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Mostrando las entradas de octubre, 2012

CONTRASTE DE HIPÓTESIS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

El objetivo de este tema es proporcionar métodos que permiten decidir si una hipótesis estadística debe o no ser rechazada, en base a los resultados muestrales obtenidos. Para precisar los conceptos de este tema, vamos a comenzar por definir hipótesis estadística
Tipos de errores
Contrastes paramétricos.
Nos vamos a centrar ahora en los contrastes paramétricos, es decir, aquellos en los que las hipótesis nula y alternativa se refieren al valor de un parámetro (o parámetros) de la distribución (de tipo conocido, por ejemplo normal, exponencial, etc) de una v.a.
Tipos de hipótesis en un contraste parametrito

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Cuando tratamos la estimación puntual, uno de los problemas que se plantearon es que el valor de la estimación es sólo uno de los valores (posiblemente infinitos) del estimador, obtenido al extraer una muestra concreta, de forma que si extraemos dos muestras distintas, las estimaciones serán distintas. Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error, y sería deseable proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro. En este tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un intervalo cuyos extremos son variables que dependen de la muestra, y en el cual se confía que esté el valor de parámetro.
Distribuciones utilizadas en la construcción de intervalos de confianza
Distribución F de Fisher-Snedecor
Otros intervalos de confianza
Algunas aplicaciones de los intervalos de confianza

MODELOS DE PROBABILIDAD PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

Modelos discretos
Distribución uniforme discreta
Distribuciones definidas sobre un experimento de Bernouilli
Distribución de Bernouilli
Distribución binomial
Distribución hipergeométrica
Distribuciones discretas definidas sobre un proceso de Poisson
Distribución de Poisson
Modelos continuos
Distribución exponencial
Distribución uniforme continua
Distribución normal
Teorema Central del Límite.
El modelo normal es uno de los utilizados más frecuentemente, debido a que en muchas situaciones, los resultados de un experimento son consecuencia de múltiples causas de pequeña incidencia individual, pero cuyos efectos se suman, dando lugar a los resultados del experimento (por ejemplo, los errores de medida, en muchas situaciones); en estas situaciones, el modelo normal suele aproximar bien el comportamiento de los resultados del experimento.

VARIABLES ALEATORIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

El concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de hacer más manejables matemáticamente los resultados de los experimentos aleatorios, que en muchos casos son cualitativos, y que siguen patrones muy similares aunque la naturaleza del experimento no lo sea.
Variable aleatoria y ley de probabilidad asociada a la variable
Variables aleatorias discretas
Variables aleatorias continuas
Medidas características de una v.a.
Teorema de Chebychev
Independencia de variables aleatorias
Funciones de variables aleatorias

INTRODUCCIÓN A LA ESTADÍSTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

La Estadística es una ciencia que se ocupa del estudio de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir y analizar datos y para hacer inferencias científicas sobre una característica o varias de una población, partiendo de los datos observados sobre muestras representativas de dicha población.
Estadística descriptiva
Inferencia estadística
Método Estadístico

GRAFOS ACÍCLICOS TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS 1

Hasta ahora hemos buscado caminos y estudiado la conexión de un grafo, sin entrar en el estudio de los ciclos y la aciclicidad. En esta sección trataremos de ello, introduciéndonos brevemente en el estudio los grafos acíclicos.
Grafos acíclicos no dirigidos: Arboles
Algoritmo de aciclicidad
Programar el algoritmo de aciclicidad

INTEGRALES MÚLTIPLES TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS 1

Integral múltiple sobre un rectángulo
Teorema débil de Fubini
Integrales dependientes de un parámetro
Conjuntos de contenido cero y medida cero
Teorema de Lebesgue
Integral sobre un conjunto acotado
Cambio de variables
Teorema del cambio de variables
Cambio a cilíndricas
Coordenadas esféricas
Aplicaciones de las integrales múltiples a la mecánica

TRAYECTORIAS Y MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS 1

Algoritmos de conexión de un grafo
El algoritmo de Warsall
Caminos de peso mínimo
Algoritmo de Floyd y grafos pesados
El algoritmo de Warsall trabaja con operaciones lógicas para determinar la conexión o no entre los vértices, pero cambiando el tipo de elementos y operadores usados se ha adaptado para otras cuestiones. Por ejemplo, puede modificarse ligeramente para encontrar la longitud (en el sentido de número de aristas) del camino más corto entre dos vértices conectados:
Grafos pesados
Pesos mínimos con el algoritmo de Floyd

INTEGRAL DOBLE PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MÉTODOS MATEMÁTICOS 1

La integral en dos variables se construye de manera paralela a como se hizo con la integral de Riemann de una variable, con conceptos análogos y resultados similares obtenidos del caso de una variable. Así, la prueba de muchos de los resultados es prácticamente idéntica al caso de una variable y omitiremos dicha prueba, remitiéndonos a la prueba del caso simple.
Integral doble en un rectángulo
Conjuntos de contenido cero y medida cero
Teorema de Lebesgue
Integración sobre conjuntos acotados
Conjuntos medibles
Cambio de variables

CÁLCULO DE PRIMITIVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(x)
OPERACIONES CON INTEGRALES
REGLAS DE INTEGRACIÓN
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRALES CON RAÍCES
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRALES RACIONALES

DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

DETERMINANTES DE ORDEN 2
DETERMINANTES DE ORDEN 3
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA
El determinante de una matriz n x n es el resultado de sumar todos los posibles productos de n elementos uno de cada fila y uno de cada columna, con su signo o con el signo cambiado según un cierto criterio.
DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LINEA
MÉTODO PARA CALCULAR DETERMINANTES DE ORDEN CUALQUIERA
EL RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES
ALGORIMO PARA CALCULAR EL RANGO DE UNA MATRIZ

ÁLGEBRA DE MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

NOMENCLATURA Y DEFINICIONES
IGUALDAD DE MATRICES
TIPOS DE MATRICES
OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA
PRODUCTO DE MATRICES
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES
PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE NÚMEROS POR MATRICES
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS
PRODUCTOS NOTABLES
PROPIEDADES DE LA TRASPOSICIÓN DE MATRICES
PROPIEDADES DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

CÁLCULO DE PRIMITIVAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

PRIMITIVA E INTEGRACIÓN INDEFINIDA
PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN f(x)
INTEGRAL INDEFINIDA DE f(x)
OPERACIONES CON INTEGRALES
REGLAS DE INTEGRACIÓN
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
INTEGRALES CON RAÍCES
INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
INTEGRALES RACIONALES

DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
TASA DE VARIACIÓN MEDIA
TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA O DERIVADA
DERIVADAS LATERALES
DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD
FUNCIÓN DERIVADA
REGLAS DE DERIVACIÓN
OPERACIONES CON DERIVADAS
REGLAS DE DERIVACIÓN
DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA DE OTRA
NUEVAS TÉCNICAS DE DERIVACIÓN
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA
DERIVACIÓN LOGARÍTMICA

LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
LÍMITES EN EL INFINITO
CÁLCULO DE LÍMITES
ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS
CONTINUIDAD
CONTINUIDAD EN UN PUNTO
CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
TEOREMA DE BOLZANO
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE BOLZANO
TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS (DARBOUX)
TEOREMA DE WEIERSTRASS

VECTORES EN EL ESPACIO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES
Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido (no necesariamente el mismo origen y el mismo extremo). Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O.
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
VECTORES UNITARIOS
SUMA DE DOS VECTORES
RESTA DE DOS VECTORES
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS 2

TEOREMA DE ROUCHÉ FROBENIUS
REGLA DE CRAMER
SISTEMAS HOMOGÉNEOS
DISCUSIÓN DE SISTEMAS CON PARÁMETRO
Si el sistema tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.
- Se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes y se iguala a cero.
- Se resuelve la ecuación
- Un caso más que valores del parámetro del apartado anterior.
CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES

DEFINICIONES BÁSICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Haremos una presentación introductoria a la teoría de grupos, utilizando los grupos de permutaciones para ilustrar los aspectos básicos de esta teoría. Una de las razones para valernos del grupo de permutaciones de esta manera, es la dirección que llevaremos en el presente texto, que pretende ubicar al lector, una vez terminada su lectura, en una posición que le permita abordar el estudio de la Teoría de Galois, con las herramientas necesarias para ello. La otra razón, vinculada a la anterior, es la intención de aproximarnos en algún grado al modo histórico en el cual surgieron las ideas que condujeron al desarrollo posterior de la teoría.
Subgrupos
Subgrupos Normales y Grupo Cociente
Grupo Cociente

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA

Los problemas planteados en escritura cuneiforme, conservados en tablillas de arcilla escritas en Babilonia, alrededor del año 1600 A.C., constituyen el registro más antiguo que se conoce de esa actividad que hoy llamamos resolución de ecuaciones, y que se vincula naturalmente al desarrollo del  Algebra. Sin duda, la historia de los avances de la Humanidad en la resolución de ecuaciones polinómicas muestra cómo crece lentamente, a través de los siglos, esa “semilla” de la abstracción sembrada en la cultura occidental por los pensadores de la Grecia Antigua, en particular, la abstracción del número como hoy lo concebimos, y que permitió desarrollar toda una simbología al servicio del estudio de la resolución de ecuaciones en su sentido más general, y también al servicio de lo que se conoce como Álgebra Moderna o Álgebra
Abstracta, disciplina que ya no tiene, sin embargo, el tema de la resolución de ecuaciones polinómicas como objeto central de su estudio.

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE GRAFOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

Grafos. Conceptos fundamentales
Adyacencia de Vértices, Incidencia de Aristas y Grado de los Vértices
Representaciones de los grafos
Caminos y Ciclos
Grafos Etiquetados y Ponderados Aunque ya hemos usado los grafos etiquetados, damos una definición en esta sección. Un grafo G es un grafo etiquetado si sus aristas y/o vértices tienen asignado alguna identificación. En particular, G es un grafo ponderado si a cada arista e de G se le asigna un número no negativo w(e) denominado peso o longitud de e. El peso (o longitud de un camino en un grafo ponderado G  se define como la suma de los pesos de las aristas del camino.

PROBABILIDADES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS

En la vida cotidiana nos encontramos con frecuencia con situaciones que producen varios resultados conocidos, sin poder determinar con exactitud cual de ellos ocurrirá. Podemos realizar acciones sobre un objeto bajo las mismas condiciones y observar los efectos; cuando realizamos la misma acción con las mismas condiciones y observamos respuestas distintas nos enfrentamos a una situación probabilística. Es posible repetir la acción y anotar sus resultados y tratar de detectar alguna regularidad. Damos una definición de experimento aleatorio para dar una idea de lo que estudia la Teoría de la Probabilidad.
La Teoría de la Probabilidad
El Cálculo de Probabilidades
Espacio Muestral, Eventos y Probabilidad
Combinación de Eventos
Probabilidad Condicional y Eventos Independientes

INTEGRACIÓN NUMÉRICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS NUMÉRICO

Cuadratura Numérica
La regla del rectángulo
La regla del trapecio
Polinomios Ortogonales
Polinomios de Legendre
Polinomios de Chebyshev
Polinomios de Laguerre
Raíces de los polinomios ortogonales
Cuadratura Gaussiana

ECUACIONES NO LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS NUMÉRICO

Introducción.
Método de la bisección
Método de la Regula Falsi
Método de la Regula Falsi Modificado
El Método de la Secante
El Método de Newton
Comparación entre el método de Newton y el de la Secante
El Método de Steffensen
Teoría General de los Métodos Iterativos
Métodos iterativos de orden superior
Raíces Múltiples
Método de Newton para raíces múltiples
Métodos generales
Estimación de la tasa de convergencia en los métodos iterativos
Aceleración de la Convergencia
El Algoritmo Modificado de Aitken
Criterios de Parada
Raíces de Polinomios
Regla de Horner. Deflación
Método de Newton-Raphson aplicado a polinomios
Estrategia de Wilkinson
Ecuaciones Algebraicas mal condicionadas

RELACIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

Introduciremos el concepto de relación sobre un conjunto. Este es un concepto importante en matemáticas. Para nosotros su mayor utilidad reside en que en él se basa la definición de función que veremos en un capítulo posterior. Por esto, si hay limitaciones de tiempo, basta leer hasta la sección 3.3. Como ejemplo del uso del concepto de relación, incluimos un breve introducción a la noción de grafo.
El producto Cartesiano 
Algunas propiedades del producto cartesiano 
Relaciones 
Relaciones reflexivas, simétricas y transitivas 
Grafos y Dígrafos 
Aplicaciones de los grafos
El problema de los puentes de Königsberg 
El problema Agua, Luz y Teléfono
El problema de los cuatro colores

LOS NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

El conjunto de los números reales se denota con la letra R. En este capítulo estudiaremos algunas de sus propiedades. Primero que todo recordemos que los naturales, los enteros y los racionales son todos números reales.+
Las propiedades básicas de R
El axioma de completitud
La propiedad Arquimediana
Incompletitud de Q
Los números irracionales
Q es denso en R
Subconjuntos densos de R
Propiedades del supremo y del ínfimo

DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Función determinante 
En este capítulo introducimos el determinante de una matriz y estudiamos algunas conexiones con el cálculo de la matriz inversa y la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Propiedades del determinante 
Existencia de la función determinante 
La expansión de Laplace

MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Comenzamos recordando el álgebra de los números complejos. El conjunto de los números complejos se denota por C y está formado por pares ordenados (a, b), en los cuales a, b ∈ R. Decimos que dos números complejos son iguales cuando son iguales coordenada a coordenada...
Definición y terminología
Álgebra de matrices
Sistemas de ecuaciones lineales
Matrices elementales

ECUACIONES DIFERENCIALES NO LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

En el trabajo se presenta la utilización de las funciones wavelets, en particular los llamados wavelets de interpolación, para obtener la evolución de las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales clásicas no-lineales. Se plante el método de líneas para reducir la EDP a un sistema de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de valor inicial y a partir de ellas, usar herramientas eficientes para su solución. Se estudia el comportamiento dinámico de las ondas viajeras de tipo solitones y su estabilidad, a través de sus soluciones numéricas, en particular para ecuaciones del tipo Korteweg-de Vrie.

ALGUNOS TEOREMAS DEL PUNTO FIJO PARA FUNCIONES T-CONTRACCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

Las funciones contracciones y las T-contracciones
Funciones Contracciones
Relaciones entre las funciones contracciones
Funciones T-Contracciones
Algunas relaciones entre las funciones
T-Contracciones
Resultados clásicos de la teoría métrica del punto fijo
Teoremas del punto fijo
Teorema del punto fijo de Banach 
Teorema del punto fijo para operadores de Banach 
Teorema del punto fijo de Edelstein 
Teorema del punto fijo de Kannan 
Teorema del punto fijo de Chatterjea 
Teorema del punto fijo de Zamfirescu
Teoremas del punto fijo para las aplicaciones T-contracciones

EL TEOREMA DE MÜNTZ-SZÁSZ PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

Presentamos algunos aspectos básicos fundamentales sobre el conjunto de los números complejos y sobre el espacio C`[0, 1]. Asumimos que el lector está familiarizado con las principales definiciones y resultados de la teoría de funciones de una variable compleja. El propósito fundamental del capítulo es fijar la notación y presentar algunos resultados que nos permitan establecer el lenguaje y la motivación necesaria para el ulterior planteamiento y discusión de nuestros objetivos fundamentales.
Discos abiertos y la topologia en c
El espacio c [0, 1]
El teorema de stone-weierstrass
El teorema de hahn-banach y consecuencias
Medidas de borel reales y complejas
El teorema representación de riesz
El teorema de fubini
Funciones analíticas y distribución de ceros
El teorema de müntz-szász

CONTROLABILIDAD DE SISTEMAS NO LINEALES CON RETARDO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS

Sistemas Lineales No Autónomos
Sistemas de Control Autónomos 
Caracterización algebraica de controlabilidad del sistema
Controlabilidad de Sistemas de Ecuaciones No Lineales sin Retardo
Formulación del problema
Existencia de las Soluciones y el Control
Controlabilidad de Sistemas de Ecuaciones No Lineales con Retardo
Existencia y Unicidad de las Soluciones
Controlabilidad del Sistema No Lineal con Retardo

VECTORES ALEATORIOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Vector aleatorio
Distribución conjunta
Como en el caso de variables aleatorias, todo vector aleatorio induce una medida de probabilidad, ahora sobre Rn. Esta medida de probabilidad puede estudiarse, de manera equivalente, mediante la función de distribución conjunta definida a continuación
Función de distribución conjunta
Densidad conjunta
Distribución marginal

VARIABLES ALEATORIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Los conceptos de variable aleatoria, función de distribución, función de densidad y esperanza. Se estudian también algunas distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas particulares. A partir de ahora y en el resto del curso consideraremos como elemento base un espacio de probabilidad
Variables aleatorias
Función de distribución
Tipos de variables aleatorias

ESPACIOS DE PROBABILIDAD PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Se entiende por experimento aleatorio todo aquel experimento tal que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. A menudo, y por muy diversas razones, es necesario aceptar que no es posible predecir el resultado de un experimento particular aun cuando se le haya efectuado con anterioridad varias veces bajo las mismas condiciones iniciales, y en consecuencia se considera aleatorio. Bajo estas circunstancias, la teoría de la probabilidad tiene el objetivo de modelar.

DISTRIBUCIONES MUESTRALES Y ESTADÍSTICAS DE ORDEN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Muestra aleatoria
Estadística
Media y varianza muestral
Distribuciones muestrales
Se estudian a continuación algunas distribuciones que surgen en la estadística al considerar funciones de una muestra aleatoria, en particular, la media y la varianza muestral.

CONTRASTES NO PARAMÉTRICOS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

* En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo.
* Los tiempos de respuesta de 9 sujetos en una tarea de reconocimiento de palabras, previamente presentadas, han sido los siguientes: 115, 98, 123, 109, 112, 87, 118, 104, 116 A un nivel de confianza del 95% ¿Son compatibles estos resultados con la hipótesis de que el tiempo de reacción en esta tarea sigue una distribución Normal de media 110 y desviación típica 10?

CONTRASTES PARAMÉTRICOS DE HIPÓTESIS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

* las puntuaciones en un test que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución Normal de media 11,5. En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones:
11, 9, 12, 17, 8, 11, 9, 4, 5, 9, 14, 9, 17, 24, 19, 10, 17, 17, 8,
23, 8, 6, 14, 16, 6, 7, 15, 20, 14, 15.
A un nivel de confianza del 95% ¿Puede afirmarse que el programa es efectivo?
* En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad, obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario debemos rechazarla.

ESTIMADORES Y SUS DISTRIBUCIONES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

* En una población se presenta una alteración leve en una cierta proporción P de los individuos que la componen. Definimos una variable aleatoria X que vale 1 para los individuos alterados y 0 para los no alterados.
a) Escriba la distribución poblacional de esta variable aleatoria
b) Si p es la proporción de veces que aparece el valor 1 en muestras aleatorias simples de tamaño 3. Calcule la distribución en el muestreo de p, suponiendo que P es igual a 0,2.
c) Demuestre que en este caso p es un estimador insesgado de P.
d) Repita los pasos b) y c) de forma general para un valor cualquiera de P.
* Una variable aleatoria puede tomar los valores 1, 2 y 3 con probabilidades 0,25 0,5 y 0,25 respectivamente. Si para estimar la media de esta variable aleatoria extraemos muestras aleatorias simples de tamaño 3 y utilizamos como estimadores la media muestral y la semisuma de los valores extremos. Queremos confirmar que:
a) Los dos estimadores son insesgados y b) La media muestral es más eficiente
Real…

VARIABLES ALEATORIAS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

* Calcule y escriba en una tabla la distribución de la variable aleatoria suma de los números que aparecen al lanzar dos dados.
* Un jugador afirma que al lanzar dos dados es igual de probable obtener un seis que un siete, ya que hay el mismo número de resultados a favor de un resultado que de otro. Cinco y uno, cuatro y dos, tres y tres, para el seis y seis y uno, cinco y dos, cuatro y tres, para el siete. ¿Es cierta esta afirmación? Razone la respuesta.
* Para estudiar si las ratas tienen visión cromática, en una caja que cuenta con tres palancas se marca en rojo aquella que al pulsarla proporciona alimento. En cada prueba la posición de este pulsador se cambia aleatoriamente. Se somete una rata a cuatro pruebas. ¿Cual sería la distribución de la variable aleatoria número de pulsaciones que consiguen alimento, si la rata no distinguiera el rojo y pulsase al azar?

PROBABILIDAD PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

* Un estudiante responde al azar a dos preguntas de verdadero o falso. Escriba el espacio muestral de este experimento aleatorio.
El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales. Los sucesos elementales son cada uno de los resultados posibles del experimento aleatorio, indescomponibles en otros más simples. Como el experimento consiste en responder al azar a dos preguntas, cada uno de los posibles patrones de respuesta constituirá un suceso elemental. Un patrón de respuesta sería contestar verdadero a la primera pregunta y verdadero a la segunda, lo representamos (V, V). Con esta representación podemos escribir el espacio muestral como: E = {(V, V) (V, F) (F, V) (F, F)}

ANÁLISIS DE LA VARIANZA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

La perspectiva que se seguirá será la de considerarlo como un contraste de hipótesis de igualdad de medias, dejando a un lado cualquier consideración sobre el diseño experimental mediante el que se han obtenido los datos y sobre el modelo lineal de los efectos que implica, aspectos que se dejan para posteriores asignaturas. Nuestro objetivo es que este tema sirva como nexo de unión entre la inferencia estadística y los temas de diseño experimental, dando idea de la continuidad que existe entre todos los conceptos que se engloban dentro de la estadística Matemática.
Formulación
Teorema de Cochran
Expresiones de Cálculo

ALGUNOS CONTRASTES PARAMÉTRICOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

A excepción de los contrastes relativos a proporciones, los demás contrastes que se presentan parten de que la población que se muestrea, sigue una distribución Normal y contando con este supuesto, deducen la distribución del estadístico de contraste. No obstante, como la media muestral sigue una distribución aproximadamente Normal, aunque la población de procedencia no lo sea, muchos de estos contrastes pueden utilizarse de forma más amplia con poblaciones no Normales, al menos como una aproximación. Esta aproximación será tanto mejor cuanto mayor sea la muestra y cuanto menor sea la discrepancia de la distribución poblacional con la Normal.
Contrastes de Significación
Contraste de significación para la media
Contraste de significación para una proporción
Contraste de significación para el coeficiente de correlación
Contraste de significación para la varianza
Contraste de igualdad de medias

CONTRASTES DE HIPÓTESIS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

Método Científico y contrastación de hipótesis
De forma resumida y algo simplista, podemos decir que el método científico propone soluciones tentativas a los problemas, en forma de hipótesis, deduce de esas hipótesis consecuencias verificables que somete a comprobación y mantiene la hipótesis o la rechaza, de acuerdo con el resultado de la comprobación.
Contrastes de Hipótesis Estadísticas
Si analizamos los datos de los estudios psicológicos desde un punto de vista probabilístico y con las herramientas de la Estadística Matemática, es porque numerosas características de los individuos no son determinísticas y en las mismas condiciones pueden manifestarse con distintos valores.
Hipótesis Estadística
Contrastes Paramétricos
Contrastes No Paramétricos
Contraste de Hipótesis
Espacio Paramétrico
Hipótesis simple
Hipótesis compuesta
Hipótesis Nula

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

Introducción. Precisión de las estimaciones
Como vimos en el tema correspondiente, la estimación puntual aborda el problema de conocer el valor de un parámetro desconocido asignándole un único valor, a partir de los datos de una muestra.
Intervalos de Confianza. Definiciones
Una vez planteado como la estimación por intervalos surge para abordar el problema de acotar la precisión de las estimaciones vamos a dar las definiciones de los elementos que han ido apareciendo en la anterior introducción.
Estimación por intervalos
Intervalo de Confianza
Nivel de confianza

DISTRIBUCIÓN EXACTA DE ALGUNOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

Hemos indicado en el capítulo anterior que los estimadores de máxima verosimilitud tienen asintóticamente una distribución Normal. Sin embargo, parece evidente que sería mucho más interesante conocer la distribución exacta en el muestreo de los estadísticos y estimadores que vayamos a utilizar que la distribución que seguirían si la muestra fuese de tamaño infinito. La determinación de esta distribución exacta será especialmente importante en aquellas situaciones, habituales en la investigación psicológica, en las que debamos trabajar con muestras pequeñas, pues en estas condiciones la distribución real puede diferir sensiblemente de la distribución asintótica.
Teorema de Fisher
Razón de Student

ESTIMACIÓN PUNTUAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

Estimador
Estimación
Es el valor numérico concreto que toma el estimador para una muestra determinada. Por ejemplo, si en la situación planteada anteriormente decidimos estimar el Cociente Intelectual medio de la población, mediante la semisuma de los valores extremos de la muestra, dicha función sería el estimador.
Distribución en el muestreo de un estimador
Como hemos definido anteriormente, un estimador es una función de los valores de la muestra, en consecuencia por ser esta un conjunto de n variables aleatorias el estimador también es una variable aleatoria. Reforzando esta idea, también podemos advertir que en general, para cada muestra el estimador proporcionará un valor distinto. Pues bien el conjunto de diferentes valores que puede tomar el estimador, junto con las probabilidades de que tome esos valores, constituye la distribución en el muestreo del estimador.
Propiedades de los estimadores
Estimador Insesgado
Estimador Eficiente
Métodos de construcción de estimadores

INFERENCIA ESTADÍSTICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

De forma muy sintética podemos decir que la Inferencia Estadística es la Teoría matemática que proporciona los métodos para obtener conocimiento probable acerca de la distribución de una variable sobre un conjunto de objetos (Publación), a partir de cierto número de observaciones de esa variable (Muestra).
Población
Es cualquier conjunto de individuos o elementos que son el objeto de nuestro estudio. O dicho de otra forma, es el conjunto de elementos sobre los cuales queremos ampliar nuestro conocimiento.
Muestra
Es el subconjunto de la población que se observa en orden a ampliar nuestro conocimiento acerca de la población. Debemos recalcar la idea de que una muestra no se extrae para estudiar a los sujetos particulares de esa muestra sino en tanto en cuanto nos pueden proporcionar información acerca de la totalidad de la población.

MODELOS TEÓRICOS DE DISTRIBUCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS DE DATOS

En general, la determinación de la distribución de una variable aleatoria y el cálculo de las características que hemos visto en el tema anterior, es un problema arduo que sólo puede abordarse de forma directa, es decir calculando la probabilidad de cada valor, en contadas ocasiones. Por ello se prefiere la utilización de Modelos Teóricos que son representaciones esquemáticas de experimentos aleatorios ideales. El carácter abstracto de las condiciones que se imponen a estos experimentos aleatorios ideales es lo que permite conocer, con relativa facilidad, la distribución de la variable aleatoria considerada.
Distribución de Bernouilli
Supongamos que tenemos un experimento aleatorio en el cual puede ocurrir un suceso con probabilidad P o su contrario con probabilidad Q = 1 - P. Si ocurre el suceso en cuestión decimos que ha habido éxito y si ocurre el suceso contrario decimos que ha habido fracaso. En estas condiciones podemos definir una variable aleatoria que toma el valor 1 cuando se …

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICAPDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* Si A es un suceso de probabilidad 0.3, la probabilidad de su suceso contrario es:
a) 0.5
b) 1.0
c) 0.7
* Lanzamos cuatro veces una moneda equilibrada. La probabilidad de obtener más caras que cruces es:
a) 5/16
b) 6/16
c) 4/16
* Lanzamos tres veces una moneda equilibrada. La probabilidad de obtener más de una cara es:
a) 2/3
b) 1/6
c) 1/2
* Lanzamos un dado dos veces, si el primer resultado ha sido mayor que el segundo, la probabilidad de que el primero sea un 6 es igual a:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4

FUNCIONES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* Si f (x) = 2 -1/ x , el punto (1/ 3,-1) está:
a) Por encima de la gráfica de f.
b) Por debajo de la gráfica de f.
c) Sobre la gráfica de f.
* Si f es decreciente en el intervalo (-3,1) no puede ser
a) f (-4 / 3) < f (-2/3)
b) f (-4 / 3) < f (-5/3)
c) f (-7 / 3) = f (-4/3)
* La gráfica de la función f (x) = 3x - 6 corta al eje de abscisas en el punto:
a) (6,0)
b) (2,0)
c) (0, 2)

ECUACIÓN DE LA RECTA PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* El punto (-3, 0) está situado:
a) Sobre el eje de ordenadas.
b) En el tercer cuadrante.
c) Sobre el eje de abscisas.
* La recta que pasa por los puntos (-1, 1) y (2, -1) tiene:
a) Pendiente igual a -2/3
b) Pendiente igual a -1/3
c) Ordenada en el origen igual a 1/2.
* El punto (1, -2) pertenece a la recta:
a) x + 2y = 0
b) 2x + y = 0
c) 2x - y = 0
* Tiene ordenada en el origen 1/5 la recta:
a) 5x - y +1 = 0
b) 10y + 3x - 2 = 0
c) 10y + 5x + 2 = 0

ECUACIONES Y SISTEMAS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* La ecuación x + a = 0
a) Tiene un número de soluciones que depende del valor de a.
b) No tiene solución, en general, para cualquier valor de a.
c) Tiene una única solución para cualquier valor de a.
* La ecuación ax = 0 :
a) Tiene una solución.
b) No tiene solución.
c) El número de soluciones depende de a.
* Si una persona engordara 6 kilos, pesaría un 15% más de lo que pesa actualmente. ¿Cuál es su peso actual?
a) 60 kilos.
b) 50 kilos.
c) 40 kilos.
* Si P es el precio de un cierto artículo, una ecuación que expresa que una rebaja del 15 % en el precio del artículo produce un ahorro en la compra de 120 € es:
a) 0,15P =120
b) 0,85P =120
c) P - 0,15P =120

NÚMEROS REALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

¿Cuál de los siguientes números es irracional?
a) 1,4142414241424142......
b) 3, 41444244434444445444644....
c) 3, 414141414141414.........
Un número es racional cuando en su parte decimal se aprecia la existencia de un grupo de cifras que se repiten indefinidamente. En caso contrario es irracional. En el número 1,4142414241424142...... se observa que el grupo de cifras 4142 se repite indefinidamente. El número es racional. En el número 3, 414141414141414......... también existe un grupo de cifras que se repite indefinidamente. El grupo 41. El número es racional. Finalmente, el número 3, 41444244434444445444644.... no presenta ningún grupo de cifras que se repita de una manera periódica. Es irracional.

NÚMEROS RACIONALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* La fracción 117/63 representa al mismo número decimal que la fracción
a) 13/7
b) 9/7
c) 13/9
* Si por cada tres españoles que han leído El Quijote hay 12 que no lo han leído, y cinco de cada seis españoles que han leído El Quijote usan gafas, ¿qué fracción de los españoles usan gafas y han leído El Quijote?.
a) 1/6
b) 1/12
c) 5/24
* ¿Qué contiene más cantidad de cerveza: cuatro botellas de 1/3 de litro cada una , o nueve botellines de 1/5 de litro cada uno?.
a) Los nueve botellines.
b) Las cuatro botellas.
c) Tienen la misma cantidad.

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

* Si a y b son números enteros positivos entonces a - (-b)
a) Es siempre un número positivo.
b) Puede ser un número positivo o negativo de cuáles sean los valores absolutos de
a y de b. Es siempre un número negativo.
* 2a + 4b es igual a:
a) 2.(a + 2b).
b) 2.(a + b).4
c) 2.(a + 4b).
* Para multiplicar o dividir dos números se tiene en cuenta la siguiente regla:
Producto o cociente de números con signos iguales da siempre positivo.
Producto o cociente de números con signos desiguales es siempre negativo.

VECTORES EN EL ESPACIO PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

* Determina el valor de t para que los vectores de coordenadas (1,1, t), 0, t,1t) y (1,2, t) sean linealmente dependientes.
* Halla las componentes del vector v = (1, 3, 2) respecto de la base B = { (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 2, 3)}
* Halla el valor de a para que los vectores u = (2, 1, 5) y v =(a, 2, 6), sean perpendiculares.
* Calcula el producto vectorial de los vectores u = (1, 7, 3) y v = (5, 0, 4).

GEOMETRÍA EN EL PLANO PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

Sea r la recta de ecuación x + y -1 = 0 . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:
A) Pasa por el punto P(0, 2)
B) Es perpendicular a la recta s º x - 2 = y + 3
C) Es paralela a la recta x - y + 2 = 0
D) Su pendiente es m = 1.
Una ecuación de la recta que pasa por el punto A(1,1) y es perpendicular a la recta x - 3y + 2 = 0 es:
A) 4x - y - 3 = 0
B) 3x + y - 4 = 0
C) 6x + 2y - 4 = 0
D) 2x - 6y + 4 = 0

DETERMINANTES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

PARA RECORDAR: Adjunto de un elemento de una matriz es el determinante de la matriz que resulta al suprimir la fila y la columna a la que pertenece el elemento, precedido del signo + o - según que la suma de la fila y la columna sea par o impar.
Muy importante: para que exista inversa de A su determinante tiene que ser distinto de cero.

MATRICES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

MATRICES
Resuelve sistemas de ecuaciones...

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Todo sistema de más incógnitas que ecuaciones tiene solución.
B) Un sistema lineal homogéneo tiene siempre solución.
C) Todo sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene solución.
D) Todo sistema de más ecuaciones que incógnitas tiene solución.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?
A) Un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas tiene siempre solución.
B) Todo sistema de más ecuaciones que incógnitas tiene solución.
C) Todo sistema lineal homogéneo carece de solución.
D) Si un sistema homogéneo admite soluciones distintas de la (0, 0, …., 0) el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el número de incógnitas.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA PDF TEORÍA Y EJEMPLOSRESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

La estadística estudia los mejores modos de analizar y de establecer conclusiones acerca del colectivo del que se han recogido tales datos.
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA: Examina a todos los individuos de un conjunto y estudia las técnicas de ordenación , clasificación, recuento y presentación de datos en tablas, gráficos y valores que resumen la información recogida.
ESTADÍSTICA INFERENCIAL: Mediante el estudio de una muestra saca conclusiones válidas para un colectivo.
PARÁMETROS ESTADÍSTICOS.
Permiten resumir y sintetizar un gran número de datos en unos pocos valores que proporcionan una idea bastante aproximada de toda la distribución.
MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN: Son parámetros que tienden a situarse hacia el centro del conjunto de datos ordenados. Los más utilizados son la media, la mediana y la moda.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: Sirven para medir el grado de dispersión o alejamiento de los datos. Los más importantes son la desviación media, la varianza y la desviación típica.

PROBABILIDAD PDF EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

Si A es un suceso de probabilidad 0.3, la probabilidad de su suceso contrario es:
a) 0.5
b) 1.0
c) 0.7
Si A y B son dos sucesos de un espacio de probabilidad la afirmación P(AÈB) = P(A) + P(B) es correcta:
a) Para cualquier par de sucesos A y B. b) Si A y B son sucesos disjuntos. c) Si A y B no son sucesos disjuntos.

COMBINATORIA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS ESPECIALES

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número. Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.
VARIACIONES
Las variaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:
· Influye el orden en que se colocan.
· Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

ANÁLISIS NO PARAMÉTRICO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

En ocasiones puede resultar ventajoso, o incluso necesario, comenzar el análisis de las observaciones con métodos analíticos y gráficos que no requieran de grandes supuestos previos sobre el modelo. Tales métodos no paramétricos permiten interpretar los datos obtenidos sin la distorsión que podría causar la elección de un modelo subyacente no demasiado acertado. En algunos casos, estos métodos no paramétricos serán suficientes para realizar el análisis de los datos. En otras ocasiones, sin embargo, supondrán un paso intermedio hacia un modelo más estructurado (paramétrico) que permita profundizar más en el análisis de las observaciones.

ANÁLISIS PARAMÉTRICO DE LOS TIEMPOS DE FALLO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

EMV PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
La idea general del método de máxima verosimilitud es la siguiente: dado un conjunto de observaciones que siguen una determinada distribución teórica de parámetros desconocidos, se tratará de hallar (estimar) el valor de dichos parámetros. Lo que se pretende, en definitiva, es encontrar aquellos valores de los parámetros característicos de la distribución que maximizan la probabilidad de que las observaciones provengan de dicho modelo (de ahí el nombre del método).

IDENTIFICACIÓN Y DESCRIPCIÓN GRÁFICA DE LOS DATOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

En muchas ocasiones será posible identificar la distribución que mejor se aproxima a las observaciones mediante el uso de gráficos de probabilidad. Este tipo de gráficos muestran la f.d. linealizada de una distribución teórica junto con una nube de puntos que representan estimaciones (no paramétricas) puntuales de la f.d. de T. Evidentemente, cuanto más se aproxime la nube de puntos a la recta que aparece en el gráfico, tanto mejor será el ajuste.
GRÁFICOS DE PROBABILIDAD
Al representar gráficamente las funciones de distribución (f.d.) de las diferentes distribuciones teóricas, se obtienen curvas muy similares, muchas de ellas difíciles de ser identificadas a simple vista. Es por ello que se utilizan los gráficos de probabilidad, los cuales hacen uso de escalas especiales en los ejes, de manera que al representar la f.d. ésta tenga forma lineal.

CONCEPTOS BÁSICOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA

FUNCIÓN DE FIABILIDAD, VIDA MEDIA Y TASA DE FALLO
La función de fiabilidad R(t) o función de supervivencia S(t)
En la mayoría de los dispositivos electromecánicos, la función tasa de fallo tiene forma de bañera: cuando se inicia la vida de un aparato, la tasa de fallo instantánea resulta ser relativamente alta (es lo que se denomina "mortalidad infantil"); una vez que los componentes y partes electromecánicas se han acoplado, la tasa de fallo es relativamente constante y baja (etapa de “vida útil”); más adelante, tras un tiempo de funcionamiento, la tasa de fallo vuelve a incrementarse hasta que, finalmente, todos los dispositivos habrán fallado (“efecto envejecimiento”).

SERIES DE POTENCIAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Las series de potencias
Convergencia de una serie de potencias
Derivación e integración de series de potencias
Determinación del radio de convergencia de una serie de potencias
Determinación de la suma de una serie númerica mediante derivación e integración de series de potencias
Toda serie de potencias viene caracterizada por su radio de convergencia. Para valores de la variable dentro de dicho radio de convergencia, la serie converge, es decir, la suma de sus infinitos términos converge a un valor finito. Determinar el radio de convergencia es fundamental para poder manipular la serie de potencias como una función dentro de su dominio de existencia. Fuera del intervalo o círculo de convergencia determinado a partir del radio de convergencia, la función diverge y, por tanto, su utilización matemática es puramente formal, en principio.

NÚMEROS COMPLEJOS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Los números reales
El sistema numérico, como nosotros lo conocemos en la actualidad, es el resultado de una evolución gradual en la historia de las Matemáticas. Describimos brevemente los tipos de números que la humanidad ha ido descubriendo.
Los números naturales
Los enteros negativos y el cero
Los números racionales o fracciones
Los números irracionales
Definición de un número complejo
Operaciones aritméticas con números complejos en forma binómica
El cuerpo de los números complejos
Representación gráfica de los números complejos
Módulo y argumento de un número complejo
Producto, división y potenciación
Teorema de Moivre
Radicación
Fórmula de Euler

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 1 PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Definición de función de varias variables: Gráfica y curvas de nivel
Definición de Entornos: Conjuntos abiertos y cerrados. Compactos
Definición de límite: continuidad.
Ejemplo de cálculo de dominio y representación gráfica
Ejemplo de clasificación topológica de un conjunto
Ejemplo de cálculo de límites en dos dimensiones

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Continuidad de una función en un punto
Discontinuidades: Clasificación
Discontinuidad evitable en un punto y extensión continua de la función en dicho punto
Discontinuidad evitable en un punto y extensión continua de la función en dicho punto
Continuidad de una función en todo su dominio
Determinación de puntos de discontinuidad
Discontinuidad evitable y extensión continua de la función
Discontinuidad no evitable de primera especie (o de salto finito)
Discontinuidad no evitable de segunda especie de salto infinito
Discontinuidad no evitable de segunda especie con límite no calculable

LIMITES DE FUNCIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Límite de una función en un punto: definición
Órdenes de magnitud en el infinito
Indeterminaciones
A menudo no podemos aplicar una relación de órdenes de magnitud, y en el cálculo del límite obtenemos expresiones indeterminadas, es decir cuyo verdadero valor desconocemos. Se trata de siete
Infinitésimos equivalentes
Regla de l’Hôpital
Cálculo de límites laterales y determinación de la existencia del límite
Resolución de indeterminaciones
Potenciales
Cálculo de límites mediante infinitésimos equivalentes

SUCESIONES DE NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Sucesión de números reales
En el lenguaje corriente las palabras “serie” y “sucesión” son sinónimas y se utilizan para designar un conjunto de cosas o sucesos dispuestos en un orden. En Matemáticas, estas palabras tienen un significado técnico especial. La palabra “sucesión” tiene un sentido análogo al del lenguaje corriente, pues con ella se quiere indicar un conjunto de objetos puestos en orden, pero la palabra “serie” se usa en un sentido completamente distinto. Aquí se estudiará el concepto de sucesión dejando el de serie para definirlo más tarde en el Mathblock “Series de números reales”.

SERIES DE NÚMEROS REALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Series de números reales
Series aritméticas
Series geométricas
Series de números reales positivos: Criterio necesario de convergencia
Criterios suficientes de convergencia para series de términos positivos
Criterio de convergencia de comparación
Criterio del cociente o de d’Alembert
Criterio de la raíz o de Cauchy
Criterio de Pringsheim
Criterio suficiente de convergencia para series de términos con signos alternados
Criterio de convergencia de Leibniz
Convergencia absoluta
Determinación del carácter de una serie mediante el criterio del cociente o de d’Alembert
Determinación del carácter de una serie mediante el criterio de la raíz o de Cauchy

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Definición de función: representación tabular y gráfica
Dominio y recorrido de una función
Paridad de una función. Funciones pares e impares. Funciones sin paridad
Función inversa
Función compuesta
Funciones lineales, cuadráticas y cúbicas
Funciones lineales
Funciones cuadráticas
Funciones cúbicas
Funciones racionales
Funciones potenciales
Funciones exponenciales y logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones hiperbólicas
Representación algebraica, tabular y gráfica de una función real de variable real

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

La derivada de una función en un punto: definición
Interpretación geométrica de la derivada: crecimiento y decrecimiento
Interpretación física de la derivada
Función derivada
Cálculo de derivadas
Ahora que ya tenemos una idea bastante clara de lo que es la derivada y cuál es su utilidad, tenemos que hacer un resumen de las herramientas que nos van a permitir calcularlas sin tener que aplicar la definición. Es decir aplicamos la definición para, por ejemplo, el caso general de suma de dos funciones y sabremos que para cualquier suma de dos funciones, la derivada sera la suma de las dos derivadas.

LA INTEGRAL INDEFINIDA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Concepto de Primitiva
Integración inmediata
A las primitivas que resultan aplicando en modo inverso las fórmulas de derivación se les llama integrales inmediatas. El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundamentales, así como la regla de
derivación de una función de función, nos van a permitir recordar una tabla de integrales inmediatas, cuyo uso se hace imprescindible
Integración por cambio de variable
Integración por partes
Integración de funciones racionales
Integración de funciones irracionales
Integración de funciones trigonométricas

ESTUDIO LOCAL Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Método para representar gráficamente una función
Estudio de la función logística en el crecimiento de poblaciones Cuando el hábitat impone limitaciones sobre el crecimiento de poblaciones, éste no puede continuar indefinidamente, pues es evidente que en la naturaleza todos los procesos son finitos. Es decir, a la larga, el tamaño de la población se estabilizará. La función que más se usa con el propósito de modelar un crecimiento restringido de este tipo se denomina modelo logístico.

CAMBIOS DE COORDENADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Veremos cómo resolver el siguiente problema: en el plano (o el espacio) se tienen definidos dos sistemas de coordenadas, y se conocen las coordenadas de un punto P respecto a uno de los sistemas; se quieren conocer las coordenadas de P en el otro sistema.
CAMBIOS DE COORDENADAS EN EL PLANO
Trabajemos primero en el plano. Recordemos que lo esencial de un sistema de coordenadas en el plano es conocer: un punto O llamado origen, dos rectas llamadas ejes que se cruzan en O y la unidad de medida en cada recta. Las rectas y las unidades de medida en ellas determinan dos vectores i y j que están cada uno sobre una de las rectas, y que tienen longitud 1 en la recta correspondiente.

TRANSFORMACIONES LINEALES EN EL ESPACIO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Al igual que en el plano, una transformación lineal en el espacio queda determinada al darse las imágenes de los vectores i, j y k Antes de ver por qué, repitamos la definición de transformación lineal. Una transformación lineal es una aplicación biyectiva T tal que:
a) Si A y B son vectores, entonces T(A + B) = T(A) + T(B);
b) Si r es un número real, entonces T(rA) = rT(A).
EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES

TRANSFORMACIONES LINEALES EN EL PLANO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Vamos a estudiar algunas de las transformaciones del plano en si mismo, usando el concepto de vectores y coordenadas. Transformaciones del plano en si mismo o del espacio en si mismo con estas propiedades, son las que llamamos transformaciones lineales. La linealidad está dada por las propiedades a y b solamente. Nosotros pedimos también la propiedad c), porque la hemos exigido a todas las transformaciones geométricas.

TRANSFORMACIONES EN COORDENADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

Vamos a ver cómo se pueden expresar transformaciones del espacio o del plano, como las traslaciones, rotaciones y homotecias, en términos de coordenadas. Dados una transformación y un sistema de coordenadas queremos obtener las coordenadas de la imagen de un punto P, conociendo las coordenadas de P.
LA TRASLACION
Fórmulas de transformación de coordenadas
Las traslaciones forman un grupo de transformaciones
Las traslaciones son movimientos rígidos
Ecuación de la imagen de un plano, recta, esfera, etc
LA ROTACIÓN ALREDEDOR DE UN PUNTO FIJO EN EL PLANO.
Fórmulas de transformación de coordenadas para la rotación
Grupo de rotaciones en el plano
Otras propiedades de las rotaciones

COORDENADAS EN EL ESPACIO PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

SISTEMA DE COORDENADAS EN EL ESPACIO
Estableceremos una correspondencia biyectiva entre los puntos del espacio y los triples de números reales (x, y, z) de la siguiente manera.
NOTACIÓN
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES
PERPENDICULARIDAD DE VECTORES
SUBCONJUNTOS DEL ESPACIO
EL PLANO

SECCIONES CÓNICAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

DEFINICIÓN MÉTRICA
Estudiaremos las llamadas “Secciones Cónicas”. Son las curvas que se obtienen como intersección de un plano con un cono. Comenzaremos por dar una definición métrica independiente del cono y más adelante, en el próximo capítulo, probaremos que las curvas definidas de esta manera, son las que se obtienen como secciones del cono.
ELIPSE
HIPÉRBOLA
PARÁBOLA
TANGENTE A LA ELIPSE
TANGENTE A LA HIPÉRBOLA

ÁREAS Y VOLÚMENES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
Calculemos ahora la longitud de una circunferencia de radio R. Para esto vamos a emplear un procedimiento de “paso al límite” muy semejante al usado para calcular el área del circulo. Consideremos un polígono inscrito y otro circunscrito a la circunferencia, del mismo número de lados.
VOLUMENES
PRINCIPIO DE CAVALLIERI

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

Calcular el polinomio que mejor aproxima una función alrededor de un punto, y utilizarlo para evaluar la función de forma aproximada.
Comparar el polinomio de Taylor con la función original, numérica y gráficamente.
Calcular límites indeterminados por medio de la regla de l’Hôpital.
Comparar el orden de magnitud de las funciones más usuales en el cálculo de la complejidad de un algoritmo
Fórmula de Taylor
Regla de l’Hôpital
Comparación de algoritmos

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

El problema del cálculo del área
Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en la historia de las matemáticas es el del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en algunos problemas de física.
El método de Exhaución.
El método de exhaución fue ideado por el matemático griego Arquímedes para determinar el área de un recinto. Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas.

DIAGONALIZACIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Matriz asociada a una aplicación lineal
Diagonalización
Diremos que una aplicación lineal de un espacio vectorial en sí mismo es un endomorfismo. La matriz asociada a un endomorfismo definido en un espacio vectorial de dimensión n es una matriz cuadrada de orden n.

DISCUSIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Ecuaciones y sistemas de ecuaciones: Conceptos básicos
La ecuación lineal
La ecuación exponencial
En muchas ocasiones los problemas estudiados conducen a varias ecuaciones que relacionan las mismas incógnitas. En esos casos estamos en presencia de un sistema de ecuaciones. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son los valores de las incógnitas que satisfacen la igualdad en cada una de las ecuaciones del sistema. Discutir un sistema de ecuaciones significa determinar si tiene soluciones y cuáles son. Veamos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES-RESOLUCIÓN PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Los métodos exactos o directos, que permiten obtener la solución del sistema de manera directa. Éstos proporcionan una solución exacta en un número finito de operaciones. Son válidos, aproximadamente, para valores de n menores que 5000 ya que si n es muy grande, la acumulación de los errores de redondeo puede llegar a provocar que la solución numérica no sea exactamente igual que la solución exacta.
Los métodos aproximados o iterativos, que utilizan algoritmos iterativos e infinitos y que calculan las soluciones del sistema por aproximaciones sucesivas. Para ello, construyen una sucesión de vectores destinada a converger a la solución del sistema.

MATRIZ INVERSA PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Definición de matriz inversa
Condición de inversibilidad
Cálculo de determinantes
Método de Gauss
Veamos un método que a priori no nos garantiza que la matriz en cuestión sea inversible, sin embargo, en caso de que se pueda aplicar, nos dará la inversa sin hacer operaciones demasiado complicadas. Si la matriz no se puede invertir, llegaremos a una situación que nos lo indicará. El cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss supone transformar una matriz en otra, equivalente por filas. La demostración rigurosa del procedimiento que a continuación se describe se sale del propósito del presente bloque, aquí se limita a su exposición y comprobación de que efectivamente se obtiene la matriz inversa.

DETERMINANTES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Definición de determinante
Dados los números 1,2,3,....n existen n! formas distintas de ordenarlos. Cada una de dichas ordenaciones se llama permutación. El conjunto de todas las permutaciones se representa por Pn y la permutación (1, 2, 3, ..., n) se llama permutación principal.
Cálculo de determinantes
Determinantes de orden 2 (asociados a matrices 2x2)
Determinantes de orden 3 (asociados a matrices 3x3)
Determinantes de orden superior a 3 (asociados a matrices nxn con n>3)
Propiedades de los determinantes

ÁLGEBRA DE MATRICES PDF TEORÍA Y EJEMPLOS RESUELTOS DE ÁLGEBRA LINEAL

Definición de matriz
Algunos tipos de matrices
Matriz Cuadrada: Es aquella que tiene igual número n de filas que de columnas (n=m). En esecaso se dice que la matriz es de orden n.
Matriz Nula: Una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero. En el siguiente ejemplo se muestra la matriz nula de orden 3×2.
Matriz Diagonal
Matriz Unidad
Matriz triangular
Adición de matrices
Multiplicación de una matriz por un número
Multiplicación de matrices
Matriz invertible
Matriz traspuesta
Otros tipos de matrices
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