FRACCIONES EJERCICIOS RESUELTOS DE RAZONAMIENTO MATEMATICO PDF


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    En la vida diaria en cada momento se compara cantidades por división, como necesitamos los valores de estas comparaciones. las cuales nos permiten calcular dichas comparaciones y ahora con el uso de las computadoras sus cálculos son rápidos y con mayores capacidades para obtener resultados. El origen de las fracciones comunes o quebradas es muy remota . Los babilónicos , egipcios y griegos han dejado pruebas de que conocían las fracciones. Cuando Juan de Luna tradujo al latín , en el siglo XII, la Aritmética de Al-Juarizmi , empleo la palabra “fractio” para traducir del árabe “al-kasr” que significa quebrar , romper . Este uso se generalizó junto con la forma ruptus , que prefería Leonardo de Pisa . En las numerosas inscripciones egipcias descifradas, se encuentran variadísimos problemas con números fraccionarios . Con su peculiar sistema de fracciones con la unidad como numerador , resolvían los problemas de la vida diaria , tales como la distribución del pan, las medidas de la tierra, la construcción de las pirámides , etc . Algunos de los problemas presentados en el papiro de Ahmes tienen todavía vigencia .

    I. ADICIÓN A. Método del mínimo común múltiplo • Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo escribimos como DENOMINADOR del resultado. • Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador. • Finalmente se suma en el numerador. Ejemplo: • B. Regla de productos cruzados Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos o tres fracciones de términos pequeños. Ejemplo: ¡AHORA HAZLO TÚ! 1. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuar las siguientes adiciones: Indicar el mayor resultado. a. b. c. d. e. 2. Calcular "A + B", si: a. b. c. d. 1 e. 3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar y completar: dar como respuesta el resultado. a. b. c. d. e. 1 4. Efectuar la siguiente operación: a. b. c. d. e. 5. Completar los signos ">" ó "<" según corresponda: i. ii. iii. iv. ¿Cuántos signos ">" salen? a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 II. SUSTRACCIÓN "Para sustraer fracciones puedes aplicar tambien la regla de producto cruzados o el método del m.c.m." 6. Empleando la regla de productos CRUZADOS efectuar las siguientes sustracciones. Indicar el menor resultado. III. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores; el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores. Es decir: 11. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada. a. b. c. d. e. 15. Simplificar: a. b. c. d. e. IV. DIVISIÓN Para dividir una fracción entre otra no nula equivale a multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda . Es decir: 16. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 17. Escribir la expresión más simple equivalente a: SEMANA 1 1. ¿Cuánto le costó a Susana lo que al vender en S/.23 762 le deja una pérdida de S/.1 603? 2. ¿A cómo debemos vender lo que costó S/.13 615 si deseamos obtener una ganancia de S/.6 019? 3. Necesitamos saber el peso de 5 cajones, sabiendo que el primero pesa 713 kilos, el segundo pesa 17 kilos menos que el primero; el tercero pesa 18 kilos más que el primero y el segundo juntos y el quinto pesa 2 kg menos que el cuarto. 4. Si mis ingresos al mes fueron de S/.255 más, podría gastar S/.300 en alimentos, S/.350 en alquiler, S/.430 en ropa y S/.200 en otros gastos, quedándome de ahorro S/.385. ¿Cuál es mi ingreso mensual? 5. Habiendo comprado un auto usado por S/.7 685 y una camioneta por S/.9 568, deseo saber la ganancia total que he logrado, si el auto lo vendo luego en S/.8 432 y la camioneta en S/.10 769. 6. Manuel terminó la secundaria a los 16 años, se graduó de ingeniero cinco años después, se casó ocho años más tarde, luego viajó a España, cuatro años después y 12 años más tarde fue nombrado catedrático. ¿A qué edad fue nombrado catedrático? 7. Un padre tiene 43 años y su hijo 9 años. ¿qué edad tendrá el padre cuando el hijo cumpla 43 años? 8. La suma de los términos de una sustracción es 400. ¿Cuáles son esos números si la diferencia excede en 80 al sustraendo? 9. Hallar el complemento aritmético de: a. 53 b. 76 c. 324 d. 3 472 e. 4 040 f. 573 g. 36 000 h. 98 i. 7 935 SEMANA 2 10. El papá de Jaimito paga una deuda con 17 billetes de S/.20 cada uno, 19 billetes de S/.10 cada uno y 29 de S/.5 cada uno. ¿A cuánto ascendía la deuda? 11. Felipe compra 342 chompas a S/.17 cada una y obsequia 19. ¿Cuál es su ganancia si las restantes los venden a S/.28 cada una? 12. Compré 98 ventiladores a S/.45 cada uno, ¿cuál debe ser el precio de venta de cada ventilador para obtener una ganancia total de S/.1176? 13. Si venden un departamento por S/.15800 gano el doble del costo más S/.800. ¿Cuánto me costó el departamento? 14. Jessica desea saber cuánto costó el auto de Mónica, si esta le ha dicho que al venderlo por S/.29 000 ha ganado S/.1 000 más el triple de lo que le costó a ella. 15. En una división el cociente es 9, el divisor 8 y el residuo es el mayor posible. Hallar el dividendo. 16. En una división el cociente es 35, el divisor es 40 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo. 17. Cuando un número se divide entre 10 el cociente es 14 y el resto es la mitad del divisor. Hallar el resto de dividir dicho número entre 11. 18. Si un números se divide entre 8 da por cociente 2 y por resto 1. Hallar el cociente cuando dicho número se divide entre 3. SEMANA 3 19. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica. a. -7 ; +6 ; 0 ; -1 b. -10 ; -12 ; -13 c. -20 ; - 10 ; -6 ; 1 d. -27 ; -21 ; 1 e. -10; +2 ; +5; -1 f. +15 ; -13 ; -14 ; 0 g. -17 ; +16 ; -15 ; 0 h. +8 ; -5 ; -4 ; +3 20. Resuelve los siguientes ejercicios: a. b. c. d. e. f. SEMANA 4 21. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a. - 4 + (-7) - (-13) + (-9) b. -13 - (-14) + 27 - 18 + (-38) c. 53 - 28 + 39 - 47 + 18 d. -68 - (-4) + (-73) - 52 + 106 e. 75 - 49 - 32 + 92 - (-18) + (-20) f. (7 - 3 + 5 - 1) + (-11 + 4 - 1) - (-5 - 3 + 2) g. (-12 + 8 - 2) + (6 - 7 - 9) - (-4 + 5 + 9) h. [(6 - 10) + (2 - 5)] - [(7 + 3 - 5) - (8 - 11)] i. - 13 - {- 7 - [9 - (13 - 8) - 7]} - (27 - 14) j. 12 - {(-13 + 9) + (-3 - (4 - 7))} - {- 3 - 2 - [ - (3 - 8)]} 22. Resuelve: a. |-15 + 10| × |-5 + 3| b. |-100 + 80| + |-6 - 3| c. |-5 - 3 - 2| + |4 + 2 + 3| d. |-2 + 3 - 1| + |8 + 3 - 1| e. |-100 - 20 - 3| + |+3 + 2 + 1| SEMANA 5 23. Resolver: a. (-30) ¸ (+5) + (-5)2 - (-2) b. c. d. (-1) (-8)2 + (-1) (-6) + (-3)2 NOCIÓN DE FRACCIÓN Consideremos los siguientes conjuntos. Z = { . . ., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3 . . .} Z* = { . . ., –3, –2, –1, 1, 2, 3 . . .} A partir de ellas, determinaremos su conjunto producto: Nótese que en este conjunto de pares ordenados así definidos la segunda componente en todos los casos es diferente de cero. Establezcamos ahora, una relación R, la cual definiremos a partir de dos pares ordenados (a, b); (c, d) del conjunto producto dado, del modo siguiente: Por lo tanto, en base a todo lo expuesto enunciaremos: Se denomina FRACCIÓN a cada uno de los pares ordenados (a, b) = a/b perteneciente al conjunto producto Z × Z*. Llamamos NÚMERO RACIONAL al subconjunto del conjunto producto Z ×Z* formado por todos los pares ordenados (a, b) = a/b que cumplen la relación R establecida. Ejemplo: Sean (1, 2); (–2, –4); (3, 6); (4, 8); (5, 10);... pares ordenados pertenecientes al conjunto producto Z ×Z *, entonces, verificamos la relación R. Estamos ahora en condiciones de poder expresar el número racional, un medio, del modo siguiente: La relación R indicada, establece la equivalencia entre las fracciones consideradas, por ello interpretaremos el número racional como el conjunto de todas las fracciones equivalentes. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Consideremos una cierta región S la cual está dividida en varias subregiones, si estas disponen de la misma forma y tamaño (al superponerlas imaginariamente coinciden), entonces estas subregiones tienen la misma medida y se denominarán REGIONES CONGRUENTES. Si dentro de la región “S” escogemos alguna de estas regiones congruentes (indicaremos esta elección, sombreando o achurando las regiones elegidas), entonces es posible asociar cada región S, un par ordenado, en el cual su primera componente indicará la cantidad de regiones congruentes escogidas, y su segunda componente expresará el número total de regiones congruentes en que se ha descompuesto la región S. A esta forma de la asociación de un par ordenado cuyo segundo componente es diferente de cero con una región que se ha dividido en varias regiones congruentes, se denomina FRACCIÓN, ejemplo: FRACCIONES ORDINARIAS Clasificación Las fracciones ordinarias se pueden clasificar de acuerdo a la relación entre sus términos en: – Propias: Son todas aquellas cuyo valor es menor que la unidad y donde el numerador es menor que el denominador. Ejemplo: – Impropias: Son aquellas cuyo valor es mayor que la unidad y donde el numerador es mayor que el denominador. Ejemplo: – Mixtas: Son derivadas de las fracciones impropias y constan de una parte entera y otra fraccionaria. Da una fracción impropia la parte entera de su fracción mixta correspondiente es igual al cociente entero por defecto del numerador entre el denominador, la parte fraccionaria tiene como numerador el resto por defecto de dicha división y por denominador la de la fracción inicial. Ejemplo: Reducir la fracción mixta impropia Para reducir una fracción mixta a quebrado (o fracción ordinaria) se multiplica el entero por el denominador del quebrado y se le suma el numerador; este será el numerador del quebrado equivalente al mixto. El denominador, tanto en la fracción mixta como en el quebrado será el mismo. Ejemplo: Reducir a fracción ordinaria la fracción mixta . Por lo expuesto, podemos concluir fácilmente: “Toda fracción mixta dada, será igual a la suma de su parte entera con la fraccionaria”. Clasificamos las fracciones ordinarias, de acuerdo a la relación de sus denominadores en: – Homogéneas: dos o más fracciones ordinarias dadas serán homogéneas cuando todas ellas disponen del mismo denominador. – Heterogéneas: Dado un conjunto de fracciones ordinarias se consideran heterogéneas si por lo menos dos de ellas disponen de denominadores diferentes. Ejemplo: Dado los siguientes conjuntos de fracciones, determinar su calidad de homogéneas o heterogéneas. a) heterogénas b) homogéneas c) heterogéneas – Compleja: Es aquella cuyo numerador o denominador o ambos son quebrados. Si además de ello, existieran operaciones indicadas entre estos, se denominaría expresión fraccionaria compleja. Ejemplo: Son fracciones complejas. Es una fracción compleja. – Equivalentes: Dadas dos fracciones ordinarias, se dice que son equivalentes cuando teniendo distintos numeradores y denominadores, ambas presentan el mismo número racional. Por lo expuesto inicialmente en 1.1; podemos afirmar: “Se dice que una cierta fracción ordinaria es equivalente a otra dada, si el resultado de multiplicar el numerador y denominador de esta última, por un mismo número entero”. En muchos casos (mayoría de textos y exámenes) se acostumbra a representar la relación de equivalencia con =, en vez de <>. Debe pues tenerse mucho cuidado con esto , y sobre todo tener en cuenta las condiciones especificadas, puesto que igualdad y equivalencia no disponen del mismo significado. Toda fracción ordinaria es equivalente consigo misma, pero si dos fracciones ordinarias son equivalentes no implica ello que sean iguales. Ejemplo: es equivalente a ; puesto que: 9 = 3 × 3 y 12 = 4 × 3 – Irreductible: Una fracción ordinaria dada será irreductible cuando el numerador y denominador sean dos números primos entre sí, en caso contrario la fracción se considerará reductible. Dada una fracción ordinaria reductible cualesquiera para expresarla como irreductible, bastará con dividir a su numerador y denominador por el MÁXIMO COMÚN DIVISOR de ellos, siendo los cocientes a obtenerse los términos de dicha fracción irreductible. Ejemplo: APLICACIONES (Reducción a la Unidad) Las ideas vistas anteriormente acerca de las fracciones nos permiten deducir algunas nociones muy interesantes conocidas como método de Reducción a la Unidad Expliquemos estas nociones mediante pequeños ejemplos, veamos. a) Supongamos que un grifo o caño llena un tanque de agua en 5 horas, utilizando un caudal constante (que se debe suponer). Si el tiempo total (5h) lo dividimos de tal modo que nos queden “unidades de tiempo” es decir, en intervalos de 1 hora tendríamos 5 intervalos y cada uno vendría a ser la quinta parte del tiempo total y por lo tanto a la quinta parte del tiempo le correspondería la quinta parte del trabajo total. En pocas palabras: Si en 5 horas lleno un tanque completo (total), entonces en una hora llenaré 1/5 del tanque. En el fondo, estamos reduciendo las 5h a la unidad de tiempo: 1h, relacionándolo con la fracción de trabajo. Gráficamente tendríamos: Por lo tanto; podemos razonar del siguiente modo: Si en 5h lleno un volumen total entonces: En 1h, lleno del volumen. En 2h, lleno del volumen En 3h, lleno del volumen En x h, lleno del volumen b) Veamos la solución de un problema. Un grifo A llena todo un tanque en 3 horas y un grifo B llena el mismo tanque en 6 horas. ¿En cuántas horas llenarán el tanque, si funcionan los dos grifos juntos? Veamos si en el grifo A llena todo el tanque en 3 horas, en una hora llenará la tercera parte del tanque , así también si el grifo B llena todo el tanque en 6 horas; en una hora llenará la sexta parte del tanque . Ahora si ambos funcionan juntos (A y B) En una hora llenarán la tercera parte (A) más la sexta parte (B) del tanque, es decir la mitad del tanque: por lo tanto, si en una hora llenan la mitad del tanque, todo el tanque lo llenarán en 2h. Análogamente si un grifo llena un estanque en 4 horas y otro grifo B lo llena en 12 horas, si se abren simultáneamente, el estanque se llenará en 3 horas. Pues: A en 1 hora llenaría del tanque B en 1 hora llenaría del tanque A y B juntos llenarían del tanque Por lo tanto, si en 1 hora llenan del tanque, todo el tanque lo llenarán en 3 horas. 1. Los de del triple de A es igual a los de A. Hallar el valor de A: A) B) C) D) E) 2. Una pelota cae desde una altura de 243 m. Cada vez que toca el piso rebota de altura de donde cayó. ¿Qué altura se elevará la pelota en el cuarto rebote? A) 18 m. B) 8 m. C) 15 m. D) 3 m. E) 11 m. 3. En una apuesta Edith pierde partes del capital, si aún le queda x soles. ¿Cuánto tenía al empezar el negocio? A) B) C) D) E) 4. De un recipiente que está lleno de lo que no está lleno, se vacía de lo que no se vacía. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con líquido? A) B) C) D) E) 5. Si el largo de un rectángulo disminuye en un quinto y el ancho aumenta en su mitad, ¿qué parte es el área inicial respecto de la final? A) B) C) D) E) 6. Un jugador en su primer juego pierde de su dinero, en el segundo pierde del resto y en el tercero pierde del nuevo resto. Si al final se quedó con 200 soles, ¿Con cuánto empezó a jugar? A) S/. 500 B) S/. 970 C) S/. 800 D) S/. 480 E) S/. 600 7. Carmen perdió del dinero que le encargaron. ¿Qué parte de lo que queda servirá para reponer lo perdido? A) B) C) D) E) 8. Carol cada vez que entra a una tienda gasta de lo que no gasta. Si entró a 3 tiendas en forma consecutiva y se quedó con 64 soles. ¿Cuánto tenía antes de ingresar a la tienda? A) 95 B) 140 C) 80 D) 125 E) 75 9. He gastado los de mi dinero, si en lugar de gastar los hubiera gastado los de mi dinero tendría ahora 72 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? A) S/. 120 B) S/. 157 C) S/. 210 D) S/. 128 E) S/. 247 10. En una reunión de 60 personas los del total son hombres. ¿Cuántas mujeres deberán retirarse para que los hombres sean ahora los del nuevo total? A) 30 B) 18 C) 12 D) 36 E) 22 Rpta.: 2. ¿Qué parte de 2ax es (3+a+x)2, si de x es la mitad de a. Rpta.: 3. Los de un muro están pintados de azul, los del resto son de color blanco y lo que queda que mide 10 m. de rojo. ¿Cuál es la longitud del muro? Rpta.: 4. En un salón de Saco Oliveros sólo asistieron a un examen de los alumnos y de éstos aprueban , si los desaprobados son 24. ¿Cuántos alumnos hay en dicha aula? Rpta.: 5. Un recipiente está vacío de lo que está lleno. Se extrae de lo que no se extrae quedando sólo 25 libros. Hallar la capacidad del recipiente. Rpta.: 6. ¿Qué parte de de de es de de de de ? Rpta.: 7. Una carpeta pesa 11 kg. más los de su peso total. ¿Cuánto pesa la carreta? Rpta.: 8. La tercera parte del valor de A es igual a los menos del valor de B. ¿Qué fracción representa el valor de B respecto del valor de A? Rpta.: 9. De un recipiente que está lleno la mitad de lo que no está lleno se extrae de su contenido. ¿Qué fracción del depósito queda con contenido? Rpta.: 10. Un moribundo reparte su fortuna entre sus 4 hijos, al primero le da del total, al segundo del resto, al tercero del nuevo resto si el último recibe S/. 800. ¿Cuál era la fortuna del moribundo? Rpta.: FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS ANÁLISIS DE PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES EN PRIMARIA Consigna: A continuación incluimos algunos enunciados de problemas y ejercicios que han sido tomados de libros de texto de primaria. Para cada uno de ellos: a) Resuelve los problemas propuestos. b) Indica los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. c) Identifica diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. d) Para cada problema enuncia otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno te parezca más fácil de resolver y otro más difícil. e) ¿Piensas que los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Propón un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no te parezcan suficientemente claros para los alumnos. f) Consigue una colección de libros de texto de primaria. Busca en ellos tipos de problemas no incluidos en esta relación. Explica en qué se diferencian. Enunciados de problemas incluidos en libros de primaria: 1. Escribe en tu cuaderno qué fracción está sombreada en cada caso 2. En una granja, de cada 10 animales, 5 son aves, 3 son vacas y 2, ovejas. - Representa, con un gráfico, la fracción de cada tipo de animales. - ¿Qué fracción representan las vacas y las ovejas juntas? - De cada 5 aves, 3 son gallinas, ¿Qué fracción del total de animales son gallinas? 3. Copia al lado de cada fracción cómo se lee: 3 5 4 2 7 10 5 8 3 7 11 8 4. Entre cinco personas compran una bolsa de naranjas de 4 kg por 490 pts. ¿Qué peso, en kilos, corresponde a cada persona? ¿Cuánto dinero tiene que pagar cada una? Expresa cada resultado en forma de fracción y calcula su valor 5. De las 25 personas de la clase de Laura 3/5 son niñas. ¿Cuántos niños hay? 6. Laura ha recorrido los 2/3 del trayecto de su casa al colegio, que mide 570 m. Roberto ha recorrido también los dos tercios del suyo, que es de 420 m. ¿Han recorrido Laura y Roberto la misma cantidad de metros? ¿Y la misma fracción de su camino respectivo? 7. De la superficie total de España (504.000 km2, aproximadamente), los dos tercios son de paisaje llano. ¿Cuántos kilómetros cuadrados representa esta fracción? ¿Cuánta superficie montañosa hay en España? 8. Escribe y representa con dibujos: a) Dos fracciones iguales a la unidad; b) Dos fracciones menores que la unidad, c) Dos fracciones mayores que la unidad. 9. Las fracciones 3/4, 2/5, 3/8, y 8/10 son menores que la unidad. Compruébalo hallando sus expresiones decimales. Haz lo mismo con 7/5, 6/4, 3/2 y 13/10, que son mayores que la unidad. 10. Comprueba que las fracciones 6/5 y 12/10 son equivalentes. Halla ahora el valor decimal de cada una. ¿Qué observas? Haz lo mismo con las fracciones 54/3 y 8/6. 11. Escribe una fracción simplificada de 16/12, 4/8, 10/15, 8/10 y 12/21. 12. Encuentra fracciones equivalentes a 6/18 con estas condiciones: Numerador 3 4 1 Denominador 6 5 ¿Puedes llenar todas las casillas¿ ¿Por qué? 13. Ordena de menor a mayor: a) 6/2, 6/10, 6/4, 6/8; b) 13/4, 9/4, 5/4, 8/4; c) 7/5, 8/9, 12/5, 6/9; d) 5/4, 7/5, 3/2, 7/8. 14. Calcula: a) 3/5 de 1.500 euros; b) 7/9 de 9.000 kilos; c) 4/3 de 175'4 metros; 6/10 de 3.854 personas. 15. Comprueba gráficamente, con el producto cruzado de los términos y hallando el valor decimal, cuáles de estos pares de fracciones son equivalentes: a) 3/4 y 1/5; b) 6/4 y 9/6; c) 5/10 y 4/8; d) 7/2 y 28/8 16. En el pueblo de Sergio, los 5/8 de toda la producción agrícola corresponden a las frutas. Las manzanas suponen los 3/8 de la producción total. ¿Qué fracción corresponde al resto de las frutas. 17. Una fuente echa 5/4 litros de agua cada segundo. ¿Cuántos litros arroja en un minuto? 18. El padre de Sergio ha hecho un mural rectangular de cerámica que mide 1/2 metro de base y 3/4 de metro de altura. ¿Qué superficie tiene el mural? B: Conocimientos Matemáticos 1. FRACCIONES Y RAZONES Nos encontramos con frecuencia situaciones en las que es preciso dividir un todo en partes, repartir un conjunto de objetos en partes iguales o medir una cierta cantidad de una magnitud que no es múltiplo de la unidad de medida. Para resolver estas situaciones prácticas, tenemos necesidad de expresar el cociente de dos números naturales (en los casos en que no es un número natural) . Ello nos lleva a la idea de fracción y tras un proceso de abstracción a la introducción de los números racionales. En este tema comenzamos analizando las situaciones prácticas que nos llevan a la idea de fracción y estudiamos los números racionales y sus operaciones. 1.1. Situaciones de uso de fracciones y razones 1. Situaciones de reparto 1.1. Partición de un todo Se trata de situaciones en las que un todo constituido por uno o más objetos se divide en partes iguales y se toman o consideran algunas de esas partes. Cuando decimos que una parte es a/b del total queremos decir que el total se ha dividido en b partes iguales y que el trozo al que hacemos referencia está formado por un número a de dichas partes. Si el todo está compuesto por un número de elementos iguales, que a su vez es múltiplo de b, la partición consiste en formar b subconjuntos disjuntos del mismo número de elementos y tomar a de ellos. El todo puede ser continuo o discreto. Ejemplo (todo continuo): Si repartimos una tarta entre tres personas decimos que cada una de ellas recibe 1/3. Ejemplo (todo discreto): En una urna hay 5 bolas blancas y 3 negras. Decimos que la probabilidad de obtener una bola blanca es 5/8, porque los casos favorables son 5 de los 8 posibles. 1.2. Reparto equitativo en las que el número de objetos a repartir no es múltiplo del número de individuos entre los que se efectúa el reparto. Los objetos pueden ser divididos en partes sin que pierdan sus propiedades básicas En este caso la existencia de un resto obliga a dividir en partes iguales la unidad de reparto para poder seguir repartiendo el resto de forma igualitaria entre los individuos. Por tanto, si cada individuo recibe a/b objetos significa que cada uno de los objetos a repartir ha sido dividido en b partes iguales y se ha entregado a de ellas a cada individuo. Ejemplo: Se desea repartir, de manera equitativa, 5 tartas entre 8 niños. Cada tarta se divide en ocho porciones iguales y se dan 5 de ellas a cada niño. El resultado del reparto se expresa con la escritura, 5/8. 1.3. Reparto proporcional de una cierta cantidad en partes que guardan una cierta relación. En las sociedades jerarquizadas existen repartos o contribuciones que no son equitativos, sino que los individuos reciben o contribuyen en función de su jerarquía social y económica. La relación entre las cantidades repartidas puede ser de tipo aditivo o de tipo multiplicativo según que lo que se mantenga constante sea la diferencia entre las cantidades a repartir o el cociente. Si se efectúa un reparto en que uno de los individuos tiene que recibir 3 unidades más que otro (relación aditiva), si el segundo recibe 2 unidades, el primero recibirá 5; y si el segundo recibe 20 unidades, el primero recibirá 23. Si en un reparto un individuo recibe 3 veces más que otro (relación multiplicativa), recibirá 6 unidades si el segundo recibe 2, o 60 unidades si el segundo recibe 20. En este caso, decimos que el reparto se hace en la razón 3 a 1. Si el reparto se hace en la razón a:b o a b (que son las dos maneras de denotar las relaciones multiplicativas), por cada a objetos o cantidades que reciba el primer individuo el segundo debe recibir b objetos o cantidades. Ejemplo: Este tipo de reparto se usa en el muestreo proporcional. Por ejemplo, si en una población electoral la proporción de jóvenes es el 30% del total de votantes, al elegir una muestra de 1000 personas se incluirá en la misma 300 jóvenes. 2. Situaciones de medida 2.1. Por fraccionamiento de la unidad En estas situaciones existe una cantidad de magnitud a medir que no equivale a la unidad o alguno de sus múltiplos. Para precisar más la medida se divide la unidad en partes iguales y si una cantidad de magnitud mide a/b unidades quiere decir que dividiendo la unidad en b partes iguales la cantidad de magnitud a medir equivale a un número a de dichas partes. Ejemplo: Cuando decimos que un botellín de coca cola tiene 250/1000 litros. 2.2. Por commensurabilidad Situaciones de medida en las que se comparan dos cantidades de una magnitud, estableciendo cuántas veces tiene que ser repetida cada una de ellas para obtener dos cantidades iguales. En este caso, dadas dos cantidades de magnitud A y B (por ejemplo, dos varillas de longitudes A y B), decimos que están en la razón a : b si repitiendo b veces la cantidad de magnitud A y a veces la cantidad de magnitud B, se obtienen dos cantidades de magnitud iguales, es decir, bA = aB. Si la cantidad de magnitud B se toma como unidad de medida se dice entonces que a : b es la medida de A respecto de la unidad B. Este proceso de medida se llama "medida por conmensurabilidad" (medida común). Los pares de números naturales a : b, o separadas por un guión a - b, que aparecen en este segundo tipo de situaciones suelen recibir el nombre de razones y tienen todos ellos la particularidad de que si dos cantidades de magnitud A y B están en la razón a : b se cumple que bA=aB. Al primer número del par se le llama "antecedente" o primer término de la razón y al segundo "consecuente" o segundo término de la razón1. 1 En el caso particular de que el segundo término de una razón sea 100, a dicha razón se le llama porcentaje. Decir que una cantidad de magnitud A es el "35 por ciento", 35%, de otra B, equivale a decir que 100A = 35B. Las situaciones de comparación multiplicativa de los cardinales de dos conjuntos es un caso particular de medida por conmensurabilidad en el que las magnitudes son discretas. En algunas ocasiones se establecen relaciones multiplicativas entre dos conjuntos con efectos de comparación, o se comparan cantidades de diferentes magnitudes discretas. En este uso se supone que los dos conjuntos son partes de un conjunto global y se comparan las partes entre sí, y no las partes con el todo. Ejemplo: Cuando decimos que en una Facultad hay 3 chicos por cada 7 chicas. La razón entre el número de chicos y chicas es 3/7. La similitud con la conmensurabilidad se ve teniendo en cuenta que si tomamos 7 grupos de 3 chicos obtenemos la misma cantidad de personas que si tomados 3 grupos de 7 chicas. En ambos casos se obtiene 21 personas. 3. Situaciones de trueque, en las que dos individuos intercambian mercancías de distintos tipos. Un trueque se efectúa en la razón a: b si por cada a objetos de un tipo que el primer individuo le entrega al segundo, este último le entrega al primero b objetos de otro tipo. Ejemplo: Cuando compramos una bolsa de naranjas de 3 kilos por 4 euros. En este caso podemos decir que el trueque es 4: 3 euros el kilo o, alternativamente que el precio unitario del kilo de naranjas es 4/3 de euro. 4. Situaciones de transformación En el estudio del cambio de un objeto, un conjunto de objetos o una cantidad de magnitud, cuando se compara un estado actual con otro pasado o futuro también se utilizan fracciones. En este caso la fracción tiene un uso como función u operador que se aplica sobre una cantidad inicial para hallar una cantidad final. Ejemplo: Cuando se dice que el crecimiento de la población es del 10 por ciento o que el precio de unas acciones se ha reducido a los 3/4 de su valor. 5. Situaciones de división no entera En el contexto algebraico, la solución de la ecuación a = bx, con a y b enteros y cuando b no es un divisor de a y distinto de 0, se expresa mediante la fracción a/b, dejando indicado el cociente entre los números a y b. En el proceso de solución de las situaciones anteriores puede haber una fase (con frecuencia implícita) en la que las cantidades que aparecen se reducen a sus respectivas medidas (números enteros). Con ello se pasa de una situación empírica a otra formal (algebraica) en la que la fracción expresa el cociente indicado de los números correspondientes. Los distintos tipos de situaciones de uso de las fracciones y razones que hemos descrito proporcionan sentidos (o significados pragmáticos) diferentes de estos objetos matemáticos, poniendo en juego acciones e informaciones contextuales diferentes. El objeto matemático "número racional", que se presenta en la siguiente sección, debe ser abstraído de toda esta variedad de situaciones y operaciones concretas. Ejercicio 1. Clasifica los problemas incluidos en la parte A (incluidos en libros de primaria) según los tipos de situaciones descritas en esta sección. 1.2. Distinción entre fracciones y razones En los ejemplos que hemos introducido las razones utilizadas son siempre entre números enteros y se podía pensar que la razón es equivalente a una fracción. Sin embargo, en algunas situaciones el uso que se hace del término razón es más amplio que el de fracción, por lo que algunos autores diferencian entre estos dos términos. Estas situaciones son las siguientes: Cuando se comparan los tamaños de colecciones de objetos de naturaleza diferente, y no tiene sentido pensar en un conjunto global que los contenga. Por ejemplo cuando se dice que en una ciudad hay 2 automóviles por cada 5 habitantes. Las razones se pueden expresar mediante símbolos diferentes de fracciones: 4: 7, o 4 7; el símbolo de la fecha indica bien el aspecto de correspondencia de una razón, como medio de comparar cantidades. Las razones pueden tener un cero como segunda componente. En una bolsa la razón de bolas rojas a verdes puede ser de 10 a 0, si no hay ninguna verde. En las fracciones el denominador siembre debe ser distinto de cero. 2. EQUIVALENCIA DE FRACCIONES. NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS En los problemas que hemos descrito, fracciones diferentes, por ejemplo, 2/3 y 4/6, producen el mismo resultado. En efecto, en las dos siguientes situaciones de expresión de una parte de un todo discreto: “De los 18 alumnos de la clase, los 2/3 son chicas”. “De los 18 alumnos de la clase los 4/6 son chicas”, el número de chicas es el mismo, 12. En realidad, disponemos de infinitas fracciones para comparar el número de chicas 12 con el total de la clase 18: 2/3, 4/6, 6/9, 8/12, etc. Decimos que estas fracciones son equivalentes entre sí. Esta situación se suele ilustrar en la escuela primaria mediante gráficos como el siguiente: 4/6 de 18 chicas = 12 chicas 2/3 de 18 chicas = 12 chicas Fracciones equivalentes. Caracterización: Dos fracciones a/b, c/d son equivalentes si se cumple “la igualdad de los productos cruzados”, o sea: a.d = b.c. En efecto, si a.d = b.c, dividiendo ambos miembros por b.d y simplificando se obtiene, d c b a b d b c b d a d ; . . . . Y viceversa, si m u l tiplicando ambos miembros por b.d y simplificando se obtiene que a.d = b.c d c b a Esta relación cumple las tres condiciones exigidas a las llamadas relaciones de equivalencia, o sea: Reflexiva: toda fracción es equivalente a sí misma; Simétrica: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a x, entonces x e y son la misma fracción; Transitiva: si una fracción x es equivalente a otra fracción y e y es equivalente a otra fracción z, entonces x y z son equivalentes Es importante destacar que en la mayor parte de las situaciones, las fracciones equivalentes se usan indistintamente. Intuitivamente vemos que dos fracciones equivalentes, tales como 2/3 y 4/6 se refieren a una misma cantidad si se trata de una magnitud o a una misma razón si se trata de una comparación. Lo mismo ocurre con todas las fracciones equivalentes a la dada: 3/9, 20/30, 200/300, etc. Esta idea intuitiva se formaliza introduciendo los números racionales. Número racional El conjunto de las fracciones queda dividido en “clases de equivalencia”, cada una de ellas formada por todas las fracciones equivalentes entre sí. Cada una de las clases se dice que es un número racional; y el conjunto de todas las clases, el conjunto de los números racionales Q (incluyendo los números positivos y negativos, como se explica en el capítulo 6). Esta descripción abstracta se puede interpretar desde un punto de vista más intuitivo: El número racional [2/3] = {2/3, 4/6,...} lo identificamos con la fracción 2/3 cuando es usada como representante de cualquier otro miembro de la clase de fracciones equivalentes a 2/3. Las distintas fracciones de una misma clase de fracciones equivalentes son todas ellas diferentes unas de otras. Cuando se escribe: estas tres fracciones, en tanto que tales fracciones, no son iguales entre sí, sino equivalentes (se puede sustituir una por otra). Pero todas estas fracciones representan la misma clase de equivalencia, el mismo número racional. Por ello usamos el símbolo de igualdad. 15 9 10 6 5 3 Algunos textos y documentos curriculares usan la expresión "número fraccionario" para referirse al número racional. La equivalencia de fracciones y razones es la propiedad que justifica varias técnicas importantes de manipulación de racionales. Una de ellas es la técnica de 'simplificación de fracciones' que nos permite pasar de una fracción a la fracción irreducible2 equivalente a ella y que consiste en dividir numerador y denominador por el máximo común divisor de ambos números. Otra técnica es la de 'reducir a común denominador' o 'reducir a común numerador' varias fracciones, técnica consistente en elegir fracciones equivalentes a las dadas, todas ellas con el mismo denominador o con el mismo numerador, para lo cual hay que buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores o numeradores. La equivalencia de razones permite establecer la 'regla de tres', técnica que permite encontrar uno de los términos de una proporción conocidos los otros tres y que se basa en el hecho ya comentado de que en una igualdad entre dos razones (proporción) los productos en cruz son iguales. Si el término desconocido es un extremo se obtendrá multiplicando los términos medios de la proporción y dividiendo el resultado por el otro extremo. Si el término desconocido es uno de los términos medios de la proporción se obtendrá multiplicando los extremos y dividiendo el resultado por el término medio conocido. Fracciones irreducibles: Cuando trabajamos con un número racional, conviene designarle por la fracción más simple posible, como por ejemplo, 3/5 en el ejemplo anterior. Estas fracciones que no se pueden simplificar (dividiendo numerador y denominador por el mismo número) se llaman fracciones irreducibles. Números racionales particulares Todo número entero es un racional, pues cualquier entero se puede escribir en la forma de fracción: - 0 = 0/1 = 0/2 =... - 1 = 1/1 = 2/2 =... - 2 = 4/2 = 6/3 =... Todo número decimal es un racional, pues todo número decimal se puede escribir bajo la forma de una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. 1’2 = 12/10 (= 6/5) 34’56 = 3456/100 En consecuencia, el conjunto de los enteros y el de los decimales son subconjuntos de Q, el conjunto de los números racionales. Ejercicios 2 ¿Puedes simplificar la fracción 1/3? ¿Y 3/5? ¿Por qué? ¿Y amplificarlas? 3. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de éstas: 2/5; 3/2; 10/4. 2 Se llama fracción irreducible a una fracción en la que numerador y denominador son primos entre sí, es decir, no tienen ningún factor primo común. 4. Entre tres amigos se han repartido 360 cromos de la siguiente manera: al primero 3/9, al segundo 4/12 y al tercero 1/3. ¿Cuántos cromos le corresponde a cada uno? ¿Qué relación hay entre las tres fracciones? 5. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreducible? 10/21; 15/24; 220/1617 6. Reduce la fracción 12/20, ¿por qué número debes dividir numerador y denominador? ¿ y para reducir la fracción 28/42? ¿Puedes encontrar una regla general para reducir una fracción? 7. Demuestra que 8/29 =6/15. 3. PRIMERAS PROPIEDADES DEL NÚMERO RACIONAL POSITIVO El concepto de número racional positivo se ha construido a lo largo de varios miles de años y durante muchos siglos, su definición estuvo ligada a contextos concretos de medida y reparto. En estas condiciones, surgieron los conceptos de fracción y razón que inicialmente fueron conceptos independientes. A partir de ellos, se sintetizó, posteriormente, el concepto de número racional positivo y, más tarde, el de número racional. Puesto que detrás del concepto de número racional están los conceptos de fracción y razón y las situaciones de reparto y medida que les dan sentido, justificaremos la compatibilidad de sus propiedades con las referidas situaciones. En lo que sigue, representaremos los racionales positivos con la notación a/b, o, a b , salvo cuando tengan un significado específico como razones, pues entonces utilizaremos la notación a : b o a b. 1. Si a b, los números racionales representados por las fracciones a/b y b/a son distintos. Esta propiedad es evidente en cualquiera de las situaciones. Se dice que los racionales a/b y b/a son inversos el uno del otro. Ejemplo: La cantidad de magnitud que mide a/b unidades es distinta de una cantidad de magnitud que mida b/a unidades. Ejemplo: Si una cantidad se reparte proporcionalmente entre dos individuos el resultado del reparto es distinto según que éste se haga en la razón a : b, o en la razón b : a, etc. 2. El denominador de una fracción no puede ser cero, el numerador si puede serlo. El denominador de una fracción no puede ser cero porque no tiene sentido fraccionar la unidad de medida en cero partes o repartir entre cero individuos. En cambio, un numerador cero indica que no se toma ninguna de las partes en que se ha dividido la unidad, o que en la cantidad de magnitud a medir no cabe ninguna de dichas partes, lo que sí es posible. Nota: Sin embargo, en un reparto proporcional tienen sentido tanto la razón 0 : b como la a : 0; en los dos casos significa que una de las personas lo recibe todo y la otra no recibe nada. Pero en este caso no hablamos de número racional. 3. El racional 0 es el que tiene como representante cualquier fracción de la forma 0/b Si en la medida, bien por fraccionamiento de la unidad, bien por conmensurabilidad, de la cantidad de magnitud de un objeto, se obtiene un racional 0/b eso significa que ese objeto no tiene cantidad de magnitud, lo que en términos de números naturales se expresa diciendo que la cantidad de magnitud es 0. 4. Las fracciones con numerador igual al denominador son equivalentes y representan al número racional 1 Esta propiedad se justifica porque si una cantidad de magnitud mide b/b unidades significa que la unidad se divide en b partes y se toman esas b partes y esto equivale a la unidad. En las situaciones de reparto proporcional también podemos decir que repartir en la razón 4 : 4 equivale a repartir en la razón 1:1. 5. El numerador de una fracción puede ser mayor, igual o menor que el denominador y en consecuencia hay números racionales mayores, iguales o menores que la unidad. Si el número racional lo interpretamos como una razón no hay ningún problema, tanto sentido tiene la razón 7 : 3 como la 3 : 7. Puede ser más difícil de justificar en las situaciones de partición de un todo, pues si, por ejemplo, descomponemos un todo en 3 partes, el racional 7/3 indica que se han tomado 7 de dichas partes y ¿de dónde salen las 7 partes que se toman si inicialmente sólo se dispone de 3? En las situaciones de medida por fraccionamiento de la unidad 7/3 indica que la cantidad de magnitud de un objeto equivale a 7 terceras partes de la unidad de medida. En la práctica, primero contamos cuántas veces cabe la unidad entera en la cantidad de magnitud a medir y utilizamos el fraccionamiento de la unidad para dar la medida del resto. En ese caso en vez del racional 7/3 aparece como resultado de la medida el 'número mixto' 1 2 3 . A las fracciones del tipo 7/3 se las ha llamado, tradicionalmente, 'fracciones impropias', porque se consideraba que la forma correcta de expresar la medida correspondiente era convirtiéndolas en un número mixto3. La técnica de convertir las fracciones impropias en números mixtos consiste en efectuar la división entera entre el numerador y el denominador. El cociente obtenido será la parte entera del número mixto y el resto será el numerador de la nueva fracción, que deja de ser una fracción impropia. 6. Los fracciones de denominador 1 representan a los números naturales que son, por tanto un subconjunto de los racionales. En la situación de medida por fraccionamiento de la unidad, si una cantidad de magnitud mide, por ejemplo, 4/1 unidades significa que la unidad no se ha descompuesto en partes y, por lo tanto, equivale a decir que mide 4 unidades. 3 Al número expresado como suma de un número natural a y una fracción b/c se le llama ‘número mixto’ y se representa por b c a omitiendo el símbolo de la suma. En el caso de medida por conmensurabilidad, si la cantidad de magnitud A mide 7/1 unidades, significa que A es igual a 7 veces la unidad, lo que también permite identificar 7/1 con el número natural 7. Ejercicios 8. Explica por qué 0/5 = 0. Explica por qué 0/0 no está definido. 9. Busca un contraejemplo numérico de que x/(x+y) puede ser distinto a 1/(1+y). 10. Encuentra m, para que m/6=10/15. 4. OPERACIONES CON FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES POSITIVOS Puesto que un número racional viene representado por una infinidad de fracciones equivalentes, para operar con dos números racionales x e y, basta operar con alguna de las fracciones que representan a x y a y. La clase de equivalencia representada por el resultado de la operación es un número racional, resultado de operar con los números racionales x e y. Usualmente lo que hacemos es elegir la representación más simple posible, es decir la fracción irreducible que representa a ese número racional. En consecuencia definimos las operaciones con fracciones. 4.1. Suma y diferencia de fracciones y números racionales positivos La suma y diferencia de fracciones se justifica a partir del mismo tipo de situaciones que daban sentido a la suma y diferencia de naturales, es decir, situaciones de parte-todo, de reunión, de transformación o de comparación. Por tanto, el sentido de la suma y diferencia no cambia, cambian únicamente las cantidades que intervienen, que ahora son medidas o partes de un todo, mientras que antes eran cardinales u ordinales. La suma de dos fracciones de igual denominador se define como el resultado de sumar los numeradores y dejar invariante el denominador, a b a b c c c Ejemplo:En una reunión, 2/6 de las personas son hombres y 3/6 son mujeres, ¿Qué fracción de los presentes son adultos? = La diferencia de fracciones de igual denominador es el resultado de restar los numeradores y mantener el mismo denominador. a b a b c c c Por supuesto, para que una diferencia de fracciones positivas sea posible tiene que ser el primer numerador mayor o igual que el segundo. Suma de fracciones de distinto denominador Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y se aplican las definiciones anteriores (en este caso lo que se está sumando o restando son los racionales representados por dichas fracciones). En la práctica se habla de suma de fracciones de distinto denominador. Estas definiciones se justifican bien a partir de situaciones de medida por fraccionamiento de la unidad. Por ejemplo, si yo tengo una cantidad de magnitud A que mide 3/5 unidades y otra B que mide 8/5 la unión de las dos cantidades de magnitud será una nueva cantidad de magnitud que medirá 11/5. Suma y diferencia de números racionales La suma o diferencia de dos racionales será el racional definido por la suma o diferencia de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea sumar o restar. Propiedades: De las propiedades de la suma de fracciones, se deducen las siguientes propiedades para la adición de números racionales: Es una operación binaria e interna en el conjunto Q; Es asociativa; Es conmutativa; Tiene elemento neutro (el 0); Todo elemento tiene simétrico (el opuesto). Ejercicios 11. En Córdoba, durante el año pasado, las 4/5 partes de los días la temperatura superó los 25ºC, mientras que en León sólo ocurrió ésto una sexta parte de los días, aproximadamente, ¿Cuántos días hubo más de 25ºC en Córdoba? ¿Y en León? 12. Ilustra las siguientes sumas y diferencias de fracciones usando el modelo de áreas: 2/5+3/8; 4/7-2/11. 13. Supón que tienes que explicar a un niño los pasos a dar para sumar dos fracciones. Escribe una lista de todos estos pasos. Dibuja un organigrama que el niño pueda seguir para resolver la tarea con éxito. 14. Si el precio de un producto sube de 3 1/3 de euro el kilo a 4 1/8 de euro. ¿En cuántos euros se incrementa el precio? ¿Qué tanto por ciento de subida supone sobre el precio inicial? 4.2. Producto y cociente de fracciones y números racionales positivos A diferencia de lo que sucede en la suma, el sentido del producto de racionales cambia respecto al producto de naturales. En estos últimos un producto significa, ante todo, una suma repetida; sin embargo, en el caso de las fracciones y racionales no es posible interpretar el producto 3 1 4 5 x como el resultado de sumar 1/5 repetidas veces porque el número de veces no puede ser fraccionario. La situación que permite entender mejor el sentido del producto de racionales es la de partición de un todo plural, un todo que se compone de una colección de objetos homogéneos. Supongamos un conjunto de 70 lápices iguales. Obtener los 3/5 del total significa descomponer el conjunto en 5 subconjuntos de 14 lápices cada uno y coger 3 de dichos subconjuntos. En total, obtendremos 42 lápices. Si ahora tomamos los 4/7 de esa última cantidad, eso significa descomponer el conjunto de 42 lápices en 7 subconjuntos de 6 lápices cada uno y tomar 4 de esos subconjuntos. El resultado final son 24 lápices. Pero si calculamos los 12/35 de la cantidad inicial de lápices se obtienen también 24 lápices. Esto quiere decir que calcular los 4/7 de los 3/5 de 70 es lo mismo que calcular los 12/35 de 70. En general, se comprueba que a/b de c/d de cualquier cantidad es lo mismo que ac bd de esa misma cantidad. Por tanto, el producto de dos fracciones se define de la manera siguiente: x x a c axc b d b d y su sentido es el de una fracción de fracción. El producto de dos racionales será el racional definido por el producto de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea multiplicar. El cociente de fracciones y racionales tampoco tiene el sentido de reparto o resta reiterada de la división entre naturales, sino que es, simplemente la operación inversa del producto. Se define el cociente de fracciones como el producto de la primera fracción por el inverso de la segunda: x : x x a c a d a d c d b c b c El cociente de dos racionales será el racional definido por el cociente de dos fracciones representantes de cada uno de los dos racionales que se desea dividir. Ejemplo: En una reunión hay 24 personas, los 2/3 de los presentes son adultos y ¾ de los adultos son hombres. a) ¿Cuántas personas adultas hay en la reunión? b) ¿Cuántos niños hay en la reunión? c) ¿Qué fracción son los hombres respecto del total de personas? La representación gráfica mediante áreas de rectángulos permite expresar adecuadamente la situación: 1 3 2 3 3 4 1 4 Niños hombres mujeres Ejercicios 15. Si 1/3 de la cosecha de aceituna se estropea por causa de una tormenta y 1/10 de lo que quedó se perdió por causa de una plaga, ¿qué fracción de la cosecha pudo ser utilizada? 16. En un festival los 2/3 son adultos y de ellos los 3/5 son hombres. Hay 20 niños y niñas más que mujeres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay en el festival? 17. Inventa un problema cuya solución sea 5: 1/10. 18. Cuando lanzamos una pelota desde una cierta altura, rebota hasta ¼ de la altura a que se lanzó. Si después de tres botes la altura alcanzada es 10 cm ¿A qué altura inicial se lanzó la pelota? 4.3. Orden de fracciones y racionales positivos Para comparar entre sí dos números racionales comparemos dos fracciones representantes de cada uno de los dos números racionales que se desea comparar. Dadas dos fracciones con el mismo denominador es menor la que tiene menor numerador; si las fracciones tienen igual numerador será menor la que tenga el mayor denominador; si no tienen iguales los numeradores ni los denominadores se reduce a común numerador o denominador y se aplica una de las reglas anteriores. Ejemplo: Si una cantidad de magnitud mide 3/11 unidades será menor que la cantidad de magnitud que mide 7/11 unidades y también menor que la que mide 3/5 unidades. También se puede ver que si un individuo recibe en un reparto en la razón 3 : 11 recibirá menos que si se repartiera en la razón 7 : 11. Una propiedad muy importante del orden de racionales es que dados dos racionales, por muy próximos que los elijamos siempre podemos encontrar tantos racionales como queramos que sean mayores que uno de ellos y menores que el otro. Esta propiedad se suele enunciar diciendo que entre dos números racionales distintos existen siempre infinitos racionales. También se dice que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso. Todo esto implica que en los números racionales, a diferencia de lo que sucede en los naturales, deja de tener sentido el concepto de número ‘siguiente’ o ‘anterior’ ya que nunca podremos encontrar dos racionales que no tengan otros racionales entre ellos. La definición algebraica de orden en Q requiere previamente decir cuando consideramos que un racional es positivo. Esto se puede hacer del siguiente modo: - El racional [m/n] es positivo si m.n N Después de esto podemos decir que el racional x es menor que y, x s, o r = s. Transitividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s y s < t, entonces r < t. Aditividad: Para números racionales r, s, y t, si r < s, entonces r +t < s + t. Mutiplicatividad: Para números racionales r, s y t: - Si r < s y t > 0, entonces, t.r < t.s: - Si r < s y t < 0, entonces, t.r > t.s Ejercicios: 10. Aplicar las propiedades anteriores para resolver la siguiente desigualdad: -2.x – 2/3 < 4/5. 20. Encontrar un número racional entre 6/7 y 8/9. 21. Si x e y son números racionales y x > y, ¿Cuáles de las siguientes condiciones son ciertas? 1/x > 1/y 1/x < 1/y 5. TÉCNICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE FRACCIONES El siguiente ejemplo, tomado de Krause (1991), muestra el uso de varias técnicas para resolver problemas que ponen en juego las operaciones con números racionales. Las diversas técnicas ponen en juego recursos diferentes (aritméticos, algebraicos, geométricos y combinatorios) Enunciado: La población de un cierto estado es 5/8 urbana y 3/8 rural. Si ¼ de la urbana y 1/6 de la rural es menor de 18 años, ¿qué fracción de la población del estado es menor de 18 años? Solución 1 (Aritmética): Comenzamos suponiendo que la población total del estado es un número particular de personas. Dicho número se debe elegir teniendo en cuenta los denominadores de las fracciones que intervienen en el enunciado, de manera que al ser aplicadas a la cantidad supuesta los cocientes correspondientes sean exactos. En este caso, el producto de los denominadores 8, 6 y 4, esto es, 192 (millones, por ejemplo) es suficiente. Según esto, la población urbana será 120 millones de personas, 30 de los cuales son menores de 18. La población rural es de 72 millones de personas, y hay 12 menores de 18 años. Por tanto, hay 30 + 12 = 42 millones menores de 18 años. La fracción pedida será: 42/192, o bien, simplificando, 7/32. Solución 2 (Algebraica): Sea n la población total. Entonces, La población urbana es: n . 8 5 3 .n 8 La rural es: La población urbana menor de 18 años: ¼ . n . 8 5 = n . 32 5 . .n .n 48 3 6 8 1 3 La rural menor de 18 es: n n n n 32 7 48 3 32 5 48 3 32 La población total menor de 18 años es: 5 Solución 3 (Geométrica): Tomamos el cuadrado unidad para representar la población. Dividámoslo, según se muestra en la figura, para representar a la población rural ( R) y urbana (U). Y a continuación a la población menor de 18 años (Y) y mayor (O). Obtenemos cuatro regiones. La fracción pedida es la suma de las áreas que interesan: YU y YR: 1 5 1 3 5 3 4 8 6 8 . . 7 32 48 32 8 5 8 3 4 1 6 1 U R YU YR OU OR 8 5 8 3 Solución 4 (Diagrama en árbol) La comparación de tamaños entre varias poblaciones y subpoblaciones en este problema, se puede representar esquemáticamente por un diagrama de árbol, del tipo que aparece en la figura. La regla principal para usar este diagrama consiste en “multiplicar hacia abajo en las ramas”. Por ejemplo, para encontrar qué fracción de la población total (P) es menor de 18 años y rural (YR), multiplicar los números que aparecen en las ramas que llevan de P a YR: 3/8 . 1/6 = 1/16. La regla se puede justificar si nos referimos a la figura utilizada en la solución geométrica. P 5/8 3/8 U R 3/4 1/4 1/6 5/6 OU YU YR OR Ejercicios: Resuelve los siguientes problemas aplicando los cuatro métodos que hemos descrito en el ejemplo anterior. 22. Al examen de junio de matemáticas se presentan 3 de cada 5 alumnos matriculados, y por cada 5 alumnos que aprueban hay 2 que suspenden. ¿Qué fracción de a los alumnos matriculados aprueban en junio? 23. En una planta depuradora de aguas residuales, el tratamiento del agua se realiza en tres etapas. En una primera se quitan los 9/10 de los fosfatos. En la segunda se quitan los ¾ de los que quedan. Y en la tercera, se quita ½ de los que aún lleva el agua. ¿Qué fracción de fosfatos se quitan en total del agua? 24. Supongamos que 2/5 de la ginebra es alcohol, que 1/6 del vermouth es alcohol, y que un martini se hace con 5 partes de ginebra y 1 parte de vermouth. ¿Qué fracción de alcohol lleva un martini? 6. TALLER DE MATEMÁTICAS 1. En la prensa diaria busca algunas situaciones en que aparezcan fracciones y razones. Para cada una de ellas, identifica el tipo de situación problemática presentada, entre las descritas en la sección 1. 2. En las siguientes situaciones identifica los distintos de usos de las fracciones que se ponen en juego. Expresa estos enunciados y la solución utilizando algún tipo de representación gráfica. a) En una clase hay dos tercios de chicas. ¿Si hay catorce chicas en la clase? ¿Cuál es el número total de alumnos? b) Si Jorge pedalea a una razón de 8 km por hora, al cabo de 45 minutos ¿A qué distancia está de su casa? c) Un terreno mide 200 metros cuadrados. ¿Cuánto mide las 5/8 partes del terreno? d) La tasa esperada de crecimiento anual del índice de precios es del 3/100. Si he comprado un piso de 120.000 euros y lo vendo dentro de un año por 122.000 euros, ¿he ganado o he perdido? 3. Una persona gasta cada mes la quinta parte de su salario mensual en alimentación y la sexta parte en alquiler del piso. Después de realizados estos pagos le quedan 570 euros. ¿Cuál es su salario mensual? 4. Un coche circula a 80 km/h durante 18 minutos. ¿Por qué número es necesario multiplicar la velocidad para encontrar la distancia que recorre expresada en km? ¿Cuánto tiempo necesitará para recorrer 64 km a esa misma velocidad? 5. Se considera el número A = 45501/56. a) Encontrar los dos enteros consecutivos que encuadran a A (o sea, el mayor entero menor que A y el menor entero mayor que A) b) Calcular en forma de fracción la diferencia entre A y cada uno de los enteros anteriores. c) Llamemos B al entero más próximo a A. Encontrar tres números racionales comprendidos entre A y B. 6. Demostrar que es posible pavimentar un rectángulo con baldosas cuadradas si y sólo si la razón entre las longitudes de la base y la altura es un número racional. 7. En una familia el padre obtiene 3/5 de los ingresos y el resto lo obtiene la madre. Mientras que ésta paga 2/10 de sus ingresos en concepto de impuestos directos en su declaración de la renta, el padre paga 2/11 de sus ingresos. La familia paga además 1/20 de sus ingresos en impuestos autonómicos y estiman que aproximadamente 3/50 de sus ingresos se pagan en impuestos indirectos (tabaco, gasolina, artículos de lujo, etc.). ¿Qué proporción total de ingresos paga en impuestos esta familia? 8. Realiza las siguientes operaciones: a) ¿Eres capaz de descubrir un patrón en esta serie? ¿Podrías, sin necesidad de hacer los cálculos, escribir los tres números siguientes? 9. Usando cálculo mental, decide si 1 1 20 2 2 2 x x x : es menor que 22 está comprendido entre 22 y 50 es mayor que 40 10. Encuentra dos fracciones positivas cuya suma sea 2 y cuyo producto sea 7/16. 11. Una de cada 10.000 personas aproximadamente contrae tuberculosis a lo largo de su vida. Las pruebas para detectar la tuberculosis dan positivas en el 99/100 de las personas enfermas y también en el 2/100 de las personas sanas (falsos positivos) ¿Cuál es la probabilidad de contraer tuberculosis? En una población de 40.000 de personas, ¿Cuántas contraerán tuberculosis? ¿Cuántos falsos positivos hay? ¿Cuántos falsos negativos? (personas enfermas en las que el test es negativo) ¿Qué proporción de aquellos en los que el test da positivo está realmente enferma?
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