TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS EJERCICIOS RESUELTOS PDF

☛ Transformaciones de suma o diferencia a producto 
☛ Transformaciones de producto a suma o diferencia

¿Qué son las transformaciones trigonométricas ? 
Son fórmulas que permiten simplificar expresiones trigonométricas extensas a términos más simples, así como la suma con el producto de dichas razones trigonométricas.
APRENDIZAJES ESPERADOS : 
• Conocer las equivalencias que transforman sumas o diferencias de razones trigonométricas (senos o cosenos) a producto.
• Demostrar las identidades de transformaciones trigonométricas.
• Conocer las equivalencias que nos permitan transformar el producto de dos razones trigonométricas (senos o cosenos) a una suma o diferencias de dos razones trigonométricas (senos o cosenos).
• Conocer las propiedades que se deducen a partir de las identidades de las transformaciones trigonométricas. 
A menudo se presenta el problema de transformar la suma o diferencia de dos funciones trigonométricas y viceversa. Esto permitirá las simplificaciones de expresiones complicadas. Dichas transformaciones son demostradas a partir de las identidades de arcos compuestos. 
DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO 
Se le suele llamar también factorización trigonométrica y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia. 
Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la semidiferencia de los ángulos iniciales. 

DE PRODUCTO A SUMA O DIFERENCIA 
Se le suele llamar también desdoblamiento del producto y consiste en expresar mediante una suma o diferencia un determinado producto. 
Para efectuar el desdoblamiento se deberá tener el doble producto de senos y/o cosenos. 
Los ángulos resultantes en el desdoblamiento serán la suma y la diferencia de los ángulos iniciales. 
2senAcosB=sen(A + B) + sen(A – B) 
2senBcosA=sen(A + B) + sen(A – B) 
2senAsenB=cos(A – B) – cos(A + B) 
2cosAcosB=cos(A – B) + cos(A + B) 
“Cuando se desdobla el doble producto de seno por coseno se tiene que si el primer ángulo es el mayor entonces se obtiene una suma de senos y si el primer ángulo es menor se obtiene una diferencia de senos”. 
EJEMPLOS :  
2Sen3xCosx
= Sen(3x + x) + Sen(3x– x) 
= Sen4x + Sen2x 

2SenxCos2x
= Sen(2x + x) – Sen(2x – x) 
= Sen3x – Senx 

2Cos3xCos2x
=Cos(3x + 2x)+Cos(3x– 2x) 
= Cos5x + Cosx 

2Sen5xSenx 
= Cos(5x – x) – Cos(5x + x) 
= Cos4x – Cos6x 

2Sen40°Cos20°
=Sen(40°+20°)+Sen(40°– 20°) 
= Sen60° + Sen20° 

2Sen10°Cos40°
=Sen(40°+10°) – Sen(40°– 10°) 
= Sen50° – Sen30° 

2Cos50°Cos20°
=Cos(50°+20°)+Cos(50°– 20°)
= Cos70° + Cos30° 

2Sen70°Sen10°
=Cos(70°–10°) – Cos(70°+ 10°) 
= Cos60° – Cos80°

Transformar a producto: 
☛ sen50°+sen20° 
☛ cos80°+cos20° 
☛ cos70°– cos30° 

Transformar a suma o diferencia: 
☛ 2sen50°cos20°= 
☛ 2sen10°cos40°= 
☛ 2sen7xsen2x=
PRACTICA
PREGUNTA 1 :
Al factorizar la expresión: uno de sus factores es: 
√3 + 2Cos10°
a) Cos8º 
b) Cos12º 
c)Cos16º 
d) Cos20º 
e) Cos24º 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 2 :
Dado que: 
Sen2x.Sen5x+Cosx Cos6x=Senx.Cos4x 
Calcula: Ctgx
A) 1 
B) 1/2 
C) 2 
D) 1/4 
E) 4 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Calcula el valor de:
Csc10º – 4Sen70º 
A) 0 
B) 1 
C) –1 
D) 2 
E) –2 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 4 :
Calcula: Sen(θ+β).Sen(θ – β
Si: Cosθ=1/4 ; cosβ=1/3 
A) 7/12 
B) 7/144 
C) 5/12 
D) 25/144 
E) 45/144 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 5 :
Reduce
Cos10º + Cos30º + Cos50º + Cos70º 
a) 2 
b) 0,5cot10° 
c) 2Tg10º 
d) 2Ctg10º 
e) 1 
Rpta. : "B"
PREGUNTA 6 :
Calcula el valor de: 
W= Sen²10º + Sen²50º + Sen²70º 
a) 3/4 
b) 1 
c) 5/4 
d) 3/2 
e) 7/4
Rpta. : "D"
PREGUNTA 7 :
Calcula el valor máximo de la expresión: 
W = Sen(65º + x) + Sen(25º – x) 
a) 1 
b) √2 
c) √3
d) 2 
e) 3/2
Rpta. : "B"
PREGUNTA 8 :
Calcula la medida de ω que maximice el valor de “Y” en : 
Y = 1 – Cosω.Cos(ω+40) 
a) 20º 
b) 30º 
c) 50º 
d) 70º 
e) 90º 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 9 :
Calcula el valor de: 
P=32Sen36º.Sen72º.Sen108º.Sen144º 
a) 1 
b) 2 
c) 5 
d) 10 
e) 20 
Rpta. : "E"
PREGUNTA 10 :
Si en un triángulo ABC, se cumple que: 
Sen2A+Sen2B+Sen2C= 4SenASenBSenC 
luego, el triángulo, es 
a) Escaleno 
b) Isósceles 
c) Equilátero 
d) Rectángulo 
e) Rectángulo e Isósceles
Rpta. : "E"
PREGUNTA 11 :
Factoriza : 
N = Cos²5x – Sen²3x 
a) Cos8xCos2x 
b) Cos10xCos2x 
c) Cos6xCos2x 
d) Cos8xCos4x 
e) Cos8xCos6x 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 12 :
Factoriza : 4CosθCos3θ + 1 
a) Sen5θCscθ 
b) Sen6θCscθ 
c) Sen8θCscθ 
d) Sen5θCsc2θ 
e) Sen5θCsc3θ 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 13 :
Simplifica : 
E = 2(Cos5x + Cos3x)(Sen3x – Senx) 
a) Sen2x 
b) Sen4x 
c) Sen6x 
d) Sen8x 
e) Sen10x 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 14 :
Después de transformar 
(Cosx + Cos4x – Cos8x – Cos11x) 
es un monomio, uno de los factores es : 
a) Sen4x 
b) Cos7x/2 
c) Sen7x/2 
d) Cos4x 
e) 1
Rpta. : "C"
PREGUNTA 15 :
SenA/2=3/5
Calcula : 2500Sen5A/4Sen3A/4 
a) 1000 
b) 1280 
c) 1804 
d) 2608 
e) 2000 
Rpta. : "E"
PREGUNTA 16 :
Si : Cosx=1/2
Calcula : 4Senx/2Sen5x/2 
a) 1/3 
b) 2/3 
c) 1 
d) 4/3 
e) 5/3 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 17 :
Calcula k si : 
2Cos6ASen3A + Sen3A = SenkA 
a) 6 
b) 3 
c) 9 
d) 18 
e) 1 
Rpta. : "C"
PREGUNTA 18 :
Reduce : 
(Tg2A + TgA)(Cos3A + CosA) 
a) 2Sen3A 
b) Cos3A 
c) 2Sec3A 
d) Tg3A 
e) 1
Rpta. : "A"
PREGUNTA 19 :
Simplifica : 
Sen7ASen3A + Sen²2A 
a) Csc25A 
b) Sen27A 
c) Sec27A 
d) Sen25A 
e) 1 
Rpta. : "D"
PREGUNTA 20 :
Reduce : 
Sen6ASen4A – Sen15ASen13A+Sen19ASen9A 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4
Rpta. : "A"
PROBLEMAS RESUELTOS
PREGUNTA 1 :  
La expresión :
M= sen7º+ sen21º+ sen35º+ sen49º 
es equivalente a 
A) 4sen28º cos14º cos7º. 
B) sen28º cos14º cos7º. 
C) 4sen21º cos15º cos7º. 
D) sen35º cos14º cos7º. 
RESOLUCIÓN :
M=2sen14ºcos7º + 2sen42ºcos7º 
⇒ M= 2cos7º(sen14º + sen42º) 
⇒ M= 2cos7º(2sen28ºcos14º) 
∴ M=4sen28ºcos14ºcos7º 
Rpta. : "A"
PREGUNTA 2 : 
Para todo n∈, halle el valor de 
A) 1 
B) 2 
C) –1 
D) 0 
E) 3 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 3 :
Sean x, y tales que: 
cos(x+y)=1/3
cos(x)+cos(y)=2/3
Calcule el valor de cos(x).cos(y) 
A) –1/6 
B) –1/2 
C) 1/3 
D) 1/4 
E) –1/12 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "A"
PREGUNTA 4 : 
Si senαcosα ≠0, halle el valor de 
A) 2 
B) –2 
C) –1 
D) 0 
E) 1 
RESOLUCIÓN :
Rpta. : "D"

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