TEORÍA DE CONJUNTOS EXAMEN RESUELTO Y PREGUNTAS DESARROLLADAS EN PDF

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    En 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor, sobre la TEORIA DE CONJUNTOS. El estudio de los infinitos, por parte de Cantor, fue considerado por Kronecker como una locura matemática. Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con todas las armas que tuvo en su mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor. A lo largo del tiempo , el hombre ha inventado conjuntos de números que le han permitido realizar diferentes operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, etc.) y resolver diferentes problemas. *** Introducción Sabías que: Uno de los temas más importantes para el desarrollo de las matemáticas lo constituye la "Teoría de Conjuntos". Nosotros, los seres humanos, vivimos rodeados de conjuntos: alumnos, carpetas, personas, libros, etc. Si quisieramos realizar un estudio de objetos que poseen características comunes, hay la necesidad de agruparlos en conjuntos, ya agrupados podemos analizar y relacionarlos con otros grupos de objetos coleccionados también por otras características comunes. Por ejemplo, si queremos estudiar el peso de los pollos con relación al peso de los patos, para realizar dicho análisis, todos los pollos estarán agrupados en un conjunto así como los patos en otro conjunto y analizaremos sus respectivos elementos. Es decir, en la vida diaria y para el desarrollo de las disciplinas se agrupan a los objetos o cosas en cada momento, ya sea por su forma, tamaño, calidad, especie, color, etc. Por eso el estudio de la Teoría de Conjuntos es hoy en día la base fundamental de las matemáticas modernas. NOCIÓN o IDEA DE CONJUNTOS Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos debidamente determinados, a los cuales se les denomina elementos del conjunto. De acuerdo a lo leído, puede decirse que el colegio XXXX es un conjunto, ¿por qué? Si es así ¿cuáles son sus elementos? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Representación de Conjuntos A los conjuntos generalmente se les representa por letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos por letras minúsculas separadas por comas y encerradas entre llaves: { } o escribiendo entre llaves la propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto. También lo podemos representar a través del Diagrama de Venn Euler que se trata de curvas simples y cerradas. • Ejemplo 1 Al grupo de letras de la palabra "trilce", las cuales son: t, r, i, l, c, e Si a este grupo de letras se le representa por "A", se puede escribir lo siguiente: A = {t,r,i,l,c,e} El cual se lee: "A" es el conjunto cuyos elementos son: t,r,i,l,c,e Si a este conjunto "A" lo representamos a través del diagrama de Venn Euler, se graficará como: Ejemplo 2 Representar al conjunto B, cuyos elementos son los números impares menores que 12; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler. Veamos: Ejemplo 3 Representar al conjunto "C", cuyos elementos son las estaciones del año; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler. Clases de conjuntos 1. Conjunto finito Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo. 2. Conjunto infinito Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión. 3. Conjunto unitario En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol. 4. Conjunto vacío Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión. conjunto unitário e conjunto vazio Conjunto homogéneo y conjunto heterogéneo. 5. Conjuntos homogéneos Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos. 6. Conjuntos heterogéneos A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel. 7. Conjuntos equivalentes Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos. 8. Conjuntos iguales Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos. Conjuntos Coordinables y Subconjuntos Cuando hablamos de conjuntos coordinables y no coordinables, estamos empezando a comparar conjuntos y a trabajar con ellos. Mira de qué se trata este concepto. Conjuntos Coordinables Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando están formados por el mismo número de elementos y puede establecerse una correspondencia entre ambos. Para que tengas un ejemplo, supón que en una fiesta de cumpleaños existen la misma cantidad de copas de vino como de invitados. En este caso, tanto el conjunto de invitados como de copas es coordinable, ya que cada persona recibirá su copa de vino. Conjuntos no Coordinables Aquí pasa todo lo contrario, ya que se refiere a que ambos conjuntos, a pesar de tener elementos correspondientes entre sí, no cuentan con el mismo número de elementos en cada uno de ellos. Volvamos al ejemplo de la fiesta de cumpleaños. Imagina que ahora ha llegado a la fiesta una persona de improvisto. Por lo tanto, el conjunto de las copas de vino es insuficiente para corresponder con el de las personas de la fiesta. En este caso se dice que sólo una porción del conjunto de copas de vino es coordinable con el de personas. Subconjuntos Cuando con algunos de los elementos de un conjunto podemos crear otro, decimos que hemos formado un subconjunto. Es decir que un subconjunto siempre está formado por algunos elementos de un conjunto más grande. Para que tengas un ejemplo, imagina que "A" corresponde al conjunto de los días del año. De él podemos extraer un subconjunto "B" que solo contenga algunos de esos días y que llamaremos el subconjunto de marzo. ¿Ves cómo los meses son subconjuntos formados para organizar un conjunto de días más grande que denominamos año? Relación entre conjuntos Al combinar y trabajar conjuntos, se establecen relaciones entre ellos. Estas relaciones se representan mediante símbolos para que al hacer operaciones, sepamos de qué se trata. Pertenencia Este símbolo se usa para representar que un elemento determinado hace parte del conjunto señalado. Así mismo, representamos que un elemento no pertenece al conjunto señalado, escribiendo el mismo símbolo, pero con una línea cruzada en la mitad. Relacionar conjuntos Al trabajar con conjuntos haciendo operaciones matemáticas, es importante saber representarlos de manera escrita. Por ello existen algunos símbolos importantes que te ayudaran a representar las relaciones entre ellos. O conjunto A é subconjunto de B. Subconjunto Para representar que un conjunto es subconjunto de otro usamos este símbolo que tiene la forma de una U acostada y subrayada. En este caso, queremos determinar que el conjunto A es subconjunto del B ya que 2, 4, 6 y 8 son números que también forman parte este último. Unión Cuando queremos representar la unión de los elementos de dos conjuntos, usamos la letra U como símbolo. En la siguiente imagen, se simboliza un conjunto formado con todos los elementos tanto del conjunto C como del D. Por lo anterior, para representarlo de forma matemática usamos: "C U D". União de dois conjuntos. Intersección Una intersección es el conjunto formado por los elementos que comparten o son comunes entre dos conjuntos, es decir, que forman parte tanto del uno como del otro. Para representar una intersección utilizamos este símbolo parecido a una U, pero al revés. En este caso, el ejemplo de la imagen señala la intersección de los conjuntos E y F. Interseção de dois conjuntos. Diferencia La diferencia se forma con los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro. Dicho así, parece difícil de comprender, pero no lo es. En la imagen se representa un conjunto con los elementos de J que no pertenecen a K. Eso quiere decir que ambos conjuntos tienen elementos comunes, pero queremos formar un conjunto con aquellos elementos del conjunto J que no forman parte de la intersección. EJERCICIOS 1. Utilizando las llaves, escribe los siguientes conjuntos, representados por las letras mayúsculas: • "A" cuyos elementos son las siete notas musicales. A = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "B" cuyos elementos son los nueve primeros números impares. B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "C" cuyos elementos son los días de la semana. C = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "D" cuyos elementos son las cinco primeras consonantes del alfabeto. D = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} • "E" cuyos elementos son los números pares mayores que 8 y menores que 20. E = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _} 2. Representa en diagrama de Venn Euler cada conjunto: a. P = {1; 3; 5; 7; 9} b. N = {norte, sur, este, oeste} c. R = {costa, sierra, selva} d. Q = {e, s, t, u, d, i, o} e. T = {2; 4; 6; 7; 8; 9} f. M = {1; 4; 6; 8; 9; 13} RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece (Î) a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece (Ï) a dicho conjunto. La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto. • Ejemplo 1: Del siguiente diagrama de Venn Euler: • Ejemplo 2: Dado el conjunto "B": B = {t,r,i,l,c,e}; Se tiene que: t ......... B a ......... B l ......... B s ......... B e ......... B y ......... B r ......... B n ......... B EJERCICIOS Dados los conjuntos: A = {a,e,i,o,u}; B = {2; 4; 6; 8; 10}; C = {1; 3; 5; 7; 9}; D = {p,q,r,s,t,u} Escribe los signos "Î" (pertenece) o "Ï" (no pertenece) según corresponda: • 2 ........ B • 7 ........ C • a ........ D • 9 ........ A 5 ........ D i ........ A • 6 ........ D • p ........ C • 10 ........ B • r ........ D • e ........ A • 4 ........ A • 5 ........ D • 1 ........ C • i ........ D • 6 ........ A • 10 ........ B • t ........ C • u ........ A • 3 ........ B 2. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto. 3. En cada caso construye un diagrama para cada conjunto: a. M = {do, re, mi, fa, sol, la, si} b. N = {1; 6; 9; 13; 18} c. P = {9; 15; 19; 23; 29} d. Q = {x + 2/x Î N, "x" es impar, 6 < x < 12} DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se determinan de dos formas: a. Por Extensión: Cuando se nombra a cada uno de sus elementos. Ejemplo: El conjunto de los números impares menores que 12 Veamos: A = {____________________________________} b. Por Comprensión Cuando solamente se dice la característica común que tiene todos sus elementos. Veamos el ejemplo anterior. A = {números impares menores que 12} simbólicamente se escribe: A = {x/x Î N, "x" es impar, x < 12} y se lee: "A" es el conjunto formado por los elementos "x", tal que "x" es un número natural e impar menor que 12. CARDINAL DE UN CONJUNTO Nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto. Se denota n(A) y se lee cardinal del conjunto "A" o número de elementos de "A". Ejemplos: • Dado el conjunto: A = {2; 2; 3; 3; 3; 4; 3; 2} = {_______} entonces: n(A) = ___________ • Sea el conjunto "B", hallar n(B), si: B = {x/x Î N; "x" es par; 5 < x < 15} entonces: B = {_______________} y su n(B) es: ________ EJERCICIOS 1. Determina por extensión los siguientes conjuntos, además sus cardinales. 2. Determine por comprensión los siguientes conjuntos: 3. Determine por extensión los siguientes conjuntos y sus respectivos cardinales. 4. Determinar por comprensión los siguientes conjuntos: 5. Dados los siguientes conjuntos, después de determinarlos por extensión y dar sus cardinales, escribe los signos "Î" o "Ï" según corresponda. TAREA DOMICILIARIA 1. Determinar por extensión los siguientes conjuntos y dar su cardinal. a. P = {x + 5/x Î N, "x" es impar, x £ 7} b. Q = {3x + 6/x Î N; "x" es par, 5 < x £ 12} c. R = {x2 + 3/x Î N; 3 < x < 12} d. S = {es un mes del año} 2. Determine por comprensión los siguientes conjuntos: 3. Observa los diagramas, escribe los signos "Î" o "Ï" según corresponda: a. SEGÚN SU NÚMERO DE ELEMENTOS 1. CONJUNTO NULO O VACÍO Es aquel conjunto que no posee elementos. - Se le representa como: "Æ" o también así: { } - Y se lee: el conjunto vacío. Ejemplo: A = {x/x es un número impar que termina en 2} Veamos: como ningún número impar termina en 2, entonces el conjunto "A" es igual al vacío y se le representa así: A = Æ Ejemplo: B = {x/x Î N; 7 < x < 8} Veamos: no existe ningún número natural que sea mayor que 7 y menor que 8 a la vez, entonces: B = Æ Indique cinco ejemplos más de conjuntos nulos o vacíos. 2. CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que posee un solo elemento. Ejemplo: P = {x/x Î N, 5 < x < 7} Veamos: como 6 es el único número natural comprendido entre 5 y 7, entonces: P = {6} Ejemplo: N = {es un sátelite natural de la Tierra} Veamos: N = {Luna} Indique cinco ejemplos de conjuntos unitarios. 3. CONJUNTOS FINITOS Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos diferentes. Ejemplo: A = {x/x Î N; x < 8} Veamos: pasando a extensión el conjunto "A" se tendrá: A = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; entonces es un conjunto finito. Ejemplo: B = {x/x Î N, "x" es par, 9 < x < 13} Veamos: pasando a extensión el conjunto "B" se tendrá: B = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; entonces es un conjunto finito. Indique cinco ejemplos más de conjuntos finitos. 4. CONJUNTO INFINITO Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes. Ejemplo: M = {x/x Î N, x > 2} Veamos: M = {3; 4; 5; 6; 7; . . . }; como los elementos de "M" no tienen fin, entonces es un conjunto infinito. Ejemplo: Q = {x/x Î N, "x" es par, x ³ 3} Veamos: Q = {4; 6; 8; 10; 12; . . . }; como los elementos de "Q" no tienen fin, entonces es un conjunto infinito. Los conjuntos infinitos más conocidos son los conjuntos numéricos: - Conjunto de los números naturales (N) - Conjunto de los números enteros (Z) - Conjunto de los números racionales (Q) - Conjunto de los números irracionales (I) - Conjunto de los números reales (R) 5. CONJUNTO UNIVERSAL Es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de dos o más conjuntos en referencia. Al conjunto universal se le representa por: "U" Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3}; B = {4; 5; 6} Luego: un conjunto universal será: U = {x/x Î N, 1 £ x £ 6}, ya que "U" contiene a los conjuntos "A" y "B". Ejemplo: P = {2; 4; 6; 8}; Q = {6; 8; 10}; R = {8; 10; 12; 14} Veamos: un conjunto universal será: U = {x/x Î N, "x" es par, x £ 14}, ya que "U" contiene a los conjuntos "P", "Q" y "R". Indique cinco ejemplos de conjunto universal. _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ PRACTIQUEMOS 1. Dado el conjunto unitario: A = {6; m + 2}, hallar "m" 2. Dado el conjunto unitario: B = {8; a - 5; b + 3}, hallar "a + b" 3. Si los conjuntos: A = {m; n}; B = {n; p}; C = {2p - 1; 3}; son unitarios, hallar "m + n + p" 4. En cada caso completar la clase de conjunto(s): A = {2x/x Î N; x < 100} __________________________ B = {2; 3; 4} y C = {x/x Î N, 1 < x < 5} __________________________ P = {3x/x Î N; "x" es par, 2 < x < 4} __________________________ M = {t,r,i,l,c,e} y N = {x/x Î N; x < 8} __________________________ R = {x/x Î N} __________________________ SEGÚN SU RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. INCLUSIÓN Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", si todos los elementos de "A" pertenecen al conjunto "B". Se denota: "A Ì B" Se lee: - "A está incluido en B", "B incluye a A" - "A está contenido en B", "B contiene a A" - "A es un subconjunto de B", "B es superconjunto de A" Su diagrama de Venn - Euler será: Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 6} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Se observa que todo elemento de "A" pertenece al conjunto "B", entonces afirmamos que: "A" está incluido en "B", lo cual lo indicamos de la siguiente manera: "A Ì B" Su diagrama de Venn - Euler es: Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {a,e,o} y B = {x/x es una vocal} Se observa que toda vocal fuerte es una vocal, entonces afirmamos que: "A Ì B" Su diagrama de Venn: Ejemplo: Dados los conjuntos: P = {2; 3; 4; 6; 8; 10}; Q = {3; 6; 8; 10}; R = {6; 10} indicar los signos de "Ì" o "Ë" según corresponda. R ....... P Q ....... R Q ....... P P ....... R R ....... Q P ....... Q Ejemplo: Observa los diagramas de cada conjunto e indica los signos de "Ì" o "Ë" según corresponda: Observaciones: i. Todo conjunto "A" está incluido consigo mismo y se denota: A Ì A. ii. El conjunto vacío "Æ" está incluido en todo conjunto "A": Æ Ì A 2. CONJUNTOS IGUALES Dos conjuntos "A" y "B" son iguales sólo si tienen los mismos elementos. Se denota: A = B Se lee: el conjunto "A" es igual al conjunto "B". Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {i, u} y B = {x/x es una vocal débil} Veamos: los conjuntos "A" y "B" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: A = B Ejemplo: Sean los conjuntos: P = {1; 3; 5; 7; . . . .} y Q = {x/x Î N, "x" es impar} Veamos: los conjuntos "P" y "Q" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: P = Q Observaciones: i. En un conjunto sólo se puede escribir una sola vez cada uno de sus elementos. ii. En un conjunto sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden. Ejemplo: Sean los conjuntos: M = {1; 3; 5} y N = {3; 5; 1} Veamos: los conjuntos "M" y "N" tienen los mismos elementos, ya que el orden de sus elementos no interesa, entonces podemos afirmar que: M = N 3. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Su diagrama de Venn: Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6} Veamos: como los elementos de "A" son diferentes a los elementos de "B", entonces "A" y "B" son disjuntos. Ejemplo: Dados los conjuntos: M = {x/x es un número par} y N = {x/x es un número impar} Veamos: como los elementos de "M" son diferentes a los elementos de "N", entonces "M" y "N" son disjuntos. Ejemplo: Sean los conjuntos: M = {x/x es un hombre} N = {x/x es una mujer} Veamos: ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ PRACTIQUEMOS 1. Escribe el símbolo "Ì" o "Ë" según corresponda: a. {do, re, sol} ............ {x/x es una nota musical} b. {2; 6; 8; 10} ............ {x/x es un número par} c. {a ,e, i, m, r} ............ {x/x es una vocal} d. {9; 7; 6; 5; 3; 1} ............ {x/x es un número impar} 2. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {1; 4; 5; 7}; C = {2; 4; 6}; D = {1; 5} escribe los símbolos "Ì" o "Ë" en cada caso: C ....... A C ....... D A ....... C B ....... D A ....... B B ....... A C ....... B D ....... C D ....... A D ....... B B ....... C A ....... D 3. Dado el conjunto: A = {2; {3}; 3;{5}} Señalar verdadero o falso: 2 Ï A ( ) {2} Î A ( ) {3} Î A ( ) {3} Ì A ( ) {{5}} Ì A ( ) {{3}} Ì A ( ) 3 Î A ( ) {2} Ë A ( ) Æ Ì A ( ) 4. Observa los diagramas y escribe los símbolos "Ì" o "Ë" en cada caso: TAREA DOMICILIARIA 1. Dados los conjuntos: A = {2x + 1/x Î N, x < 8}; B = {x/x Î N, "x" es impar, 3 < x £ 11} C = {9; 11; 13; 15}; D = {11; 15} escribe los signos "Ì" o "Ë" en cada caso C ....... B A ....... B D ....... A A ....... D D ....... B B ....... C C ....... D C ....... A B ....... A 2. Completar en cada caso la clase o clases de conjuntos: a. A = {x/x Î N; x > 5} _______________________ b. M = {x/x es una vocal} y N = {2; 4; 6; 8} _______________________ c. C = {3x/x Î N; x > 0} _______________________ d. D = {4; 4; 7; 7; 7; 4; 4} y E = {7; 4} _______________________ e. P = {x/x Î N; 5 < x < 7} y Q = {2} _______________________ f. M = {0; 1; 2; 3; ....; 99} _______________________ g. N = {x/x Î N; "x" es par, 6 < x < 8} _______________________ 3. Si: A = B; hallar "m2 + p2" donde: A = {2m + 6; 2} y B = {10; p - 3} 4. Dado los conjuntos unitarios: P = {2a - 3; 7} y Q = {a; b + 2} hallar "a + b" 5. Dado el conjunto: A = {1; {2}; {4}; 6} señalar verdadero o falso: {2} Ì A ( ) {1} Ì A ( ) {{2}} Ì A ( ) 4 Î A ( ) 2 Î A ( ) {6} Ì A ( ) 2 Ï A ( ) {6} Ë A ( ) Æ Î A ( ) Operaciones entre conjuntos I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de "A" con todos los elementos de "B". Se denota: A È B Se lee: A o B Se define: Representación gráfica: Ejemplos: 1. Si: A = {1; 2; 4; 5; 7}; B = {3; 4; 6; 7; 8} entonces: A È B = {____________________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su gráfico será: 2. Si: P = {2; 6; 9; 10}; Q = {1; 3; 5} entonces: P È Q = {____________________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su gráfico será: EJERCICIOS 1. Sean los conjuntos: A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
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