 21tR 8r Simplificando queda: -r =-4. .-.. R 4 N" vueltas S 2.R @ Un tanque de agua puede ser lIenadoen 15 minutos y vaciado en 40 minutos. ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si se abre la llave y el desagüe simultáneamente? RESOLUCiÓN: A: Llena todo en 15 minutos B: Vacía todo A: en 1 min llena: 1~ B: en 1 ml·n vacl.a : 410 en 4 minutos Ay B en 1 min llenan: 1~ - 4~ Ay B en 1 min llenan: 2~ :. A Y B llenan todo en 24 mino @sedefine: = {(a.b)X(b.a); si: a < b ~ (a")x(b·b); si: a ~ b Hallar: E = (~)-( =211) RESOLUCiÓN: 2l.:g 1 = 2·2x_(_2)+2J =4 x(4) =-1 1 ~ = (_2)·2 x(_(_2)+2J) = 4x(4) =-1 Luego: E = (-1}-(-1) E=O ® Un comerciante adquirió cierto número de artlculos de los que vendió 70 y le quedaron más de la mitad; al dia siguiente le devolvieron 6; pero logré vender 36 después de lo cual le quedaron menos de 42. ¿Cuántos artículos formaban el lote? RESOLUCiÓN: Sea "n" el número de artículos: Vende: 70 n Queda:n-70> 2 ~n>140 Le devuelven 6 yvende 36 Queda: n-100 <42 n < 142 :. n=141 @ Siendo "n° un entero positivo, calcular el valor de: ~-~l~J~-¡l~J ~+~J~+~J~+¡J~+~J RESOLUCiÓN: n2 +n-2 n(n+1) Como n es un número entero positivo cualquiera podemos asumir n = 2,luego: ~- ~J 22+2-2 --+ ~+~J 2(2+1) ~~+~=1 OBSERVACiÓN: Si evaluamos para n = 3, 4, 5, ...... también se obtiene resultado 1. @ Con 12 obreros pueden hacerse 50 m de una zanja de 8 días. ¿Con cuántos obreros doblemente eficientes pueden hacerse 200 m dela mismazanjaen 12dias? RESOLUCiÓN: 1P ~~ Ef. #ob #días Obra 1 12 8 50 2 x 12 200 1 (12)(8) 2(x)(12) M 2!lO x = 16 @ Una persona gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que queda. Si ha perdido en total 12 soles. ¿Cuántos tuvo al inicio? RESOLUCiÓN: Supongamos que tiene 9k soles, entonces: Ahora liene Gasta Queda Gana tiene 11 r---l r----l r---l r---l 9K 3K 6K 2K 8K ------ Perdida total K = 12 .... Por dato Luego, al inicio tuvo: 9(12)= 108 soles ® En un juego perdl los 3/5 de lo que no perdl, ¿qué parte de lo que perdl tenia al inicio? RESOLUCiÓN: 1---TotaI8 -----1 No perdl: 5 Perdl: 3 5 ~3 ,..-Á----, Pues: Perdl = 5~ perdl) Nos piden la relación parte todo: tenia al inicio 8 lo que perdí 3 ~ ¿Qué termino ocupa el octavo lugar? '1'2;2;2'1'2;4 RESOLUCiÓN: '1'2 ; 2; 2'1'2; 4; .... Es una sucesión ';;¡;'-;;¡¡';;¡; geométrica (P.G.) Sabiendo que en un P.G.: t, = t,.q"" Luego: t,= ('1'2)('1'2)'" ~ tB= ('1'2)('1'2)' =-{2B = 16 @ Un barril lleno de vino cuesta S/.900. Si se sacan 80 litros cuesta solamente S/.180. ¿Cuál es la capacidad del barril? Se sabe que el barril vaclo cuesta como 1 O L de vino? RESOLUCiÓN: Costo O SI. B ~Consideremos capacidad del barril: V L; además podemos deducir que los 80 tde ___ vinocuestanS/.720. Barril vacio 720 luego: 1 L cuesta = 80 = 9 soles Entonces B = 10(9) = 90 soles (Costo del barril vacío) ahora el costo total era: (Costo del barril) + (Costo del vino) Costo total = 90+9V = 900 ~V=90L @calcular t,o en c/u de las siguientes sucesiones aritméticas: 1 1 1. 32 ;54 ;7... ........ 511 11. -6;-3;6; .......... . RESOLUCiÓN: 1 1 1. 32 ;54 ;7... ........ ~~ +1% +1~ · 3 7 7 •• t,= 1 4 n+ 4 =4(n+1) • 7 77 •• t,o=4(11)=4 511 11. -6;-3;6; .......... . '-./'-.J' +3 +3 6 6 .·. t =3- n-8- =-1 n-4- , 6 6 2 3 • 11 •• t,o= 3 @ Luchito persigue a Rita que le lleva 150 m de ventaja en el instante que inicia la persecución. Luchito da 40 pasos de 60 cm en 15 seg, mientras www.Matematica1.com que ella da 34 pasos de 50 cm c/u en el mismo tiempo. ¿Oespués de cuánto tiempo la ventaja se reducirá al0m? RESOLUCiÓN: . 40(60) Rapidez de Lucho: ~ = 160cm/s Rapidez de Rita: 341(~0) = 340cm/s 340 Planteamos 10+160t = 150+- 3 -t :. t = 3 (@)Si: F,=lxl-2 F2=2x4-6 F3=3x9-12 F.=4xl6-20 Calcular: F 'o RESOLUCiÓN: F,=lxI 2-1x2 F2=2x22-2x3 F3=3x32-3x4 F.=4x42-4x5 F,o= 10xl02-10xll = 1000-110 F,o=890 @ Un móvil A sale de cierto punto P a las ocho de la mañana en linea recta con una rapidez de 20 km/h. Otro móvil sale del mismo punto 3/4 de hora después, también en linea recta, por otro camino que forma con el anterior un ángulo de 60· y a una rapidez de 5 km por hora más que el móvil A. ¿A qué hora estarán los 2 móviles a igual distancia del punto P y qué distancia será esta? RESOLUCiÓN: Por el dato: 25 [t- ! j = 201 Resolviendo: t = 3h 45' La hora pedida es: :. 8:00+3h 45' = 11.45' ~ La suma de 49 números consecutivos termina en 2. ¿En qué cifra termina el menor de los 49 números? RESOLUCiÓN: Escribiremos la suma de los 49 números consecutivos como sigue: ,n-24+n-23+ ....... + n-l +, v 24 sumandos ,n+n+l+ ..... +n+23+n+24, = .... 2 49n= .... 2 n= .... 8 Ahora: n-24 = ... 8-24 = ... 8-.. .4 = ... 4 ••• El menor de los números termina en cifra 4. @ Habran 2 conejos delante de un conejo, 2 conejos detrás de un conejo, y uno en el medio. ¿Cuál es el menor número de conejos que existen? RESOLUCiÓN: Veamos: 2 conejos delante de un conejo ~_A_------:" ,GcGc>.Gc 2 conejos det~ de un conejo un conejO en medio ~ 3 x+y ~ Si: X2 O vy = -2-; x > O Calcular: 2502 A)10 8)12 O) 13/2 RESOLUCiÓN: C) 11/2 E)8 3 x+y X2 OYY=-2-; x>O Para calcular 25 O 2, damos forma a los operadores. 250f=520.fa-= 5+8 =~ T 1 2 2 I Rpta. DI ® Se define: 1 x2+x 1 = x2+5x+6 Calculara 114a-211 =72 A) 1 8)2 C)3 0)4 E)5 RESOLUCiÓN: Tenemos: I x2+x I = x2+5x+6 factorizamos: I~) 1 1 1 observamos que hay cuatro números consecutivos (para x entero). Los dos menores se multiplican dentro del operador c:::::J y los dos mayores se multiplican en el segundo miembro de la igualdad. Calculo de "a": 1114a-211] = 72 = 8x9 "===~ 1 =>114a-2 1!31- 1 1 =>14a-~~ 1 1 => 4a-2=2x3 :. a=2 I Rpta. B 1 ~ Si: aob = (boa)2- 2(boa)+a+b Hallarla suma de los valores de (1 01) A) 1 8)2 C)3 0)-2 E)O RESOLUCiÓN: aob = (boa)2- 2(boa)+a+b => 101 = (101 )2-2(101 )+1 +1 0= (101 )2-3(1 01 )+2 (1 01):>1<:-1(101)=1 (101) -2(1 01)=2 :. Sumadevalores(l ol)=1+2=3 @Sea(0)laOperaciónenA={0,2,4,6, 8) definida porla tabla siguiente: o O 2 4 6 8 O 4 6 8 O 2 2 6 8 024 4 8 O 2 4 6 6 O 2 4 6 8 824 6 8 O Si: [(x-' 02-')0(608)-']-' = 2 Hallarelvalordex Observación: x·1 elemento inverso de x respecto de (o) NO ~2 q4 ~6 ~8 RESOLUCiÓN: 002468 O 46 8!Oi2 2 6801214 4 JLº-~j~j.§, 6'024618 8 '246~JOJ Oe la tabla, el neutro es e = 6, hallamos los inversos: 1 aoa-'-e 1 20~=6=>2-'=0 11 80~=6=>8-'=4 yasr:4-' = 8; 0-' =2; -, =6 Luego: [(X-'o(B~O(@')]: 2 => (x-' 00)0(8)-' = O '""T" (x-' 00)04 = O ~ (x-'oO)= 2 i:( =>x-'=8 :. x=4 [ Rpta. C 1 ~ Calcular 120 de la sucesión: 3 8 15 24 2'9'19'32 , ...... . A)315/406 8)440/648 C)300/365 0)329/512 E) 432/512 RESOLUCiÓN: 1° 2" 3" 4- 20" ~':' ~~ ,~~ ,···-{E Para el numerador: O , 15 , 24 , ....... . to = n2+2n -+ 120 = 440 www.Matematica1.com Para el denominador: -2 2, 9 , 19 , 32 , ....... . 10 13 3 3 3n2 5n t'=2+""2 -2~ho= 648 :. Nos piden: t20 = ::~ [r.Rp::-:ta-.-=s"l @ Se tiene la siguiente progresión aritmética: ~:=-;..-::-.-; a, ... ,(2a+2)(2a-1 ), ... ,(a-2)(a+2)(a-2) Si la cantidad de términos que hay entre (2a+2)(2a+1) y (a-2)(a+2)(a-2) es 3/4 de la cantidad de términos que hay entre a y (2a+2)(2a+1). Hallar la razón de la progresión. A) 1 B)2 C)3 D)5 E)4 RESOLUCiÓN: a, ... ,(2a+2)(2a-1), ... ,(a-2)(a+2)(a-2) analizando las cifras de los términos vemos que a > 2 Y a < 4, por lo tanto a=3,luego: 3,O, ... ,[87-rJ, 87,0' ... [151-r], 151 '----y---' '------y----' #ténn = (87·r) #ténn =(151·r)-87 r r Por condición: 151-r-87 =-ª-r87-r-31 r 4 l r J resolviendo r = 4 [ Rpta. E I @!!) Calcular el ángulo xsi: a+~+y = 400' A) 20' B) 15' C) 10' D)25' E) 12,5' RESOLUCiÓN: Sabemos que: Aplicando esta propiedad al problema obtendremos: 2x+(180-a)+(180-y) = ~ 2x = (a+p+y)-360 Por dato: a+p+y=400 2x = 40-360 2x=40 :. x=20' I Rpta.A I @ El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual a 4/9 de la diferencia entre el suplemento del ángulo y el suplemento del suplemento del mismo ángulo. Calcular su medida. A) 75' B)45' C)50' D)90' E)O' RESOLUCiÓN: Del enunciado obtenemos: C[S(a)-C(a)] = : [S(a)-S(S(a))] 4 C[(180-a)-(90-a)] = 9 [(180-a)-a] 4 0=9 [(180-2a)] '---<----' O :. a = 90' 180-2a [RPta. D I @ En la figura, hallar7a: A) 360' -1S~ B)540' C)720' D)450' E) 630' RESOLUCiÓN: Prolongando algunos lados para formar triángulos isósceles, obtendremos: B Por propiedad en el cuadrante concavoABCD: (180-2a)+(180-2a)+ (180-2a) = a :. 7a=540 [RPta. S I @ Hallar la diferencia entre el mayor y el menor de los términos de tres cifras dela siguiente sucesión: 7,19,37,61, ......... . A) 805 B)811 D)803 RESOLUCiÓN: 1 6 6 t,= 3n2+3n+1 = 3n(n+1 )+1 Para los términos de 3 cifras 100,;3n(n+1)+1 < 1000 99';3n(n+1)';999 33,; n(n+1)'; 333 ,¡. n=6.7 ......... 17 ~ tme,.,=t.= 127 C)828 E)792 tmayo,=t17=919 :. tmayo,-tme,.,=792 I Rpta. El @ Si: A= {xix E < -oo,O>} B = {xix E } Senale la afirmación correcta: A) (-5,2) "AxB B)(1 0,-3) " BxA C)(4,1) E AxB D) (6,-2) E BxA E)(0,2) E AxB RESOLUCiÓN: Graficando los conjuntos: B = (XIX E <0:00» • (-5:2) (0:2)(4:1) AxB B = (XIX E <0;00» A = (XIX E <-00;0» A = (XIX E <-00;0» • (10;-3) BxA • (6;-2) Observando las 5 alternativas concluimos que la única correcta es la "D", puesto que (6;-2) E BxA",.::----::,-, [Rpta. D I @ En la figura mostrada, hallar el perímetro de la región sombreada. A) 21t+41-1 B)1t+81-1 C)31t+41-1 D)21t+81-1 E) 31t+81-1 RESOLUCiÓN: De la gráfica observamos que: Perrmetro: = OA+OB+AB+DC+MN+PQ+DM+ CP+NQ 21t(2) 21t(2) 21t(3) 21t(4) =2+2+--+--+--+--+ 4 12 6 12 +1+2+1 :. Perimetro = 8+31t @ Hallar el área sombreada si ABC es un triángulo equilátero de altura 36m A) 1601tm2 B B)1921tm 2 ~ C) 1441tm2 D)481tm2 E) 361tm2 RESOLUCiÓN: A e Del gráfico: :~ 36 o1<,v,;-~ 60 ;] 6>13 30 30 0 e Observamos que: OC=OA=12v3 3R+6V3=12V3 ~R=2V3 www.Matematica1.com Entonces: Área=3@+(~ = 3[,,(2v'3)2]+,,(6v'3)2 :.Área=144m2 [Rpta.cl § La suma de los 4 primeros términos de lugar impar de una P.G es a la suma de los restantes como 1 es a 2. Además, la suma de todos los 8 términos es 510. Señale uno de los términos centrales. A)64 B)24 C)8 D)30 E)16 RESOLUCiÓN: centrales ~ P.G.: a,aq,@3l,aq3,@3J,aq5, ~ ,aq' según el enunciado: a+aq2+aq4+aq6 1 ~ aq+aq'+aq4+aq' 2 a+aq2I sq1+aq6 ,!¡(a+aq2 +aq4 I aq") 1 ~q=2 2 la suma de los 8 términos es 510 ~ a(28 -1) 510 2-1 255a = 510 ~ a = 2 los términos centrales son: 16 y 32 [Rpta. El ~ Hallar la ecuación de la recta perpendicular aAB, en un punto que divide a dicho segmento en la razón de 2 a3.A= (3,7)yB = (13,12) A)3x+2y=8 B)3x=y C)2x+y=23 D) 3x-2y = -8 E) 3x+2y =-8 RESOLUCiÓN: Graficando obtendremos: y ~ 4 6 3 7 13 ------1-0- ---- x Por proporciones obtenemos que el punto M = (7;9). Calculando la pendiente deAB: _ 12-7 5 1 mAB= 13-3 =10=2 Por propiedad de rectas paralelas, la pendiente de la recta ~ es: 1 1 m1¡jt=--=--=-2 m,ij¡ 1 2 Aplicando la ecuación punto pendiente para hallar la ecuación de la recta se: rl ~-:-m-=---~-:~-:""I - y-9 ~ : -2 = ---x..7 ~ 14-2x = y-9 . - •• ~:2x+y=23 [Rpta. el @ ¿Cuántos puntos de intersección se cuentan en la figura, si existen 28 circunferencias? (~)=CI) A)121 B)160 D)143 RESOLUCiÓN: C)126 E) 130 1 2 3 4 n-l n C]]])···-{]) . Número do: = n+2(n-1) = 28 circunferencias 3n = 30 ~ n = 10 1 2 3 9 10 CftI)---"'([) 14p 1-4p 14p 14p Número de puntos = 14x9 = 126 de circunferencias [Rpta. el ~ En el octógono regular ABBCDEFG H, cuyo circunradio es 10cm, calcular el perímetro del cuadrilátero que se forma al-""ir los puntos medios deAB, BC, EFyFG A) 20(\/3+1) cm B) 15(V2+1)cm C)20(V2+1)cm D) 1 0(V2+1) cm E) 25(V2-1) cm RESOLUCiÓN: Calculando el enunciado: 45" H 45" F 45" E 45" Si unimos los puntos ACEG formaremos un cuadrado cuyo lado, por teorra, es igual a RV'2 = 1 fJV2. Además, por base media, MN = AC = 1fJV2 =5-v2 2 2 Recordando: 1~ ~_d_= V2+1 ~ 5V2 1 \12+1 ~ d = 5(2+-v2) :. Perlmetro = 2[5-v2+5(2+-v2)] = =20(-v2+1) [Rpta. C I @ ¿Cuántos colores diferentes, como mrnimo son necesarios para los siguientes mapas de modo que dos regiones vecinas no tengan el mismocolor? A A)3y4 B)3y5 D)4y5 RESOLUCiÓN: B C)4y6 E)5y7 SeanA, B, C y D colores diferentes ~@ 3 colores 4 colores [Rpta. A I ® ¿Cuál de las siguientes figuras no se puede dibujar de un solo trazo, sin levantar el lápiz del papel y sin repetir una misma línea? A) 888-88 2 3 -99100 B) 1 2 3 4 5" 99 100 C) 12345 f7'?Y??5) RESOLUCiÓN: 99100 O'Ys") Las figuras Ay Ctienen sólo 2 puntos impares cada una, por lo tanto sí se pueden dibujar de un sólo trazo. Las figuras B y D tienen todos sus puntos pares, por lo tanto, si se pueden dibujar de un sólo trazo. La figura E tiene 4 puntos impares, por lo tanto no se puede dibujar de un solo trazo. [ Rpta. E I ® En una escuelita, si los niños se sientan, de "a" en "a", quedan (a-1) niños de pie; pero si se sientan de a+1 en a+1, queda una carpeta vacía. ¿Cuántos niños son si a = 10? A) 200 B)210 C)211 D)208 E) 209 RESOLUCiÓN: Sea C el número de carpetas luego, distribuyendo de acuerdo a las condiciones: e carpetas mo 10 10 , otJ DLJ §§1 11 11 , qg ® -+sobran www.Matematica1.com U U #dealumnos #dealumnos ,--------A----~ 10C+9 = 11Íc=1)' De donde: C=20 :. #dealumnos: 10(20)+9=209 I Rpta. El @ Un reloj ubicado en una iglesia tiene la caraclerlstica de dar una campanada en cada hora, 2 campanadas en las medias horas. ¿ Cuántas campanadas habrá tocado en 1 dla? A)79 B)88 C)80 D)78 E)72 RESOLUCION: Distribuyendo el número de campanadas en 1 día: ( campanadas ,wcrwcrwcr crwcr Oh 1h 2h 3h .............. 23h 24h # total de campanadas: [ Rpta. E [ 1(24)+2(24)=72 . . @ Con 50 monedas de 5/.5 y 5/.1 O colocadas en contacto, una a continuación de otra y en línea recta, se ha formado una longitud total de 1 m. Los radios de las monedas son 7,5 mm y 20 mm, respectivamente. ¿Cuántas monedas de 5/.10 hay en el grupo? A)40 B)10 C)30 D)20 E)35 RESOLUCION: Según dato, tenemos: { 8 mO:das O ~ Luego: R= 7,5 mm D = 15 mm R=20 mm O =40 mm 15 15 15 40 40 40 40 ,/<----;f----,/ ....... ~ >1 ~ >1 ,r ...... ./'-----:.t OO ....... ~ ....... S '------y-------' , (50-x) monedas x mo-;;edas ~ Longitud total: .-r:.:. m <> 1 000 mm 15(50-x)+40(x) = C1.QQ.9) Resolviendo: x = 10 :. # monedas de 5/.10 = 10 [r-Rp-ta-. s-'I @ En la venta de un objeto se ganó el 50% del precio de costo. ¿Qué tanto por ciento, respecto del precio de venta, se ganó? A) 33% B)30% D)30,3% RESOLUCION: C)33,3% E) 36,6% Suprimiendo: r-----, I p"""" =5/.100 I entonces: Ganancia = 50%(1 00)=50 Luego: PVllnta= PC05to+Gganancia ..... p",,"," = 100+50 = 150 Nos piden: :. 155~ xl00% = 33,3% I Rpta. C 1 ® De 8 hombres y 5 mujeres se quiere seleccionar a 8 personas para realizar un comercial. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo esté formado por 6 hombres y 2 mujeres? A) 11/17 B)280/1287 C) 120/2129 D) 23/71 E) 121/4443 RESOLUCION: e : Elegir 8 personas de un total de 13. ~ n(n) = C'3 = C'3 13x12xllxl0x9 8 5 5x4x3x2xl = 13xllx9 = 1287 A: que sean 6 hombres y 2 mujeres HyM 8 5 8x7 5x4 ~n(A)=C xC =--x--=280 5 2 2xl 2xl • n(A) 280 •• P(A) = n(n) = 1287 [Rpta. S 1 @ En un libro que tiene entre 1000 Y 2000 páginas se han utilizado 85 tipos para enumerar las 25 últimas impares, cuya cifra tenminal es 3 ó 5. Si la suma de cifras de la última página es 13, indicar el número de páginas que tiene el libro. A) 1129 B)1228 D)1066 RESOLUCION: C)1732 E) 1048 Asumiendo que las 25 últimas páginas sean de 4 cifras, tendríamos: ..... 25(4)= 100 cifras No se cumple, pues la cantidad de cifras = 85 Se deduce que algunas son de 3 cifras. { # páginas de 3 cifras = a # páginas de4 cifras = b ..... ;:~b2; 5 ~ :~~~~i~~dl~ Haciendo la distribución correspondiente: 1- 2- 9" 10" .. ·Ex8x3 .... ···ee ....... e N'''''..J sumad.J última pagina cifras = 13 I Rpta. E 1 @ En un concurso participan 7 alumnos y 8 alumnas, si deben haber 2 ganadores. ¿cuál es la probabilidad de que los ganadores sean una pareja mixta? A) 8/17 B)5/11 1')8/15 RESOLUCION: Del enunciado: e C)7/13 E) 4/9 (7H Y 8M ~ 2 persona!) e : Elegir dos personas 15x14 ~n(n) = C15=--= 15x7 5 2xl A: sea un hombre y una mujer HyM ~n(A)=7 x8 • 7x8 8 .. P(A) = 15x7 ="5 I Rpta. D 1 @ Un tren de "x" metros de longitud se demora, en pasar frante a un observardor, 8s y se demora 24s, en cruzar un puente de 800 m de largo. HalIar" x". A) 200 B)320 D)360 RESOLUCION: C)400 E)420 Analizamos las condiciones en 2 gráficos relacionados. En 16seg ..... 800m En8seg ..... x=400m ® Hallar: a+b+c _ Si:a!-b!+c! = abe [Rpta.A 1 A)6 B)7 C)8 D)9 E) 10 RESOLUCION: Tenemos: a! +b! +c! =abc y sabemos: 1! = 1 21=2 3!=6 4!=24 5!= 120 61=720 7! = 5040 Necesariamente; a, b y e deben ser menores que 6. Uno de los factoriales es 5! = 120 Y los otros factoriales son menores, con lo cual deducimos queen abe, "a"debeserigual a 1. Es decir, el otro factorial es 1 ! = 1. Sólo nos falta un factorial, veamos: a! +b! +c! =abc '-r' ---.,....... .....,...., 1! 5! +4! 145 dicho factorial es 4! = 24, con lo cual se satisface la igualdad. ~ a=1,b=4yc=5 :. a+b+c= 10 [Rpta. E 1 @ Existen 6 números, de 2 cifras cada uno, fonmados por los diferentes ordenamientos de únicamente 3 cifras diferentes entre sI. Además, la suma de las mencionadas 3 cifras, hallar la suma de cifras de la edad de Yolanda si tiene "n" años. A)2 B) 12 C)22 D)4 E)8 RESOLUCION: Sean a, b y e las tres cifras, entonces: - - - --- ab+ac+ba+bc+ca+cb = n(a+b+c) (1 Oa+b )+( 1 Oa+c)+(l Ob+a)+(l Ob+c)+ (1 Oc+a)+(l Oc+b) = 22(a+b+c) Luego: 22(a+b+c) = n(a+b+c) T T ~ Edad de Yolandad = 22 años :. Suma de cifras = 2+2 = 4 [rRp=--ta-.-=D"1 @¿CUál es el día que está ubicado antes del sábado en la misma medida que está después del Martes? Aliueves B) miércoles C)viemes D) martes E) domingo www.Matematica1.com RESOLUCiÓN: 2 dla. 2 dla. ~ I I I I I Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado El dla que está antes del sábado en la misma medida que está, después del martes es el Jueves. I Rpta. A 1 @ Calcular: CE2 + EC Si:CUATRO + CUATRO CUATRO CUATRO CUATRO VEINTE Además, letras diferentes representan cifras difarentes: A)216 B)81 D)276 RESOLUCiÓN: Tenemos: CUATRO x 5 VEINTE Y nos piden CE2 + EC C)225 E) 200 Si observamos la multiplicación; CUATRO tiene 6 cifras y el resultado VEINTE también tiene 6 cifras, con lo cual deducimos que C = 1. Además. al multiplicar 5 por la letra ·0" (que es una cifra), el resultado tenmina en cero ó en 5. Entonces E = 5. puesto que E es diferente de cero, ya que es primera cifra de número EC. Luego: CE2+EC= 152+51 =276 I Rpta. D 1 @ En la figura mostrada. hallarx. SiAE=EC;EB=CD B A) 25· ~ B)45. E 100' C)40· x D)35· A C E) 30· D RESOLUCiÓN: B De la gráfica: El triángulo EBD resulta ser isósceles luego que al trazarse BD el triángulo BDC resultó ser equilátero. Entonces:

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